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全国名校高中考数学专题训练平面向量(解答题)

全国名校高考数学专题训练05平面向量（解答题）

1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)关于实数

x 的不等式

22211

|(1)|(1)3(1)2(31)022

x a a x a x a -+≤--+++≤与的解集依次为A 与B ，求使

A B ?的a 的取值范围。

解：由2211

|(1)|(1)22

x a a -

+≤-得 222111

(1)(1)(1)222

a x a a --≤-+≤- }{

2|21A x a x a ∴=≤≤+

由23(1)2(31)0x a x a -+++≤得

[](2)(31)0x x a --+≤

当312a +≥即1

3a ≥

时得}{|231B x x a =≤≤+ 当32a a +<即1

3a <时得}{|312B x a x =+≤≤

综上解述：当1

a ≥时若A B ≤则

22131

a a ≤??+≤+? 解得13a ≤≤ 当1

a <

时若A B ?则 231212a a a +≤≤+≤

解得1a =-

a 的范围是{|13a a ≤≤或}1a =-

2、(江苏省启东中学高三综合测试四)某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为

x 2

件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？解：设购进8000个元件的总费用为S ，一年总库存费用为E ，手续费为H ．

则n x 8000=

，n

E 8000

212??=，n H 500= 所以S=E+H=x

x 8000

500212?+?

n n 5008000

+ =4000)16

(500≥+n n \

当且仅当n n

=16

，即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜．\ 3、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.

（1）设AD ＝x （x≥0），ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式；

（2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 解：（1）在△ADE 中，y 2

＝x 2

＋AE 2

－2x·AE·cos60°?y 2

＝x 2

＋AE 2

x·AE,①

又S △ADE ＝

21 S △ABC ＝2

3a 2＝21

x·AE·sin60°?x·AE ＝2.② ②代入①得y 2＝x 2＋22

()x －2（y ＞0）, ∴

y 1≤x≤2）.

（2）如果DE

是水管y

=当且仅当x 2＝

，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝2. 如果DE 是参观线路，记f （x ）＝x 2＋

，可知函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增，

故f （x ） max ＝f （1）＝f （2）＝5. ∴

y max

=即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长.

4、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知()f x 是R 上的单调函数，且对任意的实数

a R ∈，有()()0f a f a -+=恒成立，若(3)2f -=

①求证：()f x 是R

上的减函数；②解关于x 的不等式：

()()0,0m x f f m m R m x

-+<∈>其中且

解：①()

()sin x f x π=+；②12

原式＝；

18.①由()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，又因()f x 是R 上的单调函数，由(3)2,(0)(3)f f f -=<-，所以()f x 为R 上的减函数。 ②当1m >时，{

}

0,1m x x x m

><-或；

当1m =时，{}

0x x > 当01m <<时，{

}

01m

x x m

<<-。

5、(山东省博兴二中高三第三次月考)为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图，要求060=∠ACB ，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米. 为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？

解：如图，设BC 的长度为x 米，AC 的长度为y 米，则AB 的长度为（y －0.5）米. 在△ABC 中，依余弦定理得：

ACB BC AC BC AC AB ∠?-+=cos 2222 -------（4分）

即2

12)5.0(2

22?

-+=-yx x y y 化简，得4

1)1(2

=-x x y ∵1>x ，∴01>-x 因此1

2--

x x y ------------------（6分）

方法一：232)

1(43)1(141

2+≥+-+-=--

=x x x x y . --------------------

（10分）当且仅当)1(431-=

-x x 时，取“=”号，即2

31+

=x 时，y 有最小值32+.

方法二：2

222/)

1(41

2)1()41()1(2-+-=----=x x x x x x x y x -----------------（9分）解??

???=+->041212x x x ，得23

1+=x -------------------（11分） ∵当2

311+<x 时，0/>x y .

∴当2

=x 时，y 有最小值32+. 6、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)某化工集团在靠近某河流修建两个化工厂，流

经第一化工厂的河流流量为500万立方米/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万立方米/天的支流并入大河（如图）。第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万立方米；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万立方米，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化。

环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，

因此，这两个工厂都需各自处理部分的工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1000元/万立方米，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万立方米。试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？

解：设第一化工厂每天处理工业废水x 万立方米，

需满足：

.20%,2.0500

2≤≤≤-x x

…………2分

设第二化工厂每天处理工业废水y 万立方米，需满足：

.4.10%,2.0700

)

4.1()2(8.0≤≤≤-+-y y x

…………4分

两个化工厂每天处理工业废水总的费用为1000x ＋800y 元。问题即为：在约束条件

???

