05 第五节 无穷小与无穷大

第五节 无穷小与无穷大

没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人

的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智

产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概

念能像无穷那样需要加于阐明.

-------大卫. 希尔伯特

对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方. 直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才对无限小（即这里所说的无穷小）这一概念给出了明确的回答. 而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的.

分布图示

★ 无穷小

★ 无穷小与函数极限的关系

★ 例1 ★ 无穷小的运算性质

★ 例2 ★ 无穷大

★ 例3 ★ 例4

★ 无穷小与无穷大的关系

★ 例5

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题 1- 5

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内容要点

一、无穷小

二、无穷小的运算性质

有限个无穷小的代数和仍是无穷小

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

三、无穷大

四、无穷小与无穷大的关系

例题选讲

无穷小的概念与无穷小的运算性质

例1 根据定义证明：x x y 1sin

2=当0→x 时为无穷小. 证 ,0>?ε要使 ,1sin ||01sin 222ε<≤=-x x

x x x 只须,||ε

sin 2ε<-x x

.01sin lim 20

=∴→x x x 证毕.

例2 (E01) 求.sin lim

x

x x ∞→ 解 因为 x x x

x x x s i n 1l i m s i n l i m ?=∞→∞→ 而当∞→x 时, x 1是无穷小量, x sin 是有界量),1|sin (|≤x 所以

.0sin lim

=∞→x x x

无穷大的概念

例3 (E02) 证明 .1

1lim 1∞-→＝x x 证 ,0>?M 要使,1

1M x >-只要,11M x <-取,1M =δ当M x 1|1|0=<-<δ时，就有

,1

1M x >-所以.11lim 1∞-→＝x x 例4 证明).1()1(lim >+∞=-+∞→a a x

x 证 ,0>?M 取),1(log +=M X a 当X x >时，有 1)1(log +==>+M a a a M X x a

从而,)1(lim +∞=-+∞→x

x a 即当+∞→x 时，)1(-x a 是正无穷大.

例5 (E03) 求 .5

lim 34

+∞→x x x 解 因为 051lim 5lim 434=??? ?

?+=+∞→∞→x x x x x x 根据无穷小与无穷大的关系有

.5

lim 34

∞=+∞→x x x

课堂练习

1. 求 .)1(22lim 2

21--→x x x x

2．（1）设0x x →时，)(x g 是有界量，)(x f 是无穷大量，证明：)()(x g x f ±是无穷大量.

（2）设0x x →时，M M x g (|)(|≥是一个正的常数），)(x f 是无穷大量，证明：)()(x g x f 是无穷大量.

无穷大量与无穷小量极限的运算法则

第五讲 Ⅰ 授课题目： §2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求： 1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系； 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点： 1、无穷大与无穷小的概念、相互关系； 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容： §2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 1 1 )(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。 当 1→x 时， 1 1 -x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?E x 1 1<-， 也即：+∈?R E ，01>?E ，当 E x 1 1<-时，有： E x >-11。 定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。 如：∞=-→11 lim 1 x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→ tgx x 2 lim π。 注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)； 2.无穷大不能与很大的数混淆； 3.无穷大与无界变量的区别； 例如：x x f y sin 1 )(= = 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。 例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法

若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大， )1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取2 2π π+ =n x n ，当n 充分大时 必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。 ∴ +∞→x 时，x x y cos =，非无穷大。 4.无穷大运算的结论： (1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量； (2)两个无穷大量之积是无穷大量； (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。 二、无穷小量： 1.概念： 定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。 例如：021lim =∞→n n ，则称 ∞→n 时，变量 n n y 21 =是无穷小量。 注 无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。 2.两个重要结论： 结论1 定理2.9 A y =lim ，?α+=A y ，0lim =α。 例如： ?56lim =+∞→x x x ，Θx x x 5656+=+，而：05lim =∞→x x ，∴65 6lim =+∞→x x x 。 结论2 定理2.10 若：0lim =α，且：0,>≤M M y ，?0lim =y α 推论 若：C 为常数，0lim =α?0lim =αC 。 例如：?1 sin lim 0=→x x x 0lim 0=→x x Θ，11sin ≤x ，∴01 sin lim 0=→x x x 。 三、无穷大量与无穷小量的关系： 定理2.11 若：∞=y lim ，? 01lim =y ；若：)0(,0lim ≠=αα?∞=α 1 lim 。 例如：∞=+∞ →x x e lim ，? 01 lim =+∞→x x e 。 注 无穷大、无穷小与极限过程有关。 四、无穷小的阶(无穷小的比较)： 1.概念： 定义2.11 设βα,是关于同一过程的无穷小，α β lim 也是关于同一过程的极限， 若：0lim =α β ，则称β是比α较高阶的无穷小，记：)(αβο=；

