第五章有磁介质存在时的磁场

第七章 有磁介质存在时的磁场

上两章讨论了真空中磁场的规律，在实际应用中，常需要了解物质中磁场的规律。由于物质的分子或原子中都存在着运动的电荷，所以当物质放到磁场中时，其中的运动电荷将受到磁力的作用而使物质处于一种特殊的状态中，处于这种特殊状态的物质也会反过来影响磁场的分布。本章将以实物物质的电结构为基础，简单说明第一类磁介质磁化的微观机制，用类似于讨论电介质极化的方法研究磁介质对磁场的影响，并介绍有磁介质时的磁场场量和场所遵循的普遍规律，简单介绍磁路的概念和磁路的计算。

§1 磁介质存在时静磁场的基本规律

一、磁介质

在考虑物质受磁场的影响或它对磁场的影响时，物质统称为磁介质。与电场中的电介质相似，放在磁场中的磁介质也要和磁场发生相互作用，彼此影响而被磁化，处于磁化状态的磁介质也要激发一个附加磁场使磁介质中的磁场不同于真空中的磁场。

设某一电流分布在真空中激发的磁感应强度为0B ，那么在同一电流分布下，当磁场中放进了某种磁介质后，磁化了的磁介质激发附加磁感应强度B ，这时磁场中任一点的磁感应强度B 等于0B 和B 的矢量和，即 B B B 0

如果用实验分别测出真空和有磁介质时的磁感应强度0B 和B ，则它们之间应满

足一定的比例关系，设可以用下式表示

0B B r

式中r 叫磁介质的相对磁导率，它随磁介质的种类或状态的不同而不同。由于磁介

质有不同的磁化特性，它们磁化后所激发的附加磁场会有所不同。一些磁介质磁化

后使磁介质中的磁感应强度B 稍小于0B ，即0B B ，这时r 略小于1，这类磁介质

称为抗磁质，例如水银、铜、铋、硫、氯、氢、银、金、锌、铅等都属于抗磁质。另一些磁介质磁化后使磁介质中的磁感应强度B 稍大于0B ，即0B B ，这时r 略大于1，这类磁介质称为顺磁质，例如锰、铬铂氮等都属于顺磁性物质。一切抗磁质和大多数顺磁质有一个共同点，就是它们所激发的附加磁场极其微弱，B 和0B 相差很小，一般技术中常不考虑它们的影响。此外还有一类磁介质，它们磁化后所激发的附加磁感应强度B 远大于0B ，使得0B B ，它的r 比1大得多，而且还随0B 的大小发生变化，这类能显著地增强磁场的物质，称为铁磁质，例如铁、镍、钴、钆以及这些金属的合金，还有铁氧体等物质。它们对磁场的影响很大，在电工技术中有广泛的应用。

三种磁性物质可以通过实验显示出不同的特性，见P465表1。

二、分子电流和分子磁矩

根据物质电结构学说，任何物质（实物）都是由分子、原子组成的，而分子或原子中任何一个电子都不停地同时参与两种运动，即环绕原子核的运动和电子本身的自旋。这两种运动都等效于一个电流分布，因而能产生磁效应。把分子或原子看作一个整体，分子或原子中各个电子对外界所产生磁效应的综合，可用一个等效的圆电流表示，统称为分子电流。这种分子电流具有一定的磁矩，称为分子磁矩，用

符号m 表示。如果以I 表示电流，以S 表示园面积，则一个园电流的磁矩为

n

IS m ? 其中n

?为园面积的正法线方向的单位矢量，它与电流流向满足右手螺旋关系。 我们用简单的模型来估算原子内部电子轨道运动的磁矩的大小。假设电子（质量为e m ）在半径为r 的圆周上以恒定的速率v 绕原子核运动，电子轨道运动的周期就是v

r 2。由于每个周期内通过轨道上任一“截面”的电量为一个电子的电量e ，因此，沿着圆形轨道的电流就是

r

ev v r e I 22 而电子轨道的磁矩为

2

22evr r r ev IS m 由于电子轨道运动的角动量vr m L e ，所以次轨道磁矩可以表示为

L m e m e

2 上面用经典模型推出了电子的轨道磁矩和它的轨道角动量的关系，量子力学理论也给出同样的结果。上式不但对单个电子的轨道运动成立，而且对一个原子内所有电子的总轨道磁矩和总角动量也成立。量子力学给出的总轨道角动量是量子化的，即它的值只可能是

