函数模型及其应用教案_00002

适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 几类不同增长的函数模型的特点、用已知函数模型解决实际问题、建立函数模型解决实际
问题
教学目标 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、
指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实
例。
教学重点 了解函数模型的广泛应用。
教学难点 了解函数模型的广泛应用。
【知识导图】
教学过程
一、导入
函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升 的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创 设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训 练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最 值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
二、知识讲解
考点 1 解决实际问题的解题过程第 1 页

（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、 被动关系，并用 x、y 分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般 都是函数的解析式； （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知 识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示：
实际问题
抽象概括
函数模型
考点 2 解决函数应用问题应这种培养下面一些能运用力
（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、函数归类等方法，快速弄清数据之
间的关系，数据的单位等等；
性 质
（2）建立函实数际模问型题的的能解力：关键是还正原确说选明择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数， 函数模型的解
建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函
数的定义域；
（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计
算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
类型三一、例函题数精模析型解决实际问题
例题 1
某地区 2019 年底沙漠面积为 95 万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续 5 年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如 果不采取任何措施，那么到 2019 年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2） 如果从 2019 年底后采取植树造林等措施，每年改造 0.6 万公顷沙漠，那么到哪一年年底该 地区沙漠面积减少到 90 万公顷？
观测时间
2019 年 2019 年 2019 年 2019 年 2019 年底
底
底
底
底
该地区沙漠比原有面积增 0.2019 加数（万公顷）
0.4000
0.6001
0.7999
1.0001
【规范解答】（1）由表观察知，沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为
一次函数 y=kx+b 的图象。 将 x=1，y=0.2 与 x=2，y=0.4，代入 y=kx+b，
第2页

求得 k=0.2，b=0， 所以 y=0.2x（x∈N）。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷，则到 2019 年底沙漠面积大约为 95+0.5×15=98（万公顷）。 （2）设从 2019 年算起，第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷，由题意得 95+0.2x－0.6(x－5)=90， 解得 x=20（年）。 故到 2019 年年底，该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。
【总结与反思】
初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。 特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。
类型二 函数性质应用
例题 1
已知函数 f x 在 R 上有定义，对任何实数 a 0 和任何实数 x ，都有 f ax af x
（Ⅰ）证明 f 0 0；
（Ⅱ）证明
f
x
kx, hx,
x x

0 0
其中 k
和h
均为常数；
【规范解答】证明（Ⅰ）令 x 0 ，则 f 0 af 0 ，∵ a 0 ，∴ f 0 0。
（Ⅱ）①令 x a ，∵ a 0 ，∴ x 0 ，则 f x2 xf x 。
假设 x 0 时， f (x) kx (k R) ，则 f x2 kx2 ，而 xf x x kx kx2 ，∴
f x2 xf x ，即 f (x) kx 成立。
②令 x a ，∵ a 0 ，∴ x 0 ， f x2 xf x
假设 x 0 时， f (x) hx (h R) ，则 f x2 hx2 ，而 xf x x hx hx2 ，∴
f
x2
xf
x
，即
f
(x)
hx 成立。∴
f
x
kx, x hx, x
0
成立。
0
【总结与反思】
该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味的向函数求值方面靠 拢。
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四 、课堂运用
1. 某基化础工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨) 之间的函数关系式可以近似地表示为 y x2 48x 8000 ，已知此生产线年产量最大为 210
5 吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？ 最大利润是多少？ 2．即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的 流通．根据测算，如果一列火车每次拖 4 节车厢，每天能来回 16 次；如果每次拖 7 节车厢， 则每天能来回 10 次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客 110 人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人 数．(注：营运人数指火车运送的人数)． 答案与解析
1.【答案】同解析 【解析】(1)每吨平均成本为yx(万元)．
则yx＝5x＋8 0x00－48
≥2
x8 5·
0x00－48＝32，
当且仅当5x＝8 0x00，即 x＝200 时取等号． ∴年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低为 32 万元． (2)设年获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000
＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210 时，R(x)有最大值为－15×(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
第4页

