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例谈求一元二次方程字母系数的值(含答案)-

例谈求一元二次方程字母系数的值(含答案)-
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例谈求一元二次方程字母系数的值

求解一元二次方程字母系数取值的问题,是根与系数的关系的一个重要应用之一,也是近年中考中经常出现的,下面就此我们看几个例子:

例1、已知关于x 的一元二次方程022

1222=-+-k kx x . (l )求证:不论k 为何值,方程总有两个不相等的实数根;

(2)设1x 、2x 是方程的两根,且52221121=+-x x kx x ,求k 的值

分析:(2)中给出的条件是一个方程两根的非对称式,要求k 的值,要设法建立起关于k 的方程,直接利用根与系数的关系,比较困难,而此时利用方程根的定义,就可找到突破口。

解:(1)略

(2)∵1x 是方程0221222=-+

-k kx x 的一个根, ∴022

122121=-+-k kx x ∴21212

122k kx x -=-, 又∵21,x x 是022

1222=-+-k kx x 的两个根, 由根与系数的关系得:22

1221-=?k x x , ∴5)22

1(221222=-+-k k ∴142

=k ∴14±=k

例2、已知1x 、2x 是关于x 的方程04222=-+-m mx x 的两个实数根.

(1)求证不论m 取何值时,方程总有实数根.

(2)若834222121+=++m mx mx x ,求m 的值。 分析:(2)中同样给出的条件是一个方程两根的非对称式,仍需建立起关于k 的方程,我们可以这样来解:

解法一:类似上例的解法,可以解得:1±=m 。

解法二:利用一元二次方程的求根公式或十字相乘的方法,可以求出两个根为:m+2和m--2 ,

把它们分别代人04222=-+-m mx x 中,可以得到一个关于m 的的方程:012

=-m ,

∴1±=m

例3、已知关于x 的方程04)2(2

2

=---m x m x . (1) 求证:无论m 取什么实数值,这个方程总有两个相异的实数根。

(2) 若这个方程的两个实数根1x 、2x 满足221+=x x ,求m 的值及相应的1x 、。 2x 。

分析:此例的(2)中给出的是带有绝对值的两根关系式,不太容易着手。如何建立关于m 的方程呢?

解法一:(1)略

(2)由221+=x x 得:221=-x x , 两边平方得42212

221=?-+x x x x ∴422)(2121221=?-?-+x x x x x x ∵04

2

21≤-=?m x x ∴4

2

2121m x x x x =?=? ∴042

=-m m ∴m=0或m=4.

当m=0时,两根为0和-2;当m=4时,两根为51+和51- 解法二 ∵04

2

21≤-=?m x x ,∴0,00,02121≤≥≥≤x x x x 或 ① 若0,021≥≤x x ,则212+-=x x

∴221=+x x ∴m=4,这时方程0422

=--x x ∴512202,51220

221-=-=+=+=x x ② 若0,021≤≥x x ,则212+=-x x

∴221-=+x x , ∴m -2=-2, ∴m=0

这时方程022=+x x , ∴2,021-==x x

(或按m=0,m≠0分情况讨论)

练习:

1、 已知:关于x 的方程032

1)2(2=-+-+m x m x ,(1)求证:无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根;(2)若这个方程的两个实数根21,x x ,满足2121+=+m x x ,求m 的值。

(答案:m=0或12

17=m ) 2、 已知1x 、2x 是关于x 的方程01222=-++m x x 的两个实数根.

