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1 PROGRESSIVE IMAGE CODING FOR VISUAL SURVEILLANCE APPLICATIONS BASED ON STATISTICAL MORPHO

1 PROGRESSIVE IMAGE CODING FOR VISUAL SURVEILLANCE APPLICATIONS BASED ON STATISTICAL MORPHO
1 PROGRESSIVE IMAGE CODING FOR VISUAL SURVEILLANCE APPLICATIONS BASED ON STATISTICAL MORPHO

PROGRESSIVE IMAGE CODING FOR VISUAL

SURVEILLANCE APPLICATIONS

BASED ON STATISTICAL MORPHOLOGICAL SKELETON

G.L. Foresti, C.S. Regazzoni and A. Teschioni

Department of Biophysical and Electronic Engineering (DIBE), University of Genoa

Via all'Opera Pia 11A, 16145 Genova, Italy.

Phone +39-10-3532-792, Fax +39-10-3532-134

e-mail: forfe@dibe.unige.it

ABSTRACT

This paper presents a new shape representation method for progressive image coding at very-low bit rate. A real application in a railway surveillance system for unattended level-crossings is considered. First, semantic information, e.g., classification of possible obstacles provided by a recognition subsystem, is sent to a remote control center; then, binary shape information is transmitted, in order to allow the remote operator to validate the alarm situation. Pictorial information can be required as a further step by the operator of the control center.

1 INTRODUCTION

Representation of shape information for coding and recognition purposes have been often considered as two separate problems. Image representation used within coding systems is evaluated in terms of compression rates and quality of reconstructed images. On the other hand, image representation employed in recognition systems aims at extracting features to be matched with available object models.

In recent years, the demand for services is increasing where both automatic recognition and coding are performed, so providing an impulse to research on new image representation methods providing a common basis to both problems. Remote evaluation of the presence of specific objects within a large database of images is a prototypical problem implying recognition and coding aspects. Retrieval of visual information in multimedia systems, as well as detection of alarm situations within surveillance systems (e.g., for public transports) are applicative examples of such a problem [1,2].

In [3], a image representation method for lossy binary image coding of noisy binary images in surveillance applications has been presented which is based on an approximation of the Statistical Morphological Skeleton (SMS) [4]. The approach proposed in [3] provides a noise-robust shape representation method which can be used for two purposes: (a) very low bit rate shape transmission; (b) automatic object identification by matching with a pre-defined set of models [5]. Noise-robustness concerns with both the representation itself and the shape reconstructed after transmission. In fact, obtained representations are shown to vary continuously with the slight changes of noise level on data. The representation introduced in [3] dealt only with shape characteristics of the object to be recognized and transmitted.

In this paper, we extend that representation in order to take into account also pictorial (i.e., luminosity) information. The extension is performed in such a way that luminosity information is separated from other information to be trasnsmitted, i.e., semantic and shape information. First, semantic information can be sent, e.g., classification of the object provided by a decentralized automatic recognition subsystem; then, binary shape information can be transmitted, in order to allow the remote user to validate the alarm signal. Pictorial information can be required as a further step by the operator of the control center. This choice allows the system the capability of transmitting information in a progressive fashion, depending on the user requirements.

2 SYSTEM DESCRIPTION

The method presented in this paper consisted of four main steps: (a) extraction of the Statistical Morphological Skeleton (SMS); (b) geometrical approximation of the skeleton points by using a set of segments; (c) approximation of the shape function associated with each segment by using parametric splines; (d) approximation of the luminosity function associated with each segment by using parametric splines.

In Figure 1, the block diagram of the method is shown where the coding and decoding phases are individuated.

2.1 The coding module

A Change Detection (CD) module is used to compare the input image I(x,y) with a background image S(x,y) to individuate intruder objects (e.g., car, humans, etc.) in the surveilled scene [6,7]. The output, given by a binary image X(x,y) where each blobs represents a possible object, is first filtered to reduce the noise [3] and then it is provided as input to a module which extracts the Statistical Morphological Skeleton (SMS), SMS(x,y) [5].

1

2

The SMS is obtained through the iterated application of Binary Statistical Morphology (BMS) operators, i.e.,Binary Statistical Erosion (BSE) and Binary Statistical Dilation (BSD) to a shape which is progressively shrank.The SMS can be described as [4]:

SMS(x,y)={[x,y, n(x,y)]: (x,y)∈I}(1)

where the function n(x,y) associates with each skeleton point the iteration at which the point itself has been detected.

The SMS of a shape X is provided as input to a module whose goal is to efficiently represent information contained in the SMS itself. This module consists of two parts: (a) a straight-segment extractor, i.e., the Direct Hough Transform (DHT) [8], and the (b) a shape approximation (SA) module. The DHT module takes as input the position of skeleton points on an image, by extracting the set S={s i :j=1..J} of rectilinear segments, s i ,which best fits with the (x,y) points of SMS(x,y). The SA module first attaches the shape information of skeleton to points of the segments in S, so associating with each segment s i a function g i (.) representing the behaviour of shape-information within the segment itself.

SA(X)={[s j ,g j (x,y)]: s j ∈S, (x,y)∈s j }

(2)

Each function g i (.) is interpolated by means of a set of

cubic parametric base-functions (B-spline) [9], whose number depends on the length of the segment.