?≤≤≤≤≤-+-≤-4.1020,

%2.0700)4.1()2(8.0%2.05002y x y x x

下求目标函数)45(200y x z +=的最小值。 7、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)如

图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米，（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？

（2）若|AN| [3,4)∈（单位：米），则当AM 、AN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的

面积最大？并求出最大面积．解：设AN 的长为x 米（x >2）

∵

|DN||DC||AN||AM|

，∴|AM |＝32x

x - ∴S AMPN ＝|AN |?|AM |＝2

32x x - ------------------------------------- 4分

（1）由S AMPN > 32 得 2

x x - > 32 ，

∵x >2，∴2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0

∴8

283

x x <<

> 或即AN 长的取值范围是8(2)

(8)3

∞，，+----------- 8分

（2）令y ＝2

32x x -，则y ′＝222

6(2)334)(2)(2)

x x x x x x x ---=--（ -------------- 10分 ∵当[3,4)x ∈，y ′< 0，∴函数y ＝2

32x x -在[3,4)上为单调递减函数，

∴当x ＝3时y ＝2

x x -取得最大值，即max ()27AMPN S =（平方米）

此时|AN |＝3米，|AM |＝

932

?=-米 8、(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x ＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元（a ＞0）。（I ）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的

农民的年总收入，试求x 的取值范围；

（II ）在（I ）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农

民的人均年收入达到最大。

解：（I ）由题意得（100-x ）·3000·（1+2x%）≥100×3000，

即x 2

－50x ≤0，解得0≤x ≤50， ……………………4分

又∵x ＞0 ∴0＜x ≤50； ……………………6分（II ）设这100万农民的人均年收入为y 元，

则y= (100－x )×3000×(1+2x %)+3000ax 100 = －60x 2

+3000(a +1)x +300000100

=－35

[x －25(a +1)]2+3000+475(a +1)2

（i ）当0<25(a +1)≤50，即0＜a ≤1，当x=25(a +1)时，y 最大； ………………11分（ii ）当25(a +1)＞50，即a ＞1，函数y 在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y 取最大值。…………13分

答：在0＜a ≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大 ………………14分

9、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数()log (1)a f x x =+，点P 是函数()

y f x =图像上任意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数()y g x =的图像（1）当01a <<时，解关于x 的不等式2()()0f x g x +≥；

（2）当1a >，且[0,1)x ∈时，总有2()()f x g x m +≥恒成立，求m 的取值范围. 解：由题意知：P 、Q 关于原点对称，设Q （x,y ）是函数y=g(x)图像上任一点，则P （-x,-y ）

是f(x)=log a (x+1)上的点，所以-y=log a (-x+1)，于是g(x)=-log a (1-x).

(1)0

2101010(1)1x x x x x ?+>?

?->?-<≤??+≤-?

{}01a ∴<<≥≤时,不等式2f(x)+g(x)0解集为:x -1

(2)[)2()()2log (1)log (1)

1.0,1a a y f x g x x x a x =+=+-->∈当时

[)2

(1)2()()1x f x g x m m x ++≥∈≥-a 恒成立,即在x 0,1时,log 恒成立

22(1)(1):log log 11m m

a a x x a a x x ++≥∴≤--即恒成立

设2(1)4

()(1)4,0110,11x x x x x x x

?+=

=-+-≤<∴->-- (][)(]

(1)2,011()1x x x x

?-+

+∞<-≤∴-可证在0,2且在在0,1

0min ()1,1,0m x a a m ?∴=∴≤=∴≤

10、设有关于x 的不等式()

a x x >-++73lg

（1）时，解此不等式当1

=a （2）当a 为何值时，此不等式的解集为R （本题满分12分）

解：()11a =时，不等式可化为3710x x ++->…………………………… 2分由371037x x x x ++->?<->或……………………………………………..4分

{}37x x x ∴<->解集为或…………………………………………………………5分

()

23710,x x ++-≥…………………………………………………………….7分

欲使()

a x x >-++73lg 恒成立，即3710a

x x ++->恒成立，

只须1010a <即可?1a <……………………………………………………….. 10分 11、为贯彻落实党的十七大精神,加快新农村建设步伐,红星镇政府投资c 万元生产甲乙两种商品,据测算,投资甲商品x 万元,可获得利润P=x 万元,投资乙商品x 万元可获得利润Q=40x 万元，如果镇政府聘请你当投资顾问，试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元？才能获得最大利润,获得最大利润是多少万元？

解：设对甲厂投入x 万元（0≤x ≤c ）,则对乙厂投入为c —x 万元．所得利润为

y=x+40x c -（0≤x ≤c ） ……………………（3分）令x c -=t （0≤t ≤c ）,则x=c －t 2

∴y=f （t ）=－t 2+40t+c=－（t —20）2

+c+400……………………（6分）当c ≥20,即c ≥400时,则t=20, 即x=c —400时, y max =c+400… （8分）当0

12、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水，

水厂每小时可向蓄水池中注入自来水60吨，若蓄水池向居民不断的供水，且t 小时内

供水总量为210·)240(63≤≤t t 吨。

（1）供水开始几小时后，蓄水池中的水量为最小？最小水量为多少吨？

（2）若蓄水池中的水量小于200吨，就会出现供水紧张问题，试问在一天的24小时内，

有多少小时会出现供水紧张情况？答案：（1）

7小时，400－1407吨（2）10.5小时

13、(湖北省八校高2008第二次联考)两家共同拥有一块土地ABC ，形状是等腰直