数学圆锥曲线测试高考题
一、选择题:
1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2
=1的一条渐近线方程为y =43x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32
2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆
x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( )
(A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12
3.(2006全国卷I )抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( )
A .43
B .75
C .85
D .3 4.(2006高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( )
B. C. 2 D. 4 5.(2006卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( )
A.一椭圆和一双曲线的离心率
B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率
6.(2006卷)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22
1(59)59x y m m m
+=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
7.(2006高考卷)若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4
8.(2006卷)直线2y k =与曲线2222
918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题:
9. (2006全国卷I )双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。
10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设
点11,2A ?? ???
,则求该椭圆的标准方程为 。 11. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在 x 轴上,离2。过l 的直线 交于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为 。 12. (2011年高考卷理科14)双曲线22
x y =1P 46436
-上一点到双曲线右焦点的距离是,那么点P 到左准线的距离是 .
13. (卷)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4,则双曲线的标准方程是____________________. 14. (2011年高考全国卷理科15)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 2
27
y =1的左、右焦点,点A 为C 上一点,点M 的坐标为(2,0),AM 为∠F 1AF 2的角平分线.则|AF 2| = .
三 、解答题:
15.已知抛物线关于y 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M (32,3-),求它的标准方程。
16.(2010理数)已知m >1,直线2:02m l x my --=,椭圆2
22:1x C y m
+=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点。 (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;
(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F ,12BF F 的重心分别
为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆,数m 的取值围.
17.(2010卷)在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15
92
2=+y x 的左、右顶点为A 、B ,右焦点为F 。设过点T (m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。
(1)设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹;
(2)设3
1,221==x x ,求点T 的坐标; (3)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)。
18.中心在原点,焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且13221=F F ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为3:7。求这两条曲线的方程。
19. (2011年高考卷理科20)(本小题满分12分)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.
(I)设
1
2
e ,求BC与AD的比值;
(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由
20. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ?? ???
. (1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P 是椭圆上的动点,求线段PA 中点M 的轨迹方程;
(3)过原点O 的直线交椭圆于点,B C ,求ABC ?面积的最大值。
高二数学圆锥曲线高考题选讲答案
1.双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得45,33
b c e a a ====可得,故选A
2. (数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC ?的周长为4a=所以选C
3.设抛物线2y x =-上一点为(m ,-m 2),该点到直线4380x y +-=的距离为2|438|5
m m --,当m=32时,取得最小值为43
,选A. 4.依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ,2332===
a c e ,故选C. 5.方程22520x x -+=的两个根分别为2,
12,故选A 6.由221(6)106x y m m m +=<--知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆,由22
1(59)59x y m m m
+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线,故只能选择答案A 。
7.椭圆22
162
x y +=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =,故选D 。 8.将2y k =代入2222918k x y k x +=得:2222
9418k x k k x += 29||1840x x ?-+=,显然该关于||x 的方程有两正解,即x 有四解,所以交点有4个,故选择答案D 。
9.双曲线22
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,∴ m<0,且双曲线方程为2214x y -+=,∴ m=14-。
10.椭圆的标准方程为14
22
=+y x 11. 答案:18
162
2=+y x 解析:由椭圆的的定义知,4,164=∴==?a a C ,又因为离心率22,2
2=∴=c a c ,8222=-=∴c a b 因此,所求椭圆方程为:18
162
2=+y x ; 12. 答案:16
解析:由双曲线第一定义,|PF 1|-|PF 2|=±16,因|PF 2|=4,故|PF 1|=20,(|PF 1|=-12舍去),设P 到左准线的距离是d ,由第二定义,得20108
d =,解得16d =. 13.双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5:4,即:5:4c b =,
解得5,4c b ==,则双曲线的标准方程是22
1916
x y -=. 14. 【答案】6
【解析】:12(6,0),(6,0)F F -,由角平分线的性质得1122824
AF F M AF MF === 又12236AF AF -=?= 26AF ∴=
15.解:因为抛物线关于y 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M (32,3-),所以可设它的标准方程为:)0(22>=p px y ,又因为点M 在抛物线上,所以 )32(2)3(2--=x p
即43=p ,因此所求方程是y x 2
32-=。 16. (Ⅰ)解:因为直线:l 202m x my --=经过22(1,0)F m -,2
212
m m -=,得22m =, 又因为1m >,所以2m =,
故直线l 的方程为2
2202
x -=。 (Ⅱ)解:设1122(,),(,)A x y B x y 。
由2
222
21m x my x y m ?=+????+=??,消去x 得 2
2
2104m y my ++-= 则由2
2
28(1)804m m m ?=--=-+>,知28m <, 且有212121,282
m m y y y y +=-=-。 由于12(,0),(,0),F c F c -,
故O 为12F F 的中点,
由2,2AG GO BH HO ==,
可知1121(
,),(,),3333x y x y G h 22
21212()()99
x x y y GH --=+ 设M 是GH 的中点,则1212(
,)66x x y y M ++, 由题意可知2,MO GH < 即22
2212121212()()4[()()]6699
x x y y x x y y ++--+<+ 即12120x x y y +<
而22
12121212()()22
m m x x y y my my y y +=+++ 22
1(1()82m m =+-) 所以21082
m -< 即2
4m <
又因为1m >且0?>
所以12m <<。
所以m 的取值围是(1,2)。
17. [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
(1)设点P (x ,y ),则:F (2,0)、B (3,0)、A (-3,0)。
由422=-PB PF ,得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92
x =。 故所求点P 的轨迹为直线92x =
。 (2)将31,221==x x 分别代入椭圆方程,以及0,021<>y y 得:M (2,53)、N (13,209
-) 直线MTA 方程为:03523
03
y x -+=+-,即113y x =+, 直线NTB 方程为:032010393
y x --=---,即5562y x =-。 联立方程组,解得:7103x y =???=??
, 所以点T 的坐标为10(7,)3
。 (3)点T 的坐标为(9,)m
直线MTA 方程为:
03093y x m -+=-+,即(3)12
m y x =+, 直线NTB 方程为:03093y x m --=--,即(3)6m y x =-。 分别与椭圆15
92
2=+y x 联立方程组,同时考虑到123,3x x ≠-≠, 解得:2223(80)40(,)8080m m M m m -++、2223(20)20(,)2020m m N m m
--++。 (方法一)当12x x ≠时,直线MN 方程为:222222222
203(20)202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =,解得:1x =。此时必过点D (1,0);
当12x x =时,直线MN 方程为:1x =,与x 轴交点为D (1,0)。