2.【答案】同解析
【解析】设这列火车每天来回次数为 t 次，每次拖挂车厢 n 节，则设 t＝kn＋b.
由16＝4k＋b， 解得k＝－2，
10＝7k＋b
b＝24.
∴t＝－2n＋24.
设每次拖挂 n 节车厢每天营运人数为 y，
则 y＝tn×110×2＝2(－220n2＋2 640n)，
当 n＝2464400＝6 时，总人数最多为 15 840 人．
答 每次应拖挂 6 节车厢才能使每天的营运人数最多为 15 840 人．
1. 某 巩蔬固菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场
售价与上市时间的关系用下图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用 下图(2)的抛物线表示．
（1）写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式 P＝f (t) ；写出图中(2)表示的种 植成本与时间的函数关系式 Q＝g(t) ； （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? （注：市场售价和种植成本的单位：元／102，kg，时间单位：天） 2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.80 元，当用 水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元．某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两户该 月用水量分别为 5x,3x(吨)． (1)求 y 关于 x 的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 答案与解析
【答案】同解析 【解析】解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)＝23t0－0－30t0，，02≤00t≤＜2t≤00， 300． 由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)＝2100(t－150)2＋100，0≤t≤300． （2）设 t 时刻的纯收益为 h(t)，则由题意得 h(t)＝f(t)－g(t)，
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即 h(t)＝
－2100t2＋21t＋1275，0≤t≤200， －2100t2＋27t－10225，200＜t≤300．
当 0≤t≤200 时，配方整理得 h(t)＝－2010(t－50)2＋100， 所以，当 t＝50 时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值 100； 当 200＜t≤300 时，配方整理得 h(t)＝－2100(t－350)2＋100， 所以，当 t＝300 时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值 87.5．
综上，由 100＞87.5 可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值 100，此时 t＝50，即
从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大．
2.【答案】同解析 【解析】(1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4，乙的用水量也不超过 4 吨， y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x； 当甲的用水量超过 4 吨，乙的用水量不超过 4 吨，即 3x≤4，且 5x>4 时，y＝4×1.8＋
3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙的用水量超过 4 吨，即 3x>4 时， y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以 y＝
14.4x，
0≤x≤45，
20.4x－4.8， 4524x－9.6，
4 x>3.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
当 x∈0，45时，y≤f45<26.4； 当 x∈45，43时，y≤f43<26.4； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5.
所以甲户用水量为 5x＝7.5 吨， 付费 S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为 3x＝4.5 吨， 付费 S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
拔高
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1. 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成 6 份，奖励给分别在 6 项(物理、 化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的 总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增
加．假设基金平均年利率为 r＝6.24%.资料显示：2019 年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800
万美元．设 f (x) 表示第 x(x N*) 年诺贝尔奖发放后的基金总额(2019 年记为 f 1 ，2019 年记为 f 2 ，…，依次类推)．
(1)用 f 1 表示 f 2 与 f 3 ，并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式；
(2)试根据 f (x) 的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万 美元”是否为真，并说明理由．
(参考数据：1.031 29＝1.32 ) 2．现有某种细胞 100 个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010 个？
(参考数据： lg 3＝0.477，lg 2＝0.301 ) 答案与解析 1.【答案】同解析
【解析】(1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)， f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－12f(2)×6.24% ＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2， ∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)． (2)2019 年诺贝尔奖发放后基金总额为 f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136， 故 2009 年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f(10)·6.24%≈136(万美元)，与 150 万美元相比少了
