高等代数(张禾瑞版)教案-第5章矩阵
第五章 矩 阵
教学目的：
1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。 教学内容：
5.1 矩阵的运算
1 矩阵相等
我们将在一个数域上来讨论。令F 是一个数域。用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵
A= ??????
? ??a a
a a
a a a a a mn m m n n
2
1
222
2111211 叫做F 上一个矩阵。A 也简记作（a ij ）。为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。
以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。 先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算
定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ）
定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。 注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。 以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律
A+B=B+A ；
(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0；
a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；
这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：
A —B=A+（—
B ）。
于是有
A+B=C ?A=C —B 。
由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。 4 乘法
定义 3 数域F 上的m*n 矩阵A=(a ij )与n*p 矩阵B=(b ij ) 的乘积AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。这个矩阵的第I 行第j 列（I=1,2,…，m; j=1,2, …p ） 的元素c ij 等于A 的第I 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和： c ij =a i1b 1j +a i2b 2j+…+a in b nj 。
注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。 我们看一个例子:
?
???
?
??--???? ??--0512******** =???? ???-+?+-?-?-+?+??+?-+-?-?+?-+?0)2(11)3(3)5()2(2113001)1()3(2)5(02)1(12 =???
? ??--81570. 5 矩阵乘法的运算规律：
对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法说并不都成立。值得一提的是以下两点。 两个非零矩阵的乘积肯是零矩阵，例如：
00000002121111111=???
?
?
??=???? ?
?????? ??---. 矩阵的乘法不满足交换律。首先，当 p ≠ m 时 A mn B np 有意义，但B np A mn 没有意义。其
次，A mn B np 和B nm A mn 虽然有意义，但是当m ≠n 时，头一个乘积是m 阶矩阵而第二个是n 阶矩阵，它们不相等。最后，A nn B nn 和B nn A nn 虽然都是n 阶矩阵，但它们也未必相等。 例如
.5718
13321221????
??--=???? ??-???? ?? .7514122113
32
???
? ??-=???? ?????? ?
?- 但是距阵乘法满足结合律:
(AB)C=A(BC)
事实上,可以假定
A=(a ij )mn ,B=(b ij )np , C=(c ij )pq ,
那么(AB)C 和A(BC)都是m*n 距阵,我们来证明它们的对应元素相等,令 AB=U=(u ij ), BC=V=(v ij ). 由距阵乘法知,
u il
= b
a kl
n
k ik
∑=1
,
c b v
lj p
l kl kj
∑==1
,
因此(AB)C=UC 的第I 行第j 列的元素是 (1)
c
b a
c u ij
ki
n
k ik
p l lj
p l il
)(1
1
1
∑∑∑====
.11
c b a lj
kl
p
l n k ik
∑∑===
另一方面, A(BC)=AV 的第I 行第 j 列的元素是 (2)
)(1
1
1
c b a v
a lj p
l kl n k ik kj
n
k ik
∑∑∑====
.11
c b a lj
kl
n k p
l ik
∑∑===
由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律.
我们知道,数1乘任何数a 仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质. 我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是0的n 阶正距阵
1 0… 0 0 1… 0 ………… 0 0 1
叫做n 阶单位距阵 ，记作I n ,有时简记作I. I n 显然有以下性质：
I n A np =A np ; A mn I n =A mn .
距阵的乘法和加法满足分配律：
A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA;
这两个式子的验证比较简单，我们留给读者。注意，由于距阵的乘法不满足结合律，所以着两个式子并不能互推。
距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运算规律：
a(AB)=(aA)B=A(aB).
给了任意r 个距阵A 1,A 2,…… A r ,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数，就可以把它们依次相乘，由于距阵的乘法满足结合律，作这样的乘积时，我们可以把因子任意结合，而乘积A 1A 2……A r 有完全确定的意义。特别，一个n 阶正方阵A 的r 次方（r 是正整数）有意义
个r r
A AA A
=
我们再约定
A 0=I
这样一来，一个n 阶距阵的任意非负整数次方都有意义。 设
f(x)=a 0+a 1+……+a m x m
是F[x]中有确定的意义，它仍然是F 上的一个n 阶正方阵，我们将它记作f(x): f(A)=a 0I +a 1A+……+a m A m .
