平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数

1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：

12

12

2,112m ln ax q q s t q p p y

q q q α..+=+

构造拉格朗日函数：

()121122ln L q q q y p p q αλ--=++

L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：

111

0L p q q α

λ?=-=? ① 22

10L

p q λ?=-=? ② 11220q L

y p p q λ

?=--=? ③ 从①式和②式中消去λ后得：

2

11

p q p α*=

④

再把④式代入③式中得：

2

2

2y p p q α*-=

⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：

2

11

p q p α*=

2

2

2

y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，2

0q *

>，消费者同时消费商品1和商品2。 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

()()21

12122

,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**

=+-=

②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。 从而解得马歇尔需求函数为：

1

1q y p *=

2

0q *

= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

()()12121

,,,ln

v p p y u q p y q α**

== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：

()()2

1

12122

,,,ln

p v p p y p q q y

u p ααα**

=+

-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：

11v p p α?=-? 2222v y p p p α?=-? 2

1v y p ?=? 由罗尔恒等式，得到：

1112121v p p p v y p q p α

α*??=-==?? 2

22

2222

21y p v p p y p y q v p p α

α*-??-=-==??

②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121

,,,ln

v p p y u q p y

q α**

==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：

11v p p α?=-? 20v p ?=? v y y

α?=? 由罗尔恒等式，得到：

1111v p p y v y p y q α

α*??=-

==?? 22

00v p v y y

q α*

??=-==?? （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。

2．某个消费者的效用函数是()12212,u x x x x =，商品1和2的价格分别是1p 和2p ，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

12

212max x x x x ，

1221..s x m p p x t +=

构造该问题的拉格朗日函数：

()2121122x m p p L x x x λ+-=-

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

1211

20L

x x p x λ?=-=? ① 2122

0L

x p x λ?=-=? ② 11220L

m p x p x λ

?=--=? ③ 从①式和②式中消去λ后得：

11

22

2p x x p =

④ 把④式代入③式中得：

()1121

2,,3m

x p p m p *=

⑤ 把⑤式代入④式中得：

()2122

,,3m

x p p m p *=

⑥ ⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。

将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：

()23

222112

44,,3927x y m m m V p p m p p p p =?=

由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：

(

)1

23121227,,4p p u e p p u ??==

???

3．试根据间接效用函数()1212

,,m

v p p m p p =+求出相应的马歇尔需求函数，这里m 表示收入。

解：由间接效用函数可得：

()2112v m p p p ?=-?+，()

2

212v m

p p p ?=-?+，121v m p p ?=?+。 根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中1i =或2）：

()

121

112

12

1m

p p v p m

x v y

p p p p -

+??=-=-

=

??++ ()

2

122

212

12

1m

p p v p m

x v y

p p p p -

+??=-=-

=

??++

4．考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。

假定他的选择决策只依赖于其效用函数12u x x =，这里()2

12,x x R +∈。已知北京的物价为

()1

2

,a

a p p ，上海的物价为()1

2

,b b p p ，并且1212a a b b p

p p p =，但11a b p p ≠，22

a b

p p ≠。又知广州的物价为()()()12112211,22c c a b a b p p p p p p ??=++

???

，。若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生活？

解：老人的效用最大化问题为：

12

12

1122max ..x x x x s t p x p x m

+=，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()12121212,,L x x x x m x p p x λλ+--=

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

211

x ?122

0L

x p x λ?=-=? ② 11220L

m p x p x λ

?=--=? ③ 由①②③三式求解，可得：()1121,,2m x p p m p =

，()2122

,,2m x p p m p =。 将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数：

()2

1212

,,4m v p p m p p =

于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为：

2114a a a m v p p = 2114b b b m v p p = 2

11

4c c c m v p p =

因为1212a a b b

p p p p =，所以a b v v =。

又因为11221

21122121222

a b a b c

c

a b a b a a b b p p p p p p p p p p p p p p ++=?≥=，由于已知

1122a b a b

p p p p ≠≠，，所以该不等式的等号并不成立，则有c a b v v v <=。

综合上述分析可知：若该退休老人是理性的，则他会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活。

5．（1）设12u x x =，这里()2

12,x x R +∈，求与该效用函数相对应的支出函数()

12,,e p p u 。

（2）又设12ln ln u x x '=+，这里，()212,x x R +∈，求与该效用函数相对应的支出函数

()12,,e p p u ''。

（3）证明：()()1212,,,,e p p u e p p u ''=，其中ln u u '=。 答：（1）消费者的支出最小化问题为：

12

1122

12max x x p x p x s t x x u

+..=，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()

12112212L x x p x p x u x x λλ=++-，，

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

121

0L

p x x λ?=-=? ① 212

0L

p x x λ?=-=? ②

12λ

?由上述三式解得：12

211up x p ??= ? ???，12

122up x p ??