约 14 万美元，是假新闻． 2.【答案】同解析
【解析】 现有细胞 100 个，先考虑经过 1,2,3,4 个小时后的细胞总数， 1 小时后，细胞总数为 12×100＋12×100×2＝32×100； 2 小时后，细胞总数为 12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3 小时后，细胞总数为
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12×94×100＋12×94×100×2＝287×100；
4 小时后，细胞总数为
12×287×100＋12×287×100×2＝1861×100；
可见，细胞总数 y 与时间 x(小时)之间的函数关系为：
y＝100×(32)x，x∈N*，
由 100×(32)x>1010，得(32)x>108，
两边取以 10 为底的对数，
得
xlg32>8，∴x>lg
8 3－lg
， 2
∵ lg
8 3－lg
2＝0.477－8 0.301≈45.45，
∴x>45.45.
答 经过 46 小时，细胞总数可以超过 1010 个．
课程五 小、课结堂小结
1 ．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增 长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 2．怎样选择数学模型分析解决实际问题 数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表 格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问 题。解答此类题型主要有如下三种方法： （1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数 学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解； （2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后 进行比较；
（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数 据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用 的数学模型，问题即可顺利解决。
六 、课后作业
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基础 1．拟定甲地到乙地通话 m 分钟的电话费 f (m)＝1.06 (0.5[m]＋1) (单位：元)，其中 m 0 ，
[m]表示不大于 m 的最大整数(如3.72)＝3，4＝4 )，当 m0.5,3.1时，函数 f (m) 的值
域是_______________．
2. 将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S
＝(梯梯形形的的周面长积)2，则 S 的最小值是
．
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件
时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企
业一个月应生产该商品数量为________万件．
答案与解析
1.【答案】{1.06,1.59,2.12,2.65}
【解析】当 0.5≤m<1 时，[m]＝0，f(m)＝1.06；
当 1≤m<2 时，[m]＝1，f(m)＝1.59；
当 2≤m<3 时，[m]＝2，f(m)＝2.12；
当 3≤m≤3.1 时，[m]＝3，f(m)＝2.65.
2.【答案】323 3 【解析】设剪成的小正三角形的边长为 x，则
S＝
(3－x)2
＝
21·(x＋1)· 23·(1－x)
43·(31－－xx)22(0＜x＜1)
令 3－x＝t，t(2，3)，1t (13，12)，则 S＝ 43·－t2＋t26t－8＝ 43·－t82＋16t －1．故当1t ＝38，x
＝13时，S 的最小值是323 3． 3.【答案】18
【解析】利润 L(x)＝20x－C(x)
＝－12(x－18)2＋142， 当 x＝18 时，L(x)有最大值．
1．据巩某固校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 b,2009 年产生的垃圾量为 a t，由此预测，
该区下一年的垃圾量为__________t,2019 年的垃圾量为__________t.
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2．有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形
场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为
________(围墙的厚度不计)．
3．已知每生产 100 克饼干的原材料加工费为 1.8 元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，
其包装费用、销售价格如下表所示：
型号
小包装 大包装
重量
100 克 300 克
包装费
0.5 元 0.7 元
销售价格 3.00 元 8.4 元
则下列说法中正确的是________(填序号)
①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖 3 小包比卖 1 大包盈利多；④卖 1 大包比卖 3
小包盈利多．
答案与解析 1.【答案】a(1＋b) a(1＋b)5
【解析】由于 2009 年的垃圾量为 a t，年增长率为 b，故下一年的垃圾量为 a＋ab＝a(1＋
b) t，同理可知 2019 年的垃圾量为 a(1＋b)2t，…，2019 年的垃圾量为 a(1＋b)5 t.
2.【答案】2 500 m2
【解析】设所围场地的长为 x，则宽为2004－x，其中 014x＋2200－x2＝2 500(m2)，等号当且仅当 x＝100 时成立．
3.【答案】②④
【解析】略
1. 拔如高图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r，短半轴长为 r ．计划将此钢板切割成等
腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 CD＝2x，梯形面 积为 S．（1）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积 S 的最大值．
答案与解析 1.【答案】见解析
【解析】(1)依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O-xy（如图所示），则点 C 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标满足方程xr22＋4yr22＝1(y≥0)，解得 y＝2 r2－x2(0＜x＜r)．
S＝12(2x＋2r)·2 r2－x2＝2(x＋r) · r2－x2，定义域为(0，r)． (2)记 f(x)＝S2＝4(x＋r)2(r2－x2)，0＜x＜r，则 f’(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
第 10 页