A vector v j,u of C j coefficients describes the u-th spline of the j-th segment. The coefficients of the interpolating functions are associated with each segment to generate a

shape-representation, R(X):

R X s V s S X V u C j j j j j u a f c h o =∈=,:(),:,..,,1(3)Shape representation R(X) is provided to the

Luminosity Approximation (LA) module which associates with each segment point r a vectorial function l j (r) representing the behaviour of the luminosity function f(x,y) into a neighbourhood image area A r of the r point itself:

l r l x y u u x u y u x u y u xy j j (),==+++++a f

=B =B =B =B =B =B 01232425(4)where the vector of coefficients ()()[]

U u u j

=05,..., is

obtained by using a polynomial approximation [3] on a part of the luminosity function. The domain of the luminosity function is chosen whose shape can be reconstructed starting from knowledge on the behaviour of

the shape function g i (.) in a neighborhood A r of the point r. The order of the neighborhood depends on the scheduling strategy adopted to extract the SMS. The components of the vectorial function are approximated separately by using parametric splines. The LA module provides as output a representation RL(X) consisting of both shape and pictorial information. The output is represented by:

L(X)={[s j ,l j (r)]: s j ∈S, r ∈s j }(5)

2.2 The decoding module

The decoding module operates by progressively provding new information depending on the type of representation considered. First, information on the object presence and the object type is received. A transformation Φ based on Statistical Morphology is

applied to the received shape representation ()R X in order to recover an approximation, X

, of the original binary shape. The Φ transformation is composed by the following steps [3,10]:

(a) SMS x y x y I n x y n k (){(,):(,),$(,)}max 01=∈==(b) P k x y x y I n x y n k (){(,):(,),$(,)}

max =∈=?(c) SMS k SMS k B SMS k P k (){[(())()]()}=?⊕∩?∪11(d) k=k+1;if k

(5) X

=SMS(k-1)where B is the structuring element [3].

Then, pictorial information can be reconstructed in three steps.

(a) An estimate of the luminosity function ()l r j is computed for each segment point r on the basis of

received and estimated coefficients U j .(b) The behaviour of the luminosity function is

reconstructed within different neighbourhood image areas A r of each segment point r (i.e., approximated SMS) by applying a dilation operator n(r) times [3,10]. The locally estimated behaviour of the luminosity function is used to constrain the solution. The constraints, coming from considering separately each point of the approximated SMS, are used to obtain the global solution.

(c) As some areas A r can overlap in space, i.e.,A A r k s r k j ∩≠∈0,,, a fusion step, consisting of a simple

3

average operator [5,10], is applied to each image point belongs to each A r .

3 RESULTS

A surveillance system for railway level-crossing monitoring has been considered as a real application for testing the proposed method. Fig. 2a shows a 256*256b/w image of the surveilled level-crossing containing multiple intruder vehicles, while Fig. 2b shows the output of the CD module. Noise generated by fast changing of the lighting conditions and geometric distortions introduced by the TV camera are present [1,2]. The goal of the system is to transmit the shape of the detected intruder object to a remote operator (e.g., people controlling the global railway line in a central control room).

Four significant blobs, representing possible obstacles,are detected. Figure 2c shows the SMSs extracted from each blob, while segments found in S(X) are shown in Figure 2d. A spline characterized by 4 coefficients is used to approximate segments 20 pixels long.

Figs. 2e and Fig. 2f show the reconstructed binary

shape ()R

X and the b/w reconstructed image I ,respectively. Let us observe that the blob c which represents a car is obtained by applying the dilation operator 8, 14 and 7 times to the points of the segments s 1, s 2, s 3, respectively.

ACKNOWLEDGEMENTS

This paper has been partially supported by the PROGETTO FINALIZZATO TRASPORTI II (PFT2) of Italian Research Council.

REFERENCES

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CODING

DECODING

Fig. 1. Block diagram of the method

(a)

(c)(d)(e)

(f)

Fig. 2 (a) The original image, (b) the change-detection image, (c) the SMSs of the detected objects, (d) the set of segments S(X) approximating the MSs, (e) the reconstructed binary shape

()

R X and (f) the b/w reconstructed image I.

4

巧用二次函数图象的对称性解题解析

巧用二次函数图象的对称性解题解析 新盈中学王永升 2010-6-29 二次函数是初中数学的重点内容之一,在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的信息,为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力,二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题,那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如:二次函数的解析式,二次函数的顶点坐标对称轴方程,各字母的意义以及一些公式,对于这些知识,同学们掌握并不是很困难,但对二次函数图象的对称性,掌握起来并不是很容易,而且对于有关二次函数的一些题目,如果用别的方法会很费力,但用二次函数图象的对称性来解答,也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题,供同学们鉴赏:例1、已知二次函数的对称轴为x=1,且图象过点(2,8)和(4,0),求二次函数的解析式。 分析:此题中我们可以按照常规的解法,用二次函数的一般式 来解,但运算量会很大,因为我们将会解一个三元一次方程组。 另外,我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题 目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此 我们可以依据二次函数的对称性,求出抛物线所过的x轴上的另一 个点的坐标为(-2,0),这样的话我们就可以选择用二次函数的

交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4),然后将(2,8)代入即可求出a值,此题得解。 本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算,既可以准确解题又节省了时间,不失为一种好的方法。 例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0),当x取x1、x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值是____________ 分析:此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式,由于y 值相等,则可求出x1+x2的值为0,将x=0代入解析式可得函数值为b。 我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性,当函数值相等时,则两点为对称点,且本题中的二次函数 y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴(x=0),所以,我们也可以得到x1+x2的值为0,将x=0代入解析式可得函数值为b。 相比较我们可以知道,利用二次函数的对称性解决本题,减少了运算量,但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。 我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c,其他条件不变,结果为c。 下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。

