(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系

三角形中的边角关系

知识点

一、 边

1、基本概念（三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △）

2、按边对三角形的分类：≠??

??????

不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形

☆3、三边关系：

（1）任意两边之和大于第三边 （2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角

1、基本概念（ 内角、外角、∠ ）

2、按角对三角形的分类：????

????

锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形

3、三角形的内角和

（1）三角形三个内角和等于180° （2)直角三角形的两个锐角互余

（3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角） 三、线

1、中线

(1) 定义 （2） 重心 （3）中线是线段 （4） 表述方法 2、高线

（1）定义 （2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线 （4）表示方法 （5）3种高的画法 3、角平分线

（1）定义 (2)外心 （3）画法 （4）表示方法 四、数三角形的个数

（1）图形的形成过程 （2）三角形的大小顺序 （3）按某一条边沿着一定的方向 （4）固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数

基础练习

1、图中有____个三角形；其中以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有______________；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________.

2、用集合来表示“用边长把三角形分类”，下面集合正确的是（ ）

A B C D

3、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值范围是_________________________

4、一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是___________________________

5、有3cm,6cm,8cm,9cm 长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成_____个三角形

6、已知,,a b c 是ABC V 的三条边，且()()0a b c a b ++-=，则ABC V 是__________三角形

7、已知,,a b c 是ABC V 的三条边，b ，c 满足2

(2+30b c --=），且a 为方程42x -=的解，则△ABC 的周长为

____________

8、已知△ABC 的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰三角形ABC 有__________个 9、下列说法正确的是_____________________

(1) 有两边相等的三角形一定是等腰三角形 （2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 （3）一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形

（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 (5) 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形

10、若一个三角形的三个内角之比为2:3:4，那么这个三角形是____________三角形 11、作出下列三角形的所有中线、角平分线、高

12、填空：

（1）如图①，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为________. （2）如图②，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 比△ACD 的周长大6cm ，则AB 与AC 的差为________.

（3）如图③，在△ABC 中，AD ⊥BC ，GC ⊥BC ，CF ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、C 、F 、E ，则______是△ABC 中BC 边上的高，______是△ABC 中AB 边上的高，______是△ABC 中AC 边上的高，CF 是△ABC 的高，也是△______、△______、△______、△______的高.

图① 图② 图③ 提升练习

专题训练一 三角形的三边关系 13、若,,a b c 是ABC V 的三边长，请化简a b c b c a c a b --+--+--

14、若△ABC 的两边长之比为2:3，三边长都是整数且周长为18cm ，求各边的长。

15、设三角形的三条边长为整数,c a b ，，且a b c ≤≤，当4b =，满足条件的三角形共有多少个？其中等腰三角形有多少个？等边三角形有多少个？

专题训练二 三角形的角的关系

第16题 第17题 第18

题 第19题

16、如上图，已知点P 是射线ON 上一动点（即P 可在射线ON 上运动），∠AON =30°，当∠A =______时，△AOP 为直角三角形；当∠A 满足_____________时，△AOP 为钝角三角形．

17、如右图，在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B ，∠C 越来越大．若∠A 减小x °，∠B 增加y °，∠C 增加z °，则z y x ,,之间的关系是（ ）

A 、z y x +=

B 、z y x -=

C 、y z x -=

D 、180=++z y x °

18、在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=

19、如图，是由三个正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3等于 20、如图所示，把一个三角形纸片ABC 的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是

专题训练三三线+周长+面积

第21题第24题第25题第26题

21、如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是________________

22、在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长分别为多少？

cm,AD是△ABC的中线，则△ADC的面积是___________

23、已知△ABC的面积是182

24、如图，在△ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD上的中点，且S△ABC=4cm2，则S△BEC的值为_________

25、如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为18cm2，则△BEF的面积为_____________

26、如图，△ABC的面积为12，D是AB边的中点，E是AC边上一点，且AE=2EC，O是DC与BE的交点，S△DBO=a，S△CEO=b，则a﹣b=．

第27题第28题

27、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=_______

28、在△ABC中，如图，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，CD与BE交于点F，若∠DFE=120°，则∠A=_______ 探究练习