= ? ?

??

。 把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：

()

()

(

)

12

12

1212,,2e p p u p p u ==（2）消费者的支出最小化问题为：

12

1122

12min ..ln ln x x p x p x s t x x u ++='

，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()12112212,,ln ln L x x p x p x u x x λλ=++'--

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

1110L p x x λ

?=-=? ① 222

0L p x x λ

?=-=? ② 12ln ln 0L

u x x λ

?='--=? ③ 由①②③三式可解得：12

2211u p x e p '??= ???，12

2122u p x e p '??

= ???

。

把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：

()()12

2121212,,22u u e p p u p p e p p e ''''==（3）证明：

12

ln 12121212ln 222ln ln u u

u x x u u p p e p p e p p u u x x '=??'=??'=+?

根据（1）与（2）的结果，可得()()1212,,,,e p p u e p p u ''=。

6．设某消费者的间接效用函数为()12112

,,m

v p p m p p αα-=

，这里1α0<<。什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数？

答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为

()12112

,,m

v p p m p p α

α

-=

，从中反解出m 关于1p 、2p 和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：

()112,e p u up p αα

-=

根据谢泼特引理，可知物品1的希克斯需求函数为：

()()()

1112211

1

1,,up p e p u p h p u u p p p α

αα

α--????

=

=

= ?

????

7．考虑含n 种商品的Cobb-Douglass 效用函数()1i

n i i u x A x α==∏，这里0A >，1

1n

i i α==∑。

（1）求每种商品的马歇尔需求函数。 （2）求消费者的间接效用函数。 （3）计算消费者的支出函数。

（4）计算每种商品的希克斯需求函数。 解：（1）消费者的效用最大化问题为：

()12

1

1

max i

n

n

i x x x i n i i i u x A x s t p x y

α===∏..=∑，

构造该问题的拉格朗日函数：

11i n

n

i i i i i L A x y p x αλ==??=+-∑∏????

拉格朗日函数对i x ()1,2,i n =和λ分别求偏导数得：

10

1,2,

j i i i j i j i i

L A x x p i n x α

ααλ-≠?=-==∏?

10n i i i L

y p x λ

=?=-=∑? ①

从前n 个等式可知，对任意的i 和j ，都有如下关系成立：

i j i

j i j

x p i j x p αα=≠

从而得到，对任意的j i ≠都有：

j i i

j i j

p x x p αα=

把这1n -个等式代入①式中，就有：

0j i i

i i j i i

p x y p x αα≠--=∑

即：

()1i i

i j i i i i j i i i p p p x p x y αααα≠????+=+-=∑ ???????

从而解得商品的马歇尔需求函数为：

1,2,i i i

y

x i n p α=

=

（2）把每个商品的马歇尔需求函数代入效用函数中，就得到了消费者的间接效用函数：

()()()11,,i i

n

n i i i i i i y v p y u x p y A Ay p p αααα==??

??===∏∏ ? ?????

（3）从间接效用函数中反解出y 关于1p 、2p 和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：

()1,i n i i i p u e p u A αα=???? ??∏ ? ?

??= ? ?

???

（4）把支出函数两边取对数，得：

[]{

}

1

ln ln ln ln ln n

i i i i e u A p a α==-+-∑

上式关于i p 求导得：

1i i i

e e p p α??=? 再根据谢泼特引理()()(),,i i

e p u x h p u p ?=

?得到消费者对物品的希克斯需求函数为：

()1

1,,1,2,3,

,j i

j j h

i j i j j j j i p p e x e p u uA j n p p ααααα--≠??

??

?====

? ? ????

??

∏

8．以柯布一道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。

答：（1）如果消费者的效用函数为柯布—道格拉斯效用函数，那么他的效用最大化问题可以描述为：

12

112

1122max .x x Ax x s t p x p x m

αα

-.+=，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()112121122,,x x Ax x m p x p x ααψλλ-=+--

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

111211

0Ax x p x αα

ψαλ--?=-=? ① ()1222

10Ax x p x αα

ψαλ-?=--=? ② 11220m p x p x ψ

λ

?=--=? ③ 从①式和②式中消去λ后得：

()11

221p x x p αα-= ④

把④式代入③式中解得：

11

m

x p α=

⑤

把⑤式代入④式中解得：

()22

1m

x p α-=

⑥

⑤、⑥两式就是与柯布—道格拉斯效用函数相对应的马歇尔需求函数，把它们代入目标函数式中，就得到了间接效用函数：

()1121,v p m Am p p α

α

αα-????

