青岛莱西大一南理科数学4

青岛莱西大一南理科数学4

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（5分）（2010?福建）对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S={a ，b ，c ，d}具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则

当时，b+c+d 等于（ ）

2．（5分）（2014?上海二模）已知f （x ）=alnx+x 2（a ＞0），若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有

＞2恒成立，则a 的取值范围是（ ）

3．（5分）（2014?河南一模）已知F 1、F 2分别是双曲线

（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P

为双曲线上的

一点，若∠F 的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） 4．（5分）（2014?福州模拟）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f （x ）g ′（x ）＞f ′（x ）g （x ），且f （x ）=a x g （x ）（a ＞0且a ≠1，，对于有穷数列

，任取正整

数k （1≤k ≤10），则前k 项和大于的概率是（ ）

5．（5分）（2012?温州一模）如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（ ）

+2

2

4

6．（5分）（2014?陕西）根据如图框图，对大于2的正数N ，输出的数列的通项公式是（ ）

22

8．（5分）（2014?呼伦贝尔二模）在边长为1的正三角形ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0，且x+y=1，则?的最大值为（）

x

10．（5分）（2014?荆州模拟）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：

①f（0）f（1）＞0；

②f（0）f（1）＜0；

③f（0）f（3）＞0；

④f（0）f（3）＜0；

⑤abc＜4；

⑥abc＞4．

其中正确结论的序号是（）

二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）

11．（5分）（2014?东昌区二模）观察下表：

1

2 3 4

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10

…

则第_________行的各数之和等于20092．

12．（5分）（2013?天津模拟）设函数，A0为坐标原点，A n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量，向量i=（1，0），设θn为向量a n与向量i的夹角，则满足

的最大整数n是_________．

13．（5分）（2014?渭南二模）已知F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l 与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为_________．

14．（5分）（2010?上海）以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）?、U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A?B或B?A，那么共有_________种不同的选法．

15．（5分）（2014?惠州模拟）数列{a n}是正项等差数列，若，则数列{b n}也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n}，若d n=_________则数列{d n}也为等比数列．

三．解答题（共5小题，满分65分，每小题13分）

16．（13分）（2010?江苏）已知△ABC的三边长都是有理数．

（1）求证cosA是有理数；

（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．

17．（13分）（2013?安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．

（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．

18．（13分）（2014?通州区二模）已知f（x）=，数列{a n}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{b n}中b1=，且b n+1=f（b n），

（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式

（2）令，{c n}的前n项和为T n，证明：对?n∈N+有1≤T n＜4．

19．（13分）（2014?仁寿县模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半

轴为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．

20．（13分）（2014?河西区三模）已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0，

且f′（x）≥0在R上恒成立．

（1）求a，c，d的值；

（2）若，解不等式f′（x）+h（x）＜0；

（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

青岛莱西大一南理科数学4

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（5分）（2010?福建）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）

2．（5分）（2014?上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有

＞2恒成立，则a的取值范围是（）

都有

，都有

=+x

3．（5分）（2014?河南一模）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的

则由已知得

4．（5分）（2014?福州模拟）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1，，对于有穷数列，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于的概率是（）

根据导数可知函数的单调性，从而确定

{

∴即

又

所以由a=

{是首项为，公比为﹣＞

P=

5．（5分）（2012?温州一模）如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为4，C在平面α内，B是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（）

+224

=2+=2+ =4+2

6．（5分）（2014?陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）

22

则或

8．（5分）（2014?呼伦贝尔二模）在边长为1的正三角形ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0，且x+y=1，则?的最大值为（）

根据，可得=

1+，可求

解：由题意，

∵

∴=1+

≤

x=y=时，取等号

x=y=时，

x

转化不等式为

，所以

y=

10．（5分）（2014?荆州模拟）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：

①f（0）f（1）＞0；

②f（0）f（1）＜0；

③f（0）f（3）＞0；

④f（0）f（3）＜0；

⑤abc＜4；

⑥abc＞4．

其中正确结论的序号是（）

二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）

11．（5分）（2014?东昌区二模）观察下表：

1

2 3 4

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10

…

则第1005行的各数之和等于20092．

列出式为：

12．（5分）（2013?天津模拟）设函数，A0为坐标原点，A n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量，向量i=（1，0），设θn为向量a n与向量i的夹角，则满足

的最大整数n是3．

，再确定

=

==

===，==

则有

13．（5分）（2014?渭南二模）已知F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l

与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为．

c=

e==

故答案为：

14．（5分）（2010?上海）以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）?、U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A?B或B?A，那么共有36种不同的选法．

15．（5分）（2014?惠州模拟）数列{a n}是正项等差数列，若，则数列{b n}也为等差数

列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n}，若d n=则数列{d n}也为等比数列．

原来的除法变为开方

故答案为：

三．解答题（共5小题，满分65分，每小题13分）

16．（13分）（2010?江苏）已知△ABC的三边长都是有理数．

（1）求证cosA是有理数；

（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．

据有理数集对于除法的具有封闭性推断出

=cosA

，

∴

17．（13分）（2013?安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．

（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．

件，所以与相互独立，由于（（﹣

﹣=

所包含的基本事件总数为（

事件数为

=

﹣

﹣﹣

[

﹣

﹣k=≥=﹣n=﹣﹣

18．（13分）（2014?通州区二模）已知f（x）=，数列{a n}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{b n}中b1=，且b n+1=f（b n），

（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式

（2）令，{c n}的前n项和为T n，证明：对?n∈N+有1≤T n＜4．

==，=，得

?，知

=

=，

n

∴

=，且

=

得

∴

∴

故

）∵?

∴

，

两式相减整理，得，

∵

∴

∵

19．（13分）（2014?仁寿县模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半

轴为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．

．再由的方程为

．由

上．由

．再由根据判别式和根与系数的关系求解

的坐标，进而可得

所以

即

又因为

的方程为．

由

，得

整理，得

由

所以，则

，所以

所以

解得，，，﹣

此时

所以的取值范围是

20．（13分）（2014?河西区三模）已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0，

且f′（x）≥0在R上恒成立．

（1）求a，c，d的值；

（2）若，解不等式f′（x）+h（x）＜0；

（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

∴，有

上恒成立，即

=a

，于是由二次函数的性质可得

即，即a=，

）∵．∴

，即

即，即

当时，解集为（时，解集为（，b=

）∵=

∴

使函数

，即

解得．∵，∴

即

解得﹣

即

解得1+2

1+2