2013年河南中原名校高三一模数学(文)试题及答案

（文）试题参考答案

一．选择题

1. C

2. D

3. A

4. B

5. C

6. D

7. C

8. A

9. C. 10. C. 11. A. 12. C 二．填空题 13.

7 14. x y 42= 15. 8 16.

2

1 三．解答题

17. （1）由条件知，当0cos =C 时，不合题意；当0cos ≠C 时，有

???≥-+>????≤-=?>02cos 3cos 20

cos 0cos 24sin 160cos 2

2C C C C C C ……4分 21cos ≥

∴C ，角C 的最大值为3

π

……6分 （2）由余弦定理得2

2

2

2

2

2

3cos 2b ab b a C ab b a c =-+=-+=b c 3=∴ ……9分

23

322342cos 222222=

??-+=-+=b

b b b b a

c b c a B ，又320π<

M 为AB 的中点，AD MG PA NG //,//∴， ……3分

又A AD PA G MG NG == ,，∴平面//GMN 平面ADP

?MN 平面GMN ，//MN ∴平面ADP ……6分

（2）⊥BC 平面PAB ，?PA 平面PAB ，PA BC ⊥∴，0

90=∠APB ,

PA PB ⊥∴，又B PB BC = ，⊥∴PA 平面PBC ，PA BN ⊥∴ ……10分 BC PB = ，点N 为PC 的中点，PC BN ⊥∴，又P PC PA = ，

⊥∴BN 平面ACP ，又?BN 平面BDN ，∴平面⊥BDN 平面ACP ……12分 19.（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的2CO 排放量结果：

（80,110）（80,120）（80,140）（80,150）（110,120）（110,140）（110,150） （120,140）（120,150）（140,150） ……3分 设“至少有一辆2CO 排放量超标”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果： （80,140）（80,150）（110,140）（110,150）（120,140）（120,150）（140,150） 所以7.010

7

)(==

A P ……6分 （2）由题意可知，120==乙甲x x ，220=+y x ，

3000)120150()120140()120120()120110()12080(5222222

=-+-+-+-+-=甲S 222222

)120160()120()120()120021()120100(5-+-+-+-+-=y x S 乙

22)120()120(2000-+-+=y x ……8分

222

)100()120(20005,220-+-+=∴=+x x S y x 乙 ，令t x =-120，1030,13090<<-∴<

222

)20(20005+++=∴t t S 乙

0)10)(30(26004025522

2<-+=-+=-∴t t t t S S 甲乙

2

2

120甲乙乙甲，S S x x <== ，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好 ……12分 20. 解：（1）由抛物线：x y 162=，知其焦点)0,4(F ，故椭圆C 中4=a ，

所以椭圆C ：

12

162

2=+y x ……4分 （2）设直线l 方程为b x y +-

=2

2

，设),(),(2211y x N y x M 、， 由???????=++-=12

16222

2y x b x y ，整理得.016828522=-+-b bx x

b x x 5

2821=+，5168221-=b x x ，

因为动直线l 与椭圆C 交于不同的两点，所以0)168(201282

2>--=?b b ， 解得.1010<<-b ……6分

221212121)(2

221)22)(22(b x x b x x b x b x y y ++-=+-+-==582

-b . ……8分

因为),2(),,2(2211y x QN y x QM +=+=，

所以2)(2),2)(,2(2121212211++++=++=?y y x x x x y x y x QN QM

5

14

1692-+=b b . 因为.1010<<-b ，所以当98-=b 时，?取得最小值，其最小值等于

9

-

. ……12分 21. （1）由已知得0)(0'=x f ，即020

0=-x k

x e ，e k x =∴0. ……2分

又 0)(0=x f ，即0ln

=+e e

k

e ，1=∴k ……4分 （2）由题意得2

2'()(x e k x e x k x e x f -=

-=，e k ≤≤1 ，11≤≤∴e k e . ……5分 由此得??? ??∈e k e x ,

1时，)(x f 单调递减；???

??∈1,e k x 时，)(x f 单调递增. 故?

???

??∈)1(),1()(max f e

f x f ， ……7分

又.)1(,)1(k f e ek e

f =-= 当k e ek >-，即

e k e e ≤<-1时，e ek e

f x f -==)1

()(max ； 当k e ek ≤-，即1

1-≤≤e e

k 时，k f x f ==)1()(max ……9分

(3) 由题意知k x k x e k x f x g --=

-=2'

'

)()(，)(x g 在??

?

??e e ,1内是减函数， 0)('≤∴x g 在??? ??e e ,1内恒成立. 即02≤--k x k x e 在??

?

??e e ,1内恒成立，

x

x e k 1

+

≥

∴在??

? ??e e ,1内恒成立， (11)

又21

21=?≥+

x

x x x 当且仅当1=x 时等号成立. 21

e x

x e ≤

+

∴

，??

?

???+∞∈∴,2e k ……12分22. （1）连接OE OD OC ,,，由同弧对应的圆周角 与圆心角之间的关系， 结合题中条件 AE AC =

又PFD P CDE ∠+∠=∠，

OCP P AOC ∠+∠=∠，从而OCP PFD ∠=∠，故PFD ?～PCO ?，

PO

PD

PC PF =∴

，由割线定理知12=?=?PB PA PD PC ， 故34

12

==?=

PO PD PC PF ……5分 （2）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为12=-=r OF ，即1=r ，

所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，

则8422

=?=?=PO PB PT ，即22=PT .

……10分 23.（1）由θ

θθθρ2sin 2cos 42cos 1cos 4=-=

，即θθρcos 2sin 2

=，两边同乘以ρ得：

θρθρcos 2sin 22=，化为直角坐标系下的方程为x y 22=，其焦点

到准线的距离为1. ……5分

（2）直线??

?=-=t

y a

t x 2（t 为参数，a 为常数）的方程可化为a y x -=2，因为直线与曲线C 有且只有一个公

共点，所以???=-=x

y a

y x 222只有一组解，即方程0242=+-a y y 有两个等根，所以024)4(2=?--=?a ，

解得2=a ……10分

24.（1）解：由题设知：)(x f 定义域05|2||1|≥--++x x ，如图， 在同一坐标系中作出函数|2||1|-++=x x y 和5=y 的图像（如图所示），

知定义域为 (][)+∞-∞-,32, ……5分 （2）由题设知，当R x ∈时， 恒有0|2||1|≥+-++a x x . 即a x x -≥-++|2||1|，

又由（1）3|2||1|≥-++x x ，

3≤-∴a ，即3-≥a . ……10分