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第35讲 容斥问题(生)

第35讲 容斥问题(生)
第35讲 容斥问题(生)

容斥原理

知识点:

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理:对n 个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a 分类与性质b 分类(如图),那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a +N b -N ab 。

例1、一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问:“谁做完数学作业?请举手!”有42人举手。最后问:“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

练习1:

1、五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人?

2、四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人?

3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人?

例2、某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对?

Nab Nb

Na

练习2:

1、五(1)班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。那么,有多少人两个小组都没有参加?

2、一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人?

3、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人?

例3、某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?

练习3:

1、一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人。两样都会的有多少人?

2、一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人?

3、三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算,这个班共有多少人?

例4、在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个?

练习4:

1、在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个?

2、在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个?

3、五(1)班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等。小华排的位置是:从前面数第5个,从后面数第8个。这个班共有多少个学生?

例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?

练习5:

1、科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件?

2、六(1)儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅?

3、实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅?

课后作业

小学奥数之容斥原理

五.容斥原理问题 1.有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解:根据容斥原理最小值68+43-100=11 最大值就是含铁的有43种 2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是 解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A,5 B,6 C,7 D,8 解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……② 由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知:a1=a2+a3……④ 再由②得a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中,整理得到 a2×4+a3=26 由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解: 当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22 又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3 因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。 然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2=6人。 3.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少? 答案:及格率至少为71%。 假设一共有100人考试 100-95=5 100-80=20 100-79=21 100-74=26 100-85=15 5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)

第31讲容斥原理

第31讲容斥原理 例题与方法 例1 在1~100的自然数中,不能被3也不能被5整除的数有多少个? 例2 某班有52人,其中会下棋的有48人,会画画的有37人,会跳舞的有39人,这三项都会的至少有几人? 例3 100名学生中,每人至少懂一种外语,其中75人懂法语,83人懂英语,65人懂日语,懂三种语言的有50人,懂两种外语的有多少人? 例4 在1~143这143个自然数中,与143互质的自然数共有多少个? 例5 某班学生参加语文、数学、英语三科考试,语文、数学、英语都得满分的分别有21人、19人、20人。语文、数学都得满分的有9人;数学、英语都得满分的有7人;语文、英语都得满分的有8人;另有5人三科都未得满分。这个班最多能有多少人? 思考与练习 1.某班有学生46名,其中爱好音乐的有17人,爱好美术的有14人,既爱好音乐又爱好美术的有5人。问:两样都不爱好的有多少人? 2.分母是105的最简真分数共有多少个? 3.一个家电维修站有80%工人精通修彩电,有70%的人精通修空调,10%的人两项不熟悉。问:两项都精通的人占白分之几? 4.在1~100的自然数中,既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少? 5.在1~200的自然数中,能被2整除,或能被3整除,或能被5整除的数共有多少个? 6.在100名学生中,爱好音乐的有56人,爱好体育的有75人,那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人,最多有多少人? 7.64人订A、B、C三种杂志,订A杂志的有28人,订B杂志的有41人,订C杂志的有20人,订A、B两种杂志的有10人,订B、C两种杂志的有12人,订A、C两种杂志的有12人。三种杂志都订的有多少人? 8.有100位旅客,其中有10人既不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,有83人懂俄语,那么这100位旅客中既懂英语懂俄语的有多少人?

六年级数学专题详解 容斥原理

容斥原理 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素的个数。在两个集合的研究中,已经知道,求两个集合并集的元素个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数,用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。 我们称这一公式为包含与排除原理,简称为容斥原理。 包含与排除原理|告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数,可以分一下两步进行: 第一步:分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来。即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起); 第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数,即减去|A∩B|(意思是“排除”了重复计算的元素的个数)。 例1.求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少? 解:设I={1、2、3、…、19、20},A={I中2的倍数},B={I中3的倍数}。 显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数,即求|A∪B|。