-= ? ?

????

（2）消费者的支出最小化问题为：

()12

1122

112

min x x p x p x s t u x Ax x

α

α

-+..=，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()112112212,,x x p x p x u Ax x αα

ψλλ-=++-

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

111121

0p A x x x ααψλα--?=-=? ① ()2122

10p A x x x αα

ψλα-?=--=? ② 1120u Ax x αα

ψλ

-?=-=? ③ 从①式和②式中消去λ后得：

()11

221p x x p αα-= ④

把④式代入③式中解得商品1的希克斯需求函数为：

()()1211,1p u h p u A p α

αα-??

=??

-????

⑤

把⑤式代入④式中解得商品2的希克斯需求函数为：

()()1221,p u h p u A p α

αα-??

=????

⑥

把⑤，⑥两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：

()11211,1u e p u p p A α

αα

ααα

--??= ?

-?? （3）下面来验证问题的结论：对柯布—道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。

把间接效用函数的表达式代入商品1和2的希克斯需求函数中，就得到了它们的马歇尔需求函数：

()111211211

1,1p A am

x p m m A p p p p α

α

α

α

αααα---????

??-??==

? ?

? ?-??

????

??

()()1121222111,m p A x p m m A p p p p αα

α

α

ααααα--????

??--??== ? ?

? ?

??????

??

把支出函数的表达式代入商品1和2的马歇尔需求函数中，就得到了它们的希克斯需求

函数：

()()1121121111,=11p u

u h p u p p p A A p α

α

αααααααα--??-??=?? ?

--??????

()()11212221111,=1p u u h p u p p p A A p α

α

αααααααα--??

--??=?? ?

-????

由此可知，对柯布—道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题和求解支出最小化问

题可以得到同一需求函数。

9．下列说法对吗？为什么？

函数()()12

,h x x x p u p u =+可以作为某个消费者对某种商品的希克斯需求函数。 答：函数()()1,h x x x p u p u =+不能作为某个消费者对某种商品的希克斯需求函数。理由如下：

希克斯需求函数（用(),i h p u 表示，其中下标表示第i 种商品）是指在消费者的效用保持不变的情况下，商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。特别地，希克斯需求函数具有以下性质：

（1）(),i h p u 关于价格p 是零次齐次的，即：对任意的0t >，()(),,i i h p u h tp tu =； （2）(),i h p u 关于第i 种商品的价格i p 单调递减，即：(),0i i

h p u p ?

（3）对任意的i 和j 两种商品，

()(),,j i j

i

h p u h p u p p ??=

??总是成立。

对任意的0t >，()()

()()12

12

,,h

h

x x x x x

p u p u tp tu x tp tu =+≠+=，

(),02h x x

x x p u p p u

?=

>?+。

故对于函数()()12

,h x x x p u p u =+而言，由于不满足上述三条性质中的前两条，所以它不是希克斯需求函数。

10．下列函数能成为一个马歇尔需求函数吗？为什么？

()()

222,,x x y x

y p I

x p p I p

p ?=

+

这里，x 与y 为两种商品，I 为收入。

答：马歇尔需求函数是指在消费者的收入保持不变和消费者追求效用最大化的条件下，

商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。马歇尔需求函数具有以下性质：

（1）马歇尔需求函数关于价格p 和收入m 是零次齐次的，即：对任意的0t >，都有()(),,i i x p m x tp tm =。

（2）如果一种商品是正常品，即(),0i x p m m

?>?，那么该商品的马歇尔需求函数关于商

品的价格单调递减，即

(),0i i

x p m p ?