如果f(x), g(x)∈F [x],而A 是一个 n 阶距阵，令 u (x)=f (x)+g (A),v (x)=f (x)g (x) 于是有
u (A)=f (A)+g (A),v (A)=f (A)g (A)
5 距阵的转置 定义4 设m*n 距阵
a 11 a 12 …… a 1n
A= a 21 a 22 …… a 2n …………………… a m1 a m2 …… a mn
把A 的行变为俩所得到的n×m 距阵
a 11 a 21 …… a m1
A’= a 12 a 22 …… a m2 ………………… a 1n a 2n …… a mn
叫A 的转置
距阵的转置规律
a) (A’)’=A,
b) (A+B)’=A’+B’ c) (AB)’=B’A’ d) (aA)=aA’
我们只验证(5),其它三个规律容易验证.设
A= ??
???
??
??a a
a a
a a a
a a mn m m n n
2
1
222
2111211 , B=?
?
?
??
?? ??b b
b b
b b b b b np n n p p
2
1
222
21
11211 首先容易看出,(AB)’和B ’A ’都是pm 矩阵.其次,位于(AB)’的第i 行第j 列的元素就是位于AB 的第j 行第i 列的元素,因而等于
a j1
b 1i +a j2b 2i +…+a jn b ni . 位于B ’A ’的第i 行第j 列的元素等于B ’的第i 行的元素与A ’的第j 列的对应元素的乘积之和,因而等于B 的第i 列的元素与A 的第j 行的对应元素的乘积之之和:
b 1i a j1+b 2i a j2+…+b ni a jn 上面两个式子显然相等,所以(5)成立..
等式(4)和(5)显然可以推广到n 个矩阵的情形,也就是说,以下等式成立: (A 1+A 2+…+A n )’=A 1’+A 2’+…+A n ’ , (A 1A 2…A n )’=A n ’A n-1’…A 2’A 1’
5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式
教学目的：
1 掌握逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充要条件。
2掌握求逆矩阵的方法，尤其能利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。
教学内容：
1逆矩阵的定义：令 A是数域F上的一个n阶矩阵。若是存在F上n阶矩阵B，使得 AB=BA=I，
那么A叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B叫作A的逆矩阵。
若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一决定。
事实上，设B和C都是A的逆矩阵：
AB=BA=I，AC=CA=I。
那么
B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C。
2逆矩阵的性质：
我们以后把一个可逆矩阵A的唯一的逆矩阵用A-1来表示。
我们有以下简单的事实：
可逆矩阵A的逆矩A-1也可逆，并且
（A-1）-1=A
这由算式
AA-1=A-1A=I
可以直接推出。
两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆，并且
（AB）-1=B-1A-1
这是因为
（AB）(B-1A-1)=（B-1A-1）(AB)=I
一般，m个可逆矩阵A
1，A
2
，…，A
m
的乘积A
1
A
2
…A
m
也可逆，并且
（A
1A
2
…A
m
）-1=A
m
-1…A2-1A1-1
可逆矩阵A的转置A’也可逆，并且
（A’）-1=（A-1）’
这是因为求等式
AA-1=A-1A=I
中三个相等的矩阵的转置，得
（A-1）’A’=A’(A-1)’=I’=I 一个n阶矩阵未必可逆。例如，令
a
11 a
12
A=
00
而B是任意一个2阶矩阵。那么乘积AB的第二行的元素都是零，
因此不存在二阶矩阵B，使AB=I，从而A不是可逆矩阵。
3初等变换
首先注意以下事实：对于一个矩阵施行一个行或列初等变换
相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵。
我们把以下的三种正方阵叫做初等矩阵：
i列 j列
1
1
0 … 1 i 行
1
P
ij
=
1
1 … 0 j行
1
1
i 列
1
1
D
i(k)
= k i行
1
1
i列 j列
1
1 … k i 行
T
ij(k)
=
1 j行
1
这里没有注明的元素在主对角线上的都是1，在其它位置的都是零。通过验算容易看出：交换
一个m×n矩阵A的第和第i 和第j行或第i和第j 列，相当于把A左乘以m阶矩阵P
ij
或右
乘以n阶矩阵P
ij ；把A的第i行或列乘以数k，相当于把A左乘以m阶的D
i(k)
，或右乘以n
阶的D
i(k)；把A的第j行乘以数k后加到第i行相当于把A左乘以m阶的T
ij(k),
把A的第j列
乘以数k后加到第i列相当于把A右乘以n阶的T