基于形状匹配的快速图像配准

2008年4月张素等:基于形状匹配的快速图像配准 2实验结果与分析 为检验本文算法的有效性,取一幅分辨率为512×512的腹部cT图像(图3(a)),依次进行伸缩、旋转、平移变换,再加入高斯噪声,得到另一幅图像(图3(b)).变换公式为 [≥]=j[一:;兰0][二]+[芝](18)式中:(J,y)为参考图像上的点;(t),’)为变换之后的点;J为伸缩比例;p为参考图像的旋转角度,分别用Poweu搜索算法和本文算法进行配准,配准参数的精度为0.001.实验在一台CPU为Celeron、主频为2.8GHz、内存为512M的计算机上进行.图3为算法流程中,轮廓提取、标记点自动提取以及形状匹配的结果.表1列出了一部分代表性的比较结果(其中丁为配准全过程所耗费的时间). 图3轮廓提取、标记点自动提取以及形状匹配的结果 F193 Re蛐№ofregi佃e砷撇惦on'autom雠lalI山mrbdete甜仙姐dshpe删nc址啤 衷1本文算法与PoweⅡ算法结果的比较 T|山.1C岫para6ver器IIltsbetw咖thepro肼lsedm劬od aⅡdPoweuaIgorithm 变换及配 旷无量纲占/(o)厶x|缸l r,s 准参数像素像素 变换参数050060肿020DoO3ⅢD00_—— PoweU法050260D5219J05528五58560 初始参数049760.040193173150l_—— 本文算法050060.29419.88429.82325变换参数lo∞40肿0lO姗50D00。—— PoweU法lO∞40舶l9.11550j02l190 初始参数l-00040.olO10J昕349.92l●—— 本文算法1000钧0959.952500的30 变换参数15∞10Doo20DOO30.000_——poweU法1姗10D072039929_994680初始参数15029.9971937229217_—— 本文算法150010JD4920.0503028342 变换参数150030加040肿0IO.000 Pov岭U法104628鹏5.48571.43.687’l230初始参数150529.95539D067.9∥ 本文算法150130J02239514lOJ昕327 变换参数2肿O10.aDO15加O20.000●—— PoweU法1.91939j92l15矗6423272‘ll∞ 初始参数2肿610.018 13剃17.盯5.●——本文算法2D00lO.12616_01320JD2253注:用上标#表示的数据稍偏离变换参数;用上标?表示的部分数据为错误结果. 由表1的结果可以看出,用Poweu算法直接进行搜索,计算时间较长,且有时因收敛到局部极值而产生错误结果,如表中用卑号标出的数据.而采用本文的算法完全达到了预期目的,大大减少了计算量,精度达到了“亚像素”级水平,有效地避免了收敛于局部极值.观察表l中用SVD法求得的初始参数,可以看出,这些参数实质上已经非常接近最终的配准参数,这是因为形状信息本身就是比较精确的特征量;其中有几个数据稍偏离配准参数,这是因为较大的变换参数(主要是缩放参数s)会使形状匹配过程中产生相对较大的误差.计算过程中,特征提取、形状匹配、SVD法求初始参数等步骤所耗费的计算量均比较小,而Powell算法一旦得到了与变换参数较接近的初始参数,就会很快地收敛到正确结果,这是由PoweU算法本身的性质所决定的.本实验中,在绝大多数情况下,只需要计算一个循环即可收敛.因此,PoweU算法的作用其实相当于对SVD法所得的参数进行修正. 3结语 本文将形状特征和互信息搜索相结合,有效地提

函数的对称性

函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数:这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数,它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如|ln |y x =就没有对称性,而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线,其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定),对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性,一种是同一函数自身的对称性,我们称其为自对称;另一种是两个函数之间的对称性 ,我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性(自对称问题) (1)轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-

图像配准技术研究进展

第14卷第6期2007年12月 电光与控制 EU£CTRONICSOPTICS&CONTROL V01.14№.6 Dee.2007 文章编号:1671—637X(2007)06—0099—07 图像配准技术研究进展 刘松涛,杨绍清 (海军大连舰艇学院信息与通信工程系,辽宁大连116018) 摘要:图像配堆是解决图像融合、图像镶嵌和变化检测等问题的必要前提。其应用遍及军事、遥感、医学和计算机视觉等多个领域。筒要回顾了图像配准技术的发展史和研究现状.重点阐述了当前的技术热点和应用趋势,最后展望了进一步的研究方向。 关键词:图像配准;信息论;非刚性配准;虚拟结构 中图分类号:V243.6文献标识码:A Progressinimageregistrationtechniques LIUSong—taa,YANGShao—qing (Oept.ofInformation&CommtmicdionEt,g泌rit,.g,DafianNavalAcademy,Dalian116018,舀白Ⅺ) Abstract:Imageregistrationisessentialforallimageanalysistaskslikeimagefusion,imagemosaicandchangedetection.Itisusedwidelyinmilitarysystem,medicalimaging,remotesensing,computervision,etc.Thehistoryandcurrentetatusofimageregistrationtechniquesfirereviewedkeflywithemphasisonitscurrenttechnicalhotspotsandapplicationtrends.Someinterestingaspectsforfurtherstudya”pointedoutintheend. Keywords:imageregistration;informationtheory;110n—rigidregistration;virtualstructUre 0引言 图像配准是许多应用问题必须的预处理步骤,比如:时序图像的变化检测或多模图像融合,这些问题遍及军事、遥感、医学、计算机视觉等多个领域。许多领域都需要图像配准,实际应用过程可能会有所不同,但其中关键的因素是类似的。概括地说,图像配准是对取自不同时间、不同传感器或者不同视角的同一场景的两橱或多幅图像进行最佳匹配的过程,包括像素灰度匹配和空间位置对齐。 配准方法的分类可以依据不同的准则。Bro.wn…依据变换模型的复杂程度对配准方法进行分类,并归纳了配准技术的实现步骤:特征空问、相似度测量、搜索空间和策略。Maintz”1等则提出了9 收稿日期:2006—03—09修回Et期:2006—05—15 基金项目:国防预研基金资助项目(51403030604JBl40I);国家自然科学基金资助项目(60572160) 一 作者简介:荆松涛(1978一),男,河南孟津人,博士,主要研究方向为图像融合、耳标识别、成像跟踪、DSP开发 等。条分类准则,依次为:图像维数、配准特征的来源、变换模型、坐标变换域、交互性、优化策略、成像模式、配准对象、配准目标的特点等。作者参考Brown和Mainlz的分类方法,将配准技术概括为8个方面,包括:配准对象、特征提取、特征匹配、变换模型、优化策略、坐标变换与插值、系统实现及算法评估,并考虑每项内容的技术特性进行细分,然后依据某一算法的创新点进行分类。囊括所有方法的分类准则是不存在的,所提方法侧重于从总体上对配准方法进行考察,是一种相对能反映配准方法本质特征的分类方法。依据新的分类准则,作者已对图像配准技术的8个子方向进行了系统研究uJ。 1发展史和研究现状 国外从20世纪60年代就开始在图像配准领域进行研究“】,但直到1980年代才开始引起学者们的关注。到上世纪末,单模图像配准问题已基本解决,但多模图像配准由于涉及模式和领域的复杂性.仍需密切关注。国际上对图像配准技术曾做过调查”】,其结论是1990年代初技术文献明显增加。而