下面对函数()()

222,,x x y x

y

p I

x p p I p

p

?=

+分别验证上述两条性质：

（1）()()

()

()2222

2222,,,,x x x y x y x y x y t p I

p I

x tp tp tI x p p I t p p p p ??=

=

=++；

（2）由于

()()

22

,,20x y x x

y

x p p I p I

p

p

?=

>?+，所以该商品是正常品。

()()

22

2,,40x y x y

y

x

y x p p I Ip p p p

p

?=-

()

22

22

22,,0y x x y x

x

y I p p x p p I p p

p

-?=

下才能成立，否则商品的需求随着价格的上升而增加，这就和第二条性质相矛盾。

综合上述分析可知该函数不是马歇尔需求函数。

复变函数课后习题答案(全)69272

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1-+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤

解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+-

平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第 2讲 间接效用函数与支出函数 1 ?设一个消费者的直接效用函数为 u =? Inq 。求该消费者的间接效用函数。并且 运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直 接效用函数推得的需求函数是相同的。 解：（1）①当y-P 2 .0时，消费者的效用最大化问题为： 构造拉格朗日函数: L = : Inq 72 川'；? j y -pq -P 2C 2 L 对q 、C 2和，分别求偏导得: 从而解得马歇尔需求函数为: y P 2 q 2 二 P 2 由⑤式可知：当y_「p 2?0时，0，消费者同时消费商品 i 和商品2。 将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数: v p , P 2, y ；=u q ”,q2 = In p y -： P i P 2 ②当y -：巾2 _0时，消费者只消费商品 i ，为角点解的情况。 从而解得马歇尔需求函数为： P i 将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数: v P i , P 2, y 二 u q ；, q 2 = > In 工 P i (2)①当y_「p 2?0时，此时的间接效用函数为： v p,P 2,y ；=u q ",q ^.M n 匹 - P i P 2 将间接效用函数分别对 p i 、P 2和y 求偏导得: P t = 0 -:C i C i p 2 = 0 池 y ~ p i q i _ p 2q ^ = 0 OK 从①式和②式中消去后得: :、沱 P 2 q p 再把④式代入③式中得： C 2 y P 2 P 2 ① ② ③ ④ ⑤

实变函数习题解答(1)

第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)

实变函数论课后答案第三章1

实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.

实变函数第三章习题参考解答

实变函数第三章习题参考解答 1.设f 是E 上的可测函数，证明：R a '∈?，})(|{a x f x E ==是可测集. 解：R a '∈?，因为)(x f 是E 上的可测，所以})(|{a x f x E ==与 })(|{a x f x E ≤=均是可测集.从而 })(|{a x f x E ==})(|{a x f x E ≥==})(|{a x f x E ≤= 可测. 2.设f 是E 上的函数，证明：f 在E 上的可测当且仅当对一切有理数r ， })(|{r x f x E >=是可测集. 证：) (?R a '∈?，取单调递减的有理数序列∞=1}{k k r 使得a r k k =+∞ →lim ，则 })(|{})(|{1 k k r x f x E a x f x E >=>=∞ = .由每个k r x f x E >)(|{}的可测性，知 })(|{a x f x E >=可测.从而，)(x f 在E 上的可测. )(?设f 在E 上的可测，即R a '∈?，})(|{a x f x E >=可测.特别地，当r a =时 有理数时，})(|{r x f x E >=可测. 3. 设f 是R '上的可测函数，证明：对于任意的常数α，)(x f α是R '上的可测函数. 为证上述命题，我们先证下面二命题： 命题1.若E 是R '中的非空子集，则R '∈?α，有E m E m *||*αα= 证明：当0=α时，因为}0{=E α，则E m E m *||*αα=.不妨设，0≠α.因为 E I I E m i i i i ?=∞ =∞ =∑1 1 ||inf{* ，i I 为开区间}.0>?ε,存在开区间序列∞=1}{i i I ， E I i i ?∞ =1 ，||*||*1αε + <≤∑∞ =E m I E m i i .又因为E I i i ?∞=α1 （注：若),(i i i I βα=，则 ? ??=ααααβααβααα),,(),,(i i i i i I . 所以εααααα+?<==≤ ∑∑∑∞ =∞=∞ =E m I I I E m i i i i i i *||||||||||||*1 1 1 .由ε得任意性，有

实变函数论课后答案第五章1

实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可

测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i （ ()()()3 3331 02 3 02 302 33 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??? ???==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 02 10 2 / 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i

实变函数第三章复习题及解答

第三章 复习题 一、判断题 1、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，如果对任意实数a ，都有[()]E x f x a >为可测集，则()f x 为E 上的可测函数。（√ ） 2、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，如果对某个实数a ，有[()]E x f x a >不是可测集，则()f x 不是E 上的可测函数。（√ ） 3、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ≥为可测集。（× ） 4、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a =为可测集。（× ） 5、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a ≤为可测集。（√ ） 6、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b （a b <）， [()]E x a f x b ≤<为可测集。（× ） 7、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。（√ ） 8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ，则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。（× ） 9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则()f x 在E 上“基本上”连续。（√ ） 10、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x ?（x E ∈），则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。（× ） 11、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x →..a e 于E ，则()()n f x f x ?（x E ∈）。（× ）