令 f’(x)＝0，得 x＝12r． 因为当 0＜x＜2r时，f’(x)＞0，当2r＜x＜r 时，f’(x)＜0， 所以当 x＝2r时，f(x)取最大值． 因此，当 x＝2r时，S 也取得最大值，最大值为32 3r2． 即梯形面积 S 的最大值为3 2 3r2
第 11 页

高中数学人教版必修函数模型的应用实例教案(系列三)

3.2函数模型及其应用 3.2.2函数模型的应用实例 ●三维目标 1．知识与技能 (1)能利用给定函数模型解决实际问题； (2)通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合； (3)增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力． 2．过程与方法 (1)通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型； (2)根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．3．情感、态度与价值观 应用数学知识解决实际问题．培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务． ●重点难点 重点：根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式． 难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．

重难点突破：结合学生的知识水平，在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法： (1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解； (2)列式比较法：若题中所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较； (3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决. 课前自主导学

二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0) 分段函数模型 f (x )＝????? f 1(x )，x ∈D 1f 2(x )，x ∈D 2……f n (x )，x ∈D n 知识2 应用函数模型解决问题的基本 过程 课堂互动探究 类型1 一次(二次)函数建模问题

函数模型及其应用(教学案)-2015年高考数学(文)一轮复习精品资料(新课标)(精品解析版)

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】 第二章 函数与基本初等函数I 第10节 函数的综合问题与实际应用 一、课前小测摸底细 1.(教材习题改编2 )(x x f =，x x g 2)(=，x x h 2log )(=，当),4(+∞∈x 时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A ．)()()(x h x g x f >> B ．)()()(x h x f x g >> C ．)()()(x f x h x g >> D ．)()()(x g x h x f >> 【答案】B 【解析】由图像知，当),4(+∞∈x 时，增长速度由大到小依次为)()()(x h x f x g >>．选B. 2.【2013年长沙调研】已知某食品厂生产100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如下表所示： 下列说法中： ①买小包装实惠； ②买大包装实惠； ③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多； ④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多． 所有正确的说法是( ) A ．①④ B ．①③ C ．②③ D ．②④ 【答案】D 【解析】1包小包装每元买饼干1003克，1包大包装每元可买饼干3008.4＞100 3克，因此，买大包装实惠．卖3 包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包装比卖1包大包装盈利少. 选D. 3.某物体一天中的温度T (℃)是时间t (h)的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60(℃)，t ＝0表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为( ) A ．8 ℃ B ．78 ℃ C ．112 ℃ D ．18 ℃

高一数学《函数模型及其应用》教案

高一数学《函数模型及其应用》教案 函数模型及其应用(1) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1.了解解实际应用题的一般步骤; 2.初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法; 3.渗透建模思想，初步具有建模的能力. 自学评价 1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述. 2. 数学建模就是把实际问题加以抽象概括 建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键. 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义域. 【精典范例】 例1.写出等腰三角形顶角(单位：度)与底角的函数关系. 例2.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本(万元)、单位成本(万元)、销售收入(万元)以及利润(万元)关于总产量(台)的函数关系式. 分析：销售利润销售收入成本,其中成本(固定成本可变

成本). 【解】总成本与总产量的关系为 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。单位成本与总产量的关系为 销售收入与总产量的关系为 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟

高中数学学案：函数模型及其应用

高中数学学案:函数模型及其应用 1. 能根据实际问题建立合理的函数模型． 2. 初步运用函数思想,理解和处理现实生活中的简单问题. 1. 阅读:必修1第98～100页． 2. 解悟:①读题:读懂和深刻理解题意,译为数学语言,找出主要关系；②建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题；③求解:化归为常规问题,选择合适的数学方法求解；④检验:对结果进行验证或评估,对错误加以调整,最后将结果应用于现实,做出解释或验证． 3. 践习:在教材空白处,完成第100页练习第3题. 基础诊断 1. 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是__y ＝2x (x ∈N *)__． 2. 某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96元抛售,假定手续费为交易额的0.3%.该年银行月复利率为0.8%,按月计算．为获取最大利润,此人应将钱__存入银行__. (填“购买股票”或“存入银行”) 解析:买股票获得的利润为18.96×10 000×(1－0.3%)－17.25×10 000＝16 531.2(元)；存入银行获得的利润为(17.25×10 000)×(1＋0.8%)12－(17.25×10 000)＝17 308.42(元)．因为16 531.2<17 308.42,所以存入银行获取最大利润． 3. 司机酒后驾驶危害他人的安全,一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg /mL ,那么一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过__5__h ,才能开车. (精确到1 h ) 解析:设x h 后,驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09 mg /mL ,则0.3×(1－25%)x ≤0.09,即? ??? ? 34x ≤0.3.令x ＝1,2,3,4,可得? ????34x >0.3.当x ＝5时,? ?? ??345 <0.3,故至少经过5 h ,才能开车． 4. 在某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间x 8 天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用