(1)求证方程有两个实数根;(2)若22221=-x x ,求m 的值。

(答案:2

=m )

解实系数一元二次方程

课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1.掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法;使学生掌握含有未知数 的解法. 2.教学过程中,渗透数学转化思想及方程的思想,提高学生灵活运用数学知识解题的能力;培养学生严谨的逻辑思维. 3.通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较,认识到任何事物都是相对的,而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点. 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用. 教学过程: 一、引入新课 问题一:方程x2+1=0在复数范围内有没有解,解集是什么? 因为-1=i2,则原方程化为x2-i2=0,即(x+i)(x-i)=0.所以原方程解集为{i,-i}.问题二:方程ax2+bx+c=0(a,b,c是实数)在复数范围内解集是什么? 当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实根,解集为 二、讲授新课 引导思考:方程x2+1=0中,Δ=-4<0,上述结论对吗? 解为: 无意义.此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数范围内解的情况为: 当Δ≥0时有实根; 当Δ<0时,有一对共轭的虚根. 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0

i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解: 例2 已知实系数一元二次方程2x 2+ax +b=0的一个根为2i-3,求a ,b 的值. 解:2x 2+ax +b=0一根为2i-3,另一根为-3-2i .由韦达定理知: b=(2i-3)(-2i-3)=9+16=25, a=2i-3+(-2i-3)=-6. 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题.对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解? 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解. 解:将方程左端配方,得(x-i )2-4=0,即(x-i )2=4.解得x-i=±2,即x 1=2+i ,x 2=-2+i . 练习P22 1、2、3 2、二项方程:形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程,任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式,都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即:所以解:原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点,这些点均匀分布在以原点为圆心,以2为半径的圆上.

一元二次方程根与系数关系(附答案)

一元二次方程根与系数的关系(附答案) 评卷人得分 一.选择题(共6小题) 1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是() A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根D.无法确定 · 2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是()A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1 3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.不能确定 4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是()A.2 B.4 C.5 D.6 5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为()A.﹣5 B.5 C.﹣2 D. 6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为()》 A.﹣1 B.0 C.1 D.3 评卷人得分 二.填空题(共1小题) 7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为.

评卷人· 得分 三.解答题(共8小题) 8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长. 9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0. (1)若该方程的一个根为1,求a的值; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. · 10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程一个根为3,求m的值. 11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围; (3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值.12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立若存在,求出k的值;若不存在,说明理由; (2)求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值; : (3)若k=﹣2,λ=,试求λ的值. 13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2. (1)求k的取值范围;

一元二次方程(6)

一、教学目标: 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2.理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根. 3.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 二、教学重点、难点: 教学重点: 1.体会方程与函数之间的联系。 2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教学难点: 1.探索方程与函数之间关系的过程。 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 三、教学方法:启发引导合作交流 四:教具、学具:课件 五、教学媒体:计算机、实物投影。 六、教学过程: [活动1] 检查预习引出课题 预习作业: 1.解方程:(1)x2+x-2=0; (2) x2-6x+9=0; (3) x2-x+1=0; (4) x2-2x-2=0.

2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系,利用函数的图象求方程3x-4=0的解. 师生行为:教师展示预习作业的内容,指名回答,师生共同回顾旧知,教师做出适当总结和评价。 教师重点关注:学生回答问题结论准确性,能否把前后知识联系起来,2题的格式要规范。 设计意图:这两道预习题目是对旧知识的回顾,为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式,这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来,让学生回顾二次方程的相关知识;2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题,这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。 [活动2] 创设情境探究新知 问题 1.课本P16问题. 2.结合图形指出,为什么有两个时间球的高度是15m或0m?为什么只在一个时间球的高度是20m? (结合预习题1,完成课本P16 观察中的题目。) 师生行为:教师提出问题1,给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范;问题2学生独立思考指名回答,注重数形结合思想的渗透;问题3是由学生分组探究的,这个问题的探究稍有难度,活动中教师要深入到各个小组中进行点拨,引导学生总结归纳出正确结论。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2-4ac 两个交点两个相异的实数根 b2-4ac > 0 一个交点两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点没有实数根 b2-4ac < 0 教师重点关注:

最新人教版七年级数学下册帮你解含字母系数的方程组

帮你解含字母系数的方程组 在解与二元一次方程组有关问题时,经常会遇到含字母系数的方程组,解此类题的一般思路是根据条件采用代入求值的方法求得最后结果.常见的有以下几种类型: 一、代入求值型 例1.已知关于x 、y 的二元一次方程组{ 35ax by ax by +=-=, 的解是 { 21x y ==, .求a b +的 值。 解析:由二元一次方程组解的定义,将 { 21x y ==, 代入方程组得 { 2325a b a b +=-=,,再解关于a 和b 的二元一次方程组,得{ 21a b ==-, 。所以a b += 1. 二、添加(赋予)条件型 例 2.若关于x 、y 的二元一次方程组 { 2527x y k x y k +=-=,① ,②的解满足方程 1 253 x y -=,那么k 的值为 。 解析:观察方程组发现可利用加减消元法把其中的一个字母消去, 由①+②得,412x k =,即3x k =③;由①-②得,22y k =-,即y k =-④,将③④ 分别代入方程1253x y -=,得132()53k k ?-?-=,解得5 3 k =。 例3.如果方程组{ 35223x y k x y k +==+,① +②的解x ,y 的和为2,求k 的值及方程 组的解。 解析:由①-②得22x y +=③, 将2x y +=与③联立方程组 { 2, 22x y x y +=+=,

解得 { 2,0x y ==, 将x ,y 的值代入②得k =4. 解此类题首先要观察方程组的特征,采取加减或代入的方法进行消元,使之变形为二元一次方程组,从而求得最后结果。 三、同解型 例4.已知关于x 、 y 的二元一次方程组{ 5, 27ax by ax by +=+=与方程组 { 237324 x y x y +=-=,的解相同,求a 和b 的值。 解析:观察第二个方程组可发现能直接解得x 、y 的值,解得 { 2, 1x y ==,将其 代入第一个方程组得 { 25, 47a b a b +=+=,解得 { 1,3a b ==。 例5. 已知关于x 、y 的二元一次方程组{ 3, 5x y mx ny +=-=与方程组{ 8,1nx my x y -=-=同 解,求m n +的值。 解析:因为两个方程组的解相同,所以可构造新的方程组 { 3, 1x y x y +=-=,解得 { 2, 1x y ==,代入 { 4,5mx ny nx my -=-=得 { 6, 7m n ==故m n +=13.

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.

《配方法》解一元二次方程案例

《配方法》解一元二次方程教学案例 教学目标 【知识与技能】 使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。 【过程与方法】 经历列方程解决实际问题的过程,体会配方法和推导过程,熟练地运用配方法解一元二次方程,渗透转化思想,掌握一些转化的技能。 【情感、态度与价值观】 通过配方法的探索活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 教学重点难点 【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程 教学过程设计 (一)创设情境 导入新课 导语一(1)你能解哪些一元二次方程? (2)你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的? (3)解方程x 2 +12x-15=0的困难在哪里?你能将方程x 2 +12x-15=0转化为上面方程的形式吗? 导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么? 2、将下列各式配成完全平方式。 (1)a 2 +12a+ 62 =(a+ 6 )2 ; (2)x 2- x +4 1=(x+ 2 1 )2 ; 3、若4x 2 -mx+9是一个完全平方式,那么m 的值是 ±12 。 导语三 为了响应国家“退耕还林”的号召,改变水土流失严重的状况,2007年某市退耕还林1600亩,计划2009年退耕还林1936亩,则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少? 你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题? [设这两年的年平均增长率为x ,则1600(1+x)2 =1936,解得x=10%,x 2=-210%(舍),即平均每年退耕还林的增长率为10%] (二)合作交流 解读探究 1、配方法