l m L ， ,2,1,0 l m

由此可知，原子的电子轨道总磁矩也是量子化的。

电子在轨道运动的同时，还具有自旋运动——内禀（固有）自旋角动量s 的大小为2/ ，它的内禀自旋磁矩为

J/T 1027.9224 e

e B m e s m e m 之一磁矩称为玻尔磁子。

原子核也有磁矩，它是质子在核内轨道运动以及质子和中子的自旋运动所产生的磁效应。但是比电子的磁矩差不多小三个数量级，在计算分子或原子的总磁矩时，核磁矩的影响可以忽略。但有的情况下要单独考虑核磁矩，如核磁共振技术。

在一个分子中有许多电子和若干个核，一个分子的磁矩是其中所有电子的轨道磁矩和自旋磁矩以及核的自旋磁矩的矢量和。有些在分子在正常情况下，其磁矩的矢量和为零，分子总磁矩等于零的原子或分子表现为抗磁性，由这些原子或分子组成的物质就是抗磁质。有些分子在正常情况下其磁矩的矢量和具有不一定的值，这

个值叫分子的固有磁矩，分子总磁矩不等于零的原子或分子表现为顺磁性，由这些原子或分子组成的物质就是顺磁质。铁磁质是顺磁质的一种特殊情况，它们的晶体内电子的自旋之间存在着一种特殊的相互作用，（需要量子力学来说明），使它们具有很强的磁性。见P467的表16.2。

当顺磁质放入磁场中时，其分子的固有磁矩就要受到磁场力矩的作用，这力矩力图使分子的磁矩的方向转向与外磁场方向一致。由于分子的热运动的妨碍，各个分子的磁矩的这种取向不可能完全整齐。外磁场越强，分子磁矩排列的就越整齐，正是这种排列使它对原磁场发生了影响。

抗磁质的分子没有固有磁矩，但为何也能受磁场的影响并进而影响磁场呢？这是由于在外磁场中，每个电子和核都会产生与外磁场方向相反的感生磁矩的原因。

在外磁场0B 作用下，分子或原子中和每个电子相联系的磁矩都受到磁力矩的作

用，由于分子或原子中的电子以一定的角动量作高速转动，这时每个电子除了保持上述两种运动以外，还要附加电子磁矩以外磁场方向为轴线的转动，称为电子的进动。这与力学中所讲的高速旋转的陀螺在重力矩的作用下以重力方向为轴线所作的进动十分相似。

可以证明：不论电子原来的磁矩与磁场方向之间的夹角是何值，在外磁场0B 中，电子角动量L 进动的转向总是和0B 分方向构成右手螺旋关系。电子的进动也相当于一个圆电流，因为电子带负电，这种等效圆电流的磁矩的方向永远与0B 的方向相反。

原子或分子中各个电子因进动而产生的磁效应的总和也可用一个等效的分子电流

的磁矩来表示，因进动而产生的等效电流的磁矩称为附加磁矩，用m 表示。不管

原有磁矩的方向如何，所产生的附加磁矩的方向都是和外加磁场方向相反的。对抗磁质分子来说，尽管在没有外加磁场时，其中所有电子以及核的磁矩的矢量和为零，因为没有固有磁矩，但是在加上外磁场后，每个电子和核都会产生与外磁场方向相反的附加磁矩。这些方向相同的附加磁矩的矢量和就是一个分子在外磁场中产生的感生磁矩。

在实验室通常能获得的磁场中，一个分子所产生的感生磁矩要比分子的固有磁矩小到5个数量级以下。就是由于这个原因，虽然顺磁质的分子在外磁场中也要产生感生磁矩，但核它的固有磁矩相比，前者的效果是可以忽略不计的。