探究一、数三角形的个数

29、若n为三角形底边的顶点数，则第n个图形中三角形的个数是_________________

探究二、三角形边之间的不等关系的应用

30、如图1，D为△ABC的边AC上任意一点，连接BD，E为BD上的任意一点，连接CE

（1）用不等号填空

AB+AC_____________DB+DC

DB+DC_____________EB+EC

图1 图2 图3

（2）如图2所示，P是三角形内部的任意一点，探索AB+AC与PB+PC的大小

（2）如图3所示，M, N是△ABC内任意两点，试探索AB+AC与BM+MN+NC的大小关系，并写出探索过程。

31、4个村庄A、B、C、D的位置如图所示，现在要建一个供水站H，试问H建在何处，才能使得它到4个村庄的距离之和HA+HB+HC+HD最小，请说明理由。

探究三、两个内角平分线的交点

32、如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O、

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=_________________

（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=________________

（3）若∠A=76°，则∠BOC=____________

（4）若∠BOC=120°，则∠A=______________

（5）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？

课后练习

1、如图，以下是三角形的角平分线、中线、高的画法，其中错误的个数有（）

A、0个

B、1个

C、2个

D、3个

2、长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）

A、1种

B、2种

C、3种

D、4种

3、如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）

A．40° B．45° C．50° D．54°

4、如图所示，AD,AE分别是Rt△ABC的高和中线，已知AB=6 cm，AC=8 cm，BC=10cm，试求：

（1）AD的长；

（2）△ABE的面积；

（3）△ACE和△ABE的周长的差.

5、等腰三角形的周长是30cm

(1)若底边长为x，腰长为y，求y 和x的函数关系式，并写出自变量的取值范围

（2）若底边长为y，腰长为x，求y 和x的函数关系式，并写出自变量的取值范围

6、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B．

（1）如图1，若AD⊥BC于D，∠C=60°、∠B=40°则∠DAE=________；

（2）如图2，若点P是AE上一动点，过点P作PG⊥BC于G，则∠EPG与∠C、∠B之间的数量关系是_______________________；

（3）如图3，若点P是AE延长线上一点，过点P作PG⊥BC于G，则∠EPG与∠C、∠B之间有何相等关系？画出图并证明你的结论．

沪科版二次函数与相似三角形综合测试题

二次函数与相似三角形综合测试提高题 （本卷满分150分， 考试时间120分钟） 一选择题： （每题4分，共40分） 1、下列函数是二次函数的是：（ ） A 、2(2)(2)(1)y x x x =+--- B 、y = C 、21y x x =+D 、20y x -= 2、已知2=a ，4=b ，c 5=，则a 、b 、c 的第四比例项为（ ） A 、 10 B 、 5.2 C 、 8 D 、 22 3、把二次函数221y x x =--配方成顶点式为（ ） A 、2(1)y x =- B 、2(1)2y x =-- C 、2(1)1y x =++ D 、2(1)2y x =+- 4．下列每一组中两个图形相似的是 （ ） A 、两个等腰三角形，每个三角形都有一个内角为?30 B 、邻边的比都等于2的两个平行四边形 C 、 底角为?45的两个等腰梯形 D 、有一个角是?120的两个等腰三角形 5、二次函数的图象上有两点(1，－3)和(4，－3)，则此拋物线的对称轴是（ ） A 、x ＝1 B 、x ＝2 C 、x ＝3 D 、x ＝2.5 6、函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A 、3k < B 、30k k <≠且 C 、3k ≤ D 、30k k ≤≠且 7、直角坐标平面上将二次函数2y 2(x 1)2-＝－－的图象向左平移１个单位， 再向上平移１个单位，则其顶点为（ ） A 、(0，0) B 、(1，－2) C 、(0，－1) D 、(－2，1) 8、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则abc ， 24b ac -，2a b +，a b c ++这四个式子中，值为正数的有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个

八年级上册数学三角形测试题

三角形测试题 一、选择题 1．下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（ ） 2．已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 3．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．属于哪一类不能确定 4．如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高， DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 5．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ， 则∠AOC+∠DOB=（ ） A 、900 B 、1200 C 、1600 D 、1800 6．以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 7．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 8．如图，一面小红旗其中∠A=60°, ∠B=30°,则∠BCD= 。 9．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE 是 度。 第5题图 第6题图

