数值分析习题
1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限
)1.0ln(,121,101
1,1014321==
=
=
x x x x
1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对
误差限和有效数字的位数。
3
*
5*
4*
3*
2*
1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0?=====x x x x x
1.3 为了使
3
1的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字?
1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?
(1) x x sin )sin(-+ε,其中ε充分小 (2) ?
++1
2
1N N
x dx
,其中N 是充分大的正数
(3)
x
x
sin cos 1-,其中x 充分小
(4) o 1cos 1- (5) 1001.0-e
(6) )11010ln(84--
1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。
2.1 证明方程043=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有
效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根)
2.2 用二分法求方程0134=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求2
10
21-?=
ε。
2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210-=ε。
(1) 02=--x x ；
(2) 06cos 2=-++-x e x x ； (3) 01tan =--x x ； (4) 0sin 2=--x e x 。
2.4 考虑方程032
=-x e x ，将其改写为3
x
e
x ±
=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，
分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310-=ε)。
2.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：
(1) 2
12
1111k
k x x x
x +
=?
+
=+，；
(2) 3
2
12
311k k x x x x +=
?+=+，；
(3) 1
11
112
-=
?
-=
+k k x x x x ，。
试分析每一种迭代公式的收敛性。 2.6 考虑用迭代法求解下列方程：
(1) )2(312
x e
x x
+-=
-；
(2) x
x -=5；
(3) 2
7475.1--+=x x x 。
按所给的形式建立迭代公式，试确定区间[a, b ], 使迭代公式收敛, 并求出满足精度要求
3
10
-=ε的解。
2.7 用迭代法的思想，给出求2
2222+
+
++
+
的迭代公式，并证明：
222222lim
=+++++∞→
n
n 。
2.8 能否用简单迭代法求解下列方程，如果不能，请给出收敛的迭代公式。
(1) )sin (cos 4
1x x x +=
；
(2) x x 24-=。
2.9 已知)(x x ?=在区间[a,b ]内有一个根，且当a
)(x x ?=化为收敛的迭代公式。
2.10 用Steffensen 加速迭代法求方程13-=x x 在[1,1.5]内的根
2.11 试用Newton 法求方程032=-x e x 的根, 分别取初始点0.4,0.1,5.00-=x , 精度要求
为310-=ε。
2.12 选择适当的初始点, 试用Newton 法求出满足精度要求为310-=ε的解
(1) )2(312
x e
x x
+-=
-；
(2) 0cos 102=+x x 。 2.13 导出计算
)0(1>a a
的Newton 迭代公式，使公式中即无开方又无除法运算。
2.14 设??
?-∞∈--∞∈=)0,(,),0[,
)(1x x x x x f ,????
?-∞∈-∞∈=)
0,(,
),0[,
)(3
2322x x x x x f ，函数)(1x f 和)
(2x f 均有零点x =0，分别讨论用Newton 法解0)(1=x f 和0)(2=x f 是否收敛？收敛的阶是多少？
2.15 用Newton 法设计一种不用除法的迭代公式，求正数c 的倒数，并证明：当初值0x 满足
c
x 200<
<时，该迭代法收敛。
2.16 试用Newton 法解方程03=-a x , 导出求立方根3
a 的迭代公式，讨论取什么初值可
使迭代收敛。
2.17 为了简化，在Newton 迭代公式中用)(0x f '代替)(k x f '，试问这种迭代是几阶的？ 2.18 设2
3
)()(a x x f -=, 写出解0)(=x f 的Newton 迭代公式, 并证明迭代公式是线性收
敛的。
2.19 设非线性方程0)3)(133()(23=+-+-=x x x x x f , 其根1,3*2*1=-=x x . 写出求*
1
x 的近似值时，二阶局部收敛的Newton 迭代公式和求*
2x 的近似值时，二阶局部收敛的
Newton 迭代公式。