ij(-k)初等变换都是可逆的，并且它们的逆矩阵仍是初等变换。因为容易验证：
P-1
ij =P
ij
; D
i(k)
-1=D i(
k
1
)
, T
ij(k)
-1=T ij(-k)
现在容易证明以下
引理 5.2.1 设对正方阵A施行一个初等变换后，得到矩阵A，
那么A可逆的充分且必要条件是ā可逆。
证我们只就行初等变换来证明这个引理，列初等变换的情形可以完全类似地证明。
设ā是通过对A 施行一个行初等变换而得到的。那么存在一个对应的初等矩阵E ，使得 （1） ā=EA
由于初等矩阵E 是可逆的，（1）式说明，当A 可逆时，ā是两个可逆矩阵的乘积。因为ā也可逆。另一方面，用E 的逆矩阵E -1左乘（1）式的两端，得
（2） E -1ā=E -1EA=IA=A
因为E -1也可逆，由（2）式得，当ā可逆时，A 也可逆。
引理5.2.1说明，矩阵是否可逆这一性质不因施行初等变换而有所改变。
由定理4.1.2，给了任意一个m ×n 矩阵A ，总可以通过行初等变换和交换两列的初等变换，把A 化为以下的一个矩阵：
1 0 … 0 c 1,r+1 … c 1n 0 1 … 0 c 2,r+1 … c 2n
…………………………… （3） 0 0 … 1 c r,r+1 … c rn
0 0
…………………………… 0…………………………0 继续对 （3）施行第三种列初等变换，显然可以把c ij 都化为零，因此，我们有
定理 5.2.2 一个m ×n 矩阵A 总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵。
A = ???
?
??----O
O O
I
r n r m r r m r
n r ,,, 这里I r 是r 阶单位矩阵，O st 表示s ×t 的零矩阵、r 等于A 的秩。
特别，当A 是一个n 阶矩阵时，上面的矩阵ā是一个对角矩阵（即主对角线以外的元素都是0的矩阵）。
根据引理5.2.1，n 阶矩阵A 是否可逆，决定于ā是否可逆。然而对角矩阵ā是否可逆很容易看出。
当ā等于单位矩阵I 时，ā可逆。因为I 本身就是I 的逆矩阵。当ā不等于I 时，ā至少有一个元素全是零的行，因而右乘ā以任意一个n 阶矩阵B ，所得的乘积āB 中也至少有一个元素 全是零的行，所以ā不可逆。
这样，n 阶矩阵A 可逆，当且仅当它可以通过初等变换化为单位矩阵I 。
4 矩阵可逆的条件：
定理 5.2.3 n 阶矩A 可逆，当且它可以写成初等矩阵的乘积。
证 A 可以通过初等变换化为单位矩阵I ，就是说，I 可以通过初等变换化为A ，也就是说，存在初等矩阵E 1,…E s ,E s+1,…,E t ，使
A=E
1
…E s I E s+1…E t
=E 1…E s E s+1…E t
定理 5.2.4 n 阶矩阵A 可逆当且仅当A 的秩等于n 。
证 A 可以通过初等变换化为单位矩阵I 。就是说，A 的秩等于n 。 我们把n 阶矩阵
A= ??????
? ??a a
a a
a a a a a nn n n n n
2
1
222
2111211 的唯一的n 阶子式
a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n
………………… a n1 a n2 … a nn
叫做矩阵A 的行列式，记作|A|。我们知道，A 的秩等于n 的充分且必要条件是 |A|≠0。于是由定理5.2.4得
定理 5.2.5 n 阶矩阵A 可逆，当且仅当它的行列式 |A|≠0
我们常需要求出一个可逆矩的逆矩阵来。现在给出两种求逆矩阵的方法。 第一种还是要用到初等变换。
先说明以下事实：一个n 阶可逆矩阵A 可以通过行初等变换化为单位矩阵I 。事实上，根据定理5.2.4，|A|≠0。因此A 的第一列至少有一个元素不等于零。我们显然可以通过行初等变换把A 化为
0*
*11
A
这里A1是一个n-1阶矩阵。行列式|A1|显然等于矩阵（4）的行列式，而后者与|A|最多差一个不等于零的因子，因此|A1|≠0，从而A1的第一列至少有一个元素不等于零。于是通过行初等变换可由（4）得到
A
2
0*
*10
**01
这里A 2是一个n-2阶矩阵。这样下去，最后我们得到单位矩阵I 。
但对于一个矩阵施行行初等变换相当于以初等矩阵左乘这个矩阵，因此给了一个可逆矩阵A ，可以找到一些初等矩E 1，E 2，…，E s ，使
（5） Es …E 2E 1A=I 用A-1右乘这个等式的两端，得
（6） Es …E 2E 1I =A -1 比较矩式（5）和（6）。
5 求矩阵的方法：
在通过行初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵A-1。
例 1 求矩阵
A=
2
0101
3
121
---
的逆矩阵。
我们写下A ，并把单位矩阵I 写在A 的右边：
2
0102
3121
--- , 1
00010001
我们施行行初等变换把A 化为I 。
第二种求逆矩阵的方法是从行列式的性质得来的。 设n 阶矩阵
A=
a
a
a
a a a a a
a nn
n n n
n
2
1
222
21
11211
那么以下等式成立：
a i1A j1+a i2A j2+…+a i nA jn =j i j
i ≠=??