(完整版)无穷小量与无穷大量

第周第学时教案授课教师：贾其鑫

第周第学时教案授课教师：贾其鑫

第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量 定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1() y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函 数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ??M >0, ?δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有 |f (x )|>M . 正无穷大与负无穷大: +∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim ) ( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1 1lim 1x x . 证 因为?M >0, ?M 1= δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11| , 所以∞=-→1 1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-| 1|1|11| , 只要M x 1|1|<-.

无穷大与无穷小,极限的四则运算

第 4 次课 2 学时

§1.5 无穷小与无穷大 一、无穷小 若)(x f 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，就称)(x f 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小，即有 定义1：对,0>?ε若)0(0>>?X δ，使得当00()x x x X δ<-<>时，有ε<)(x f 成立，就称)(x f 为当0()x x x →→∞时的无穷小，记为0 lim ()0(lim ()0)x x x f x f x →→∞ ==，。 注⑴：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形。 ⑵：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与一个绝对值非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0，即0是唯一可作为无穷小的常数。 【例1】 因为0422)42(lim 2 =-?=-→x x ，所以42-x 当2→x 时为无穷小； 同理：0sin lim =∞→x x x ，所以 x x sin 当∞→x 时为无穷小， 定理1：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中， （i ）具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和，即：A 为)(x f 的极限()()0(),0,()f x A x x x x x αα?=+→→→∞其中或。 （ii ）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。 ()()()()()0 0000lim (),0,0,(). (),)().().(),()0())lim (). . x x x x f x A x x f x A f x A x x x f x A f x A x f x A x x x x f x A x x x f x A εδδεααεαααααεδ→→=?>?>-<-<=-→=-<→=+=+→→-=<-<=0证明：若则对使得当 0<时有令x 显然当时，（故当x x 时,x 为无穷小，且 反之，设 ， 则可使（在0<时成立，故二、无穷大 若当0x x →或∞→x 时∞→)(x f ，就称)(x f 为当0x x →或∞→x 时的无穷大。 定义2：若对)0(0,0>>?>?X M δ，使得当)(00X x x x ><-<δ时，有 M x f >)(，就 称 ) (x f 当 ) (0∞→→x x x 时的无穷大，记 作:))(lim ()(lim 0 ∞=∞=∞ →→x f x f x x x 。 注⑴：同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义。 ⑵：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。

求极限的方法及例题总结

1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

无穷小量与无穷大量之间关系的应用

无穷小量与无穷大量之间关系的应用 【摘要】结合教学中的体会，从无穷小量与无穷大量之间的相互关系入手，进一步认识无穷小量与无穷大量.学会利用二者之间的关系，解决一些实际问题，达到提高教学质量的目的. 【关键词】无穷大量；无穷小量 【基金项目】中国矿业大学2012年青年教师校级教学改革资助项目（2001245）. 一、前言 不论是在《高等数学》还是在《数学分析》中，都把无穷小量与无穷大量当作重点内容介绍，这是因为此部分内容为后续课程的学习提供了基础，例如用等价无穷小替换求极限、判定级数的收敛性等.从教材的编排上看，《高等数学》和《数学分析》中都是先讲无穷小量，后讲无穷大量.但是对无穷的概念的认识过程看，人类是先认识无穷大，后认识无穷小.所以在文献[1]中，作者按照人们认识无穷的进程，提出了自己的观点，认为先认识清楚无穷大，再认识无穷小.教材中这样安排，主要都是考虑教学的目的. 相对于无穷小与无穷大的比较，一般的教材中都讲无穷小的比较，在求极限时可以用等价无穷小代替等.在文献[2]