实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章

。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此， 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ． 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?． 解 取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集． 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠， 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可

(0195)《实变函数论》网上作业题及答案

[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B

[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集

C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1

复变函数与积分变换课后习题答案详解

… 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==．

平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数 1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。 解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为： 12 12 2,112m ln ax q q s t q p p y q q q α..+=+ 构造拉格朗日函数： ()121122ln L q q q y p p q αλ--=++ L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得： 111 0L p q q α λ?=-=? ① 22 10L p q λ?=-=? ② 11220q L y p p q λ ?=--=? ③ 从①式和②式中消去λ后得： 2 11 p q p α*= ④ 再把④式代入③式中得： 2 2 2y p p q α*-= ⑤ 从而解得马歇尔需求函数为： 2 11 p q p α*= 2 2 2 y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，2 0q * >，消费者同时消费商品1和商品2。 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： ()()21 12122 ,,,ln p v p p y p q q y u p ααα** =+-= ②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。 从而解得马歇尔需求函数为： 1 1q y p *= 2 0q * = 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： ()()12121 ,,,ln v p p y u q p y q α** == （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为： ()()2 1 12122 ,,,ln p v p p y p q q y u p ααα** =+ -= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。

实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案

第一章集合 早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。 康托尔在19世纪创立了集合论，对无限集合也以大小，多少来分，例如他断言：实数全体比全体有理数多，这是数学向无限王国挺近的重要里程碑，也是实变函数论的出发点。 实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。 §1 集合的表示 集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法： 在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。 顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。 例1 4，7 ，8，3四个自然数构成的集合。 例2 全体自然数 例3 0和1之间的实数全体 0,1上的所有实函数全体 例4 [] 例5 A,B,C三个字母构成的集合 例6 平面上的向量全体 全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。 1.集合的表示

一个具体集合A 可以通过例举其元素,,a b c L 来定义，可记{},,A a b c =L 也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p 来定义，并记为 A={x ：x 满足条件p} 如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为{}:(0,1)x x ∈ 设A 是一个集合，x 是A 的元素，我们称x 属于A ，记作x A ∈，x 不是A 的元素，记作x A ?。 为方便表达起见，?表示不含任何元素的空集，例如 {x ：sin x >1}=? 习惯上，N 表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. 设()f x 是定义在E 上的函数，记()f E ={ ()f x ：x ∈E}，称之为f 的值域。若D 是R 中的集合，则 1()f D -={x :x ∈E ,},称之为D 的原像，在不至 混淆时，{x ：x ∈E ，()f x 满足条件p}可简写成{x :()f x 满足条件p }. 2.集合的包含关系 若集合A 和B 满足关系：对任意x ∈A,可以得到x ∈B ，则成A 是B 的子集，记为A ?B 或B ?A ，若A B 但A 并不与B 相同，则称A 是B 的真子集. 例7. 若()f x 在R 上定义，且在[a,b]上有上界M ，即任意对 x ∈[a,b]有()f x ≤M.用集合语言表示为：[a,b] ?{x ：()f x ≤M}. 用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例. 例8. 若()f x 在R 上连续，任意取定0x ∈R,对任意ε>0,存在δ>0.使得对任 意0 0(,)x x x δδ∈-+有0|()()|f x f x -<ε,即 0000((,))((),())f x x f x f x δδεε-+?-+. 3.集合相等 若集合A 和B 满足关系：A ?B 且B ?A,则称A 和B 相等，记为A=B.

第三版实变函数论课后答案

1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈， 则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有 () x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。 证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-， 所以c A B A B -?. 另一方面， c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理 9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧） 成立 知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()()( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若 () x A B λ λλ∈∧ ∈ ， 则 有 'λ∈∧ ，使 ''()( )()x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈或者x B λλ∈∧ ∈ . 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = . 证：( )c x A λλ∈∧ ?∈，则x A λλ∈∧ ? ，故存在'λ∈∧ ，'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ?? 从而有( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 反过来，若c x A λλ∈∧ ∈ ，则'λ?∈∧使'c x A λ?，故'x A λ?， x A λλ∈∧ ∴? ，从而()c x A λλ∈∧ ∈