?若若,,0|A | a 1i A 1j +a 2i A 2j +…+a ni A nj =j
i j
i ≠
=
??
?若若,,0|A | 这里Ast 是行列式|A|中元素ast 的代数余子式，由此容易看出， 若是令
A * =
A
A
A A A A A A A nn
n n n
n
1
1
222
2111211
那么
(7) AA *
=A *
A=
|
A |0
00
|A |0
0|
A |
我们把矩阵A *叫做矩阵的伴随矩阵。
当A 是可逆矩时，由定理5.2.5，|A|≠0，因此由（7）得
A ???? ??*A |A |1=???
?
??*|A |1A A=I
这就是说
（8） A -1 =
|
A |1
A* 这样，我们得到了一个求逆矩阵的公式。
利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面。例如，我们可以应用它来给出克莱姆规则的另一种推导法。 考虑线性方程组
a 11x 1+a 12x 2+ … +a 1n x n =
b 1, a 21x 1+a 22x 2+ … +a 2n x n =b 2 ……………………………… a n1x 1+a n2x 2+ … +a nn x n =b n 利用矩阵的乘法可以把这个线性方程组写成
(9) ??????? ??a a
a a
a a a a a nn n n n n
2
1
222
2111211??????? ??x x x n 21= ?????
?
? ??b b b n 21 ,
这里（aij ）=A 是方程组的系数矩阵。当方程组的行列式|A|≠0时，系数矩阵A 可逆，用
A 的逆矩阵A-1左乘（9）式的两端，那么由（8）式得
????????? ??x x x n i 1=
|A |1???????
? ??A A
A A A A A
A
A nn n
n
ni i
i n
2121112
11????
??
? ??b b b n 21 由此，对i=1,2,…,n,有
x
i
=|
A |1()A A
A ni i
i
21????
??
? ??b b b n 21
=
|
A |1
(b 1A 1i+b 2A 2i+…+bnAni) 这正是克莱姆规则给出的方程组的解。
最后我们研究一下矩阵乘积的行列式和矩阵乘积的秩。我们将要得出两个有用的结论。 先看矩阵乘积的行列式。 首先证明
引理 5.2.6 一个n 阶矩A 总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵
A = ??????
?
?
?d d
d n 002
1
,
并且|A|=|ā|=d 1d 2…dn
证 如果A 的第一行和第一列的元素不都是零。那么必要时总可以通过第三种初等变换使左上角的元素不为零。于是再通过适当的第三种初等变换可以把A 化为
??????
?
?
?00
001
1A
d
. 如果A 的第一行和第一列的元素都是零，那么A 已经具有（10）的形式。对A1进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A 化为对角矩阵。根据行列式的性质，我们有 |A|=|ā|=d 1d 2…dn
定理 5.2.7 设A ，B 是任意两个n 阶矩阵。那么 |AB|=|A||B |
证 先看一个特殊情形，即A 是一个对角矩阵的情形。设
A = ????
??
?
?
?d d
d n 002
1
.