沪科版数学八年级上册：15.3《等腰三角形》教案

《15.3 等腰三角形第一课时》教学设计 一、内容及内容解析 1．内容 上海科学技术出版社八年级上册第十五章第三节等腰三角形第一课时．内容为等腰三角形的轴对称性，等腰三角形角的性质，三条重要线段的性质．2．内容解析 等腰三角形是一种特殊的三角形形，是“图形与几何”部分最基本的几何图形之一，它在生活中有着十分广泛的应用．按照图形概念的从属关系，等腰三角形首先是三角形，是三角形中的一类特殊图形，两条边相等是等腰三角形的本质属性． 学生在小学就已经认识了等腰三角形并了解了它的相关性质，初中阶段研究等腰三角形与小学最大的不同是构建等腰三角形相关知识的逻辑结构体系，利用轴对称和全等三角形的相关知识用逻辑推理的方法研究等腰三角形的性质，在研究与应用中进一步发展学生的数学抽象、几何直观和推理能力．等腰三角形是三角形和轴对称知识的延续和发展，也是后续学习四边形的基础，在教材中起到承上启下的作用．作为特殊的三角形，承载着单元知识以及学习方法、研究方向的引领作用．基于之前等腰三角形的学习经验，明确研究几何图形的一般思路：定义——性质——判定——应用，主要从几何图形的构成要素（边、角）和相关要素（三条重要线段）入手，经历观察、猜想、验证等过程来探究等腰三角形的性质．学生掌握了等腰三角形的研究思路和研究方法，才能运用类比的方法，进一步自主学习特殊的四边形如等腰三角形、菱形、正方形相关知识，真正实现由学会到会学的目的．等腰三角形的性质还为证明线段相等、角相等提供新的方法和依据． 教材中等腰三角形这一内容安排了三课时，第一课时研究等腰三角形的定义及性质；第二课时应用性质解决简单问题；第三课时等腰三角形的判定．本节课是第一课时，主要从角，三条重要线段两方面探究等腰三角形的性质，进一步积累几何图形的研究思路和研究方法，在探究中将特殊三角形问题转化为全等三角形和轴对称问题，对于培养演绎推理、训练数学思维、积累活动经验等方面起

人教版八年级数学上册三角形

第十一章三角形全章教案 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 7.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 7.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 7.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 7.4课题学习镶嵌…………………………………………… 1课时 本章小结………………………………………………………… 2课时 11．1．1三角形的边 【教学目标】 1、知识与技能、理解三角形的表示法，分类法以及三边存在的关系，发展空间观念。 2、过程与方法： ⑴经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单，最基本的几何图形，提高推理能力。 ⑵培养学生数学分类讨论的思想。 3、情感态度与价值观： ⑴培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价

八年级上册数学三角形教案

1.1与三角形有关的线段 11.1.1三角形的边 「引入课」三角形的引入 视频助学学习洋葱数学视频【三角形的引入】 「概念课」三角形的分类 学习目标 ? 了解三角形的分类方法 ? 了解等腰三角形与等边三角形的定义 视频助学 请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．． 【三角形的分类】，然后完成引导问题下方的摘要填空． 引导问题1 三角形如何按角进行分类？（00:00-00:26） 1. 三角形按角分类可以分为a ：___________、b ：____________和c ：_____________． 引导问题2 三角形如何按边进行分类？（00:26-03:07） 2. 等腰三角形：有________相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做________，另外一条边叫做________，腰和底边的夹角叫做________．如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，B ∠和C ∠是____角，且B ∠____C ∠． 3. 等边三角形：____边相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的________三角形．如图中，等边三角形ABC 中， ______AB ==，且______60A ===?∠． 4. 三角形按边分类可分为：三边都不相等的三角形和________________． 线上练习 完成视频后相应的【专项练习】 提出疑问 预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来： ______________________________________________________________________ 扫码边看边学

人教版八年级数学上册：三角形综合应用(讲义及答案)

三角形综合应用（讲义） 知识点睛 在三角形背景下处理问题的思考方向： 1. 三角形中的隐含条件是： 边：_______________________________________________． 角：①______________________________________________； ②_____________________________________________． 2. 角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题． 3. 高线出现时考虑__________或__________． 精讲精练 1. 现有3 cm ，4 cm ，7 cm ，9 cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形， 那么可以组成的三角形的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框， 中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A ．5 B ．6 C ．7 D ．10 3. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角； ②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 4. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落 在△ABC 内，则∠1+∠2=_________． C 2 1 A A B C D E 第4题图 第5题图 5. 如图，一个五角星的五个角的和是________． 6. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________． 第2题图