2.20 设0)(=x f 有根，且)()(0∞<<-∞≤'≤ (1k k k x f x x λ-=+产生的序列k x 对任意的0x 和M 20< <λ均收敛于根。 2.21 为用迭代法求方程0)(=x f 的根α，若将方程改写成)()(x g x Cf x x =+=, 其中C 为 待定常数。设)(x f '连续且0)(≠'αf , 试确定C , 使序列)(1k k x g x =+收敛于α,且尽可能收敛得快。 习题三 3.1 考虑线性方程组 6 545953 2 321 21-= + - =-+-=-x x x x x x x (1) 用顺序Gauss 消去法求解该方程组； (2) 用LU 分解算法求解该方程组。 3.2 考虑线性方程组 11 42311243423 2 1 321321= + - =-+=--x x x x x x x x x (1) 用顺序Gauss 消去法求解该方程组； (2) 用列主元Gauss 消去法求解该方程组。 3.3 考虑线性方程组 53 .048.104.368.203.130.1874.048.105.053.448.151.23 2 1 321321-= - + =-+=++x x x x x x x x x (1) 用顺序Gauss 消去法求解该方程组； (2) 用列主元Gauss 消去法求解该方程组； (3) 试检验⑴和⑵所得的两个解中, 哪个更接近准确解？ (计算过程保留三位有效数字. 方程的准确解为： (1.35533, -1.29208, -0.252451)。 3.4 试用列主元Gauss-Jordan 消去法求下列矩阵的逆矩阵(用分数运算) ???? ? ?????--???? ? ?????--12 1 011322 ) 2(,01 1 012111)1( 3.5 对下列矩阵作LU 分解 ???? ? ?????--30 1 021112 3.6 设n n ij a A ?=)(, 试导出A=LU 分解(Crout 分解)的计算公式. 其中L 为下三角矩阵, U 为 单位上三角矩阵, 即 ????? ? ??? ?? ?=????? ???? ???=11 1,21122 1 2221 11 n n nn n n u u u U l l l l l l L 并用此公式得到求解线性方程组Ax=b 的计算公式。 3.7 用追赶法解方程组 4 53423124 3 432 321 21=+ + =+++ =++=+x x x x x x x x x x 3.8 导出Crout 的形式 ??????? ? ??????? ??????????? ???? ? ?=??????????????? ?----11 1 1 111221112211n n n n n n n n u u l a l l a l b a c b b a c b 追赶法的计算公式。 3.9 设0),(11≠=a a A ij , 经过一步Gauss 消去法得到 ???? ? ?????=?? ? ? ??=)2()2(2 )2(2)2(222211 ,0 nn n n T a a a a A A a A 其中 α 试证明： (1) 若A 对称，则2A 对称； (2) 若A 对称正定，则2A 对称正定； 3.10 设A 对称正定，[]ij a A =, 经1步Gauss 消去后约化为[ ]) 2() 2(ij a A =，试证： (1) n i a ii ,,2,1,0 =>, 且A 绝对值最大的元素在对角线上； (2) n i a a ii ii ,,2,1,) 2( =≤； (3) ij n j i ij n j i a a max max ,1) 2(,1≤≤≤≤≤。 3.11 试证明：单位下三角阵的逆、积还是单位下三角阵。 3.12 试证明：如果A 是对称正定阵，则1-A 也是对称正定矩阵且A 可唯一地写成形式 L L A T =，其中L 是具有对角元的下三角阵。 3.13 设?? ?? ??-=21 1 a A , 试分析当a 为何值时可作L L T 分解, 其中L 是对角线元素为正的下三角阵，并求矩阵L 。 3.14 设??? ? ? ??? ? ?=221 12a a A , 为使A 可分解为L L A T =, 其中L 为对角线元素为正的下三角阵， a 的取值范围是多少？若取a =1, 求矩阵L 。 3.15 已知Ax=f , 其中 ???? ? ?????=???? ? ?????---=010,21 21 12 f b a b A (1) 试问参数a 和b 满足什么条件时，可选用平方根法求解该方程组？ (2) 取b=0, a = -1, 试用追赶法求解该方程组。 3.16 设n R x ∈，试证明： ∞ ∞ ≤≤x n x x 1 ∞ ∞ ≤≤x n x x 2 12 1 1x x x n ≤≤ 3.17 设n n R A ?∈，试证明： ∑ =≤≤=n i ij n j a A 1 11 max 3.18 设n n R A ?∈，试证明： F F A A A n ≤≤21 3.19 设矩阵A 非奇异，求证 A A 11 ≥ - 3.20 设矩阵A 非奇异，求证 n A λλ1)(Cond ≥ 其中n λλ,1分别是矩阵A 的最大最小特征值，且当A 为对称矩阵时，上式等号成立。 3.21 设矩阵A 非奇异，试证明：若11<-A A δ, 则)(A A δ+非奇异，且满足 A A A A δδ-≤ +-1) (1 3.22 方程组Ax=b , 设A 非奇异阵，b 有扰动b δ, 从而引起方程组解x 有扰动x δ, 试证明： b b A x x δδ) (Cond ≤ 3.23 求下面两个方程的解，并利用矩阵的条件数对解进行分析。 ?? ? ???=???? ??++???? ??--?? ? ???=?????????? ??