令B=（bij ），容易看出
AB =
b b b d d d n
n
1
21
112
1
b
b
b
d b d b d b
d d d nn
n
n n
n n
212
2
22
1122
1
因此由行列式的性质得
|AB|= =|A||B |
现在看一般情形，由引理5.2.6，可以通过第三种初等变换把A 化为一个对角矩阵ā，并且|A|=|ā|。矩阵A 也可以反过来通过对ā施行第三种初等变换而得出。这就是说，存在T ij(k)型T 1,T 2,…,T q ,使
A= T 1 T p āT p+1 T q
于是AB=（T 1 T p ā）（T p+1 T q B ）。然而由行列式的性质知道，任意一个n 阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而有所改变，换句话说，用一些Tij(k)型的初等矩阵乘一个n 阶矩阵不改变这个矩阵的行列式。因此，注意到ā是一个对角矩阵，我们有 |AB|= |T 1 T p āT p+1 T q B| = |āT p+1 T q B|
= |ā||T p+1 T q B| = |ā||B|
= |A||B| .
由这个定理显然可以得出，对于m 个n 阶矩阵A 1，A 2，…，A m 来说，总有
|A 1A 2…A m |=|A 1||A 2|…|A m |
6 关于矩阵乘积的秩
定理 5.2.8 两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩。特别，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩。
证 设A 是一个 m ×n 矩阵，B 是一个n ×p 矩阵，并且秩A=r 。由定理5.2.2，可以对A 施行初等变换将A 化为
ā=???
?
??00
0I r
. 换句话说 ，存在m 阶初等矩阵E 1，…，E p 和n 阶初等矩阵E p+1,…,E q,使
E 1…E pA E p+1…E q = ā. 于是
B A AB E E E E E E E E p q q p p p 1
11111-+-+=
= B A B A E E
p q
=-+-1
11 ,
这里B=
.1
11B E E
p q
-+- ，显然，B A 除前r 行外，其余各行的元素都是零，所以秩 B A ≤r 。
另一方面，E 1…E p AB 是由AB 通行初等变换而得到的，所以它与AB 有相同的秩。这样就证明了 秩AB ≤秩A ，同理可证秩AB ≤秩B 。
如果A ，B 中有一个，例如A 是可逆矩阵。那么一方面，秩AB ≤秩B ；另一方面，由于B=A -1（AB ），所以秩B ≤秩AB 。因此，秩AB=秩B 。
这个定理也很容易推广到任意m个矩阵的乘积的情形。任意m个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩。
5.3 矩 阵 的 分 块
教学目的：
1、掌握矩阵运算的分块技巧。 教学内容：
设A 是一个矩阵。 我们在它的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成 若干小块。 例如 ，设A 是一个4*3矩阵
a11 a12 a13
a21 a22 a23
A=
a31 a32 a33
a41 a42 a44
我们可以如下地把它分成四块：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 A=
a31 a32 a33 a41 a42 a44
用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵。 上面的分块矩阵A 是由以下四个矩阵组成的：
a11 , a12 a13 A11= a21 A12= a22 a23
a31 , a23 a33 A21= a41 A22= a42 a43
我们可以把A 简单地写成：
A= A11 A12 A21 A22
给了一个矩阵，可以有各种不同的分块方法。例如，我们也可以把上面的矩阵A 分成两块： a11 a12 a13 A= a21 a22 a23 a31 a32 a33 ------------------- a41 a42 a43
或者分成六块： a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
a41 a42 a43
等等。没一个分块的方法叫做A 的一种分法。
根据矩阵的加法和数与矩阵的乘法的定义，如果A ，B 是两个m*n 的矩阵，并且对于 A ，B 都用同样的分法来分块：
A11 ............A1q B11 (1)
A= ………………… ， B= ………………… Ap1…………Apq Bp1…………Bpq 而a 是一个数，那么
A11+B11…………A1q+B1q A+B= ……………………………… Ap1+Bp1…………Apq+Bpq
Aa11…………Aa1q
Aa= …………………… aAp1…………aApq
这就是说，两个同类的矩阵A ，B ，如果按同一种分法进行分块，那么A 与B 相加时，只需要最常用到的是矩阵的分块乘法。为了说明这个方法，先看一个例子。设
a11 a12 a13
a21 a22 a23
A11 A12
A= a31 a32 a33 = A21 A22
a41 a42 a43
b11 b12 B11
B= b21 b22 =
------------ B21
b31 b32
分块乘法就是在计算AB时，把各个小块看成矩阵的元素，然后按照通常矩阵乘法把它们相乘。用式子写出，就是
A11 A12 B11 A11B11+A12B21 C1
AB= A21 A22 B21 = A21B11+A22B21 = C2
一般地说，设A=（aij）是一个m*n矩阵，B=（bij ）是一个n*p矩阵。把A 和B如下地分块，使A的列的分法和B的行的分法一致：
n1 n2 … ns
A11 A12…A1s m1
A21 A22…A2s m2
A= ┋┋┋┋
Ar1 Ar2… Ars mr
P1 P2 …Pt
B11 B12…B1s n1
B21 B22…B2s n2
A= ┋┋┋┋
Br1 Br2… Bsi ns
这里矩阵右面的数m1，m2，…，mr和n1，n2，…ns分别表示它们左边的小块矩阵的行数，而矩阵上面的数n1，n2，…，ns和p1，p2，…，pt分别表示它们下边的小块矩阵的列数，因而：
m1+m2+…+mr=m，
（1） n1+n2+…+ns=n，
p1+p2+…+pt=p.