沪科版九上数学相似三角形知识点总结 (2)

沪科版九上数学图形的相似 知识点总结 知识点一 1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。 2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点二：比例线段 1.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d c b a =（或a ：b=c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 2.比例性质的基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=??， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． 知识点三：黄金分割 1. 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2 15-=≈0.618AB 。 知识点四：相似三角形 1.相似三角形：两个三角形中，如果三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三 角形。 如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。 2.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

人教版八年级上册数学三角形讲义(wrod版)

课时1 三角形 【知识框架】 【知识点&例题】 知识点一：三角形的三边关系 三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 例1：下列各组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A 、3 cm ， 4 cm ，8 cm B 、8 cm ，7 cm ，15 cm C 、5cm ， 5cm ，11cm D 、13 cm ，12 cm ， 20 cm 理论依据：两点之间线段最短 应用：（1）判断能否组成三角形 （2）已知两边，求第三边范围

【变式一】若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ） A 、5 cm B 、8 cm C 、10 cm D 、17 cm 例2：一个三角形两边的长分别为5和3，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是（ ） A 、2或4 B 、4或6 C 、4 D 、2或6 【变式一】（1）已知一个三角形两边长为5和7，则周长l 的取值范围是___________; （2）周长为12，且三边长都是正整数的三角形有__________个。 【变式二】若a ，b ，c 分别为三角形的三边，化简 ：b a c a c b c b a +-+--+-- . 知识点二：三角形的特殊线段

例3：下列叙述中错误的一项是（） A、三角形的中线、角平分线、高都是线段 B、三角形的三条高中至少有一条在三角形内部 C、只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形 D、三角形的三条角平分线都在三角形内部 例4：如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为cm． 【变式一】（1）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD⊥BC于D，且AE 平分∠BAC，求∠EAD的度数． （2）上题中若∠B＝40°，∠C＝80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系？并说明理由． 知识点三：三角形的分类

《等腰三角形》教案沪科版八年级上doc

.《等腰三角形》教案(沪科版八年级上)doc

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16.3等腰三角形教案 教材分析： 本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。教材通过学生对等腰三角形的叠合操作，得出等腰三角形的轴对称性，给出了等腰三角形的性质1，并对性质1进行了证明，从性质1的证明过程中，得出等边三角形性质及等腰三角形性质2，这里“等边对等角是今后证明两角相等常用方法之一，而等腰三角形的“三线合一”是今后证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据。 教学目的： 1、经历操作、发现、猜想、证明的过程，培养学生的逻辑思维能力； 2、掌握等腰三角形的性质及其两个推论； 3、运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算 教学重难点： 重点是等腰三角形的性质定理及其证明；难点是“三线合一”的理解及例1的讲 解 关键：运用观察、操作来领悟规律，以全等三角形为推理工具，在交流中突破难点 教学方法：直观教学发现法和启发诱导教学法，与学生实践操作、合作探究 教具：长方形纸片、剪刀、自制等腰三角形纸片 教学过程 一、创设情景，引入新知 活动1：请同学们把一张长方形的纸片对折，剪去（或用刀子裁）一个角，再把它展开，得到的是什么样三角形? 教师示范操作，然后学生跟着动手操作，观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的；剪出的图形是等腰三角形”，根据学生回答，板书：等腰三角形 师生共同回顾：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角 教师提问：剪出的三角形是轴对称图形吗？你能发现这个三角形有哪些特点吗？说一

A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题练习

相似三角形的判定 一．知识点讲解 1. 相似三角形的定义 （1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。 如图所示，ABC ?与DEF ?相似,记作“ABC ?∽DEF ?”，读作ABC ?相似于DEF ? 。 （2）相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。 （3）注意：①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 ②相似三角形相似比是有顺序的。 ③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。 ④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 2.平行线截三角形相似的定理 （1）平行线截三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 （2）数学表达式： BC DE //Θ ABC ?∴∽DEF ? 3.相似三角形的判定定理 （1）判定定理1：AA 文字语言 数学语言 图形 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （简记为：两角分别相等的两个三 角形相似。） //,B B A A ∠=∠∠=∠Θ ABC ?∴∽///C B A ? （2）判定定理2：SAS 文字语言 数学语言 图形 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个三角形相似。 （简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。） / ////,A A C A AC B A AB ∠=∠=且Θ ABC ?∴∽/ //C B A ? （3）判定定理3：SSS 文字语言 数学语言 图形 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 （简记为：三边成比例的两个三角形相似。） / /////C B BC C A AC B A AB = =Θ ABC ?∴∽///C B A ? （4）判定定理4：HL 文字语言 数学语言 图形 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。 （简记为：三边成比例的两个三角 形相似。） / /////C B BC C A AC B A AB ==Θ ABC ?∴∽///C B A ?