我们知道A ={2、4、6、……、20},所以|A |=10, B ={3、6、9、12、15、18},|B |=6。 A ∩ B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18},所以|A ∩B |=3, 根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答:所求的数共有13个。 此题可以直观地用图表示如下: 例2.某班统计考试成绩,数学得90分以上的有25人,语文得90分以上的有21人,两科中至少有一科在90分以上的有38人,问两科都在90分以上的有多少人? 解:设A ={数学在90分以上的学生},B ={语文在90分以上的学生}, 由题意知|A |=25,|B |=21。 A ∪ B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生},|A ∪B |=38。 A ∩ B ={数学、语文都在90分以上的学生}, 由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |, 所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。 159320 1816 1412 1086 42 B A

2015国家公务员考试行测:数学运算-容斥原理和抽屉原理

【导读】国家公务员考试网为您提供:2015国家公务员考试行测:数学运算-容斥原理和抽屉原理,欢迎加入国家公务员考试QQ群:242808680。更多信息请关注安徽人事考试网https://www.sodocs.net/doc/1e12570577.html, 【推荐阅读】 2015国家公务员笔试辅导课程【面授+网校】 容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”,了解此两种原理不仅可以提高做题效率,还可以提高自己的运算能力,扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。 一、容斥原理 在计数时,要保证无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,在不考虑重叠 的情况下,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数 目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既是 A类又是B类的部分重复计算了一次,所以要减去。如图所示: 公式:A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的 【例1】一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、 数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A,语文得满分人数→B,数学、语文都是满分人数→A∩B,至少有一 门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23,共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现 两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。 如图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1 次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩ C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到: 公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

初一数学竞赛系列讲座容斥原理

初一数学竞赛系列讲座 容斥原理 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

初一数学竞赛系列讲座(15) 容斥原理 一、 知识要点 1、容斥原理 在计数时,常常遇到这样的情况,作合并运算时会把重复的部分多算,需要减去;作排除运算时会把重复部分多减,需要加上,这就是容斥原理。它的基本形式是: 记A 、B 是两个集合,属于集合A 的东西有A 个,属于集合B 的东西有B 个,既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ,有B A 个;属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ,有B A 个,则有:B A =A +B -B A 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。 如图, 左圆表示集合A ,右圆表示集合B ,两圆的公共部分表示B A ,两圆合起来的部分表示B A , 由图可知:B A =A +B -B A 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。 二、 例题精讲 例1 在1到200的整数中,既不能被2整除,又不能被3整除的整数有多少个 分析:根据容斥原理,应是200减去能被2整除的整数个数,减去能被3整除的整数个数,还要加上既能被2整除又能被3整除,即能被6整除的整数个数。 解:在1到200的整数中,能被2整除的整数个数为:2?1,2?2,…,2?100,共100个; 在1到200的整数中,能被3整除的整数个数为:3?1,3?2,…,3?66,共66个; 在1到200的整数中,既能被2整除又能被3整除,即能被6整除的整数个数为: 6?1, 6?2,…,6?33,共33个; 所以,在1到200的整数中,既不能被2整除,又不能被3整除的整数个数为:

容斥原理问题

容斥原理问题——基础学习 一、解答题

2、两个集合容斥原理例1:四年级一班有54人,定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物,订阅《数学大世界》的有多少人?() A.13 B.22 C.33 D.41 【答案】B 【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人},B={订阅《数学大世界》的人},那么A∩B={同时订阅两本读物的人},A∪B={至少订阅一样的人},由容斥原则,B= A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。 【结束】 3、两个集合容斥原理例2:五年级有122名同学参加语文、数学考试,每个至少有一门功课取得优秀成绩,其中语文成绩优秀的有65人,数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人?() A. 30 B.35 C.57 D.65 【答案】A

【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题,因此,可以直接有两个集合的容斥原理得到,语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。 【结束】 4、两个集合容斥原理例3:学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手提琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两样都会的有8人。这个文艺组共有多少人?()A.25 B.32 C.33 D.41 【答案】C 【解题关键点】设A={会拉手提琴的},B={会弹电子琴的},因此A∪B ={文艺组的人},A∩B={两样都会的},由两个集合的容斥原理可得:A∪B=A+B- A∩B=24+17-8=33。 【结束】 5、两个集合容斥原理例4:某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的人有23人,两题都答对的有15人,问多少个同学两道题都没有答对?()A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到,至少答对一道题的同学有25+23-15=33人,因此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。 【结束】