那么就有
P1 P2 … Pt
C11 C12… C1t m1
C21 C22… C2t m2
AB= ┋┋┋┋
Cr1 Cr2… Crt mr
这里
Cij=AijB1j+….+Ai8B8j ,I=1,…，r；j=1，…，t。
现在来证明，（2）式成立。
由于对A和B 的分法，乘积AiqBqj（q=1，2，…，s）都有意义，都是mi*pi矩阵，因而它们的和Cij也是mi*pj矩阵。于是由（1）式知，（2）式右端的矩阵。设用通常矩阵乘法得
AB=（cij）
那么（cij）显然也是m*p矩阵。因此我们只需证明，（Cij）和（cij）的对应元素相等。
看任一元素cij。那么它是A的第i行与B的第j列的乘积：（3） cij=ai1b1j+…+ainbnj，由于
1≤i≤m=m1+…+mr，1≤j≤p=p1+…+pi，
可以假定
i=m1+…+m h-1+u， 1≤u≤mk；
（4）j=p1+…+p k-1+v， 1≤v≤pk
于是与cij对应的是小块矩阵Chk中第u行第v列的元素的和，即Ah1，…，Ahs的第u 行分
别与B1k，…，Bsk的第v列的乘积的和。但由（4），Ah1，…，Ahs的第u行凑起来就是A的
第i行，而B1k，…，Bsk的第v列凑起来就是B的第j 列。所以
b1j
（5） c uv=（ai1…ain1）┊ +(ai,n1+)
bn1j
比较（3）和（5），得cij= c uv。
在某些情形，对矩阵进行适当的分块，可以简化计算。我们看两个例子。
例1设
1 0 0 0 1 0 3 2
A= 0 1 0 0 B= -1 2 0 1
-1 2 1 0 1 0 4 1
1 1 0 0 -1 -1
2 0
为了求乘积AB，我们可以对A，B如下地分块
1 0 0 0
0 1 0 0 I O
A= = A1 I
-1 2 1 0
1 1 0 0
因此求得：
1 0 3 2
-1 2 0 1
AB= -2 4 1 1
-1 1 5 3
例2设
A C
P = O B
是一个n阶正方阵，并且A，B分别为r阶可逆正方阵，r+s=n。我们证明，P可逆。
于是
A-I -AC B-1
X = O B-1
形式如
A1 O … O
O A2 … O
………………
O O … As
的分块矩阵，其中Ai是一个ni阶的正方阵，叫做一个对角线分块矩阵。设
A1 O … O B1 O … O
A= O A2 … O O B2 … O
………………，…………………
O O … As O O … O
是两个同阶的对角线分块矩阵,并且有相同的分法.那么根据分块矩阵的运算,我们有
A1+B2 O … O A+B= O A2+B2 … O
;
…………………………………
O O … As+Bs
A1B1 O … O
AB= O A2B2 … O ,
…………………………
O O … AsBs
如果每一,那么A也有逆,并且
A1-1 O … O
A-1= O A2-1 … O .
………………
O O … As -1
高等代数 矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果20,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--??但. 3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ??=s I PAQ
正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11 (*)|| A A A -= . 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题 1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）. (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB (A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵. (A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ C ）.