三、磁介质的磁化

顺磁质放到外磁场中时，它的分子的固有磁矩要沿着磁场方向取向，而抗磁质放到外磁场中时，它的分子要产生感生磁矩。考虑和这些磁矩相对应的小园电流，可以发现在磁介质内部各处总是有相反方向的电流流过，它们的磁作用就相互抵消了。但是在磁介质表面上，这些小园电流的外面部分未被抵消，它们都沿着相同的方向流通，这些表面上的小电流的总效果相当于在介质圆柱体表面上有一层电流流过，这种电流叫做束缚电流，也叫磁化电流。如图16.2中，其面电流密度用j 表示。它是分子内的电荷运动一段一段接合而成的，不同于金属中自由电子定向运动形成的传导电流。对比之下，金属中的传导电流（以及其他由电荷的宏观移动形成的电流）可称作自由电流。

正如由电介质时的电场E 是自由电荷的电场与极化电荷的电场的叠加一样，有磁介质时的磁场B 也由两部分叠加而成，为了描述磁介质磁化程度，可仿照极化强度P 的定义一个磁化强度。设磁介质中某物理无限小体积元V 内的分子磁矩矢量和为 m p ，则

V mi

p M

为V 内所在点的磁化强度，它是空间中宏观矢量场。如果磁介质的总体或某区域内各点的M 相同，则称为均匀磁化。

对于各向同性的非铁磁介质中的每一点，其磁化强度与磁场的方向平行，对顺磁介质相同，抗磁介质相反，大小成正比。

四、磁化电流

磁化电流包括磁化电流大小以及磁化电流密度两个概念。下面先讨论磁化电流大小与磁化强度的关系。

电流是对曲面的定义，曲面的电流等于单位时间流过它的电荷。我们来计算磁介质内任一曲面S 的磁化电流'I 。设S 的边线为L ，只有那些环绕曲线L 的分子电流才对'I 有贡献，因为其他分子电流或者不穿过曲面S 或者沿着相反方向穿过两次而抵销。因此求出环绕L 的分子电流个数再乘以分子电流值便可得到'I 。先计算环绕L 的某一元段dl 内的分子电流个数。由于dl 很短，可认为dl 内各点的磁化强度M 相同，为简单期间，假定dl 附近各分子磁矩都取与M 完全相同的方向。以dl 为轴作一斜圆柱体，其两底与分子电流所在平面平行（即与M 垂直），底的半径等于分子电流的半径。这样只有中心在圆柱体内的分子电流才环绕dl 。设单位体积内的分子数为N ，则中心在圆柱体内地分子数为 NAdlcos （A 为底面积、 为M 与dl 的夹角），这些分子贡献的电流为

l M m d NAdlcos I dI '

整个曲面的磁化电流为

L

l M d I '

上式说明磁介质中任一曲面S 的磁化电流等于磁化强度沿着这曲面的边线的积分。不难看出这一关系对应于电介质中某体积内极化电荷与极化强度之间的关系 L

S P q d '

以上讨论的磁化电流叫做体磁化电流，在研究磁介质时还常常需要面磁化电流的概念。面电流分布可用面电流密度描述。在磁介质理论中关于磁化电流密度可证明两个相应的结论：

1）磁介质内磁化电流密度由磁化强度决定。在均匀磁化的磁介质中磁化电流密度为零。

2）两磁化介质界面上的磁化电流面密度由磁化强度决定，n e M M α )(12'，

其中en 为界面法向的单位矢量，从磁介质2指向1。

五、磁场强度矢量及其环路定理

磁场对磁介质有磁化作用，被磁化后的磁介质反过来也将影响原来的磁场分布。当空间的传导电流分布以及磁介质的性质已知时，原则上应能求得空间各点的磁感应强度。然而，如果从毕奥－萨定律出发求B ，必须知道全部电流的分布包括传导电流和磁化电流，而磁化电流依赖于磁化情况，磁化情况又依赖于总的磁感应强度B ，这就形成了计算上的循环。根据第五章的安培环路定理，B 沿着任一闭合曲线L 的积分满足