函数模型的应用实例 说课稿 教案 教学设计

函数模型的应用实例 课型：新授课 教学目标 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价. 二、教学重点 重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、学法与教学用具 1.学法：自主学习和尝试，互动式讨论. 2.教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. （二）实例尝试，探求新知 例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1）写出速度v关于时间t的函数解析式； 2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象； 3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； 4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： 0rt y y e 其中t表示经过的时间， y表示t=0时的人口数，r表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人） 年份1950 1951 1952 1953 1954 人数55196 56300 57482 58796 60266 年份1955 1956 1957 1958 1959

2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用学案

第9讲 函数模型及其应用 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 常见的函数模型 [必会结论] “f (x )＝x ＋a x (a ＞0)”型函数模型

形如f (x )＝x ＋a x (a ＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0]和(0，a ]上单调递减． (2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a . [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2 的函数值大．( ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．( ) (4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( ) (5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获利．( ) (6)当x ＞4时，恒有2x ＞x 2 ＞log 2x .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√ 2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( ) 答案 C 解析 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B. 3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( ) A ．800米 B ．900米 C ．1000米 D ．1200米 答案 A 解析 设这个广场的长为x 米，则宽为40000x 米，所以其周长为l ＝2? ?? ? ?x ＋40000x ≥800， 当且仅当x ＝40000x ，即x ＝200时取等号． 4．[课本改编]某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相

2019-2020年高中数学 第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例(Ⅲ)教案 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例 （Ⅲ）教案新人教A版必修1 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？ 探索以下问题：

函数模型及其应用教案

Modeling and Problem Solving ——函数模型及其应用教案 中澳课程部王晓叶 学情分析：澳方MathB每次的Paper Test都分为两部分，其中Knowledge and Procedures（知识与过程）这个和普通高中数学相似，学生A/B率比较高，但是另外一部分Modeling and Problem Solving（建模与实际问题的解决）学生的A／B率不高。这一部分内容题目普遍很长、生词量较多，并且都是将数学知识应用于实际生活中，所以大多数学生遇到此类题目都是放弃不做。MathB这门课又特别注重实际生活问题的解决，而我们的学生这方面意识比较薄弱，抽象概括能力较弱。所以，我们的教学任务是提高学生的考试成绩等级，提高OP成绩。但是另一方面，12年级的学生大多数能灵活的使用图形计算器，具有一定的英语语言基础。 教学目标：1.了解函数模型在现实生活中的运用。 2.能够建立恰当的函数模型，并对函数模型进行简单的分析。 3.利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。 教学重难点：1.建立合适的函数模型 2.利用得到的函数模型解决实际问题 教学过程 一、引入案例、探索新知（如何确定最合适的函数模型）（18分钟） 案例：根据《Daily Mail》报道，上个月一名中国留学生将自己车速飙到180公里／小时的录像传到了Instagram个人网页上，并以配以中文：“从Albany开回Perth，一路180公里／小时，将4.5小时的车程缩短到3.5小时。” 目前，他正在接受警方调查。 警察表示，视频显示这名男子在限速110公里／小时的高速公路开到了180公里／小时，他将面临巨额罚款、吊销驾照以及拘留。 Example1:The table below shows the relationship between the velocity of a car and the Velocity 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Distance 2 10 15 20 27 38 47 60 75 a. Use the calculator to find the relationship between the velocity of a car and the distance after it braking. b. What’s the minimum safe following distance for a car travelling at 110 km/h on the motor way? 项目罚款扣分超速少于10km/h 163澳元扣2分超速10km/h－20km/h 357澳元扣3分 超速20km/h－30km/h 726澳元扣5分 超速30km/h－40km/h 866澳元扣7分未系安全带341澳元扣3分闯红灯437澳元扣3分开车使用手机315澳元扣3分