函数图象的对称变换

课题:函数图像的对称变换(2课时) 学情分析:相对于函数图象的平移变换,对称变换是学生的难点,对于具体函数,学生还有一定的思路,但结论性的结果,学生掌握的不是很好。 教学目标: (1) 通过具体实例的探讨与分析,得到一些对称变换的结论。 (2) 通过一定的应用,加强学生对对称变换结论的理解。 (3) 能数形结合解决想过题目。 教学过程: 欣赏图片,感受对称 一、师生共同分析讨论完成下列结论的形成。 1、(1)函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称; (2)函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称; (3)函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称. 2、奇函数的图像关于 对称,偶函数图像关于 对称. 3、(1)若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-,则 ()y f x =的图像关于直线 对称.

(2)若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--,则()y f x =的图像关于点 对称. 4、对0a >且1a ≠,函数x y a =和函数log a y x =的图象关于直线 对 称. 5、要得到()y f x =的图像,可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方,其余部分不变. 6、要得到()y f x =的图像,可将()y f x =,[)0,x ∈+∞的部分作出,再利用偶函数的图像关于 的对称性,作出(),0x ∈-∞时的图像. 二、学生先独立完成,再分析点评 2 3、函数x y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称. 4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ,曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称,则C '的解析式为 . 5、设函数()y f x =的定义域为R ,则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称. 6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-,且方程()0f x =恰好有四个不同实根,求这些实根之和为 . 二、典例教学 【例1】填空题: (1 (2)对于定义在R 上的函数()f x ,有下列命题,其中正确的序号为 . ①若函数()f x 是奇函数,则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称;②若对x R ∈,有

医学图像配准技术 综述

医学图像配准技术 A Survey of Medical Image Registration 张剑戈综述,潘家普审校 (上海第二医科大学生物医学工程教研室,上海 200025) 利用CT、MRI、SPECT及PET等成像设备能获取人体内部形态和功能的图像信息,为临床诊断和治疗提供了可靠的依据。不同成像模式具有高度的特异性,例如CT通过从多角度的方向上检测X线经过人体后的衰减量,用数学的方法重建出身体的断层图像,清楚地显示出体内脏器、骨骼的解剖结构,但不能显示功能信息。PET是一种无创性的探测生理性放射核素在机体内分布的断层显象技术,是对活机体的生物化学显象,反映了机体的功能信息,但是图像模糊,不能清楚地反映形态结构。将不同模式的图像,通过空间变换映射到同一坐标系中,使相应器官的影像在空间中的位置一致,可以同时反映形态和功能信息。而求解空间变换参数的过程就是图像配准,也是一个多参数优化过程。图像配准在病灶定位、PACS系统、放射治疗计划、指导神经手术以及检查治疗效果上有着重要的应用价值。 图像配准算法 可以从不同的角度对图像配准算法进行分类[1]:同/异模式图像配准,2D/3D图像配准,刚体/非刚体配准。本文根据算法的出发点,将配准算法分为基于图像特征(feature-based)和基于像素密度(intensity-based)两类。 基于特征的配准算法 这类算法利用从待配准图像中提取的特征,计算出空间变换参数。根据特征由人体自身结构中提取或是由外部引入,分为内部特征(internal feature)和外部特征(external feature)。

