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2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题(含答案)

2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题(含答案)
2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题(含答案)

2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题

面积类

1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M 的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.

(3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m 的值;若不存在,说明理由.

考点:二次函数综合题.

专题:压轴题;数形结合.

分析:

(1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长.

(3)设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB,MN的表达式在(2)中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值.

解答:

解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则:

a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;

∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.

(2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有:

解得;

故直线BC的解析式:y=﹣x+3.

已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);

∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).

(3)如图;

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB,

∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3);

∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为.

2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C 点,已知B点坐标为(4,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;

(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M 点的坐标.

考点:二次函数综合题..

专题:压轴题;转化思想.

分析:(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.

(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.

(3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M.

解答:

解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:

0=16a﹣×4﹣2,即:a=;

∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2.

(2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2);

∴OA=1,OC=2,OB=4,

即:OC2=OA?OB,又:OC⊥AB,

∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,

∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;

所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0).

(3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2;

设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:

x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;

∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;

∴直线l:y=x﹣4.

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:

,解得:即M(2,﹣3).

过M点作MN⊥x轴于N,

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.

平行四边形类

3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P

是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.

(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.

(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.

(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定..

专题:压轴题;存在型.

分析:

(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:把A(3,0)B(0,﹣3)分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b,得到关于m、n的两个方程组,解方程组即可;

(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长,即PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,然后根据二次函数的最值得到

当t=﹣=时,PM最长为=,再利用三角形的面积公式利用

S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可;

(3)由PM∥OB,根据平行四边形的判定得到当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论:当P在第四象限:PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能;当P在第一象限:PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3;当P在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.

解答:

解:(1)把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得

解得,所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3.

设直线AB的解析式是y=kx+b,

把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得,解得,

所以直线AB的解析式是y=x﹣3;

(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),

因为p在第四象限,

所以PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,

当t=﹣=时,二次函数的最大值,即PM最长值为=,

则S△ABM=S△BPM+S△APM==.

(3)存在,理由如下:

∵PM∥OB,

∴当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,

①当P在第四象限:PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能有PM=3.

②当P在第一象限:PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,解得t1=,t2=(舍去),所以P点的横坐标是;

③当P在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=(舍去),t2=,所以P 点的横坐标是.

所以P点的横坐标是或.

4.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.

(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;

(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B 的两条性质.

考点:二次函数综合题..

专题:压轴题.

分析:

(1)利用旋转的性质得出A′(﹣1,0),B′(0,2),再利用待定系数法求二次函数解析式即可;

(2)利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,得出一元二次方程,得出P点坐标即可;

(3)利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可.

解答:

解:(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的,

又A(0,1),B(2,0),O(0,0),

∴A′(﹣1,0),B′(0,2).

方法一:

设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0),

∵抛物线经过点A′、B′、B,

∴,解得:,∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2.

方法二:∵A′(﹣1,0),B′(0,2),B(2,0),

设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2)

将B′(0,2)代入得出:2=a(0+1)(0﹣2),

解得:a=﹣1,

故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣2)=﹣x2+x+2;

(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点,

设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=﹣x2+x+2.

连接PB,PO,PB′,

∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,

=×1×2+×2×x+×2×y,

=x+(﹣x2+x+2)+1,

=﹣x2+2x+3.

∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为:×1×2=1,

假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则

4=﹣x2+2x+3,

即x2﹣2x+1=0,

解得:x1=x2=1,

此时y=﹣12+1+2=2,即P(1,2).

∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.

(3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意2个均可.

①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;

③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)

或用符号表示:

①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②P A′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)

5.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.

(1)求抛物线顶点A的坐标;

(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD 的形状;

(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题..

专题:压轴题;分类讨论.

分析:

(1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点A的横坐标,然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标.

(2)由A点坐标可确定抛物线的解析式,进而可得到点B的坐标.则AB、AD、BD三边的长可得,然后根据边长确定三角形的形状.

(3)若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形,应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论,即①AD PB、②AB PD,然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标.

解答:

解:(1)∵顶点A的横坐标为x=﹣=1,且顶点A在y=x﹣5上,

∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4,

∴A(1,﹣4).

(2)△ABD是直角三角形.

将A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3,

∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3)

当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3

∴C(﹣1,0),D(3,0),

BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20,

BD2+AB2=AD2,

∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形.

