最新高中数学-必修二-圆与方程-经典例题--整理
习题精选精讲圆标准方程
已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )
(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x
(C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x
二、位置关系问题
例2 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+
三、切线问题
例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆02
52422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=
(B)x y 3=或x y 3
1-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=
四、弦长问题
例4设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .
五、夹角问题
例5 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21 (B)5
3 (C)23 (D) 0
六、圆心角问题
例6 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .
七、最值问题
例7 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( ) (A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25
八、综合问题
例8 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[
π
π (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π
圆的方程
1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.
(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；
(2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2
,2E D --)，半径为r ＝2
422F E D -+ 2. 直线与圆的位置关系的判定方法.
(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
消元???=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程??
???????→?相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2
，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝??
????>?=?<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22.
3. 两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：
｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2?两圆外离；
｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2?两圆外切；
｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2?两圆相交；
｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜?两圆内切；
０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜?两圆内含.
●点击双基
1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是
A.－1 B.－1 C.－7 1 131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b ●典例剖析 【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程. 夯实基础 1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则 A.D +E =0 B. B.D +F =0 C.E +F =0 D. D +E +F =0 2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条 3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________. 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________. 5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程. 培养能力 7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求 （1）x y 的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值. 8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系. “求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。”同学们 普遍使用下面两种方法求解： 方法—：先求出两已知圆交点()()2,6,3,121---A A ，再设圆心坐标为),4(b b B +，根据r B A B A ==21，可求出圆心坐标及半径r ，于是可得所求圆方程。 方法二：先求出两已知圆交点()()2,6,3,121---A A ，再设所求圆的方程为：02 2=++++F Ey Dx y x ,其圆心为()22,E D --，代入04=--y x ，再将A 1,A 2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F 的三元一次方程组，求出D,E,F 的值，这样便可得所求圆的方程。 但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。 经过两已知圆的交点的圆系 设圆C 1与C 2的方程为： C 1: 01112 2=++++F y E x D y x C 2: 022222=++++F y E x D y x . 并且两圆相交于两点。引进一个参数λ，并令： 11122F y E x D y x +++++λ（22222F y E x D y x ++++）=0 ——① 其中λ≠-1。 引进两个参数1λ和2λ，并令： 1λ（11122F y E x D y x ++++）+2λ（22222F y E x D y x ++++）=0 ——② 其中1λ+2λ≠0 不论参数取何值，方程①与②中的x 2项和y 2项的系数相等，方程没有xy 项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②，所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系，但是①与②稍有不同： ⑴ 当λ=0时，方程①的曲线就是圆C 1;不论λ为何值，方程①的曲线都不会是圆C 2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C 1在内，但不包括圆C 2。 ⑵ 当1λ=0时，方程②的曲线就是圆C 2；当2λ=0时，方程②的曲线就是圆 C 1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C 1和圆C 2在内。 下面应用圆系来解本文前面的问题： 设经过已知两圆的交点的圆的方程为： 0)286(462222=-+++-++y y x x y x λ. （λ≠-1）则其圆心坐标为)13,13(λ λλ+-+- ∵ 所求圆的圆心在直线04=--y x 上∴ λ+- 13+λ λ+13－4=0， 解得λ=-7 ∴ 所求圆的方程为：4622-++x y x －70)286(22=-++y y x 即：032722=-+-+y x y x 下面再举两例说明圆系的应用 例1． 求经过两已知圆：06422=--+x y x 和06422=--+y y x 的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。 例2． 设圆方程为： 016448)4012()42()4()4(22=--+++++++λλλλλy x y x 其中λ≠－4 求证： 不论λ为何值，所给圆必经过两个定点。 直线与圆的位置关系 二、例题选析 例1：求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程； (1)经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1- 例2：已知点),(00y x P 在圆022=++++F Ey Dx y x 的外部，过P 作圆的切线，切点为M ， 求证F Ey Dx y x PM ++++= 002020。 例3：从圆外一点),(b a P 向圆222r y x =+引割线，交该圆于A 、B 两点，求弦AB 的中点轨迹方程。 备选例题： 例4*：已知对于圆1)1(2 2=-+y x 上任意一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围。 轴对称 例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L ：y=3x-1上找一点P ，求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标。 例2、光线由点C （3，3）出发射到直线L ：y=3x-1上，已知其被直线L 反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。 例3、已知ΔABC 的顶点A 的坐标为(1,4)，∠B、∠C 的平分线的分别方程为02=-y x 和01=-+y x ，求BC 所在的直线方程。 直线和圆 1．自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆07442 2=+--+y x y x 相切，求光线L 所在直线方程． 2．已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使以L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点， 3．（12分）求过点P （6，－4）且被圆22 20x y +=截得长为的弦所在的直线方程． 4．（12分）已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈ （1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交； （2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程． 5（12分）已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的 值． 6.已知圆C ：(x+4)2+y 2=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C 外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N. ∠MAN 是否为定值？若为定值，求出∠MAN 的弧度数；若不为定值，说明理由.