[问题]要使一块矩形场地的长比宽多6m ,并且面积为16m 2 ,场地的长和宽应各是多少个?(注:这是一个比较简单的几何题,学生经过思考,不难得出答案,请一位同学回答,教师演示答案。) 即:设场地宽xm ,长(x+6)m 。根据矩形面积为16m 2 ,列方程x(x+6)=16,即x 2 +6x-16=0 (注:本题选择以解决问题作为本节课的开端,有益于培养学生的应用意识。) (思考)怎样解方程x 2 +6x-16=0? 对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x+9=2,可以发现方程x 2 +6x+9=2的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方 程x 2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把x 2 +6x-16=0化为具有上述形式的方程吗?(注:教师提出问题,学生思考、讨论发表意见,同 时教师要引导学生发现问题的关键;若要解方程x 2 +6x-16=0,只要将其符号左边转化为一个完全平方式——配方,而配方的关键是常数项的选择,学生找出常数项,教师演示配方的过程,完成方程由不可解到可解的转化,师生完成后续步骤。) 移 项 9(即(2 6)2)使左边配成 2的形式 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方

字母系数方程及分式方程

含字母系数的方程和分式方程 编制人:何刚强 审核:刘 云 吕 敏 组名: 姓名: 学习目标:(1)会解简单的字母系数的分式方程。 (2) 能应用分式方程的解法进行简单的公式变形。 学习重点:建立数学模型,会解含官母系数的分式方程。 学习难点: 明确解含哪一个字母(未知数)的分式方程。 一.自主学习: (一)、文本解读 阅读课本P30面例4,并尝试完成课本P33面第6题。 (二)、独立尝试: 从龟兔赛跑中,我们再一次感受了一类重要的关系式:路程= ,这类关系式在 生活中应用非常广泛。 问题1: 自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后,它就成了动物界的体育明星,可是偏偏有一只蚂蚁不服 气,于是它给乌龟下了一封战书。 乌龟先生: 我与你进行比赛,兔子先生做裁判,从小柳树开始跑到相距12米的大柳树下,比赛枪声响 后,先到者是冠军。 -----蚂蚁 但比赛结束后,蚂蚁并没有取胜,已知乌龟的速度是蚂蚁的1.2倍,提前一分钟跑到终点,请你 算算它们各自的速度。 解:设蚂蚁的速度为x 米/分,则乌龟的速度为 ,根据题意列方程为: 问题2:从2004年5月起某列车平均提速v 千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s 千米,提速后比提速前多行驶80千米,提速后列车的平均速度为多少? 分析:本题的基本关系是: ,根据关系式: 来列方程。 思考:解含有字母已知数的一元一次方程要注意哪些问题? (1) (2) (3) 二、学以致用: 1. 若)0(≠n ,在弧长公式里,用l ,n 表示R 的式子是( ) A .180l n R π= B .l n R π180= C .πn l R 180= D .l l n R 180π= 2、已知R N V I -= ,则N = . 3、一根蜡烛在凸透镜下成一实像,物距u ,像距v 和凸透镜的焦距f 满足: 111 u v f +=,若f=6厘米,v=8厘米,则物距u= 4、已知关于x 的方程mx+n=m(2x+n)(m ≠0)则x= 5、在梯形面积公式S=(a+b)h 中, (S ,a ,h 都是正数),则b 等于 6、已知公式: 12 111 R R R =+(其中R 1、R 2为正数)用R 1、R 2表示R. 7、(1)公式x h 2=x a a -中,(a>0,h>0),求x. (2)已知公式12(0).1S S U u t t -=≠-,求 三、拓展提升: 解方程(1)2a x x b b a +--= (2) 2(3)33x m m x x =-≠-- 四、小结反思: 这课你学到了什么?还有什么疑惑? 五、学案整理:

复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案

复数范围内实系数一元二次方程(19题)(答案) 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+,则这个方程可以是 228039 x x -+= . 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根,则下列等式成立的是( C ) (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假,并说明理由; (1)在复数范围内,方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ,且0)a ≠总 有两个根.( √ ) ) (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根,则这个方程的另 一个根是12i -.( ? ) (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根,则p 、q 均为实数.( √) 5、已知复数z ,解方程3i 13i z z -?=+. 解:设i()z x y x y =+∈R ,,则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+. 由复数相等,有3133x y y x -=??-=?,,解得543.4 x y ?=-????=-??,. ∴53i 44z =--. 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ; | 若z R ∈,则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数, 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ,则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以,方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= (1)x R ∈ (2)x C ∈ 解:(1)1x = (2)11x orx i ==-

一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程 专题一:一元二次方程的定义 典例分析: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( ) A .2±=m B .m=2 C .2-≠m D .2±≠m 3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、-l C 、 1 或-1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( ) A 、a ≠1 B 、a ≠-2 C 、a ≠1且a ≠-2 D 、a ≠1或a ≠-2 专题二:一元二次方程的解 典例分析: 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习: 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根. 3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 专题三:一元二次方程的求解方法 典例分析: 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 . 难度训练: 1、如果二次三项式16)122++-x m x ( 是一个完全平方式,那么m 的值是_______________.

含字母系数的方程(组)的解法

含字母系数的方程(组)的解法 ? 知识梳理 说明:本讲内容如果没有特别说明,在含有字母系数的方程(组)或不等式(组)中,一般用a 、b 、c 等表示已知数,用x 、y 、z 表示未知数。 回顾上次课的预习思考内容 ? 形如ax b =的方程的解的情况讨论: ◆ 当0a ≠时,方程有唯一解,为b x a =(等式基本性质) ◆ 当0,0a b ==时,即00x ?=,方程有无数个解,即解为一切数 ◆ 当0,0a b =≠时,方程无解 ? 二元一次方程组111222 a x b y c a x b y c +=??+=?的解的可能性: ◆ 当1112 a b b b ≠时,方程组有唯一的解; ◆ 当111122 a b c b b c =≠,方程组无解; ◆ 当 111122a b c b b c ==时,方程组有无数多个解 练习: 1.关于x 的方程53ax x =-无解,则a = ; 2.关于x 的方程2354mx x n -=-无解,则m ,n ; 3.已知二元一次方程组3221ax y x y +=??-=? 无解,则a 的值是( ) A .a =-2 B .a =6 C .a =2 D .a =-6 参考答案:1、5; 2、5324 m n =≠、; 3、D ? 题型分析 例题1:解关于x 的方程(1)32m x x -=+ 教法说明:首先回顾下等式的基本性质:等式的两边同乘以(除以)同一个不为零的数,等

式的性质不变 参考答案: 试一试:解关于x 的方程23ax b x -=- 例题2:解关于x 、y 的二元一次方程组 2(1)(20)3(2)mx y n m n nx y m +=?+≠?-=? 教法说明:解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便 参考答案: 试一试:解关于x 、y 的方程组:1(0,0)2ax by a b bx ay -=?≠≠? +=? 参考答案: 例题3:若方程组223 x y m x y +=-??-=?的解x 与y 均为正数,求m 的取值范围. 教法说明:要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组,将本方程组中字母m 的看成是常数 参考答案: 解:解方程组得1383m x m y +?=???-?=?? 因为x 与y 均为正数,即00x y >??>? 所以103803 m m +?>???-?>??. 解不等式组得, 8m > 所以m 的取值范围是8m >. 试一试:已知关于x y 、的二元一次方程组26322x y m x y m +=??-=?的解满足二元一次方程 435 x y -=,求m 的值。 参考答案: 解:解方程组得22x m y m =??=?