函数模型的应用实例教学设计

《函数模型的应用实例》教学设计 一、教学内容 普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的应用实例. 二、教学目标 知识与技能目标： 1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型； 2.会利用建立的函数模型解决实际问题； 3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力. 过程与方法目标： 1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程； 2.渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法. 情感、态度与价值观目标： 1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心； 2.培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度； 3.经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点. 三、教材分析 本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题. 四、学情分析 学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型. 五、教学过程 （一）交流成果提出课题 学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题. 【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建 立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力， 也很自然地引入课题. （二）分析探究解决实例 【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如 图1所示. （1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；

函数模型的应用实例(Ⅲ)

函数模型的应用实例（Ⅲ） 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典

至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男

2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质.9函数模型及函数的综合应用课时练理

2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.9函数 模型及函数的综合应用课时练理 1.[xx·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( ) 答案 A 解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A. 2．[xx·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供( ) A ．3人洗澡 B ．4人洗澡 C ．5人洗澡 D ．6人洗澡 答案 B 解析 设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝17 2时，y 有最小 值，此时共放水34×17 2 ＝289升，可以供4人洗澡． 3．[xx·枣强中学预测]若函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)有且只有一个零点，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－1

C ．0 D ．2 答案 B 解析 将函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2 ＋2)的零点问题转化为函数f 1(x )＝－a －|x |的图象与f 2(x )＝log 2(x 2＋2)的图象的交点问题．因为f 2(x )＝log 2(x 2＋2)在[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，因此其最低点为(0,1)，而函数f 1(x )＝－a －|x |也是偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，因此其最高点为(0，－a )，要满足题意，则－a ＝1，因此a ＝－1. 4．[xx·冀州中学模拟]某购物网站在xx 年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C 解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张，选C. 5. [xx·武邑中学预测]已知函数f (x )＝(x －a )2 ＋(ln x 2 －2a )2 ，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤4 5 成立，则实数a 的值为( ) A.15 B.25

函数模型及其应用教案_00002

适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 几类不同增长的函数模型的特点、用已知函数模型解决实际问题、建立函数模型解决实际
问题
教学目标 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、
指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实
例。
教学重点 了解函数模型的广泛应用。
教学难点 了解函数模型的广泛应用。
【知识导图】
教学过程
一、导入
函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升 的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创 设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训 练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最 值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
二、知识讲解
考点 1 解决实际问题的解题过程第 1 页

2015届高考数学总复习第二章函数与导数第13课时函数模型及其应用教学案(含最新模拟、试题改编)

第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)33～36页 ) , 1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m. 答案：1 900 解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900. 2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件． 答案：1 331 解析：1 000×(1＋10%)3＝1 331. 3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则该函数的定义域为________． 答案：(5，10) 4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v ＝2 000ln ????1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s. 答案：e 6－1 解析：由2 000ln ????1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以M m ＝e 6－1. 5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数 关系为P ＝? ????t ＋20，0

2.9 函数模型及其综合应用-5年3年模拟北京高考

2.9 函数模型及其综合应用 五年高考 考点 函数的实际应用 1．（2013天津，8，5分）已知函数|).|1()(x a x x f +=设关于x 的不等式)()(x f a x f <+的解集为A ．若 ,]21 ,21[A ?-则实数a 的取值范围是( ) )0,251.(-A )0,231.(-B )231,0()0,251.(+- C )2 51,.(--∞D 2．（2012北京，8,5分）某棵果树前n 年的总产量S 。与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 ( ) 5.A 7.B 9.C 11.D 3．（2013湖南．16,5分）设函数,)(x x x c b a x f -+=其中.0,0>>>>b c a c (1)记集合c b a c b a M ,,1),,{(=不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则M c b a ∈),,(所对应的 )(x f 的零点的取值集合为 (2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ;0)(),1,(>-∞∈?x f x ① ,R x ∈?②使c b a xx x ,,不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则),2,1(∈?x 使.0)(=x f 4．（2013课标全国I ．21，12分）设函数)(,)(2x g b ax x x f ++=).(d cx e x +=若曲线)(x f y =?和曲 线)(x g y =都过点P(O ，2)，且在点P 处有相同的切线.24+=x y (1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)若2-≥x 时，),()(x kg x f ≤求k 的取值范围． 5．（2012江苏，17，14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程k x k kx y <+- =22)1(20 1 )0>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；