八年级上册数学三角形经典好题附答案

1、如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、 间的距离不可能是（） A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米 2、一个三角形的两边分别是5和11，若第三边是整数，则这个三角形的最小周长是( ) A．21 B．22 C．23 D．24 3、如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF＝4cm2， 则S△ABC的值为…………………………………………………………………（） A．1cm2 B．2cm2 C．8cm2 D．16cm2 4、按照定义，三角形的角平分线（或中线、或高）应是（） A.射线 B.线段 C.直线 D.射线或线段或直线 5、如图，在△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是…………………………（） 6、若三角形三条边长分别是3，1-2a，8，则a的取值范围是（） A．a>-5 B．-5-2或a<-5 7、如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠B的平分线，若∠BDC=72°，则∠A等于（）

A．16°B．36°C．48°D．60° 8、如图，△ABC中，，点D、E分别在AB、AC上，则的大小为（） A、 B、 C、 D、 9、如图，已知，∠1=130o，∠2=30o，则∠C=． 10、如图，小林从点向西直走12米后，向左转，转动的角度为，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点，则（） A． B． C． D．不存在 11、如图，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（） A．230°B．210°C．130°D．310° 12、如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=

沪科版八年级数学上册第13章单元测试卷

沪科版八年级数学上册第13章单元测试卷 一、选择题 1.已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值（） A.11 B.5 C.2 D.1 2. 等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则此三角形的周长是（） A．15 cm B．20 cm C．25 cm D．20 cm或25 cm 3. 命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短； ⑤直线都相等.其中真命题有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 5.下列命题中，是假命题的是（） A.对顶角相等 B.同旁内角互补 C.两点确定一条直线 D.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 6. 对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（） A．∠1=50°，∠2=40°B．∠1=50°，∠2=50° C．∠1=∠2=45°D．∠1=40°，∠2=40° 7. 不一定在三角形内部的线段是（） A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 C.三角形的高 D.以上皆不对 8. 如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是（） A. 180° B.360° C.540° D.720° 9. 下面关于基本事实和定理的联系说法不正确的是（） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理也是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明 10.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于（） A.45° B.60° C.75° D.90° 二、填空题 11.如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE 的大小是＿＿＿＿＿度．