中，作者给出了无穷大的比较.在求极限的过程中，同样可以用等价无穷大相互之间替换求函数的极限.在文献[3]中，作者阐述了无穷小的哲学问题，指出了人们对无穷小认识的一些错误，提出了正确的观点，证明了认识无穷小的过程是符合实践――认识――再实践――再认识的自然辩证法. 从教科书和一些文献中，我们能很清楚地认识无穷大量和无穷小量及其性质，也能解决一些实际问题.但我们不能把二者割裂开来独立地去认识.现有的教材中只轻描淡写地说无穷大量和无穷小量符合倒数关系，先讲无穷小量，无穷大量的所有结论利用二者之间的倒数关系可以得到.这就使得学生产生一种误解，认为认识了无穷小量，就等于认识了无穷大量，而不会利用二者之间的关系灵活解决实际问题.本论文正是从解决上述问题出发，利用无穷大量和无穷小量之间的关系进一步认识二者，从而能更好地解决在实际应用中的一些问题.目的是改正教学过程中出现的错误和打消学生的疑惑，提高教学质量，这也符合人们认识自然的实践、认识、再实践、再认识的自然辩证法.

无穷小与无穷大教学设计

陕西国际商贸学院 教学设计 课程名称：经济应用数学.A 授课教师：_____________ 授课班级：_____________ 基础课部大学数学教研室 2017至2018学年第 1 学期

课题：无穷小与无穷大 课程：经济应用数学A教学对象：课时：2课时 任课教师：教材：《高等数学（经管类）》吴玉梅，古佳，康敏，科学出版社 一、教材分析 选用的是《高等数学（经管类）》，教材，教材适用于经济，金融和管理类的学生。本节课的主要介绍的是无穷小与无穷大，从无穷小与无穷大的定义到运算性质，让学生对无穷小与无穷大有一个整体的认识，之后对无穷小的比较做进一步学习。 1、以教材作为出发点，依据《课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先复习数列的极限函数的极限，通过对极限概念的进一步分析和总结，让学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法，不仅要保证数学知识的完整性，也要提升学生运用数学的思想和应用数学知识解决实际问题的方法。 二、教学目标与内容 1.教学目标 知识与技能 通过对本节的学习，理解无穷小与无穷大的概念及它们的关系，掌握无穷小的运算性质，熟记常用的等价无穷小量，会用等价无穷小替换定理求极限。 过程与方法 通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题，在此过程中，要培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价值观 通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题让学生体验数学在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。 2.教学重难点 教学重点： 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小的运算性质 3.无穷小的比较

求极限的方法和例题总结

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式 11)32(1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。

3．两个重要极限 （1） 1 sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210 ) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 利用两个重要极限求极限 例5 2 03cos 1lim x x x -→解：原式= 61 )2(122sin 2lim 32sin 2lim 2 2 02 2 0=?=→→x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例 6 x x x 2 ) sin 31(lim -→=6 sin 6sin 31 sin 6sin 310 ] ) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-? -→=-=-e x x x x x x x x x x 例7 n n n n )12(lim +-∞→= 31 331 1 331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+ e n n n n n n n n n n 。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0 x x →时的无穷小，且)(x f ～ )(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当 ) () (lim 110 x g x f x x →存在时， )() (lim x g x f x x →也存在且等于 ) (x f ) ()(lim 110 x g x f x x →，即 )() (lim x g x f x x →=)()(lim 11 0x g x f x x →。

无穷小与无穷大

1.4 无穷小与无穷大 1.4.1 无穷小 1．无穷小量的定义 定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。 例如：因为 0)1(lim 1 =-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。 因为 01 lim =∞ →x x ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。 因为 011lim =--∞ →x x ，所以函数x -11 是当x →－∞时的无穷小。 以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小， n 1，n 3 2 都是n →∞时的无穷小。 注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。 ⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。 ⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。 2.无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质： ⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 ⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。 例1．求 x x x sin lim ∞ → 解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而 01 lim =∞ →x x ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

∴ x x x sin lim ∞ →＝0 3．函数极限与无穷小的关系 定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。 4．无穷小的比较 例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, x x 1 sin 2 都是无穷小。 观察各极限： 032 lim =→x x x x 2比3x 要快得多 1sin lim =→x x x sinx 与x 大致相同 ∞=?=→→x x x x x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1 sin lim lim 220 →→= 不存在 不可比 极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。 得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 ⑴如果αβlim ＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果αβ lim ＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβ lim ＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果α β lim ＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。 例2．比较当x →0时，无穷小 x x ---111 与x 2阶数的高低。

大一高数学习知识重点与例题讲解

大一高数 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-， ∴()N g ε=???? 2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X = 2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且