【作者简介】张剑戈(1972-),男,山东济南人,讲师,硕士 1. 外部特征 在物体表面人为地放置一些可以显像的标记物(外标记,external marker)作为基准,根据同一标记在不同图像空间中的坐标,通过矩阵运算求解出空间变换参数。外标记分为植入性和非植入性[2]:立体框架定位、在颅骨上固定螺栓和在表皮加上可显像的标记。Andre G[3]等将该方法用于机器人辅助手术,对于股骨移植,位移误差小于1.5mm,角度误差小于3°,由于计算量小,可以实现实时配准。但是标记物必须事先被固定好,不能用于回顾性配准,而且该方法只适用刚体配准。 2. 内部特征 从医学影像中可以提取出点、线和面:血管的交点、血管、胸腹之间的横膈膜等,这些特征作为内标记点(internal marker) ,利用其空间位置同样可以求解出空间变换参数。Hill DL[4]用11个形态点对脑部配准,误差<1mm,方差为1.73mm。Meyer CR[5]除了血管树的交点,还使用了左右脑之间的间隔等特征。Maurer CR[6,7]赋予点、线、面等几何特征不同的权重(weighted geometrical features, WGF),进一步改进了算法。内标记点配准是一种交互性的方法,将3D图像配准简化为点、线和面的匹配,可以进行回顾性研究,不会造成患者的不适。但是医生对特征位置的判断影响到配准精度,为了克服人为误差,需要多次重复操作,以平均值作为最终结果。 表面匹配算法也利用了内部特征[8]:进行图像分割,提取出轮廓曲线、物体表面等内部特征,使2D/3D图像配准简化为2D曲线和3D曲面的匹配,不再考虑物体内部像素。典型的应用是刚体配准的“头帽”算法[9],从头部的3D图像中分割出表面轮廓,分别作为头模型和帽模型。配准的目标函数是头表面和帽表面之间的均方距离,该距离是空间变换参数的函数。表面匹配算法是一种自动算法,在物体表面轮廓相似并且清晰的情况下,配准效果很好。其不足之处在于:准确地进行图像分割很困难;不同模式的图像,如CT/PET图像,由于器官的轮廓差异较大,难于精确地匹配。 3. 在非刚体配准中的应用 进行非刚体配准前要确定物理模型,常见有弹性模型、粘稠液体模型、生物力学模型。通过在感兴趣区域中提取参考点、2D或是3D轮廓线,使待配准图像

2020最新函数图像的对称问题(小结)

解填空题常用到的几个公式 1. AB 和平面M 所成的角为α,AC 在平面M 内,AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成 的角是β,设∠BAC=θ,则βαθcos cos cos = 2. 在二面角N l M --的面M 内,有直角三角形ABC,斜边BC 在棱上,若A 在平面内N 的射影为D,且∠ACD=1θ,∠ABD=2θ,二面角为θ,则22 122sin sin sin θθθ+= 3. 设F 1,F 2为椭圆122 22=+b y a x (a>b>0)的焦点,M 是椭圆上一点,若∠F 1MF 2=θ 则21MF F S ?=2tan 2θ b , 21e a b -= . 4. 设F 1,F 2为双曲线122 22=-b y a x (a>b>0)的焦点,M 是双曲线上一点,若∠F 1MF 2=θ,则21MF F S ?=2cot 2θ b , 12-=e a b . 5.已知椭圆122 22=+b y a x (a>b>0)上一点,F 1,F 2为左右两焦点,∠PF 1F 2=α, ∠P F 2F 1=β,则2 cos 2cos βαβα-+==a c e . 6.设直线b kx y +=与椭圆12222=+b y a x (双曲线122 22=-b y a x )相交于不同的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,AB 的中点为M ),(00y x ,则0202y a x b k -=(0 202y a x b k =). 7.过抛物线两点,的直线交抛物线于作倾斜角为的焦点B A F p px y ,)0(22θ>= 函数图像的对称问题(小结) 函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面,也是历年高考热点问题之一,除了常见的自身对称(奇偶函数的对称性),两函数图像对称(原函数与反函数的对称性)以外,函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题,在这里,两函..数图象关于某直线对称或关于某点...............成.中心对称....与函数自身的对称轴或对称中心............. 是有本质区别的,注意不要把它们相混淆。造成解题失误,下面就这些问题给出一般结论,希望对同学们有帮助。 一、 同一个函数图象关于直线的对称

配准综述

图像配准是对取自不同时间,不同传感器或者不同视角的同一区域的两幅或者多幅图像进行匹配叠加的过程。随着技术手段的不断发展,人们对图像配准的要求也越来越离。包括配准方法的鲁棒性、算法的难易程度、算法的自主性等都是考量算法的指标。图像配准的方法中,有人提出过被广泛认同的四个巧骤: a.特征空间的选择 特征空间是指将运用到配准中元素的集合。特征空间包括很多方面,比如像素值,比如点、线,或者平面甚至是曲面。 b.搜索空间 搜索策略是指一系列配准变换操作的集合。搜索空间是建立在几何形变基础上的。而几何形变一般包括全局的和局部的几何形变。典型的全局变形包括平移,缩放,扭曲等变形以及它们的组合。而局部形变,对变换参数要求比较苛刻,因为某一套变换参数只能作用在局部形变区域,而其余区域需采用插值技术补充。然而,另外的变形区域则需要另外的变换参数去表述。在一般的处理中,我们将变换模型看成是一种先验知识。不然则需要考量所有的变换模型。 c.搜索策略 搜索策略是实施变换的依据。它的存在是为了找寻变换模型的最优解。常用的搜索策略有松弛模型法、牛顿法和共扼梯度法。 d.相似性度量 相似性度量是对采用的变换模型的评价。相似性度量主要是采用参考图像和配准图像之间的共有的特征之间的差异比较的方法来评价配准的情况。这其中的差异可以包括点位的误差,或者是灰度值相关的差异,还可以是在变换域之间的差异值等等。最常见的相似性度量是检测特征的欧氏距离。 上述的几个步骤构成了图像配准的基本框架。许许多多的算法充斥其中产生了种类繁多的配准方法。下面主要介绍下几种典型的配准算法。目前典型的配准算法中大致可分成基于灰度、基于特征和基于模型的方法。 基于灰度的配准算法 基于灰度的算法中,重点是对图像配准的过程上,而不是特征集的选择