复变函数论第三版课后习题答案

第一章习题解答 （一） 1 ．设z ，求z 及Arcz 。 解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 22 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3 是接 于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z

中级微观经济学45道题(含解答)

中级微观经济学期末考试复习题 （版权归13企业管理班所有，翻版必究，哈哈！） 1.实现委托代理最优合约设计的两个约束条件是什么？ 答：一种是代理人的个人理性约束，即委托人得保证让代理人不跳槽，安于经理岗位。 另一种是对代理人的激励相容约束，即让代理人自己去选择行动值a，使其期望的边际效用值达到最大。 2、为何需求的价格弹性大于1时，降价能增加收益，而需求的价格弹性小于1时，涨价能增加收益，请给出数学证明。 答：需求的价格弹性公式为： 由公式可知， 当|e|>1，即富于弹性时，MR<0，边际收益为负，即提高价格，收益降低，相反，降低价格则收益升高。 当|e|<1，即缺乏弹性时，MR>0，边际收益为正，即提高价格，收益升高，相反，降低价格，收益变少。 3.简述公共产品与私人产品的差异。（微观经济学十八讲P352） 答：公共品是指由公共部门提供用来满足社会公共需要的商品和服务。公共品具有不可分割性、非竞争性和非排他性。但是必须明确并不是全部的公共品都应由公共部门提供。私人品是指那些具有效用上的可分割性，消费上的竞争性和受益上的排他性的产品。公共品和私人品的区别在于，公共品是可以让一群人同时消费的物品，而私人品在任何时候只能为一个使用者提供效用。 4、毕加索油画的供给价格弹性是多少，为什么？ 答：弹性0，因为供给的价格弹性反映价格变动对供给数量变动的影响。毕加索的油画是唯一的，因此，不管价格如何变动，供给为1，即供给不随价格变动而变动，弹性为0。 5、完全竞争市场条件下，为什么行业中所有厂商的经济利润在长期均衡时都会为零？这是否意味着厂商的生产变得没有意义？

西方经济学中所谓长期均衡时利润为零，是指经济利润为零，并不是会计利润为零。所 谓经济利润，通常也叫超额利润，就是一个厂商赚取了较之一般利润水平更高的利润。之所 以如此，这是因为，在西方经济学理论上，会计利润被计入厂商投入自有要素所应获得的报 酬，是产品的隐含成本。 之所以在完全竞争市场条件下，行业中所有厂商的经济利润在长期均衡时都会为零，首 先要先明确两个关键的前提：一是长期内，厂商能够调整全部生产要素。二，在完全竞争市 场条件下，厂商具有完全信息，且资源可以自由流动。在这两大前提下，如果某个行业存在 经济利润，也就是该行业较之其它行业能够赚取更多的利润，则该行业马上就会有新的厂商 加入，从而使市场上该产品的供给量增加，供给曲线向右移动，导致产品价格下降，经济利 润随之消失，也就是会计利润下降到和其它行业一样的水平。反过来，如果某个行业存在亏 损，也就是会计利润水平低于其它行业，则这个行业中就会有个别厂商退出，转而生产其它 更加有利可图的产品，结果这个行业产品供给量减少，价格上升，亏损消失，达到了与其它 行业一样的会计利润水平。故在完全竞争市场条件下，行业中所有厂商的经济利润在长期均 衡时都会为零。 这并不意味着厂商的生产没有意义，因为在行业达到长期均衡的时候，行业中的每一个 企业都具有最高的经济效率，平均每一个企业都能够获得同一水平的正常利润，企业的经济 利润虽为零却依旧是能够盈利的。 6、比较马歇尔需求函数（又称为瓦尔拉需求函数）和希克斯需求函 数的异同。 对应于每一个价格-财富组合（p,w ），消费者选择的消费组合成为消费需求映射。原则 上，消费需求映射可以是多值的，即对应于每一个价格-财富组（p,w ），消费者可以选择多 种消费组合。特殊情况下，消费需求映射x(p,w)是单值的，称为马歇尔需求函数（或瓦尔拉 需求函数）。 EMP 中的最优商品向量集表示为L R u p h + ?),( ，它被称为希克斯（或补偿）需求对应，如果是单值，则被称为希克斯（或补偿性）需求函数。希克斯需求函数就是反映P 变化时，保持U 不变的前提下，X 数量的变化。 7、如果单位年底发福利，你是愿意领取价值100元的大米，还是愿 意领取100元现金，请利用无差异曲线与预算约束线对你的选择做出 解释。 愿意领取100元现金，原因如下：