无穷大量与无穷小量&极限的运算法则

第五讲 Ⅰ 授课题目： §2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求： 1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系； 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点： 1、无穷大与无穷小的概念、相互关系； 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容： §2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 1 1 )(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。 当 1→x 时， 1 1 -x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?E x 11<-， 也即：+∈?R E ，01>?E ，当 E x 11<-时，有：E x >-1 1 。 定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。 如：∞=-→11 lim 1 x x ，-∞=+ →x x lg lim 0，+∞=-→ tgx x 2 lim π。 注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)； 2.无穷大不能与很大的数混淆； 3.无穷大与无界变量的区别； 例如：x x f y sin 1 )(= = 当)2,1,0(, ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠ 时，)(x f 为有限数。 例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法 若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大， )1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取2 2π π+ =n x n ，当n 充分大时

数学分析答案无穷小量与无穷大量的阶)

习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a x α： (1) u (x ) = x x x 543 32-+, (x →0，x →∞)； (2) u (x ) = x x x x 524 3 23+- (x →0，x →∞)； (3) u (x ) = x 3 + x 2 3 (x →0+，x →+∞)； (4) u (x ) = x x x ++ (x →0+，x →+∞)； (5) u (x ) = 13+x - 123 +x (x →0，x →+∞)； (6) u (x ) = x 2 1+ - x (x →+∞)； (7) u (x ) = - 3 2 x (x →0+)； (8) u (x ) = 1+x x - e 2x (x →0+)； (9) u (x ) = ln cos x - arc tan x 2 (x →0)； (10) u (x ) = x tan 1+ - 1-sin x (x →0)。 解（1）)(x u ～)0(23→x x ；)(x u ～)(5∞→x x 。 （2）)(x u ～)0(21→--x x ；)(x u ～ ) (3 1∞→x x 。 （3）)(x u ～)0(3 2 +→x x ；)(x u ～)(2 3 +∞→x x 。 （4）)(x u ～)0(81 +→x x ；) (x u ～)(21 +∞→x x 。 （5）)(x u ～)0(65→x x ；)(x u ～ )(321 +∞→x x 。 （6）)(x u ～ )(2 11 +∞→-x x 。 （7）)(x u ～)0(21 +→x x 。 （8）)(x u ～)0(2+→-x x 。

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极 限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用

→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1 为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0 lim () () (),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0 x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α （充分性）设() (),f x A x α其中()x α是当0x x 时的无穷小，则 【意义】 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

作业(无穷大与无穷小、极限四则运算)(答案)

一、在下列各题中，指出哪些变量是无穷小量，哪些变量是无穷大量？ 1．当∞→x 时，变量 x 2是无穷小量； 【0 2lim =∞ →x x 】 2．当-∞→x 时，变量x -2是无穷大量； 【 +∞ =--∞ →x x 2 lim 】 3．当0→x 时，变量x sin 是无穷小量； 【0sin lim 0 =→x x 】 4．当+→0x 时，变量x ln 无穷大量． 【-∞=+→x x ln lim 0 】 二、利用无穷小与有界变量的关系，计算下列极限 1． x x x sin lim ∞ → 2．x x x 1sin lim 2 → 解：由0 1lim =∞ →x x ，且1sin ≤x ， 解：由0lim 2 =→x x ，且11sin ≤x ， 故0 sin lim =∞ →x x x ． 故0 1sin lim 2 =→x x x ． 3．)21(cos lim +→x x x 4．x x x 1sin lim 2 +∞ → 解：由0lim 0 =→x x ，且 3 21cos ≤+x ， 解：由0 1lim =∞ →x x ，且11sin 2 ≤+x ， 故0 )21(cos lim =+→x x x ． 故0 1 sin lim 2 =+∞ →x x x ． 三、求下列极限 1．)158(lim 2 5 +-→x x x 176 155582 =+?-?=． 2． 1 1lim 2 1 ---→x x x 0111)1(2 =----= ． 3．59lim 2 3 -+→x x x 3 5 3 932 =-+=． 强行代入 4．x x x -+→13lim 1 ∞=． 无穷小的倒数是无穷大 5．1 1 lim 2 1 --→x x x 1 ) 1)(1(lim 1 --+=→x x x x 2 11)1(lim 1 =+=+=→x x ． 分解约分