九年级数学一元二次方程教学案例

九年级数学(上)一元二次方程教学案例 1、创设情境 我们学校要建一个面积是150平方米一边靠墙的自行车棚,另外的三边用铁篱笆围成,如果铁篱笆周长是35米,请你设计一下车棚的长和宽各是多少? 2、激发兴趣 教师设计符合学生生活实际的情景,一下子引起学生的兴趣,激发学习的动机,出示问题现在就请我们的各小组就这个问题讨论一下。 3、学生的新旧知识迁移阶段 经过讨论,各个小组使用以前的知识列出统一的方程,由原有的认知结构经过一系列的转化,产生新的知识结构,这时候各个小组都出现了迷惑的状态。从没有见过这样的方程,此时教师引入课题,这就是今天所讲的一元二次方程,然后进入一个阶段,好动的学生具有极强的好奇心,他们热衷于探求事物的本质,此时吊起他们的胃口,使他们在不知不觉中进入状态,确实是一个好的开始,也就意味着取得了成功的一半。 4、学生小组讨论阶段 现在我们来看这个方程有怎样的特点?教师抛出这样一个问题,并把他板书到黑板上,学生分组讨论交往互动,此时教师在小组内指导,宏观上能做到对全体的指导,并把学生的讨论结果即时的有选择的板书到黑板上。 “我们发现这个方程的次数是二次的” “我们还发现只有一个未知数” “我们又发现是按X的降幂排列的”“我们发现等式的右边是0” 这样老师尽力的把学生的各种观点板书,对于学生来说有一种成功感,特别是对于成绩相对比较差的学生,即时的表扬,调动各类学生积极参与教学过程,把课堂教学的主线定义为发展学生的创造性思维。 5、梳理归纳阶段。 通过上一步的讨论我们能否给出一个一元二次方程的定义及标准形式,通过上面的板书,请大家归纳一下,老师抛出第二个问题,根据这个阶段学生争强好胜的特点,他们会尽一切办法把自己的想法加到定义中,已表现出他们高人一筹,老师正是利用他们的这种心理,使他们朝着老师设计的轨道前进。当然,他们完全能够偏离轨道,只要产生思考的火花,就理应即时的表扬,学生归纳出以下的定义: “含有一个未知数并且次数是2的方程” “含有一个未知数并且次数是2的按X的降幂排列的方程”“含有一个未知数并且次数是2的X的降幂排列的等式的右边是0的方程” 老师把学生的讨论总结即时的板书,水到渠成最后得出一个统一的结论,只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的次的方程叫一元二次方程,这样就对该概念的外延及内函有了充分的探讨,对于该知识的后续学习是极有协助的。教学反思: 我这次仅仅选了教学过程的一个极小的方面(概念教学)。就这个阶段来说,可能是上课伊始,学生的注意力比较集中的缘故,采用这种方法效果还是比较明显的。也可能是尊重学生的个性的原因,绝大部分的学生能积极地参与到合作讨论中,学生课堂上生动活泼,自由的发言,做到课堂活而不乱,学生说而有章,初步达到了最初设想到的目的,所以只要尊重学生的个性,适时引导,让每一个人

含字母系数的一元一次方程(篇二)

含字母系数的一元一次方程 教学目标 1.使学生正确认识含有字母系数的一元一次方程. 2.使学生掌握含有字母系数的一元一次方程的解法. 3.使学生会进行简单的公式变形. 4.培养学生由特殊到一般、由一般到特殊的逻辑思维能力.5.通过公式变形例题,培养学生解决实际问题的能力,激发学生的求知欲望和学习兴趣. 教学重点: (1)含有字母系数的一元一次方程的解法. (2)公式变形. 教学难点: (1)对字母函数的理解,并能准确区分字母系数与数字系数的区别与联系. (2)在公式中会准确区分未知数与字母系数,并进行正确的公式变形. 教学方法 启发式教学和讨论式教学相结合 教学手段 多媒体 教学过程 (一)复习提问