高中数学知识点专题

第一章初高中数学衔接,基本数学思想入门 专题一二次方程 1 专题二二次函数 2 专题三因式、分式、乘方、根式 3 专题四平面几何中的三角形 4 专题五平面几何中的圆 5 专题六巧用方程与函数的数学思想6 专题七巧用数形结合的数学思想 7 专题八巧用分类讨论的数学思想 8 专题九巧用等价变换的数学思想 9 第二章集合、函数 专题一集合的概念及其子集 1 专题二解一次、二次、高次不等式 2 专题三解分式不等式,解简单的绝对值不等式 3 专题四集合的交、并、补运算 4 专题五临时定义的集合题 5 专题六函数的表示法及其抽象函数 6 专题七函数的单调性和奇偶性 7 专题八指数与指数函数 8 专题九对数与对数函数 9 专题十反函数 专题十一幂函数,分式函数y=k/x与y=ax+b/cx+a 10 专题十二对勾函数g(x)=ax+b/x 11 专题十三绝对值函数 12 专题十四函数的零点与方程的图象解法 13 专题十五函数图象的轴对称、中心对称及迭代式 14 专题十六函数的最值,最值的函数 15 第三章立体几何初步 专题一几何体的结构 16 专题二三视图,直观图 17 专题三几何体的表(侧)面积与体积 18 专题四空间点、直线、平面之间的位置关系 19 专题五直线、平面的平行问题 20 专题六直线、平面的垂直问题 21 专题七将平面图折翻为立体图 22 专题八几何体的拼接与分割 23 专题九四面体的外接平行六面体 24 专题十多球问题 25 专题十一体积法 26 第四章平面解析几何初步 专题一直线的倾斜角与斜率 27 专题二直线的方程 28 专题三直线交点坐标与三类距离公式 29 专题四平面区域 30 专题五线性规划 31 专题六圆的方程 32 专题七直线与圆、圆与圆的位置关系 33 专题八解析法 34 第五章算法初步,统计。概率 专题一根据程序框图计算输出结果 35 专题二根据题意完善程序框图 36 专题三随机抽样,样本的频率分布 37 专题四样本数据的众数、中位数、平均数、标准差 38 专题五随机事件的概率,古典概率 39 专题六几何概率模型 40 第六章三角函数,解三角形 专题一任意角的度量,扇形的弧长和面积 41 专题二三角函数定义,三角函数线 42 专题三同角基本公式,诱导公式 43 专题四三角函数的图象与性质 44 专题五三角函数图象的平移与伸缩变换 45 专题六和、差、倍角的三角函数公式 46 专题七正、余弦的降次增倍公式 47 专题八三角函数式的计算、化简与证明 48 专题九正弦定理、余弦定理 49 专题十解三角形 50 专题十一根据三角函数值求角 51 专题十二三角函数的有界性|Asinθ+Bcosθ|≤√A2+B2 52 专题十三三角法 53 第七章平面向量 专题一平面向量的概念及其线性运算 54 专题二平面向量的基本定理 55 专题三平面向量的坐标运算 56 专题四平面向量的数量积 57 专题五三角形背景中的向量表示 58 专题六向量法 59 第八章数列 专题一数列的概念 60 专题二等差数列及其前n项和 61 专题三等比数列及其前咒项和 62 专题四递推数列通项公式的常用求法 63 专题五分式递推数列 64 专题六数列求和 65

容斥原理(二)

才子教育小学奥数系列 容斥原理(二) 【例题分析】 例1. 有25人参加跳远达标赛,每人跳三次,每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人,第二次达到优秀的有13人,第三次达到优秀的有15人,三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人? 分析与解:“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数,就是求重叠两层的部分(图中阴影部分)。 (人) 答:只有两次达到优秀的有11人。 例2. 在一个炎热的夏日,几个小朋友去冷饮店,每人至少要了一样冷饮,其中有6人要了冰棍,6人要了汽水,4人要了雪碧,只要冰棍和汽水的有3人,只要冰棍和雪碧的没有,只要汽水和雪碧的有1人;三样都要的有1人。问:共有几个小朋友去了冷饮店? 分析与解:根据题意画图。