沪科版-数学-八年级下册-16.3等腰三角形 等腰三角形新题类析

等腰三角形新题类析 等腰三角形作为特殊的三角形，它广泛的存在于我们的生活中，与我们密切相拌。它有着众多的美妙的性质，是近年来各地的中考题的热点之一，下面就有关等腰三角形的新题型作一些介绍，供同学们参考。 一、修改条件题 例1、如图1，在Rt ABC △中，90C M ∠=，是AB 的中点，AM AN MN AC =，∥． （1）说明：MN AC =； （2）如果把条件“AM AN =”改为“AM AN ⊥”，其它条件 不变，那么MN AC =不一定成立．如果再改变一个条件，就能使 MN AC =成立．请你写出改变的条件并说明理由． 分析：（1）连结CM ，说明△AMN ≌△MAC 即可；（2）要使MN=AC 成立，可使△AMN ≌△MAC ，只需∠AMC=90°即可。又M 是AB 的中点，所以只需将条件“∠C=90°”换成“AC=BC ”，根据等腰三 角形的“三线合一”的性质即可得到∠AMC=90°。 解：（1）连结CM ，因为∠C=90°，M 是AB 的中点，所以CM=AM ， 所以∠ACM=∠MAC ，因为AM=AN ，所以∠ANM=∠AMN ， CM=AM=AN ，因为MN ∥AC ，所以∠AMN=∠MAC ，所以∠ACM= ∠MAC=∠ANM=∠AMN ，所以△AMN ≌△MAC ； （2）将条件“∠C=90°” 改为“AC=BC ”。因为AC=BC ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ，所以∠CMA=90°，因为AM ⊥AN ，所以∠MAN=90°，所以∠CMA=∠MAN =90°，因为MN ∥AC ，所以∠AMN=∠MAC ，又因为AM=MA ，所以△AMN ≌△MAC ，所以MN=AC 。 二、探索结论题 例2、如图2，已知ABC △的面积为3，且AB=AC ，现将ABC △沿CA 方向平移CA 的长度得到EFA △． （1）求ABC △所扫过的图形面积． （2）探究：AF 与BE 的位置关系，并说明理由． 分析：（1）△ABC 所扫过的图形是四边形CBFE ，要求四边形CBFE 的面积，关键是求出△BAF 的面积，而根据条件易证△ABC ≌△BAF ；（2）通过观察可猜想AF 与BE 互相垂直平分， 利用等腰三角形的“三线合一”的性质即可进行证明。 解：（1）根据平移的性质，可得BC ∥AF ，BC=AF ，△ABC ≌△AFE ，则∠CBA=∠FAC ，又因为AB=BA ，所以△ABC ≌△BAF ，所以△ABC 所扫过的图形是四边形CBFE 的面积=3S △ABC =9； （2）因为△ABC ≌△BAF ，所以AC=BF ，又AB=AC ，所以AB=FB ，∠CBA=∠BCA ，根据平移的性质，可得AB=AC=EA=EF ，所以AB=FB=EA=EF ，又因为∠BCA=∠FAE ，所以∠BAF=∠FAC ，所以AF 垂直平分BE ，又因为EA=EF ，所以BE 垂直平分AF ，所以AF 与BE 互相垂直平分。 三、结论辨析题 例3、如图3，已知AB=AC,∠A=36o ，AB 的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ．有下 面3个结论： ①射线BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形； ③△AMD ≌△BCD ． B F E C A (C ) 图2

沪科版-数学-九年级上册-九上23.2 相似三角形的判定(一)教案

23．2 相似三角形的判定（一） 本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并 具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定 定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面， 不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理 的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本 节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握分析、比较、 类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位． 知识与技能目标： （1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角． （2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”． 过程与方法目标： （1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力． 情感与态度目标： （1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷． （2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦． 相似三角形判定定理的预备定理的探索 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 探究法 多媒体课件直尺、三角板 一、课前准备 1、全等三角形的基础知识 2、三角形中位线定理及其证明方法 3、平行四边形的判定和性质 4、相似多边形的定义 5、比例的性质 二、复习引入 （一）复习1、相似图形指的是什么？ 2、什么叫做相似三角形？ （二）引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似.

人教版八年级上册数学三角形教案

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 第十一章三角形全章教案 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计

人教版八年级数学上册三角形测试题

4题图 B D C 三角形检测题（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1.如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的（ ）． A ．1 B ．9 C ．3 D ．10 2．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．22 C ．17或22 D ．13 3．适合条件∠A= 12∠B=1 3 ∠C 的△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 4．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（ ） A ．30° B ．75° C ．105° D ．30°或75° 5．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6．一个三角形的三个内角中 （ ） （ ） A 、至少有一个钝角 B 、至少有一个直角 C 、至多有一个锐角 D 、 至少有两个锐角 7.如图7-6，下列说法中错误的是（ ）． A ．∠1不是三角形ABC 的外角 B ．∠B <∠1＋∠2 C ．∠AC D 是三角形ABC 的外角 D ．∠ACD >∠A +∠B 8、如图4，若∠A=15°，∠B=65°，∠D=25°，则∠CEH 等于( ) A. 120° B. 115° C. 110° D. 105° 9.多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（ ）． A ．7条 B ．8条 C ．9条 D ．10条 10．如图1，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A=∠1+∠2 C ．3∠A=2∠1+∠2 D ．3∠A=2（∠1+∠2） (10题) (13题) （16题） 二、填空题（每题3分，共30分） 11．三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是________． 12．四条线段的长分别为5cm 、6cm 、8cm 、13cm ，?以其中任意三条线段为边可以构成___个三角形． 13．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于________． 14．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正______边形． 15．n 边形的每个外角都等于45°，则n=________． 16如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，则∠BOC 的度数是_____． 17.P 为?ABC 中BC 边延长线上的一点，∠A=50°，∠B=80°，则∠ACP=_____ 18.从八边形的一个顶点出发，可以引______对角线，把八边形分成______个三角形. 19.已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角是_________. 20.在四边形ABCD 中，若∠A+∠B=∠C+∠D ，∠C=2∠D ，则∠C=___________. 三、解答题(每题8分) 1.一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数。 第7题