图像配准算法综述

杭州电子科技大学 毕业设计(论文)文献综述 毕业设计题目SIFT特征研究及应用 文献综述题目图像配准算法综述学院生命信息及仪器工程学院 专业电子信息技术及仪器 姓名 班级 学号 指导教师

图像配准算法综述 一.前言 图像配准是指找出场景中同一物体表面的结构点在不同图像上的投影像素点之间的对应关系,是图像信息处理领域中一项非常重要的技术,同时也是其它一些图像分析技术,如立体视觉、运动分析、数据融合等的基础。 目前图像配准广泛应用于虚拟现实、视频压缩、图像复原、图像数据库检索等技术中。图像配准的研究是计算机视觉中最困难也是最重要的任务之一。不同的图像配准方法总是对应于某种适用的图像变换模型,其核心问题是提高配准的速度、精度和算法的稳健度。 随着科学技术的发展现在约40%的机器视觉应用中都会使用图像匹配技术,所涉及的领域有:工业检测,导弹的地形匹配,光学和雷达的图像跟踪,交通管理,工业流水线的自动监控、工业仪表的自动监控,医疗诊断,资源分析,气象预报,文字识别以及图像检索等。 图像匹配研究按其处理步骤可以分为样本采集、样本预处理、样本分割、样本的特征提取等,并且与计算机视觉、多维信号处理和数值计算方法等紧密结合。它也是其它一些图像分析技术,如立休视觉、运动分析、数据融合等的基础。正因为其应用的广泛性,新的应用和新的要求逐步产生,使得匹配算法的研究逐步走向深入,出现了快速、稳定、鲁棒性好的匹配算法。因此,研究图像的匹配算法对于如何提高实际工程中的图像处理质量和识别精度具有非常重要的意义。 本文主要分析图像匹配常用方法的优点和不足之处,讨论了图像匹配中需要进一步研究和解决的问题。 二.图像配准算法的研究现状 图像配准是立体视觉、运动分析、数掘融合等实用技术的基础,在导航、地图与地形配准、自然资源分析、天气预报、环境监测、生理病变研究等许多领域有重要的应用价值。国内外学者针对不同的图像配准应用问题进行了大量的研究工作,早在1992年英国剑桥大学的Lisa Gottesfeld Brown在文献[1]习中就总结了图像配准的主要理论及图像配准在各个领域的应用。当时他讨论的图像配准技术主要还是著眼于医学图像处理、遥感图像处理等传统应用领域。图像配准是图像镶嵌技术的核心问题。 微软研究院的Richard Szeliski在1996年SIGGRAPH上提出了基于运动模型的全景图拼接算法[7]。Szeliski采用了非线性优化的方法来最小化像素两幅图像的亮度差以确定变换参数。该方法使用了全部像素进行优化处理,所以配准精度较高,但是计算速度较慢,且稳健性不佳。 国内的赵向阳。杜立民在2004年提出了一种基于特征点匹配的图像自动拼接算法[2],其中使用了Harris算法[3]提取角点并进行匹配。赵的算法采用了鲁棒变换估计技术,在一定程度上提高配准算法的稳健性,但是计算速度依然较慢,且无法配准重

函数的对称性完美

函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性,是函数性质的重要方面,它包括自身对称和两个函数图象之间的对称,理解掌握函数对称性,对数学问题的解决有很大的帮助,对也是数形结合思想的重要体现。 1.自身对称函数,函数图象本身具有对称轴或是对称中心,该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形,奇函数与偶函数是最典型的两类函数,其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到; 2.两个函数图象的对称,是指两个图形之间的关系,它们之间存在某种关联,即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称,研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点(互为反函数的两个函数图象)。 二、举例分析 例1. 设()f x 是定义在R 上的函数, (1)若对任意x R ∈,都有()()f a x f b x -=+成立,则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称; (2)若对任意x R ∈,都有()()22f x f a x b +-=,则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的:通过此题的学习,让学生明白一个道理,函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称,函数解析式()f x 应满足一关系式是什么,并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析: (1)要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上,()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????,即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 特别地,当,a b 都为0时,就是偶函数的特征了。

基于特征的图像匹配算法-毕业论文含源代码

诚信声明 本人声明: 我所呈交的本科毕业设计论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致中所罗列的容以外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 申请学位论文与资料若有不实之处,本人承担一切相关责任。 本人签名:日期:2010 年05 月20日

毕业设计(论文)任务书 设计(论文)题目: 学院:专业:班级: 学生指导教师(含职称):专业负责人: 1.设计(论文)的主要任务及目标 (1) 了解图象匹配技术的发展和应用情况,尤其是基于特征的图象匹配技术的发展和应用。 (2) 学习并掌握图像匹配方法,按要求完成算法 2.设计(论文)的基本要求和容 (1)查阅相关中、英文文献,完成5000汉字的与设计容有关的英文资料的翻译。(2)查阅15篇以上参考文献,其中至少5篇为外文文献,对目前国外图象匹配技术的发展和应用进行全面综述。 (3)学习图象匹配算法,尤其是基于特征的图象匹配算法。 (4)实现并分析至少两种基于特征的图象匹配算法,并分析算法性能。 3.主要参考文献 [1]谭磊, 桦, 薛彦斌.一种基于特征点的图像匹配算法[J].天津理工大学报,2006, 22(6),66-69. [2]甘进,王晓丹,权文.基于特征点的快速匹配算法[J].电光与控制,2009,16(2), 65-66. [3]王军,明柱.图像匹配算法的研究进展[J].大气与环境光学学报,2007,2(1), 12-15.