I 0 l d B

当场中存在磁介质时，只要把I 理解成包括传导电流又包括磁化电流，上述仍然成立。

)(00'I I

l d B 将磁化电流的表达式代入得到

)(00 L

l M l d B d I 整理的

00)(

I l d M B

令 M B H 0

式中H 称为磁场强度。对于线性磁介质有H H H H M H B r m 000)()( 。利用此定义式，前式可以改写为下列简单形式

int 0,I l d H

这就是有磁介质式的安培环路定理。此式的意义在于：在有磁介质的磁场中，沿任

意闭合路径磁场强度的线积分等于该闭合路径所包围的自由电流的代数和。表明矢量的环流只和自由电流I 有关，而在形式上于磁介质的磁性无关。也就是说，当自由电流I 给定后，不论磁场中放进什么样的磁介质或者同一块磁介质放在不同的地方，虽然在不同的情况下空间同一点的矢量不同，但矢量的环流只和自由电流有关。因此引入磁场强度这个物理量后，在磁场分布具有高度对称性时，能够使我们比较方便地处理有磁介质时的磁场问题，就像引入电位移矢量后使我们能够比较方便地处理有电介质时的静电场问题一样。安培环路定理和静磁场的另一普遍规律——磁场中的高斯定理一起，是处理精粹查问题的基本定理。

由于上式是由安培环路定理推导出来的，并具有与安培环路定理相同的形式，所以它叫做有磁介质时的安培环路定理，也叫做H 的环路定理。

上式虽然是由特殊情况导出的，但是可以证明也适用于一般的情况，例如磁介质未被充满的情况等。

国际单位制中，H 的单位是A/m

六、静磁场与静电场方程的对比

基本方程与性能方程，边值关系三方面比较。

§2 顺磁性与抗磁性

由于顺磁质分子的固有磁矩在磁场中定向排列或抗磁质分子在磁场中产生了感生磁矩，因而在磁介质的表面上出现束缚电流的现象叫做磁介质的磁化。顺磁质的束缚电流的方向总是与磁介质中外磁场的方向有右手螺旋关系，它产生的磁场要加强磁介质中的磁场。抗磁质的束缚电流的方向与磁介质中外磁场的方向有左手螺旋关系，它产生的磁场要减弱磁介质中的磁场。这就是两种磁介质对磁场影响不同的原因。

注：在抗磁质中，每个原子或分子中所有电子的轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和等于零，在外磁场0B 中电子轨道运动的平面在磁场中会发生进动，而且其轨道角动量进

动的方向在任何情况下都是沿着磁场的方向，和电子轨道运动的速度方向无关，并在同一外磁场0B 中都以相同的角速度进动。因此，这时抗磁质中每个分子或原子中

所有的电子形成一个整体绕外磁场进动，从而产生一个附加磁矩m ，m 的方向与0B 的方向相反，大小与0B 的大小成正比。这样，抗磁材料在外磁场的作用下，磁

体内任一体积元中大量分子或原子的附加磁矩的矢量和 m 有一定的量值，结果

在磁体内激发一个和外磁场方向相反的附加磁场，这就是抗磁性的起源。

抗磁性既然起源于外磁场对电子轨道运动作用的结果，应该在任何原子或分子的结果中都会产生，因此它是一切磁介质所共有的性质。

对顺磁质而言，虽然每个原子或分子有一定的磁矩，但由于分子的无规则热运动，各个分子磁矩排列的方向是杂乱无章的，对顺磁质内任何一个体积元来说，其中各分子的分子磁矩的矢量和0 m ，因而对外界不显示磁效应。在外磁场0B 的作用下，分子磁矩m 的大小不改变，但是外磁场0B 要促使m 绕磁场方向进动，并