才子教育小学奥数系列 方法一:(人) 方法二:(人) 答:共有10个小朋友去了冷饮店。 例3. 有28人参加田径运动会,每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目,参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问:只参加跑和投掷两项的有多少人? 分析与解:“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的,也没有参加一项比赛的,我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。 (人) 答:只参加跑和投掷两项的有3人。 例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组,其中数学有30人参加,英语有20人参加,语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人,既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数,而三种全参加的只有1人,求既参加英语又参加数学小组的人数。 分析与解:根据已知条件画出图。

组合数学6章作业答案

第6章 容斥原理及应用 6.7 练习题 3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。 解:∵100001002=,9261213=,10648223= ∴从1到10000,共有100个平方数,21个立方数 又∵409646=,1562556= ∴从1到10000,共有4个6次方数,也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算:10000-100-21+4=9883 ∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个 □ 4、确定多重集{}d c b a S ????=5,4,34,的12-组合的个数。 解:设T :{}d c b a S ?∞?∞?∞?∞=,,,*的所有12-组合 1A :a 的个数大于4的12-组合 2A :b 的个数大于3的12-组合 3A :c 的个数大于4的12-组合 4A :d 的个数大于5的12-组合 要求的是: 4321A A A A ??? = T )(4321A A A A +++- )(434232413121A A A A A A A A A A A A ?+?+?+?+?+?+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ??+??+??+??- )(4321A A A A ???+ T =??? ? ??-+121412=455 1A =???? ??-+7147=120 2A =???? ??-+8148=165 3A =???? ??-+7147=120 4A =??? ? ??-+6146=84

21A A ?=???? ??-+3143=20 31A A ?=???? ??-+2142=10 41A A ?=???? ??-+1141=4 32A A ?=???? ??-+3143=20 42A A ?=???? ??-+2142=10 43A A ?=???? ??-+1141=4 321A A A ??=421A A A ??=431A A A ??=432A A A ??=4321A A A A ???=0 455-(120+165+120+84)+(20+10+4+20+10+4)=34 ∴多重集{}d c b a S ????=5,4,34,的12-组合的个数是34 □ 9、确定方程 204321=+++x x x x 满足 611≤≤x ,702≤≤x ,843≤≤x ,624≤≤x 的整数解的个数。 解:设 116x y -=, 227x y -=, 338x y -=, 446x y -= 则原方程等价于 确定方程 74321=+++y y y y 满足 501≤≤y , 702≤≤y , 403≤≤y , 404≤≤y 的整数解的个数。 设S :74321=+++y y y y 的所有非负整数解的集合 1A :74321=+++y y y y 的所有满足61≥y 的非负整数解的集合 2A :74321=+++y y y y 的所有满足82≥y 的非负整数解的集合 3A :74321=+++y y y y 的所有满足53≥y 的非负整数解的集合 4A :74321=+++y y y y 的所有满足54≥y 的非负整数解的集合 若j i ≠,则?=?j i A A ,那么要求的是:

六年级~9容斥原理

(一) 容斥原理 包含与排除问题也叫重叠问题,它实际上是一种集合方面的问题。解答这类问题的主要根据是容斥原理 1.容斥原理一: 设A 、B 是两类有重叠部分的量(如图). 如果A 对应的量为a , B 对应的量为b , A 与B 重叠部分对应的量为ab,那么这两类量 的总量可以用下面的公式计算:总量=a +b —ab. 2.容斥原理二: 设A,B,C 是三类有重叠的部分的量, 如果A 对应的量为a ,B 对应的量为b ,C 对应的量为c , A 与B 重叠部分对应的量为ab. B 与C 重叠部分对应的置为bc,C 与A 重叠部分对应的量为ca,A 、B 、C 三部分重叠部分对应的量为abc,那么,这三类量的总量可以用下面的公式计算:总量=a + b + c —ab-bc-ca+abc 例1:在1到500的全部自然数中,不是7的倍数,也不是9的倍数的 数共有多少个? 例2:六年级一班有45名同学,每人都参加体育训练班,其中足球班报25人,篮球班报20人,游泳班报30人,足球、篮球都报者有10人,足球、游泳都报者有10人,游泳、篮球都报者有12人。问三项都报者有多少人? 例3:某校六年级二班有49人参加数学、英语、语文学习小组,其中数学有30人参加,英语有20人参加;语文小组有10人参加,老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组 的有3人,既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数,而三种全参加的只有1人,求既参加英语又参加数学小组的人数。