提出问题: 1.什么是一元一次方程? 在学生答的基础上强调:(1)“一元”——一个未知数;“一次”——未知数的次数是1. 2.解一元一次方程的步骤是什么? 答:(1)去分母、去括号. (2)移项——未知项移到等号一边常数项移到等号另一边. 注意:移项要变号. (3)合并同类项——提未知数. (4)未知项系数化为1——方程两边同除以未知项系数,从而解得方程. (二)引入新课 提出问题:一个数的a倍(a≠0)等于b,求这个数. 引导学生列出方程:ax=b(a≠0). 让学生讨论: (1)这个方程中的未知数是什么?已知数是什么?(a、b是已知数,x是未知数) (2)这个方程是不是一元一次方程?它与我们以前所见过的一元一次方程有什么区别与联系?(这个方程满足一元一次方程的定义,所以它是一元一次方程.) 强调指出:ax=b(a≠0)这个一元一次方程与我们以

前所见过的一元一次方程最大的区别在于已知数是a、b(字母).a是x的系数,b是常数项. (三)新课 1.含有字母系数的一元一次方程的定义 ax=b(a≠0)中对于未知数x来说a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程,今天我们就主要研究这样的方程. 2.含有字母系数的一元一次方程的解法 教师提问:ax=b(a≠0)是一元一次方程,而a、b是已知数,就可以当成数看,就像解一般的一元一次方程一样,如下解出方程: ax=b(a≠0). 由学生讨论这个解法的思路对不对,解的过程对不对? 在学生讨论的基础上,教师归纳总结出含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系. 含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同.(即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤.)

一元二次方程(根与系数关系)

一元二次方程(根与系数关系专题测试) 一、单选题(共10题;共30分) 1.已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根,则x12+x22的值为() A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 2.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根是2,则另一个根是() A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 3.一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x1、x2,则x1+x2等于() A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 4.是方程的两根, 的值是() A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 5.关于x的方程有两个实数根,,且,那么m的值为() A. -1 B. -4 C. -4或1 D. -1或4 6.关于x的方程(为常数)根的情况下,下列结论中正确的是() A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根,一个负根 D. 无实数根 7.已知一元二次方程x2﹣4x+m=0有一个根为2,则另一根为() A. ﹣4 B. ﹣2 C. 4 D. 2 8.已知,是一元二次方程的两个实数根且,则的值为(). A. 0或1 B. 0 C. 1 D. -1 9.若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2+αβ的值为() A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 10.若a≠b,且则的值为() A. B. 1 C. .4 D. 3 二、填空题(共6题;共18分) 11.如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么x1+x2=﹣, x1x2= ,这就是一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).利用韦达定理解决下面问题:已知m与n是方程x2﹣5x﹣25=0的两根,则+ =________. 12.一元二次方程的两根为,则________

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.

《一元二次方程》教学案例

《一元二次方程》教学案例 单元要点分析 教材内容 1.本单元教学的主要内容. 一元二次方程概念;解一元二次方程的方法;一元二次方程应用题. 2.本单元在教材中的地位与作用. 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的,它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的,是学好高中数学的奠基工程.应该说,一元二次方程是本书的重点内容. 教学目标 1.知识与技能 了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题. 2.过程与方法 (1)通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型.?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念. (2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念,如二次项等. (3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法,?导入用配方法解一元二次方程,又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.(4)通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(a≠0)导出解一元二次方程的求

根公式,接着讨论求根公式的条件:b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.(5)通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移,解决用因式分解法解一元二次方程,并用练习巩固它. (6)提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,?并用该模型解决实际问题. 3.情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.教学重点 1.一元二次方程及其它有关的概念. 2.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程. 3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.教学难点 1.一元二次方程配方法解题. 2.用公式法解一元二次方程时的讨论. 3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.教学关键 1.分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型. 2.用配方法解一元二次方程的步骤. 3.解一元二次方程公式法的推导. 课时划分