--43240179319240432405 .1795.319240221121x x x x x x δδ， 3.24 已知?? ? ? ??=989999100A , 求p A 和∞=,2,1,)(Cond p A p 。 3.25 求矩阵?? ? ? ??-=13 01A 的谱半径。 3.26 已知矩阵A 与矩阵B 是对称的，求证：)()()(B A B A ρρρ+≤+。 3.27 设有方程组Ax=b ，其中 ????? ?? ? ???? ????-=???? ? ?????-=323121,22 122 101b A 已知它有解T x ?? ? ??- =0, 3 1, 2 1 , 如果右端有小扰动6 10 21-∞ ?=b δ, 试估计由此引 起的解的相对误差。 习题四 4.1 证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解下列方程组必收敛，并求解，要求 4 ) 1() (10 -∞ -≤-k k x x 。 ?? ? ??=+--=-+-=--7 52610242210321321321x x x x x x x x x 4.2 下面两个方程组Ax=b ，若分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解，是否收敛？ ???? ? ?????---???? ? ?????-21 1 222112 ) 2(,12 2 111221 )1( 4.3 把线性方程组 1 221212134234 332x x x x x x x x -=-==+=+改写成 然后用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求, 取初始点 (1.01, 1.01), 观察迭代点列是否收敛(已知方程的解为(1, 1))。 4.4 设22)(?=ij a A 是二阶矩阵，且02211≠a a , 试证求解方程组Ax=b 的Jacobi 方法与Gauss-Seidel 方法有相同的敛散性。 4.5 设线性方程组Ax=b 的系数矩阵为 ???? ? ?????-=a a a A 2 3 21 31 试求使Jacobi 方法收敛的a 的取值范围。 4.6 试证明：若矩阵A 是严格对角占优的，则Jacobi 迭代法是收敛的。若矩阵A 是严格按 列对角占优的, 即 n j a a n ij jj i j i ,,2,1,1 => ∑ =≠ 则Jacobi 迭代法是收敛的。 4.7 系数矩阵为对称正定的二阶线性方程组, Jacobi 方法和Gauss-Seidel 方法是否一定收 敛？试证明你的结论。 4.8 方程组Ax=b , 其中????? ??? ??-----=15 .05.025 .05.01a a A (1) 利用迭代收敛的充要条件求出使Jacobi 迭代法收敛的a 的取值范围，a 取何值时 Jacobi 迭代收敛最快； (2) 选择一种便于计算的迭代收敛的充分条件，求出使Gauss-Seidel 迭代法收敛的a 的 取值范围。 4.9 设A 是正定对称阵，其最大特征值为1λ，试证当α满足1 2 0λα< <时，迭代公式 )() () () 1(k k k Ax b x x -+=+α收敛。 4.10 用SOR 方法解线性方程组(取9.0=ω) 3 103220241225321321321=+-=++--=++x x x x x x x x x 4.11 已知方程组Ax=b ，其中?? ????=???? ??=21,2112b A ，有迭代公式 ,2,1,0),() () () 1(=-+=+k b Ax x x k k k ω 试问：(1) 取什么范围的ω值能使迭代收敛？(2) ω取什么值使迭代收敛最快？ 4.12 设求解线性方程组Ax=b 的迭代法 ,2,1,0,) () 1(=+=+k f Bx x k k 收敛，求证：对10<<ω 迭代法 ,2,1,0,))1(() () 1(=++-=+k f x B I x k k ωω 收敛。 4.13 设A 为严格对角占优矩阵，且10≤<ω，试证明：解Ax=b 的SOR 方法收敛。 习题五 5.1 已知12144,11121,10100===, 分别用线性插值与二次插值求115的近似值。 5.2 以4,1=x 为插值节点, 作x y 1= 的线性插值函数, 并求3,2=x 处函数)(x f 的近似值。 5.3 (1) 以1,010==x x 为插值节点, 做x e y -=的线性插值； (2) 以2,1,0210===x x x 为插值节点, 做x e y -=的二次插值； (3) 估计上面两个结果的误差。 5.4 已知函数表: 17903 .015932 .013954 .011910 .0) (1972.11735.11503.11275.1x f x 应用Lagrange 插值公式计算f (1.1300)的近似值。 5.5 设)(x f 在[a,b ]内有连续的二阶导数, 且0)()(==b f a f , 求证: )(max )(8 1)(max 2 x f a b x f b x a b x a ''-≤ ≤≤≤≤ 5.6 设),,2,1,0(n k x k =为互异的插值节点，求证： (1) ),,2,1,0(,)(0n i x x l x i n k k i k =≡∑=； (2) ),,2,1(,0)()(0 n i x l x x n k k i k =≡-∑=。 