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角函数图像的对称轴与对称中心

函数轴对称:如果一个函数的图象沿一条直线对折,直线两则的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称, 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形;y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” , 且平行于y 轴的无数条直线; 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 三角函数图像的对称轴与对称中心 特级教师 王新敞 对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系,有渐近线但无对称轴.由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错, 一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心. 1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心: 对称轴为2 x k π π=+ 、对称中心为(,0) k k Z π∈. 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置,即 2 x k π ωφπ+=+ ()k Z ∈,由此解出1 ()2 x k π πφω = + - ()k Z ∈,这就是函数 sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程. 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈,由此解出 1 ()x k πφω = - ()k Z ∈,这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标,得对称中心1 ( (),0) k k Z πφω -∈. 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心:

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连 续性、凹凸性的考查。尤其是对称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角 函数的对称性,因而考查的频率一直比较高。 对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念: ①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称, 该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的 中心对称,该点称为该函数的对称中心。 常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) ①常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为 a b x2。 ④反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。 ⑥对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。 ⑦幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0 )是它的对称中心,2kx是它的对称轴。 ⑨正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不 会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,) 0,2 (k是它的对称中心。 (11 )正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中)0,2 ( k是它的对称中心,容易犯错误的是可能有的同学会误以为对 称中心只是(kπ,0)。 对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能 误以为最值处是它的对称轴。 三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称。 二、函数的对称性猜测: 具体函数特殊的对称性猜测 ①一个函数一般是不会关于x轴对称,这是由函数定义决定的,因为一个x不会对应两个y的值。但一个曲线是可能关于x 轴对称的。例1、判断曲线xy42 ②函数关于y轴对称例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。 ③函数关于原点对称例3、判断函数xxysin3 ④函数关于y=x对称例4 、判断函数x y1 ⑤函数关于y=-x对称例5 、判断函数x y4 总结为:设(x,y)为原曲线图像上任一点,如果(x,-y)也在图像上,则该曲线关于x轴对称;如果(-x,y)也在图像上,则该曲线关于y轴对称;如果(-x,-y)也在图像上,则该曲线关于原点对称;如果(y,x)也在图像上,则该曲线关 于y=x对称;如果(-y,-x)也在图像上,则该曲线关于y=-x轴对称。2、抽象函数的对称性猜测①轴对称 例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x),求该函数的所有对称轴。(任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4),正中间 2.5,从而该函数关于x=2.5对称) 例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x),求该函数的所有对称轴。(按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0,可见偶函数是特殊的轴对称) 例8、如果f(x)为偶函数,并且f(x+1)=f(x+3),求该函数的所有对称轴。(因为f(x+1)=f(-x-3),按上例可以猜出对称轴x=-1,又因为它以2为周期,所以x=k是它所有的对称轴,k∈Z)②中心对称 例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6,求该函数的对称中心。(因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心)

关于图像匹配的综述

关于图像匹配的综述 1.图像匹配的背景及定义 1.1图像匹配的背景及意义 图像匹配技术广泛的应用于日常生活中的诸多领域,如医疗诊断中各种医学图片的分析与识别、遥感图片识别、天气预报中的卫星云图识别、指纹识别、人脸识别等。图像匹配技术主要指通过计算机,采用数学技术方法,对获取的图像按照特定目的进行相应的处理。图像匹配技术是人工智能的一个重要分支和应用,随着计算机技术及人工智能技术的发展,图像识别技术逐渐成为人工智能的基础技术之一。它涉及的技术领域相当的广泛,也越来越深入,其基本分析方法也随着数学工具的不断进步而不断发展。现在,图像识别技术的应用范围己经不仅仅局限于视觉的范围,也体现在机器智能和数字技术等方面。 1.2图像匹配的定义 所谓图像匹配是指在一幅(或一批)图像中寻找与给定目标图像相似的图像或者图像区域(子图像)的过程。通常将已知目标图像称为模板图像,而将待搜索图像中可能与它对应的子图称作该模板的待匹配的目标图像。图像匹配是在来自不同时间或者不同视角的同一场景的两幅或多幅图像之间寻找对应关系,该技术隶属于计算机视觉哺领域。图像匹配的具 体应用包括目标或场景识别、在多幅图像中求解3D结构、立体对应和运动跟踪等。由于拍摄时间、拍摄角度、自然环境的变化,多种传感器的使用、传感器本身的缺陷及噪声等影响,拍摄的图像会存在灰度失真和几何畸变。同时,图像预处理过程会引入的误差,这都是导致模板图像与待匹配的目标图像之间通常存在着一定程度上的差异。在这种情况下,如何使匹配算法精度高、正确匹配率高、速度快和抗干扰性强成为人们关心的问题。 2.图像匹配算法的分类 图像匹配算法的选取对图像匹配结果的影响很大。实用的匹配算法不仅要求计算量小,还必须具有良好的抗噪能力和抗几何形变的能力。通常情况下,图像匹配算法可以分为以下两大类:基于灰度相关的匹配算法、基于特征的图像匹配算法。 1) 基于灰度分布的相关匹配算法,也称为基于区域的匹配方法。常见的基于图像灰度的匹配方法有:(1)归一化灰度相关匹配、(2)最小二乘影像匹配、和(3)序贯相似性检测法匹配等。该类算法直接利用整幅图像的灰度信息,建立两幅图像之间的相似性度量,然后采用某种搜索方法,寻找使相似性度量值最大或最小的变换模型的参数值。在灰度及几何畸变