具有一定的能量。同时，介质中存在着大量原子或分子，由于这些原子或分子之间

的相互作用和碰撞，促使分子磁矩m 改变方向，从而改变m 在外磁场中的能量状态；

另一方面，分子热运动又是破坏分子磁矩沿磁场方向有序排列的因素，使之不可能取向完全一致。当达到热平衡时，原子或分子的能量遵守玻耳兹曼分布率，处在较

低能量状态的原子数或分子数比高能量状态的要多，亦即其分子磁矩m 靠近外磁场

方向的分子数较多。显然，磁场越强，温度越低，分子磁矩m 排列也越整齐，这时，

在顺磁体内任取一体积元V ，其中各分子磁矩的矢量和0 m 将有一定的量值，

因而在宏观上呈现出一个与外磁场同方向的附加磁场，这便是顺磁性的来源。

顺磁质受到外磁场的作用后，其中的原子或分子也会产生抗磁性，但在通常情

况下，多数顺磁质分子的附加磁矩0 m 比 m 小很多，所以这些磁介质主要显

示出顺磁性。(注完)。

有一长直螺线管，单位长度上的匝数为n ，管内充满相对磁导率为r 的均匀磁

介质，当导线圈内通以电流I 时，该电流在螺线管内产生的磁场大小为

nI B 00

其中nI 是沿螺线管轴线方向单位长度上的自由电流，磁场方向平行于轴线。磁介质由于磁化，在表面产生面束缚电流。以j 表示面束缚电流密度，即沿管轴方向单位长度上的面束缚电流，则由面束缚电流产生的磁场的大小为

j B 0

方向也平行于轴线。则有磁介质时管内的磁场应该是这两种电流产生的磁场的矢量和，即

)(00j nI B B B

再利用nI B B r r 00 ，则由上式可得

nI j r )1(

由上式可以看出：对于抗磁质，1 r ，从而有0 j ，说明其面束缚电流方向

和自由电流方向相反；对于顺磁质，有1 r ，从而有0 j ，说明其面束缚电流方

向和自由电流方向相同。对这两种磁介质老说，由于r 和1相差甚微，所以面束缚

电流极小，螺线管中磁场基本上还是自由电流产生的。对于铁磁质，由于1 r ，

面束缚电流方向和自由电流方向也相同，而其面电流密度比自由电流密度（nI ）大得多。因此，这时管内的磁场基本上是由铁磁质表面的面束缚电流产生的，这时的自由电流因此被叫做励磁电流。

§3 铁磁质

铁、钴、镍和它们的一些合金、稀土族金属（在低温下）以及一些氧化物（如用来做磁带的2CrO ）都具有明显而特殊的磁性。首先是它们的相对磁导率都比较大，而且随磁场的强弱发生变化；其次是它们都由明显的磁滞效应。下面简单介绍一下铁磁质的特性。

用实验研究通知的性质时，通常把铁磁质试样做成环状，外面绕上若干匝线圈（如图16.4）。线圈中统入电流后，铁磁质就被磁化。当这励磁电流为I 时，环中的

磁场强度H 为

r

NI H 2 式中N 为环上线圈的总匝数，r 为环的平均半径。这时环内的B 可以用另外的方法测出，于是可以得出一组对应的H 和B 的值。改变电流I ，可以依次测得许多组H 和B 的值，这样就可以绘出一条关于试样的H-B 关系曲线以表示试样的磁化特点。这样的曲线叫磁化曲线。

如果从试样完全没有磁化开始，逐渐增大电流I ，从而逐渐增大H ，那么所得的磁化曲线就叫起始磁化曲线，一般如图16.5所示。H 较小时，B 随H 成正比地增大，H 再稍大时B 就开始急剧地但也约成正比地增大，接着增大变慢，当H 到达某一值后再增大时，B 就几乎不再随H 增大而增大了。这时铁磁质试样到达了一种磁饱和状态，它所有的原子磁矩都沿的方向排列整齐了。 根据H B r 0 ，可以求出不同H 值时的r 值，r 随H 变化的关系曲线也对

应地画在图16.5中。

实验证明，各种铁磁质的起始磁化曲线都是“不可逆”的，即当铁磁质到达磁饱和后，如果慢慢减小磁化电流以减小H 的值，铁磁质中的B 并不沿起始磁化曲线逆向逐渐减小，而是减小的比原来增加时慢。如图16.6中ab 段所示，当0 I ，因而0 H 时，B 并不等于0。而是还保持一定的值。这种现象叫磁滞效应。H 恢复到零时铁磁质内部仍保留的磁化状态叫剩磁，相应的磁感应强度常用r B 表示。

要想将剩磁完全消除，必须改变电流的方向，并逐渐增大这反向的电流，当H 增大到c H 时，0 B 。

这个使铁磁质中的B 完全消失的c H 值叫做铁磁质的矫顽力。 再增大反向电流以增大H ，可以使铁磁质达到反向的磁饱和状态。将反向电流逐渐减小到零，铁磁质会达到r B 所代表的反向剩磁状态。把电流改回原来的方向并逐渐增大，铁磁质又会经过c H 表示的状态回到原来的饱和状态。这样，磁化曲线就形成了一个闭合曲线，这一闭合曲线叫磁滞回线。由磁滞回线可以看出，铁磁