5.7 设)(x P 是任意一个首次项系数为1的n +1阶多项式，),,2,1,0(n k x k =为n +1个互 异的插值节点，)())(()(101n n x x x x x x x w ---=+ , 证明： (1) )()()()(10 x w x l x P x P n n k k k +==- ∑; (2) ∑=++'-+ =n k k n k k n x w x x x P x w x P 0 11)()()(1) ()(。 5.8 证明n 阶差商具有下列性质: (1) 若)()(x cf x F =, 则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =, 其中c 为任意常数； (2) 若)()()(x g x f x F +=, 则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=。 5.9 设13)(4 7 +++=x x x x f ，求]2,,2,2[],2,,2,2[8 1 7 1 f f 。 5.10 设1110)(++++++=n n n n a x a x a x a x f 有n +1个不同的实根n x x x ,,,10 , 证明： ???=-≤≤='-=∑ n m a n m x f x n k k m k 1 00 100)( 5.11 求经过)4,2(),1,1(),1,0(C B A -三点的插值多项式。 5.12 给出函数表 88 46 16 54210y x 求各阶差商, 并写出Newton 基本插值公式。 5.13 已知函数)(x f 的数据如下表： 27 9 3 1 ) (3210x f x 试做一个三次多项式)(3x P , 利用)(3x P 计算3。 5.14 已知函数表: 34066 .303035 .365271 .246459 .241450 .2) (921.1828.1702.1634.1615.1x f x 选取适当的节点, 分别用二次Newton 基本插值公式计算)(x f 在x =1.628, 1.813处的近似值。 5.15 设n n y 2=, 求n y 4 ?。 5.16 利用差分的性质证明： )12)(1(6 1212 2 2 ++= +++n n n n 5.17 利用差分的性质求)2(24231+?++?+?n 的和函数。 5.18 已知函数表: 0228 .605632 .600413 .704371 .707334 .709618 .70) (50.7025.6000.5075.3050.2025.10x f x 分别用Newton 向前插值公式和Newton 向后插值公式计算f (0.158)及f (0.636)的近似值。 5.19 试证明两点二次插值多项式是存在且唯一的。 5.20 试证明两点三次插值多项式是存在且唯一的。 5.21 已知函数表: 1 2 ) (12)(10-'x f x f x 分别构造二点二次Hermite 插值公式和二点三次Hermite 插值公式。 5.22 求次数不高于4次的多项式p (x), 使它满足 (1) 1)3(,0)2()2(,0)1()1(=='=='=p p p p p ； (2) 1)2(,1)1()1(,0)0()0(=='=='=p p p p p 。 5.23 已知函数)(x f y =的数据如下表： 1 01 101210k k k y y x k '-- 求次数不超过3的Hermite 插值多项式)(3x H , 使1133)(),2,1,0()(y x H k y x H k k '='==。 5.24 设??? ??≤<+-+-+-≤≤=31,1)1()1()1(2 11 0,)(2 33x x b x a x x x x S 是[0,3]上以0,1,3为节点的三次样条函数，求系数a 与b 。 5.25 已知数据表 4 6 4 1 4321y x 分别用k M 参数方法和k m 参数方法求出1)4(,0)1(='='S S 的三次样条函数. 并分别求出)5.3(),5.1(S S 的值。 习题六 6.1 求区间[0,1]上以1)(=x ρ为权的最高项系数为1的正交多项式)(0x φ, )(1x φ和)(2x φ。 6.2 设{}∞ =0)(k k x φ是区间[0,1]上权函数为2)(x x =ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其 中1)(0=x φ, 求)(1x φ, 并计算积分?1 32)(dx x x φ。 6.3 求下列函数在指定区间上的一次最佳平方逼近多项式 (1) ]1,0[,)(∈= x x x f ； (2) ]1,1[,)(-∈=-x e x f x ； (3) ]1,0[),sin()(∈=x x x f π。 6.4 求]1,1[,)(-∈=x x x f 在{}42,,1x x =Φ上的最佳平方逼近多项式。 6.5 求a,b ，使得?-+2 2 )sin π dx x b ax （ 最小。 6.6 利用Legendre 多项式，求2 sin )(x x f π=在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式，并计算 均方误差。 6.7 试用最小二乘法求一次和二次多项式, 拟合下列数据： 836 .24061 .73334 .13645 .52003 .02392 .41826 .80295 .30209 .200.015.700.505.2005.200.505.700.01-----y x 6.8 已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线： 1 1 3 1 2 5.8865.4454321i i i y x ρ 6.9 求形如bx ae y = (a,b 为常数且a >0)的经验公式，使它能拟合下列数据： 6 .485 .473 .569 .750 .15 2.005.710.515.210.01i i y x 6.10 试用最小二乘法求形如2 bx a y +=的多项式, 拟合下列数据: 8 .973 .731 .493 .320 .194438312519y x 6.11 已知一组数据如下： 6 .1178 .876 .651 .496 .364 .275 .202 .1587654321i i y x 用最小二乘法对上述数据拟合形如：bx ae y =(a,b 为常数)的经验公式。 