第17讲 函数模型的应用实例(基础)

函数模型的应用实例 【学习目标】 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法. 2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用. 3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识. 【要点梳理】 要点一、解答应用问题的基本思想和步骤 1.解应用题的基本思想 2.解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景. 上述四步可概括为以下流程： 实际问题(文字语言)?数学问题(数量关系与函数模型)?建模(数学语言)?求模(求解数学问题)?反馈(还原成实际问题的解答). 要点二、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它. 其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.

苏教版高中数学必修一学案：3.4函数模型及其应用

§34 函数的模型及其应用 主备：曹广明 审核：汪显林 做题：王建亚 一、教学重、难点 针对实际问题，掌握数据与各变量之间的对应关系，掌握几种常见函数模型的应用. 二、新课导航 1. 问题情境： 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产，生活中许多实际问题 三、合作探究 活动1 ： 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元。分别写出总成本C(单位：万元)\单位成本P(单位：万元)\销售收入R(单位：万元)以及利润L （单位：万元）关于总产量x （单位：台）的关系式． 活动2 ： 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ， 经过一定时间t 后的温度是T ，则h t a a T T T T )2 1()(0?-=-，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期。现有一杯用C ?88热水冲的速溶咖啡，放在C ?24的房间中，如果咖啡降温到C ?40需要min 20，那么降温到C ?35时，需要多长时间（结果精确到1.0）？ 活动3： 在经济学中，函数)(x f 的边际函数)(x Mf 定义为)()1()(x f x f x Mf -+=。某

公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台)(+∈N x 的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位：元），其成本函数为()500+4000C x x =（单位：元），利润是收入与成本之差。 （1）求利润函数)(x P 及边际利润函数)(x MP ； （2）利润函数)(x P 与边际利润函数)(x MP 是否具有相同的最大值？ 活动4： 有十米的钢材,要做成如图的窗架,上半部分是半圆,下半部分为6个小长方形组 成的长方形,试问小长方形的长,宽为多少时窗户所通过的光线最多,求窗户面积的最大值（刚才宽度忽略不计）? 四、提高拓展 1．课本P100第3题． 五、教学反思 §34 函数的模型及其应用作业 班级 姓名 学号 日期 得分 一、填空题

3.2.2几种函数模型的应用举例

第三章 函数的应用 3.2.2几种函数模型的应用举例 【导学目标】 1．通过实例感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用； 2．初步了解对统计数据表的分析与处理． 【自主学习】 1、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： ①一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ ②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ ③指数函数模型：()x f x a b c =+g （0,a b ≠＞0，1b ≠） ④对数函数模型：()log a f x m x b =+g （0,m ≠01a a >≠且） ⑤幂函数模型：12 ()(0);h x ax b a =+≠ 2、一般函数模型应用题的求解方法步骤： 1） 阅读理解，审清题意：逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解题中所反映的实际问题，明白已知什么，所求什么，从中提炼出相应的数学问题。 2）根据所给模型，列出函数表达式：合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，而将实际问题转化为函数模型问题。 3）运用所学知识和数学方法，将得到的函数问题予以解答，求得结果。 4）将所解得函数问题的解，翻译成实际问题的解答。 在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制. 【典型例题】 例1：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元． 销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

高中数学必修一《函数模型及其应用》优秀教学设计

人教版数学必修① 3.2 函数模型及其应用 【课时安排】第4 课时 【教学对象】高一学生 【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而"3.2 函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。 【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。 【教学目标】 知识与技能 （1）初步理解数学模型、数学建模两个概念； （2）掌握框图2——数学建模的过程。 过程与方法 （1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法； 情感态度价值观 （1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程； （2）感受数学的实用价值，增强应用意识； （3）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】框图2——数学建模的过程。 【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。 【教学方法】引导探究、讨论交流。 教学手段】计算机、PPT、几何画板。