初中数学专题训练--整式方程--含有字母系数的一元一次方程

典型例题一 例01.关于x 的方程b ax =在下列条件下写出解的情况: ①当0≠a 时,解的情况___________. ②当0=a 时,? ??≠=_______. 0._______ 0方程解情况方程解情况b b 分析 对于方程b ax =. ①当0≠a 时,方程有惟一一个解,解为a b x = ; ②当0=a 时,00,0=?=x b . 有无数个解,x 可为任意实数; 当0=a ,0≠b 时,方程无解. 说明 本题是很重要的基础知识. 典型例题二 例02.由22)(b a x b a -=+得b a x -=的条件是______. 分析 因))(()(b a b a x b a -+=+,当0≠+b a 时,.b a x -= 解答 0≠+b a . 说明 0≠+b a 是解本题的关键. 典型例题三 例03.已知d n a a n )1(1-+=,则=n ______. 分析 因d n a a n )1(1-+=,d n a a n )1(1-=-,d a a n n 1 1-=-. 故.11 +-= d a a n n 说明 公式变形实质上就是解含字母已知数的方程. 典型例题四 例04.方程 a b x b a x -=-(b a ≠)的解______. 分析 移项,得 a b b x a x -=-,

.) (a b ab a b x -=- 故 当b a =时,00=?x ,x 可为任何数; 当b a ≠时,0≠-a b ,故.ab x = 解答 .ab x = 说明 解含有字母系数的一元一次方程时,一定要注意用含有字母的式子去乘或除方程的两边时,这个式子不能为零. 因此必须讨论. 典型例题五 例05.已知关于x 的方程1)32(=-x a 的根为负数,则a 的取值范围是_____. 分析 1)32(=-x a ,因为方程有根,所以032≠-a ,a x 321 -= . 又因0<-a a 解答 3 2 >a . 说明 解字母系数方程与解数字系数方程步骤一样. 典型例题六 例06.在 c b a 1 11+=(c b a ,,都是非零实数且b a ≠)中,如果已知b a ,,则=c _______. 分析 原式两边同乘以abc ,得 ab ac bc += 移项 ab c a b =-)((※) ∵b a ≠,∴0≠-a b ∴.a b ab c -= 说明 这里c 是未知数,b a ,是已知字母系数,我们求c 实际上就是解关于c 的一元一次方程. 在中考中部分考生因为搞不清楚谁是已知字母系数,谁是未知数,所以丢掉了目标,就会产生错误. 同时也有考生在解题过程中不运用题给条件b a ≠,得到(※)式后,一步就得a b ab c -=,反映了思维的不周密及要领模糊. 本题即属于公式变形题型. 典型例题七 例07.解关于x 的方程:.k x k h h x +- =-

数学:13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版高二下)

13.6(1)实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后,对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要,数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数,解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=,当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此,本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况;会在复数集中解实系数一元二次方程;会在复数范围内对二次三项式进行因式分解;理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系,并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程;在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计

六、教学过程设计 (一)复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式,我 们回顾一下: 当240b ac ?=-≥ 时,方程有两个实数根:2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”,大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①:一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解? 设问②:在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=? [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知,x 即为-1的平方根:i ±;设问②是为了引出本节课的课题:实系数一元二次方程. (二)讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况: 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠,所以原方程可变形为2b c x x a a +=-, 配方得

一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。 例1:已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解? 分析:在同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解:∵方程(1)有两个不相等的实数根, ∴ 解得; ∵方程(2)没有实数根, ∴ 解得; 于是,同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围是 其中,的整数值有或 当时,方程(1)为,无整数根; 当时,方程(1)为,有整数根。 解得: 所以,使方程(1)有整数根的的整数值是。 总结:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选出 ,这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1:不解方程,判别方程两根的符号。

分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否,若 判定根的正负,则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定或的正负情况。 解:∵,∴△=—4×2×(—7)=65>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为, ∵<0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中<0,所以可判定方程的根为一正一负;倘若>0,仍需考虑的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。 例2:已知方程的一个根为2,求另一个根及的值。 分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把代入原方程,先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一:把代入原方程,得: 即 解得 当时,原方程均可化为: ,

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