6.12 利用正交函数族做下列函数的二次拟合多项式: (1) 1)(),5,,1,0(2.0,cos )(====x k k x x x f k ρ ； (2) 1)(),5,,1,0(2.0,ln )(====x k k x x x f k ρ 。 习题七 7.1 确定下列求积公式中的待定参数, 使其代数精确度尽量高, 并指明所构造出的求积公式 所具有的代数精确度: (1) ? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f )()0()()(101； (2) ? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 22101)()0()()(； (3) []? -++-≈ 1 1 31)(3)(2)1(3 1)(x f x f f dx x f ； (4) ? ++≈h h f A h f A f A dx x f 30 210)2()()0()(。 7.2 如果0)(>''x f , 证明梯形公式计算积分?b a dx x f )(所得结果比准确值大, 并说明其几 何意义。 7.3 已知数据表 107 .3828 .2577 .2352 .2151 .2971 .1811 .1668 .1543 .1) (8.17.16.15.14.13.12.11.10.1x f x 试用复化梯形公式计算? 8 .10 .1)(dx x f , 分别取步长为h =0.1, 0.2, 0.4。 7.4 如果用复化梯形公式计算积分?4 .38 .1dx e x , 为使精度要求达到 3 10 2 1-?, 应取多大的步 长? 7.5 试用复化Simpson 公式计算?-1 02 dx e x (取9个节点)。 7.6 如果用复化Simpson 公式计算积分?1 dx e x , 为使精度要求达到 4 10 2 1-?, 应取多少个 节点? 7.7 试用变步长梯形公式计算?8 2 x dx , 精度要求2 10 -=ε。 7.8 试用Romberg 求积法算? 82x dx , 精度要求2 10 -=ε。 7.9 试建立下述形式的求积公式，并确定它的代数精确度（使其代数精确度尽可能高） []? '+'++≈h h f hb f hb h f a f a h dx x f 0 1010)()0()()0()( 7.10 求Gauss 型求积公式? +≈1 1100)()(x f A x f A dx x 的系数10,A A 及节点10,x x 。 7.11 用待定系数法确定在三点Gauss-Legendre 公式 ? -++- ≈1 1 210)5 3( )0()5 3()(f A f A f A dx x f 7.12 用待定系数法确定Gauss 型求积公式 ? -+≈+1 1 11002 )()()1)((x f A x f A dx x x f 中的10,A A 及节点10,x x 。 7.13 对于Gauss 求积公式?∑=≈ b a n k k k x f A dx x f x 0 )()()(ρ 试证明: 求积系数n k A k ,,1,0,0 =>且? ∑= =b a n k k dx x A )(0 ρ 7.14 已知恒等式 -+ - =4 52 3!5!3sin n n n n π π ππ试依据)12,6,3(sin =n n n π 的值， 用外推法求π的近似值。 习题八 8.1 运用Euler 方法和改进Euler 方法求下列初值问题在给定区间上的数值解, 计算结果保 留四位小数。 (1) ?????=≤≤=-=2.0,40,1)0(22h x y y x dx dy ； (2) ?????=≤≤=-=2.0,10,1 )0(h x y y dx dy 。 8.2 用Euler 方法和改进Euler 方法求初值问题?????=+=0 )0(y b ax dx dy 的解在),2,1(, ==n hn x n 处 的近似值。 8.3 运用标准四阶Runge--Kutta 法求初值问题?????=+=1 )1(32y y x x dx dy 的解在x =1.1,1.2,1.3处的近 似值, 计算结果保留三位小数。 8.4 运用标准四阶Runge--Kutta 法求初值问题?????=--=1 )0(2 y xy y dx dy 在区间[0,1]上的数值解, 取 步长h =0.2, 将计算结果与准确值1 )12()(---=x e x y x 进行比较。 8.5 常微分方程初值问题?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的单步法??? ??++++=+++22111n n n n n n y y x x hf y y 试证明该方法是无条件稳定的。 8.6 常微分方程初值问题?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的线性多步公式),(41131---++=n n n n y x hf y y 试 求该多步公式的局部截断误差主项并回答它是几阶精度的？ 