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最新全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试题及参考答案

一．选择题（5×7'=35'）

1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )．

A ．0

B ．1

C ．3

D ．5

【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ．

2.已知关于x 的不等式组???????

<-+->-+x t x x x 2

353

52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2

116.-≤≤-t D 【分析】20232

35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ．

注意到15=x 时，只有4个整数解．所以

2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x

x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）；

ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）；

再考虑等根：

ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84=

→=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27,

8,4=a ，2

1,1,1-=x 共3个.本题选C ．

4.如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在

线段BC 的延长线上，且BC=4CF ，DCFE 是平行四边形，则图

中阴影部分的面积为( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【分析】设ABC ?底边BC 上的高为h ，则

DE CF CF BC h 121244848====，

)(2121212121h h DE h DE h DE S S BDE ADE +??=??+??=

+?? 本题选D ．

6122121=??=??=

DE DE h DE

5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是( )．

41.A 92.B 18

5.C 367.D 【分析】9

236811291214==+++=C C C P 本题选B ．

二．填空题（5×7'=35'）

6.设33=a ，b 是a 2的小数部分，则3)2+b （的值为．

【分析】考虑到33=a ，则33333332292,29,327982，93=+-==<<===b b a 则9)9()2333==+b （

7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是．

【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有612?，而总次数是666??次，则其概率为3

1666612=???=P .

8.已知正整数a 、b 、c 满足a +b 2-2c -2=0,3a 2-8b +c=0，则abc 的最大值为．

【分析】先消去c ，再配方估算．24

166)8()121(621662222+=-++?=-++b a b b a a 观察易知上式中3≤a ，故3,2,1=a ，经试算，2,1=a 时，b 均不是整数；当3=a 时，11,5=b ，于是有)61,11,3(),13,5,3(),,(=c b a ，故201361113max =??=abc ．

9. 实数a 、b 、c 、d 满足：一元二次方程x 2+cx +d=0的两根为a 、b ，一元二次方程x 2+ax +b=0的两根为c 、d ，则所有满足条件的数组（a 、b 、c 、d ）为．

【分析】由根与系数关系知b cd d ab d b a d c c b a ===?=++=++,,0，然后可得（a 、b 、c 、d ）=(1,-2,1,-2)

本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了支圆珠笔．

【分析】设4元的卖x 支，7元的卖y 支，则350,201374<+=+y x y x

4125031820124201374++

-=?++-=?=+y y x y y x y x 令144

1-=?=+k y k y ，则k k k x 7505)14(2503-=+--=，又350≤+y x ，即523

151350147505≥??→?≥?≤-+-∈k k k k N k ，207152414=-?≥-=k y 即他至少卖了207支圆珠笔．

三．解答题（4×20'=80'）

11．如图，抛物线y =ax 2+bx -3，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且O B=OC=3OA ．直线13

1+-

=x y 与y 轴交于点D ，求∠DBC -∠CBE ．

【分析】易知4)1(3222--=--=x x x y ，)4,1()3,0()0,3(),0,1(---D C B A ，，，作EF ⊥C

O 于F ，连CE ，易知△OBC 、△CEF 都是等腰直

角三角形，则△CBE 是直角三角形．分别在Rt

△OBD 、Rt △BCE 中运用正切定义，即有

1232tan 31tan =====BC CE ，OB OD βα，则βα= 从而可得∠DBC -∠CBE=45o．

12．如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，D

为线段OB 内一点(不是端点)，满足CD ⊥AB ，DE ⊥CO ，E 为垂足，若CE =10，且AD 与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．

【分析】设圆O 半径为r ，则由相似或三角函数或射影定理可知，

)10(1022-=??=r DE OE CE DE ，又r r DE CE CD 10)10(10102222=-+=+= 由相交弦定理（考虑垂径时）或连AC 、BC 用相似

或三角函数，易知

r CD BD AD 102==?①，而r BD AD 2=+②

令y BD x AD ==,，①/②即

5210-=?==+y x y r r y x xy ，显然有x y <<0，则10<

试算，仅当30,6==x y 这一组是正整数，故30=AD .

13．设a 、b 、c 是素数，记c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,，当2,2=-=y x y z 时，

a 、

b 、

c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．【分析】281102222a z a z z y z a z y c b a z b a c y +±-=?=-+???→?==+??

??-+=-+=

a 、

b 、

c 是素数，则z c b a =-+为整数，则1281+=+k a ，k 为正整数．化简整理后，有

a k k 2)1(=+?

??=+==+==?=+==+=?3121,2(121121,1a k k ）a a k k 非质数 2,332811-=??→?=+±-=

z a a z ⅰ)112,2529,9,3=?=-=?=-==b b z x x x y z ,c b a b =<=+=+=1720173,17不能围成三角形;

ⅱ)是合数9,16,4,2====b x y z

综上所述，以a 、b 、c 不能围成三角形．

14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数) ．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a 1，a 2，．．．，a n ，满足对任意一个正整数m ，在a 1，a 2，．．．，a n 中都至少有一个为m 的“魔术数”．

【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a 1，a 2，．．．，a n 互不相等，不妨设n a a a <<<...21，余数必为1、2、3、4、5、6，0，设t k a i i +=7，（6,5,4,3,2,1,0;,...,3,2,1==t n i ），至少有一个为m 的

“魔术数”．因为m a k i +?10（k 是m 的位数)，是7的倍数，当6≤i 时，而k i a 10?除以7的余数都是

0，1，2，3，4，5，6中的6个；当7=i 时，而k

i a 10?除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当7=i 时，依抽屉原理，k i a 10?与m 二者余数的和至少有一个是7，此时m a k i +?10被7整除，即n =7．

历年全国初中数学竞赛试题及参考答案

2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且仅有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ) (A)36(B)37(C)55 (D)90 2.已知，，且，则a的值等于( ) (A)－5(B)5(C)－9(D)9 3.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴. 若斜边上的高为h，则( ) (A)h＜1 (B)h＝1 (C)1＜h＜2 (D)h＞2 4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( ) (A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007 5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q，若QP＝QO，则的值为( ) (A)(B) (C)(D) 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6.已知a，b，c为整数，且a＋b＝2006，c－a＝2005. 若a＜b，则a＋b＋c的最大值为___________. 7.如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于________.

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .