自动控制原理考研复习资料

第一章 自控理论基本概念

本章作为绪论，已较全面地展示了控制理论课程的全貌，叙述了今后在课程的学习中要进行研究的各个环节内容和要点，为了今后的深入学习和理解，要特别注意本章给出的一些专业术语及定义。

1、基本要求

（1）明确什么叫自动控制，正确理解被控对象、被控量、控制装置和自控系统等概念。

（2）正确理解三种控制方式，特别是闭环控制。

（3）初步掌握由系统工作原理图画方框图的方法，并能正确判别系统的控制方式。

（4）明确系统常用的分类方式，掌握各类别的含义和信息特征，特别是按数学模型分类的方式。

（5）明确对自控系统的基本要求，正确理解三大性能指标的含义。 2．内容提要及小结

（1） 几个重要概念

自动控制 在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象的被控量自动地按预先给定的规律去运行。

自动控制系统 指被控对象和控制装置的总体。这里控制装置是一个广义的名词，主要是指以控制器为核心的一系列附加装置的总和。共同构成控制系统，对被控对象的状态实行自动控制，有时又泛称为控制器或调节器。

自动控制系统??

?

?

?

?

??

?

?

?

?????????????校正元件执行元件放大元件比较元件测量元件给定元件控制装置（控制器）被控对象 负反馈原理 把被控量反送到系统的输入端与给定量进行比较，利用

偏差引起控制器产生控制量，以减小或消除偏差。

（2） 三种基本控制方式

实现自动控制的基本途径有二：开环和闭环。 实现自动控制的主要原则有三：

主反馈原则——按被控量偏差实行控制。

补偿原则——按给定或扰动实行硬调或补偿控制。 复合控制原则——闭环为主开环为辅的组合控制。 （3）系统分类的重点

重点掌握线性与非线性系统的分类，特别对线性系统的定义、性质、

判别方法要准确理解。

线性系统??→?描述

????

?

???????????→?????????

????→???????????????状态空间法时域法状态方程变系数微分方程时变状态方程频率法根轨迹法时域法状态方程频率特性传递函数常系数微分方程定常分析法分析法

非线性系统?

??

??

?????????→???→???→??????→?状态空间法相平面法

描述函数法本质线性化法

非本质状态方程非线性微分方程分析法

分析法分类描述 （4）正确绘制系统方框图

绘制系统方框图一般遵循以下步骤：

①搞清系统的工作原理，正确判别系统的控制方式。

②正确找出系统的被控对象及控制装置所包含的各功能元件。 ③确定外部变量（即给定值、被控量和干扰量），然后按典型系统方框图的连接模式将各部分连接起来。 （5）对自控系统的要求

对自控系统的要求用语言叙述就是两句话： 要求输出等于给定输入所要求的期望输出值； 要求输出尽量不受扰动的影响。

恒量一个系统是否完成上述任务，把要求转化成三大性能指标来评价： 稳定——系统的工作基础；

快速、平稳——动态过程时间要短，振荡要轻。 准确——稳定精度要高，误差要小。

解题示范

例1-1图1—1为液位自动控制系统示意图。在任何情况下，希望液面高度C维持不变。试说明系统工作原理，并画出系统原理方框图。

图1—1液位自动控制系统

解：1、工作原理：闭环控制方式。

当电位器电刷位于中点位置时，电动机不动，控制阀门有一定的开度，使水箱中流入水量和流出水量相等，从而液面保持在希望高度上。当进水或出水量发生变化，例如液面下降，通过浮子和杠杆检测出来，使电位器电刷从中点位置上移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动机通过减速器开大阀门开度，使液位上升，回到希望高度。电位器电刷回到中点，电动机停止。

2、被控对象是水箱，被控量是水箱液位，给定量是电位器设定位置（代表液位的希望值）。主扰动是流出水量。

系统的方框图如图1—2所示。

图1—2 液位自动控制系统方框图。

例1—2图1—3为自动调压系统。试分析系统在负载电流变化时的稳压过程，并绘出系统方框图。

图 1－3 自动调压系统

解：1、工作原理：顺馈控制。

当负载电流I

F

变化时，发电机G的电枢绕组压降也随之改变，造成端电压不能保持恒定，因此，负载电流变化对稳压控制来说是一种扰动。采

用补偿措施，将电流I

F 在电阻R

F

上的压降检测出来，通过放大，来改变发

电机的励磁电流I

F

，以补偿电枢电压的改变，使其维持恒定。

2、被控对象是发电机G，被量是电枢端电压U

F ，给定值是励磁电压U

F

，

扰动量是负载电流I

F

。

系统方框图为1—4所示。

图1－4自动调压系统方框图

例1－3 直流稳压电源原理图为图1—5所示，试画出方框图，分析工作原理。

图1—5 直流稳压电源原理图

解：1、工作原理：反馈控制

实际输出电压U

2由R

3

和R

4

组成分压器检测出来，与给定值U

w

进行比较，

产生的偏差电压BG

1进

↙

行放大，作用于BG

2

。由BG

2

对输出电压进行调整，

这里的偏差电压仅随U

2变化。由BG

1

反相放大后产生U

c

，这是系统的控制量。

通过BG

2进行输出电压自动调节，维持U

2

恒定。

假如U

2↙，U

a

↙，I

b1

↙, U

c

↗，I

b2

↗，U

ED

↙，U

2

↗。

若U

2↗→U

a

↗→I

b1

↗→U

c

↙→I

b2

↙→U

ED

↗→U

2

↙

图1—6 稳压电源方框图

U

1是系统的供电输入电压，若电网波动，也会使U

1

变化。因此，对系

统来说，U

1的变化是造成U

2

电压波动的干扰因素，属于扰动信号，也可以

通过反馈回路加以抑制。

2﹑控对象不是一个具体的设备，而是一个稳压过程，被控量是输出电

压U

2，给定值是U

w

，扰动量是U

1

。当然，当系统输出接负载后，负载的变

化，将对输出电压产生直接的影响，是主扰动。

例1-4 角位置随动系统原理图如图1—7所示。

系统的任务是控制工作机械角位置Q

c ，随时跟踪手柄转角Q

r

。试分析

其工作原理，并画出系统方框图。

图1—7 角位置随动系统原理图解：1、工作原理：闭环控制。

只要工作机械转角θ

c 与手柄转角θ

r

一致，两环形电位器组成的桥式电

路处于平衡状态，无电压输出。此时表示跟踪无偏差。电动机不动，系统静止。

如果手柄转角θ

r

变化了，则电桥输出偏差电压，经放大器驱动电动机转

动。通过减速器拖动工作机械向θ

r 要求的方向偏转。当θ

c

=θ

r

时，系统达

到新的平衡状态，电动机停转,从而实现角位置跟踪目的。

2、系统的被控对象是工作机械，被控量是工作机械的角位移。给定量是手柄的角位移。控制装置的各部分功能元件分别是：手柄完成给定，电桥完成检测与比较，电动机和减速器完成执行功能。

系统方框图见图1—8。

图1-8 位置随动系统方框图。

第二章自控系统的数学模型

本章讲述的内容很多,牵扯到数学和物理系统的一些理论知识,有些需要进一步回顾,有些需要加深理解，特别是对时间域和复频率域的多种数学描述方法，各种模型之间的对应转换关系，都比较复杂。学习和复习好这些基础理论，对下一步深入讨论自控理论具体方法至关重要。

1、基本要求

（1）确理解数字模型的特点，对系统的相似性、简化性、动态模型、静态模型、输入变量、输出变量、中间变量等概念，要准确掌握。

（2）了解动态微分方程建立的一般方法及小偏差线性化的方法。

（3）掌握运用拉氏变换解微分方程的方法，并对解的结构，运动模态与特征根的关系，零输入响应，零状态响应等概念，有清楚的理解。

（4）会用MATLAB方法进行部分方式展开。对低阶的微分方程，能用部分分式展开法或留数法公式进行简单计算。

（5）正确理传递函数的定义、性质和意义，特别对传递函数微观结构的分析要准确掌握。

（6）正确理解由传递函数派生出来的系统的开环传递函数，闭环传递函数，前向传递函数的定义，并对重要传递函数如：控制输入下闭环传递函数，扰动输入下闭环传递数函数，误差传递函数，典型环节传递函数，能够熟练掌握。

（7）掌握系统结构图和信号流图两种数学图形的定义和组成方法，熟练地掌握等效变换代数法则，简化图形结构，并能用梅逊公式求系统传递函数。

（8）正确理解两种数学模型之间的对应关系，两种数学图型之间对应关系，以及模型和图形之间的对应关系，利用以上知识，熟练地将它们进行相互转换。

2、内容提要及小结

本章主要介绍数学模型的建立方法，作为线性系统数学模型的形式，介绍了两种解析式和两种图解法，对于每一种型式的基本概念，基本建立方法及运算，用以下提要方式表示出来。

（1）微分方程式

???

??

?

?小偏差线性化理论简化性与准确性要求中间变量的作用

基本定律物理、化学及专业上的

基本概念 ????????

????

?

???????

??????→→→→??→?=?→?=→=→=???

??

??=微分方程传递函数由信号流图微分方程传递函数由结构图微分方程（由传递函数转换法化标准形消中间变量线性化

原始方程组直接列写法基本方法dt d

p t r p M t c p N s R s N s M s C s N s M s R s C )()()()( M(s)R(s)N(s)C(s) )()

()()()()()()1-L

??

??

??

??????????

?→直流电机调速系统磁场控制直流电动机电枢控制直流电动机

常用重要例题建模

零输入解零状态解分方程掌握拉氏变换法求解微方程求解应用 (2)传递函数

?

?

?

??????

??

?

?

?

????

?

?????????

????????

???

???????

????→单位阶跃响应特性零极点分布图

传递函数方程式标准解析式典型环节模态对应）（零极点分布图与运动传递函数极点零点微观结构一对确定的输入输出零初始条件线性定常系统比值定义：基本概念)()(s R s C

???

?

???????

????→???→???

→?→→

传递函数由信号流图传递函数由结构图图解法传递函数由微分方程定义法基本方法梅逊公式化简dt d

s ??????

???

?

?????????

?

====?????

??

=±=∑

)()(,)()()()()()(,)()()( 1)( 1)( s D s E G s D s C s G s R s E s G s R s C s G L G s G G G s G d

d r r a K εε扰动输入下：控制输入下：重要传递函数）（适用于回路两两交叉－（适用于单回路）公式及传递函数常用重要公式前前 （3）结构图

?

????????

???????

???

???

?

??函数。由梅逊公式直接求传递

相加点和分支点移位

＋开环前向反馈连接＝并联相加串联相乘用代数法则简化结构图由原始方程组画结构图基本方法支点、支路）种（方框、相加点、分构图基本元素变换

可用代数法则进行等效示数学模型结构的图形表

基本概念1 4 注意几点：

1、相加点与分支点相邻，一般不能随便交换。

2、??

?保持不变各回路中传递函数乘积

积保持不变前向通路的传递函数乘

等效原则两条 3、直接应用梅逊公式时，负反馈符号要记入反馈通路中的方框中去。

另外对于互不接触回路的区分，特别要注意相加点与分支点相邻处的情况。

4、结构图可同时表示多个输入与输出的关系，这比其它几种解析式模型方便的多，并可由图直接写出任意个输入下总响应。如：运用叠加原理，当给定输入和扰动输入同时作用时，则有C (s)＝G r (s)R (s )＋G d (s )D (s ) （4）信号流图

??

?

?????

?????代数法则同结构图一致结构图翻译成信号流图

图由原始方程组画信号流基本方法数有统一的公式求传递函种

构图元素改进二点同结构图一致基本概念2

重要公式→梅逊公式 梅逊公式?

?=

∑=n

K K

K G

G 1

注意两点：1、搞清公式中各部分含义；

2、公式只能用于等输入节点与较出节点之间的传播，不能等不含输入节点情况下，任意两混合节点之间的传较。

四种模型之间的转换关系可用图2－81表示

图2－81 模型转换

解题示范

例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。 解：(1) 设输入为y r ，输出为y 0。弹簧与阻尼器并联平行移动。

(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足∑=0F ，则对

于A 点有

021=-+K K f F F F

其中，F f 为阻尼摩擦力，F K 1，F K 2为弹性恢复力。 (3) 写中间变量关系式

图2-1 机械位移系统

220110)()

(y K F Y Y K F dt

y y d f F K r K r f =-=-?

=

(4) 消中间变量得 020110y K y K y K dt

dy f dt dy f r r

=-+- (5) 化标准形 r r Ky dt

dy

T y dt dy T +=+00 其中:2

15

K K T +=为时间常数，单位[秒]。

2

11

K K K K +=

为传递函数，无量纲。

例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。 (1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程

解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角θ ，摆球质量为m 。 （2）由牛顿定律写原始方程。

h mg dt

d l m --=θθ

sin )(22

其中，l 为摆长，l θ 为运动弧长，h 为空气阻力。

（3）写中间变量关系式 )(dt

d l

h θα= 式中，α为空气阻力系数dt

d l

θ

为运动线速度。 （4）消中间变量得运动方程式

0s i n 22=++θθ

θmg dt d al dt

d ml （2-1) 此方程为二阶非线性齐次方程。

（5）线性化

由前可知，在θ ＝0的附近，非线性函数sin θ ≈θ ，故代入式（2-1）可得线性化方程为

022=++θθ

θmg dt d al dt

d ml 例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。

图2-2 单摆运动

解：（1）设输入量作用力矩M f ，输出为旋转角速度ω 。 （2）列写运动方程式 f M f dt

d J

+-=ωω

式中， f ω为阻尼力矩，其大小与转速成正比。

（3）整理成标准形为

f M f dt

d J

=+ωω

此为一阶线性微分方程，若输出变量改为θ，则由于 dt

d θω= 代入方程得二阶线性微分方程式

f M dt d f dt

d J =+θ

θ22 例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。

倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65

所示平面内运动。控制力

图2-3 机械旋转系统

图2-4 倒立摆系统

u 作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A 。试求该系统的运动方程式。

解：(1) 设输入为作用力u ，输出为摆角θ 。

(2) 写原始方程式，设摆杆重心A 的坐标为（X A ，y A ）于是 X A ＝X ＋l sin θ X y = l cos θ

画出系统隔离体受力图如图2－5所示。

摆杆围绕重心A 点转动方程为：

θθθ

cos sin 22Hl Vl dt

d J -= （2－2）

式中，J 为摆杆围绕重心A 的转动惯量。 摆杆重心A 沿X 轴方向运动方程为：

H dt

x d m

A =2

2

即 H l x dt

d m =+)sin (22

θ （2－3）

摆杆重心A 沿y 轴方向运动方程为： mg V dt y d m A -=2

2

即 mg V l dt d m -=)cos (2

2θ

小车沿x 轴方向运动方程为：

H u dt

x

d M -=22

方程（2－2），方程（2－3）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin θ 和cos θ 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。

图2-5 隔离体受力图

(3) 当θ 很小时，可对方程组线性化，由sin θ ≈θ，同理可得到cos ≈1则方程式(2－2)式（2－3）可用线性化方程表示为：

???

????????-=-==+-=H u dt

x

d M mg V H dt

d ml dt x d m Hl Vl dt d J 222222220θθθ

用22

2

dt

d S =的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V 、H 、X 得

u g m M s J ml

m

M Ml =+++--θθ)()(2 将微分算子还原后得

u dt

d g m M dt d l J ml MJ Ml -=+-++θ

θ)()(22 此为二阶线性化偏量微分方程。

例2-5 RC 无源网络电路图如图2－6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数U c (s )/U r (s )。

解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即：

)()

()

(s Z s I s U = 如果二端元件是电阻R 、电容C 或电感L ，则复阻抗Z (s )分别是R 、1/C s 或L s 。

(1) 用复阻抗写电路方程式：

s

C S I S V R S U S U S I s

C S I S I S U R S U S U S I c c c c C r 222221212111

111)()(1

)]

()([)(1)]()([)(1)]()([)(?

=-=?

-=?-=

(2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC 网络结构图，见图2－6（a ）。

图2-6 RC 无源网络

(3) 用结构图化简法求传递函数的过程见图2－6（c ）、(d )、(e )。

(4) 用梅逊公式直接由图2－6(b ) 写出传递函数U c (s )/U r (s ) 。

?

?=

∑K

G G K

独立回路有三个：

S C R S C R L 11111

11-=?-= S C R S C R L 22222111-=?-= S

C R R S C L 12213111-=?-

= 回路相互不接触的情况只有L 1和L 2两个回路。则 2

221121121S C R C R L L L ==

由上式可写出特征式为：

2

2211122211213211

1111)(1S C R C R S C R S C R S C R L L L L L +

+++

=-++-=?

通向前路只有一条

2

21212211111111S C C R R S C R S C R G =???=

图2-6 RC 无源网络结构图

（a ）

（b ）

（c ）

（d ）

由于G 1与所有回路L 1，L 2， L 3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为

Δ1=1

代入梅逊公式得传递函数

1

)(1

111111

212211221212

22111222112

221111++++=++++=

??=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C R s C R s C R s C R C R G G 例2-6 有源网络如图2－7所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图2－8所示PI 调节器，写出传递函数。

解：图2-7中Z i 和 Z f 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设A 点为虚地，即U A ≈0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：I 1 = I 2 则有： )

()()()()()(21s Z s I s U s Z s I s U f c i i -==

故传递函数为

)

()()()

()(s Z s Z s U s U s G i f i c -== （2－4）

对于由运算放大器构成的调节器，式（2－4）可看作计算传递函数的一般公式，对于图2-8所示PI 调节器，有

1)(R s Z i =

CS

R s Z f 1

)( 2+

= 故

CS

R CS R R CS R s Z s Z s G i f 121211

)