例4某班同学参加升学考试.得满分人数如下:数学20人,语文20人,英语20人,数学、英语两科满分者8人,数学、语文两科满分者7人,语文、英语两科满分者9人,三科都没得满分者3人。问这个班最多是多少人?最少是多少人? 例5:向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度,赞成去颐和园的人数是全体的5 3,其余不赞成;赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人,其余的不赞成,另外 对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的3 1多1人,同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人? 例6 李老师出了两道数学题,全班40人中,第一题有30人做对, 第二题有12人未做对,两题都做对的有20人。 (1)第2题对第1题不对有几个人? (2)两题都不対的有几人? 【练习】 1.全班有46名同学,仅会打乒乓球的有18人,会打乒乓球又会打羽 毛球的有7人。不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。问,仅会打羽毛球 的有多少人?

国考行测暑期每日一练数学运算:容斥原理和抽屉原理精讲

2015国考行测暑期每日一练数学运算:容斥原理和抽屉原理精讲 容斥原理和抽屉原理是国家公务员测试行测科目数学运算部分的“常客”,了解此两种原理不仅可以提高做题效率,还可以提高自己的运算能力,扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。 一、容斥原理 在计数时,要保证无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,在不考虑重叠的情况下,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次,所以要减去。如图所示: 公式:A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的 【例1】一次期末测试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A,语文得满分人数→B,数学、语文都是满分人数→A∩B,至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23,共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。 如图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C -A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到:公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

第6讲 容斥原理

第六讲 容斥原理 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A |表示有限集A 的元素的个数。在两个集合的研究中,已经知道,求两个集合并集的元素个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数,用式子可以表示成 |A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |。 我们称这一公式为包含与排除原理,简称为容斥原理。 包含与排除原理|告诉我们,要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素个数,可以分一下两步进行: 第一步:分别计算集合A 、B 的元素个数,然后加起来。即先求|A |+|B |(意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来,加在一起); 第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数,即减去|A ∩B |(意思是“排除”了重复计算的元素的个数)。 例1.求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少? 解:设I ={1、2、3、…、19、20},A ={I 中2的倍数},B ={I 中3的倍数}。 显然题目中要求计算并集A ∪B 的元素个数,即求|A ∪B |。 我们知道A ={2、4、6、……、20},所以|A |=10, B ={3、6、9、12、15、18},|B |=6。 A ∩ B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18},所以|A ∩B |=3, 根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答:所求的数共有13个。 此题可以直观地用图表示如下: 例2.某班统计考试成绩,数学得90分以上的有25人,语文得90分以上的有21人,两科中至少有一科在90分以上的有38人,问两科都在90分以上的有多少人? 解:设A ={数学在90分以上的学生},B ={语文在90分以上的学生}, 由题意知|A |=25,|B |=21。 A ∪ B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生},|A ∪B |=38。 A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}, 由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |, 所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。 答:两科都在90分以上的有8人。 画图分析一下: 15 9320 18 16141210 8 642B A

六年级奥数专题 容斥原理

十七容斥原理(1) 年级班姓名得分 一、填空题 1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人. 2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米. 3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人. 5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人. 6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个. 7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个. 8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人. 9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人 . 6

二、解答题 11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数? 12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和. 13.如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C三个图形公共部分(阴影部分)的面积. 14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和. ———————————————答案—————————————————————— 1. 26 从图中可以看出全班45人,借语文或数学课外读物的共39+32=71(人),超过全班人数71-45=26(人),这26人都借了语文、数学两种课外书。 共45人