8.7 试证明1113 2)4(2 1+-+'+ -= n n n n y h y y y 是二阶公式。 8.8 构造具有如下形式 )()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα 的线性多步法，使其达到二阶精度，并求其局部截断误差的主项。 8.9 运用Adams 外推公式和预报---校正公式求初值问题?????=--=0 )1(22y y x dx dy 在区间[-1,0]上的数 值解, 取步长h =0.1。 8.10 对于常微分方程初值问题?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy , 利用在区间[]11,+-n n x x 上的Simpson 求积公 式，建立具有如下形式 )(1101111-+--++++=n n n n n f f f h y y βββ 的线性多步法，试确定出相应的求积系数101,,βββ-。 答案： 3.2 1). (3,1,1) 2). (3,1,1) 3.4 1). 保留3位有效数字, 循序Gauss 消去法 2.51000e+000 1.48000e+000 4.53000e+000 5.00000e-002 0.00000e+000 1.00000e-003 - 3.97000e+000 1.00000e+000 0.00000e+000 0.00000e+000 5.79000e+003 -1.46000e+003 X= 4.74000e-001 0.00000e+000 -2.52000e-001 2). 保留3位有效数字, 列主元Gauss 消去法 2.68000e+000 3.04000e+000 -1.48000e+000 -5.30000e-001 0.00000e+000 -1.37000e+000 5.92000e+000 5.47000e-001 0.00000e+000 0.00000e-001 -3.96000e+000 9.98000e-001 X= 1.35000e+000 -1.49000e+000 -2.52000e-001 3.5 1.000 0.000 0.000 2.000 -1.000 -1.000 L= 0.500 1.000 0.000 U= 0.000 2.500 0.500 0.500 0.200 1.000 0.000 0.000 3.400 ??????? ???? ???? ? --=?? ?????????? ??? ?=517212 5112,15 1211211U L 3.7 2.941176470588235e-001 5/17 4.117647058823530e-001 7/17 4.705882352941176e-001 8/17 7.058823529411765e-001 12/17 3.14 ???? ? ??? ? ?++=?? ??????? ?????????? ?=????????? ?23323232 2232222 222 2121 1121112 11333222 21113332 222111 21 12112l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ?? ????? ??? ????? ? =????????? ?3323 6262223332 222111 l l l l l 4.1 9.999704409600e-001 Jacobi 迭代: 9.999765450240e-001 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= -- 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 第一章绪论 习题一 1.设R>0,RR的相对误差为δ，求f(R)=lnR的误差限。解：求lnR的误差极限就是求f(R)=lnR的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知RR的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数RR=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1.给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2.在-4≤R≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3.若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4.若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5.求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6.已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(R)=1.0067R+0.08367R(R-0.2)+0.17400R(R-0.2)(R-0.3 ) 由此可得 f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 7.给定f(R)=cosR的函数表 用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差 解：先构造差分表 习 题 二 解 答 1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31 102-?。 分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。 解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由 3 4311*10 2 2 2 2 2 n n n n n n b a b a x x -----≤ == = < ? 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。 x *≈x 11=3.632。 指出： （1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3 是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。 （3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。 1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。 解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+- 当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122 23,x x =-=。 因为2 14902150327(),()y y -=- <=-<，所以方程在区间223 (,)-上无根； 因为214903 27 ()y - =-<，而函数在23 (,)-∞- 上单调增，函数值不可能变号，所以 方程在该区间上无根； 因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根， 而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。 2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4 1 102-?的根，需要迭代多少次？ 分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。 解：令()1sin f x x x =--， 因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<， 数值分析复习题 一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。 第一章绪论 习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有 已知x*的相对误差满足，而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限 有２位有效数字， 有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2） 解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限 ，因, 故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令 因?得 3. 若,求和. 解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表 数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)! .f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj 第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )， 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812 ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分 0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21=x ， 71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限) 与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为 2105.0-?，问它们各有几位有效数字？ 习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差： 1、 0.1％,要取几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 （ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。 数值分析第四版习题及答案 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能 使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q (1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=--数值分析课后题答案
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