教学过程设计】、教学流程设计

1： 教学节环教学内容教活师动学活生动设意计图 （五）最优解的探究：预计时间7 分钟 我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深 度、宽度分别设计为a/4 和a/2 时，可得到最大的 横截面积。 如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方 案进行设计，结果又如何呢？ 教 师将 学生 分成 五个 小 组， 并巡 视指 导学 生解 决问 题。 由于 缺少 导数 工 学生 动手探 究各自 的设计 方案 1、让 学生经 历数学 建模中 的优化 过程； 2、培 养学生 的探究 意识。 数学建模过程：预计时间2 分钟引导 分析 讲解 听讲 思考 这一实 际问题 的解决 过程， 概括出 数学建 模的基 本过 程，以 实现由 具体到 抽象的 升华。

《3.2函数模型及其应用》教学案

《3.2函数模型及其应用》教学案 一、教学目的 1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异； 2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等例外增长的函数模型的意义； 3、运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格)并结合信息技术解决一些实际问题； 4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用. 二、教学重点、难点 重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等例外函数类型增长的含义.难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 三、教学过程 第一课时几类例外增长的函数模型 1、复习引入 师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？ 生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；…… 师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的便当.今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子. 2、新课 (用幻灯片展示例题) 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：1)每天回报40元； 2)第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 3)第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问：你会选择哪一种投资方案？(让学生充分讨论) 教师提示： 1)、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？(回报的累积值).2)、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？ 教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作合适的指导. 设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流. 利用计算机作出函数图象，引导学生根据三个方案的例外变化趋势，描述三个方案的特点，为方案的选择提供依据. 通过自主活动，使学生认识到怎样选择才是正确的.综合学生的分析意见，教师总结：选择最佳方案，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 由上面的分析可见：投资8天以下(不含8天)，应选择第一种投资方案；投资8～10天，应选择第二种方案；投资11天(含11天)以上，则应选择第三种方案. 设问：若有人给你这么一个建议：投资前8天用第一种方案，第9天到第10天用第二种方案，投资第11天开始用第三种方案.你觉得这建议如何？ 3)、(幻灯片展示例题2) 设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？

《函数模型的应用实例》说课稿

《函数模型的应用实例》说课稿 一、教材分析 “加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是新课标数学教育教学的基本理念之一，为此，新课标实验教材（人教A版）特将“函数的应用”独立成章，其中“函数模型的应用实例”是本章教材的核心内容.从教材体系和内容分析，本小节教材内容彰显如下三个特点： （1）教材围绕具体实例展开研究，各例题涉及的实际问题既有社会性，又具有浓郁的生活气息，在情感上体现了一种亲和力，易于学生理解和接受. （2）在知识层面上本节教材没有新增内容，要求学生运用已有函数知识，体会建立函数模型的过程，感受函数在生产、生活、科学、社会等领域中的广泛应用，理解函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，培养数学建模能力. （3）本小节教材是上小节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展.上小节主要学习如何根据给定的几个函数模型，通过比较其增长速度，选择合适的函数模型解决实际问题.本小节要求根据背景材料中的有关信息，建立函数模型解决实际问题，体现了更高层次的能力要求. 本小节是一节例题教学课，教材共安排了4个例题(例3～例6)，大致分为两类，其中例3和例5是根据图、表信息建立确定的函数模型解决实际问题，例4和例6是建立函数模型对样本数据进行拟合，再根据拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我将以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题. 二、教学目标分析 知识与技能目标： 1.通过例3的教学，使学生能根据图象信息建立分段函数模型；通过例5的教学，使学生能根据表格提供的数据抽象出函数模型； 2.学生在根据图表信息建立函数模型后，要求会利用所建立的函数模型解决实际问题，体现函数建模的应用价值； 3.解决数学应用性问题，是培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言