集合与容斥原理

第一讲集合与容斥原理 数学是一门非常迷人的学科,久远的历史,勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树,人们不禁要问:这根大树到底扎根于何处?为了回答这个问题,在19世纪末,德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架,他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地,这个学科就叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认为,数学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。 集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课,而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上,而要随着数学学习的进程而不断深化,自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词,主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系,表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等。集合的划分反映了集合与子集之间的关系,这既是一类数学问题,也是数学中的解题策略——分类思想的基础,在近几年来的数学竞赛中经常出现,日益受到重视,本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1.集合的概念 集合是一个不定义的概念,集合中的元素有三个特征: (1)确定性设A是一个给定的集合,a是某一具体对象,则a或者是A的元素,或者不是A的元素,两者必居其一,即a∈A与a?A仅有一种情况成立。 (2)互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素. (3)无序性 2.集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如:R , ,应熟记。 N, Z Q 3.实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换,有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集,要注意它们的几何意义。 4.子集、真子集及相等集 (1)A?? B A?B或A=B; (2)A?B?A?B且A≠B; (3)A=B?A?B且A?B。 5.一个n阶集合(即由个元素组成的集合)有n2个不同的子集,其中有n2-1个非空子集,也有n2-1个真子集。 6.集合的交、并、补运算 x∈} A B={A |且B x∈ x x∈} A B={A |或B x x∈ x?} A∈ {且A =| I x x 要掌握有关集合的几个运算律: (1)交换律A B=B A,A B=B A; (2)结合律A (B C)=(A B) C, A ( B C)=(A B) C;

第八讲容斥原理

第八讲容斥原理 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。在并集的讨论中,已经知道,求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| 我们称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理。 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起); 第二步从上面的和中减去交集的元素个数,即减去|A∩B|(意思是“排除”了重复计算的元素个数)。 例1 求不超过20的正整数中是2的数倍或3的倍数的数共有多少个。分析与解:设I={1,2,3,…,19,20},A={I中2的倍数},B={I 中3的倍数}。 显然,题目要求计算并集|A∪B|的元素个数,即求|A∪B|。 易知, A={2,4,6,…,18,20}, 共有10个元素,即|A|=10, B={3,6,9,12,15,18}, 共有6个元素,即|B|=6。 A∩B={I中既是2的倍数又是3的倍数} ={6,12,18} 共有3个元素,即|A∩B|=3,所以 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| =10+6-3=13 答:所求的数共有13个。 此题可直观地图示如下: 图8-1中,A表示不超过20的正整数中2的倍数的集合。B表示不超过20的正整数中3的倍数的集合。在不超过20的正整数中既是2的倍数又是3的倍数的数有6,12,18,即A∩B中的数。 例2 某班统计考试成绩,数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90以上有38人。问两科都在90分以上的有多少人?(1985年初一迎春杯数学竞赛试题) 解:设A={数学成绩90分以上的学生), B={语文成绩90分以上的学生}。

六年级奥数:容斥原理问题

容斥原理问题 1.有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解:根据容斥原理最小值68+43-100=11 最大值就是含铁的有43种 2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A,5 B,6 C,7 D,8 解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……② 由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知:a1=a2+a3……④ 再由②得a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中,整理得到 a2×4+a3=26 由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解: 当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22 又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3 因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。 然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2=6人。 3.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少? 答案:及格率至少为71%。 假设一共有100人考试 100-95=5 100-80=20 100-79=21 100-74=26 100-85=15 5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)

抽屉原理

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简单 1.在一米长的线段上任意点六个点。试证明:这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。 2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。请你证明:他们中至少有两个人是在同一天出生的。 3.夏令营有400个小朋友参加,问:在这些小朋友中, (1)至少有多少人在同一天过生日? (2)至少有多少人单独过生日? (3)至少有多少人不单独过生日? 4.学校举行开学典礼,要沿操场的400米跑道插40面彩旗。试证明:不管怎样插,至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。 5.在100米的路段上植树,问:至少要植多少棵树,才能保证至少有两棵之间的距离小于10米? 6.在一付扑克牌中,最少要拿多少张,才能保证四种花色都有? 7.在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。问:至少从中取出多少个球,才能保证其中有白球? 8.口袋中有三种颜色的筷子各10根,问: (1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到? (2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子? (3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子? 9.据科学家测算,人类的头发每人不超过20万根。试证明:在一个人口超过20万的城市中,至少有两人的头发根数相同。 10.第四次人口普查表明,我国50岁以下的人口已经超过8亿。试证明:在我国至少有两人的出生时间相差不超过2秒钟。 11.证明:在任意的37人中,至少有四人的属相相同。