()()( +=+

=

-= 例2-7 求下列微分方程的时域解x （t ）。已知3)0(,0)0(==x

x 。

063

2

2=++x dt

dx

dt x d 解：对方程两端取拉氏变换为：

0)(6)0(3)(3)0()0()(2=+-+--s X x s SX x

Sx s X S

图2-8 PI 调节器

图2-7 有源网络

代入初始条件得到

3)()63(2=++s X S S 解出X （s ）为：

2

22)

2

15()5.1(2

15

5

3

2633)(++=

++=

S S S s X

反变换得时域解为：

)2

15sin(

5

32)(5.1t e t x t =

例2-8 已知系统结构图如图2-9所示，试用化简法求传递函数C (s )/R (s )。

解：（1）首先将含有G 2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-10（a ）所示。

（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-10（b ）。 （3）最后将两个方框串联相乘得图2-10（c ）。

例2-9 已知系统结构图如图2-11所示，试用化简法求传递函数C (s )/R (s )。

解：

（1）将两条前馈通路分开，改画成图2-12（a ）的形式。

（2）将小前馈并联支路相加，得图2-12（b ）。

图2-10 系统结构图的简化

图2-9 系统结构图

图2-11 系统结构图

（3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2-12（c ）。

例2-10 已知机械系统如图2-13（a ）所示，电气系统如图2-13（b ）所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。

解：（1）若图2-13（a ）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同，串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。 微分方程组为：

??

?

??=-=-+-=+=y K F y x

f F x x K x x

f F F F i i 202010121)()()(

取拉氏变换，并整理成因果关系有：

图2-12 系统结构图

2-13 系统结构图

（a ）机械系统

（b ）电气系统

?????

?

???

??+=

=

-+=)()(1

)()(1)()]()()[(()(202

011s y s F s f s x s F K s y S x s x K s f s F i 画结构图如图2－14：

求传递函数为：

s

k f s k f s k f s k f s k f s f k s f k s f k s f k s X s X i 1

222112

211221122110)1)(1()

1)(1( )11)((1)11)(

()

()(+++++=

+++++= （2）写图2-13（b ）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。 运动方程可直接用复阻抗写出：

???

?

?

?

???+=-=

-+-=+=)()()]()([1)()]()([()]()([1)()(22202

01121s E s C s I s E s E R s I s E s E s C s E s E R s I s I s I C c i i i 整理成因果关系：

????

?????

+==

-+=)()()(1

)()]()()[(1()(22022011s E IR s E s I S

C s E s E s E s C R s I C c i

图2-14 机械系统结构图

画结构图如图2-15所示：

求传递函数为：

S C R s C R S C R S C R S C R S

C R S C R S C R s C R s E s E i 2122112211221122110)1)(1()

1)(1( )

1)(11(1)

1)(1(

)()(+++++=+++++=

对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表2-1。 表2-1 相似量

例2-11 RC 网络如图2-16所示，其中u 1为网络输入量，u 2为网络输出量。 （1）画出网络结构图； （2）求传递函数U 2(s )/ U 1(s )。 解：（1） 用复阻抗写出原始方程组。 输入回路

s C I I I R U 2

211111

)

(++= 输出回路

s

C I I I R U 2212221)(++= 中间回路 21211)1

(I s

C R R I ?+

= （3）整理成因果关系式。

?????

?+-=

s C I I U R I 22

111

11)(1

??

?

???+=1121112s C R s C R I I

s

C I I I R U 2212221

)

(++= 即可画出结构图如图2-17 所示。

图2-15 电气系统结构图

图2-16 RC 网络

（4） 用梅逊公式求出：

?

?+?+?=3

3221112G G G U U s

C s C R s C s C R R s C R s C s C s C R s C s C R 2121212

1212121211

11111

11?

+++++?++=

1

)(1)(1112212

212112122121+++++++=

s C R C R C R s C C R R s C R R s C C R R

例2-12 已知系统的信号流图如图2-18所示，试求传递函数C (s )/ R (s )。

解： 单独回路4个，即

∑----=21321G G G G G L a

两个互不接触的回路有4组，即

∑+++=321323121G G G G G G G G G L

L c

b

三个互不接触的回路有1组，即

∑-=321G G G L

L L f

e

d

于是，得特征式为

3

21323121321221 1G G G G G G G G G G G G L

L L L L L f

e

d

c

b a

+++++++=-+-

=?∑∑∑

从源点R 到阱节点C 的前向通路共有4条，

其前向通路总增益以及余因子式分别

图2-17 网络结构图

图2-18 信号流图