函数图象的对称教案

函数图象的对称教案 【教学目标】1.让学生掌握函数关于点(或直线)的对称函数解析式的求法; 2.让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题. 【教学重点】函数(或曲线)关于点(或直线)的对称问题的解法 【教学难点】自对称和相互对称的区别 【例题设置】例1、例2、例3(函数(或曲线)关于点(或直线)的对称问题的解法), 例4(函数的对称问题) 【教学过程】 一、函数关于点(或直线)的对称函数解析式的求法 〖例1〗 写出点),(y x M 关于下列直线或点对称的点的坐标 ★ 点评:将点),(y x M 改为函数)(x f y =图象或曲线0),(=y x F 解法类似,其步骤大致如下: 将所求曲线上的任意一点(,)P x y ,求其关于点(或直线)的对称点(,)P x y ''',再将点P '的坐标代入原方程,即可得到所求的轨迹方程. 因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法, 问题便迎刃而解. 〖例2〗 已知函数31y x =+,则其关于原点对称的函数解析式为 ;关于直线1y x =+对称的函数解析式为 . 当对称轴斜率为±1时,点坐标符合口诀: x 用y 代, y 用x 代.

答案:31y x =-;113 y x =+ 〖例3〗 已知定义在[1,1]-上的奇函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于点(2,1)对称,且当34x ≤≤时,3()(4)2g x x =-+,求()f x 的解析式. 解:① 设(,)P x y (01x ≤≤)为()f x 的图象上的任意一点,则其关于点(2,1)的对称点(4,2)P x y '--(344x ≤-≤)必在()g x 的图象上,故32(44)2y x -=--+ ∴当01x ≤≤时,3()f x x = ② 当10x -≤<时,10x -≤<,且()f x 为奇函数 ∴33()()()f x f x x x =--=--= 综上所述, 3()f x x =. 〖例4〗 设函数()y f x =的定义域为R ,则下列命题中: ① 若()f x 为偶函数,则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称; ② 若(2)y f x =+是偶函数,则()y f x =的图象关于直线2x =对称; ③ 若(2)(2)f x f x -=-,则()y f x =的图象关于直线2x =对称; ④ 若(2)(2)f x f x +=-,则()y f x =的图象关于直线2x =对称; ⑤ (2)y f x =+与(2)y f x =-图象关于直线2x =对称. ⑥ (2)y f x =-与(2)y f x =-图象关于直线2x =对称. 其中正确命题的序号为: . 答案:④⑥ ★点评:其中注意④⑤的区别,(2)(2)f x f x +=-指的是()y f x =的图象自身的一种对称关系;而(2)y f x =+与(2)y f x =-是函数()f x 通过复合变换后得到的两个新的函数图象,要求的应是这两个函数图象的对称关系. 二、函数)(x f y =图象本身的对称性(自身对称) 命题1:设函数()y f x =的定义域为D ,若对于一切的x D ∈,都有()()f a x f a x +=-, 则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称. 推 论:设函数()y f x =的定义域为D ,若对于一切的x D ∈,都有()()f a x f b x +=-, 则函数()y f x =的图象关于直线()()22 a x b x a b x ++-+= = 对称. 命题2:设函数()y f x =的定义域为D ,若对于一切的x D ∈,都有()()f a x f a x +=--, 思考: 情形一中 x 的范围 是如何给 出的,为何 要限定其范围?

一次函数图象的变换--对称

一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型,同学们在做时经常做错,下面我介绍一种简便的方法:抓住对称点的坐标解决问题。 知识点: 1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l,每个点与它的对应点都关于x轴对称,横坐标不变纵坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为(x,y),则(x, -y)应当在直线y=kx+b上,于是有-y=kx+b,即l:y=-kx-b。 2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l,每个点与它的对应点都关于y轴对称,纵坐标不变横坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为(x,y),则(-x, y)应当在直线y=kx+b上,于是有y=-kx+b,即l:y=-kx+b。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用: 例:已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴,y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。 分析:关于x轴对称时,横坐标不变纵坐标互为相反数; 关于y轴对称时,纵坐标不变横坐标互为相反数; 关于某条直线(垂直坐标轴)对称时,则相关点 解:1、关于x轴对称 设点( x , y )在直线l上,则点( x , -y )在直线y=2x+6上。 即:-y=2x+6 y=-2x-6 所以关于x轴对称的直线l的解析式为:y=-2x-6. 关于直线对称。 2、关于y轴对称 设点(x,y)在直线l上,则点(-x,y)在直线y=2x+6上。 即:y=2(-x) +6 y=-2x+6 所以关于y轴对称的直线l的解析式为:y=-2x+6.

3、关于直线x=5对称(作图) 由图可知:AB=BC则C点横坐标:-x+5+5=-x+10 所以点C (-x+10, y) 设点(x,y)在直线l上, 则点(-x+10, y)在直线y=2x+6上。 即:y=2(-x+10)+6 y=-2x+26 所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为:y=-2x+26. 总结:根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。 关于x轴对称,横坐标不变纵坐标互为相反数; 关于y轴对称,纵坐标不变横坐标互为相反数; 关于某条直线(垂直对称轴)对称,可见例题 中分析的方法去求对称点。 练习:1、和直线y=5x-3关于y轴对称的直线解析式为,和直线y=-x-2关于x轴对称的直线解析式为。 2、已知直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称, 求k、b的值。 答案:1、y=-5x-3;y=x+2 分析:设点(x,y)在直线上,则点(-x,y)在关于y轴对称的直线y=5x-3上,所以直线为y=-5x-3;设点(x,y)在直线上,则点(x,-y)在

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