5年级-14-容斥原理-难版

第14讲 容斥问题 知识梳理 森林中住着很多动物,据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数,蝙蝠跑过去对仙鹤说;“我有翅膀,我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了,结果得出森林中一共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数,蝙蝠听说又来统计兽类了,急忙跑过去对大象说;“我没有羽毛,我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了,结果统计出森林中一共有60种兽类。最后狮子大王问:“森林中共有鸟类和兽类多少种?”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果,高兴地向狮子大王汇报:“这还不简单!森林中共有鸟类和兽类140种。”这个统计正确吗? 同学们肯定会说:“不对!蝙蝠被算了两次,应该再减去一,是139种。”这个故事说明了一个数学问题,那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含(有部分重复交叉)时,应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法(容斥原理):当两个计数部分有重复时,为了不重复计数,应从它们的和中减去重复部分。 容斥原理1 如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 即A∪B = A+B - A∩B 容斥原理2 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A 类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A

类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。 即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 典型例题 容斥原理1 【例1】★一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 【解析】依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 15+12-4=23 【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人? 【解析】100-(62+34-11)=15 【例2】★一个班有学生48人,每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人,参加跳高的有40人,请问:这两项比赛都参加的学生有多少人? 【解析】两项比赛都参加的学生人数,就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分,排除掉重复部分,所得的就是全体参赛人数,也就是全班学生人数。 40-(48-37)=29人。 【小试牛刀】五年级96名学生都订了报纸,有64人订了少年报,有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人? 【解析】用左边的圆表示订少年报的64人,右边的圆表示订小学报的48人,中间重叠部分

六年级奥林匹克数学十七 容斥原理(二)

十七、容斥原理(二) 1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为 人. 2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人,这一天共来了 个病人. 3.两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸如图所示,则它们盖住 (平方厘米). 4.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有 个. 5.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有 人. 6.在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图),它们的面积都是100(cm 2)并知A 、B 两圆重叠的面积是20(cm 2),A 、C 两圆重叠的面积为45(cm 2),B 、C 两圆重叠面积为31(cm 2), 三个圆共同重叠的面积为15(cm 2),求盖住桌子的总面积是 平方厘米. 7.在一次考试中, 100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有 人.全班45人中两科都不得100分的有 人. 8.在1,2,3,…,1000这1000个自然数中,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有 个. 9.小于1000的自然数中,是完全平方数而不是完全立方数的数有 个. 2 A B C

10.某校有学生960人,其中有510人订阅“作文报”,有330人订阅“数学报”,有120人订阅“科学爱好者”,全校学生中有270人订阅两种报刊,有58人三种报刊都订,那么这学校中没有订阅任何报刊的有人. 11.70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人. 求(1)只得短跑奖的人数; (2)得二项奖的总人数; (3)一项奖均未得的人数. 12.64人订A、B、C三种杂志.订A种杂志的28人,订B种杂志的有41人,订C种杂志的有20人, 订A、B两种杂志的有10人,订B、C两种杂志的有12人,订A、C两种杂志的有12人,问三种杂志都订的有多少人? 13.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数. 14.夏日的一天,有10个同学去吃冷饮.向服务员交出需要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可;有5个人要咖啡;有5个人要果汁;有3个人既要可可又要果汁;有2个人要可可又要咖啡;有3个人要咖啡又要果汁;有1个人既要可可、咖啡又要了果汁. 求证其中一定有一个人什么冷饮也没有要. 十七、容斥原理(二)(答案) 第[1]道题答案: 127 从图中可以看出:参加数学、作文竞赛的总人数为312+353-292=373(人) 从而可知这两科都没有参加的人数为500-373=127(人). 第[2]道题答案: 224 从图可以看出,来诊病人总数为150+92-18=224(人). 内科150人 外科 92人18 人

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