沪科版八年级上册数学第十三章一次函数练习题(附解析)

沪科版八年级上册数学第十三章 一次函数练习题 一、单选题 1、函数y=3x ﹣4与函数y=2x+3的交点的坐标是（ ） A ．（5，6） B ．（7，﹣7） C ．（﹣7，﹣17） D ．（7，17） 2、已知一次函数y=kx ﹣k ，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图象经过（ ） A ．第一，二，三象限 B ．第一，二，四象限 C ．第二，三，四象限 D ．第一，三，四象限 3、函数y=-x-1的图像不经过（ ）象限． A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四 4、若点P （a ，b ）在第二象限内，则直线y=ax+b 不经过（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5、如图表示某加工厂今年前5个月每月生产某种产品的产量c （件）与时间t （月）之间的关系，则对这种产品来说，该厂（ ） 6、一次函数 4+-=x y 和12+=x y 的图象的交点个数为（ ）个 A 、没有 B 、一 C 、两 D 、无数 7、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S ，则S 等于（ ）． A ．6 B ．12 C ．3 D ．24 A ．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月产量逐月减小 B ．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月产量与3月持平 C ．1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月产量均停止生产 D ．1月至3月每月产量不变， 4、5两月均停止生产 A ．加油前油箱中剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）的函数关系是y=﹣8t+25

8、张师傅驾车从甲地 到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（ ）． 9、如果直线经过第一、二、四象限，则m 的取值范围是（ ） A 、m<2 B 、m>1 C 、m ≠2 D 、1

沪科版八年级数学15.3《等腰三角形》专题训练解析版

15.3 《等腰三角形》专题例举 专题一 等腰三角形知识的应用 1.如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点. 2.如图,已知△ABC 为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,并且使AE =BD ,连结CE 、 DE .求证:EC =ED . 专题二 等腰三角形操作题 3.在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点 为格点Ａ，其余顶点从格点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ中选取，并且所画的两个三角形不全等． 4.东风汽车公司冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，如图1，其中AB=AC ，该冲压厂为了降低汽车零件的成本，变废为宝，把这些废料加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形。 现在要把如图1所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割次数最多两次（切割的损失忽略不计）。 （1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明； （2）若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），则该三角形应满足什么条件？ B H G C D A B H G C D A 图① 图② A D 1 B M C E

专题三等腰三角形探究题 5.下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题: 学习等腰三角形后，庞老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．” 同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝”，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．． (1)假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？ (2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示) 6.已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA 上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点． （1）请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？ （2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由． 【知识要点】 1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形. 2.等腰三角形的两底角相等,等边三角形的三个内角相等,每个内角都等于60°,等腰三角形的顶角平分线垂直于底边并且平分底边. 3.有两个角相等的三角形是等腰三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【温馨提示】 1.在等腰三角形中,若说边或角时,一般都明确指出是腰还是底边,是顶角还是底角,若题目没说明,要分类讨论. 2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角,而底角只能是锐角. 3.等边三角形是特殊的等腰三角形,它不仅具有一般三角形的性质,而且还具有自身特有的性质. 【方法技巧】 1.在与等腰三角形有关的一些命题的证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角的平分线、底边上的高、底边上中线是常见的辅助线,具体作哪条,要根据具体问题具体分析. 2.要说明一个三角形是等边三角形,可以考虑:(1)利用定义证明;(2)证明三个角相等;(3)证明它是等腰三角形并且有一个角是60°.

沪科版九年级数学上册 相似三角形的判定教案

，当它们全等时，才有 （双

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△例2、如图，E、F分别是△ABC的边

2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 中，P是BC上的点，且BP＝3 、如图,AB⊥BD,CD 当P点在BD上由 ，则图中相似三角形的对数有 对。

特殊情况： 第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 二、重点难点疑点突破 1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧 正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法： (1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边； (2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角． （3）对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。 2、常见的相似三角形的基本图形： 学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如： （1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型： （3）旋转型： （4）母子三角形： (1)“平行线型”相似三角形，基本图形见前图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路； (2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路； A B C D E A B C D D A B C A B C D E D A B C E