质的磁化状态并不能由励磁电流或H值单值地确定，它还取决于该铁磁质此前的磁化历史。

不同的铁磁质的磁滞回线的形状不同，表示它们各具有不同的剩磁和矫顽力H。纯铁、硅钢、坡莫合金（含铁、镍）等材料的很小，因而磁滞回线比较瘦，c

如图16.7（a），这些材料叫软磁材料，常用作变压器和电磁铁的铁心。炭钢、钨钢、铝镍钴合金（含Fe、Al、Ni、Co、Cu）等材料具有较大的矫顽力

H，因而磁滞回

c

线显得胖，如图16.7（b），它们一旦磁化后对外加的较弱磁场有较大的抵抗力，或者说它们对于其磁化状态有一定的“记忆能力”，这种材料叫硬磁材料，常用来做永久磁体、记录磁带或电子计算机的记忆元件。

实验指出，当温度高达一定程度时，铁磁材料的上述特性将消失而成为顺磁质。这一温度叫居里点。几种铁磁质的居里点如下：铁为1040K，钴为1390K，镍为630K。

铁磁性的起源可以用“磁畴”理论来解释。在铁磁体内存在着无数个线度约为104 的小区域，这些小区域叫磁畴（图16.8）。在每个磁畴中，所有原子的磁矩全m

都向着同一个方向排列整齐了。在未磁化的铁磁质中，各磁畴的磁矩的取向十无规则的，因而整块铁磁质在宏观上没有明显的磁性。当在铁磁质内加上外磁场并逐渐增大时，其磁矩方向和外加磁场方向相近的磁畴逐渐扩大，而方向相反的磁畴逐渐缩小。最后当外加磁场大到一定程度后，所有磁畴的磁矩方向也都指向同一个方向，这时铁磁质就达到了磁饱和状态。磁滞现象可以用磁畴的畴壁很难按原来的形状恢复来说明。

实验指出，把铁磁质放到周期性变化的磁场中被反复磁化时，它要变热。变压器或其他交流电磁装置中的铁心在工作时由于这种反复磁化发热而引起的能量损失叫磁滞损耗或“铁损”。单位体积的铁磁质反复磁化一次所发的热和这种材料的磁滞回线所围的面积成正比。因此在交流电磁装置中，利用软磁材料如硅钢作铁心是相宜的。

书中介绍了几种常见的磁介质性质方面的概念，如铁电体、磁屏蔽、永磁体以及磁记录等。自己看书。

§16-6 简单磁路

一、磁路

由于铁磁材料的磁导率很大，所以铁心有使磁场集中到它内部的作用。如图16.14（a ）所示，一个没有铁心的载流线圈所产生的磁场弥散在它的周围。如果把相同的线圈绕在一个铁环（可以有缺口）上，如图16.14（b ）所示，并通以相同的电流，则铁环就被磁化，在它的表面产生束缚电流。由于很大，所以这束缚电流就比励磁电流大得多，这时整个铁环就相对于一个由这些束缚电流组成的螺绕环，磁场分布基本上由这些束缚电流决定。其结果使磁场大大增强，而且基本上集中到铁心内部。铁心外部相对很弱的磁场叫漏磁通，一般电工技术中常忽略不计。由于磁场集中在铁心内，所以磁力线基本上都沿着铁心走。由铁心（或一定的间隙）构成的这种磁感线集中的通路叫磁路。磁路中各处磁场的计算在电工设计中很重要。

实际的电磁铁都做成如图16.15所示的形状。线圈的总匝数与通入电流的乘积NI 叫做电磁铁的安匝数。由电磁铁的几何尺寸、铁心的磁导率和安匝数就可粗略地求出气隙中的磁场。

二、磁路定律以及磁路计算

如图所示的一个铁心电感线圈的磁路，对应于最简单的电路－无分支闭合电路。通有电流的线圈对应于电路的电源，正是它激发起磁路中的磁通。把安培环路定理用于铁心中的一条闭合B 线，有

NI l d H

其中I 和N 分别是线圈的电流和匝数。

§16-5 磁场的能量

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