高等代数(张禾瑞版)备课教案-第5章矩阵
第五章 矩 阵 教学目的： 1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。 2. 了解几种特殊矩阵的性质。 教学内容： 5.1 矩阵的运算 1 矩阵相等 我们将在一个数域上来讨论。令F 是一个数域。用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵 A= ?????? ? ??a a a a a a a a a mn m m n n 2 1 222 2111211 叫做F 上一个矩阵。A 也简记作（a ij ）。为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。 一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。 F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。 以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。 我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。 先引入前两种运算。 2 矩阵的线性运算 定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。 注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。 以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。 现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。 3 矩阵线性运输的规律 A+B=B+A ； (A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0； a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ； 这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
【高等代数】理解矩阵
线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。 事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。 大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说： * 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？ * 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？ * 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？ * 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？ * 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结
高等代数北大版第四章矩阵知 识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第四章 矩阵（ * * * ） 一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。 二、考点精讲： （一） 基本概念及其运算 1.基本概念 矩阵—形如????? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。 （1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。 （3）称??? ? ? ??=11 E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。 （5）转置矩阵—设??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 122221 11211 ，记?? ? ? ? ? ? ??=mn n n m m T a a a a a a a a a A 212221212111 ， 称T A 为矩阵A 的转置矩阵。 （6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型 矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。 （7）伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每
高等代数北大版教案-第8章λ-矩阵
·９１· 第八章 λ-矩阵 本章主要介绍λ-矩阵及其性质，并用这些性质证明若当标准形的主要定理。 §1 λ-矩阵 如果一个矩阵的元素是λ的多项式，即][λP 的元素，这个矩阵就称为λ-矩阵。 为了与λ-矩阵相区别，我们把以数域P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。由于数域中的数也是][λP 中的元素，所以在λ-矩阵中包括以数为元素的矩阵，即数字矩阵为λ-矩阵的一个特殊情形。 同样可以定义一个λ-矩阵的行列式，既然有行列式，也就有λ-矩阵的子式的概念。利用这个概念。我们有 定义 1 如果λ-矩阵)(λA 中有一个r )1(≥r 级子狮不为零。而所有1+r 级子式（如果有的话）全为零，则称)(λA 的秩为r ，零矩阵的秩规定为零。 定义2 一个n n ?的λ-矩阵)(λA 称为可逆的，如果有一个n n ?的λ-矩阵)(λB 使 )(λA )(λB =)(λB )(λA =E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。适合（1）的矩阵)(λB （它是唯一的）称为)(λA 的逆矩阵，记为)(1λ-A 关于λ-矩阵可逆的条件有 定理1 一个n n ?的λ-矩阵)(λA 是可逆的充分必要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数。
·９２· §2 λ-矩阵在初等变换下的标准形 λ-矩阵也有初等变换。 定义3 下面的三种变换叫做λ-矩阵的初等变换： （1）矩阵的两行（列）互换位置； （2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c ； （3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的)(λΦ倍，)(λΦ是一个多项式。 初等变换都是可逆的，并且有 ))(())((),,(),(111---==c i p c i p j i p j i p ,))(,())(,(1?φ-=-j i p j i p 。 为了写起来方便起见，我们采用以下的记号： ],[j i 代表j i ,行（列）互换位置； )]([c i 代表用非零的数c 去乘i 行（列） ； )]([φj i +代表把j 行（列）的)(λφ倍加到i 行（列）。 定义4 λ-矩阵)(λA 称为与)(λB 等价，如果可以经过一系列初等变换将)(λA 化为)(λB 。 等价是λ-矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质： （1） 反身性：每一个λ-矩阵与自己等价。 （2） 对称性：若)(λA 与)(λB 等价，则)(λB 与)(λA 等价。这是由于 初等变换具有可逆性的缘故。 （3） 传递性：若)(λA 与)(λB 等价，)(λB 与)(λC 等价，则)(λA 与 )(λC 等价， 引理 设λ-矩阵)(λA 的左上角0)(11≠λa ，并且)(λA 中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与)(λA 等价的矩阵)(λB ，它的左上角元素也不为零，但是次数比)(11λa 的次数低。
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结
第四章 矩阵（ * * * ） 一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。 二、考点精讲： （一） 基本概念及其运算 1.基本概念 矩阵—形如???? ?? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 22221 11211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。 （1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。 （3）称??? ? ? ??=11 O E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij Λ==，称A 为对称矩阵。 （5）转置矩阵—设??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 22221 11211，记?????? ? ??=mn n n m m T a a a a a a a a a A Λ ΛΛΛΛΛ Λ212221212111 ，称T A 为矩阵A 的转置矩阵。 （6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。 （7）伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式， 这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记????? ? ? ??=*nn n n n n A A A A A A A A A A Λ ΛΛΛΛΛΛ2122212 12111 ，称为矩阵A 的伴随矩阵。 2.矩阵的三则运算