(3)存在.

由题意知:直线y=x﹣5交y轴于点E(0,﹣5),交x轴于点F(5,0)

∴OE=OF=5,

又∵OB=OD=3

∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l,即P A∥BD

则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD,如图,

过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.

设P(x1,x1﹣5),则G(1,x1﹣5)

则PG=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

P A=BD=3

由勾股定理得:

(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2或4

∴P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1),

存在点P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.

周长类

6.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.

(1)求抛物线对应的函数关系式;

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;

(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S 和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.

考点:二次函数综合题..

专题:压轴题.

分析:(1)根据抛物线y=经过点B(0,4),以及顶点在直线x=上,得出b,c 即可;

(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可.

(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=时,求出y即可;(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到ON=,进而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可.

解答:

解:(1)∵抛物线y=经过点B(0,4)∴c=4,

∵顶点在直线x=上,∴﹣=﹣=,∴b=﹣;

∴所求函数关系式为;

(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB=,

∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,

∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),

当x=5时,y=,

当x=2时,y=,

∴点C和点D都在所求抛物线上;

(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,

则,解得:,∴,

当x=时,y=,∴P(),

(4)∵MN∥BD,

∴△OMN∽△OBD,

∴即得ON=,

设对称轴交x于点F,

则(PF+OM)?OF=(+t)×,

∵,

S△PNF=×NF?PF=×(﹣t)×=,

S=(﹣),

=﹣(0<t<4),

a=﹣<0∴抛物线开口向下,S存在最大值.

由S△PMN=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,

∴当t=时,S取最大值是,此时,点M的坐标为(0,).

等腰三角形类

7.如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.

(1)求点B的坐标;

(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;

(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.

考点:二次函数综合题..

专题:压轴题;分类讨论.

分析:

(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标.

(2)已知O、A、B三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.

(3)根据(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而O、B坐标已知,可先表示出△OPB三边的边长表达式,然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P点.

解答:

解:(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°,

∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°,

又∵OA=OB=4,∴OC=OB=×4=2,BC=OB?sin60°=4×=2,

∴点B的坐标为(﹣2,﹣2);

(2)∵抛物线过原点O和点A、B,∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,

将A(4,0),B(﹣2.﹣2)代入,得

,解得,∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x

(3)存在,

如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),①若OB=OP,

则22+|y|2=42,解得y=±2,

当y=2时,在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD==,

∴∠POD=60°,

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,

即P、O、B三点在同一直线上,

∴y=2不符合题意,舍去,

∴点P的坐标为(2,﹣2)

②若OB=PB,则42+|y+2|2=42,

解得y=﹣2,

故点P的坐标为(2,﹣2),

③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2,

解得y=﹣2,

故点P的坐标为(2,﹣2),

综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2),

8.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(﹣1,0),如图所示:抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B.

(1)求点B的坐标;

(2)求抛物线的解析式;

(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题..

专题:压轴题.

分析:

(1)根据题意,过点B作BD⊥x轴,垂足为D;根据角的互余的关系,易得B到x、y轴的距离,即B的坐标;

(2)根据抛物线过B点的坐标,可得a的值,进而可得其解析式;

(3)首先假设存在,分A、C是直角顶点两种情况讨论,根据全等三角形的性质,可得答案.

解答:

解:(1)过点B作BD⊥x轴,垂足为D,

∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,

∴∠BCD=∠CAO,(1分)

又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,

∴△BCD≌△CAO,(2分)

∴BD=OC=1,CD=OA=2,(3分)

∴点B的坐标为(﹣3,1);(4分)

(2)抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B(﹣3,1),

则得到1=9a﹣3a﹣2,(5分)

解得a=,

所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2;(7分)

(3)假设存在点P,使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形:

①若以点C为直角顶点;

则延长BC至点P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,(8分)

过点P1作P1M⊥x轴,

∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,

∴△MP1C≌△DBC.(10分)

∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1(1,﹣1);(11分)

②若以点A为直角顶点;

则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,(12分)

过点P2作P2N⊥y轴,同理可证△AP2N≌△CAO,(13分)

∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(2,1),(14分)

经检验,点P1(1,﹣1)与点P2(2,1)都在抛物线y=x2+x﹣2上.(16分)

9.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(1,0),如图所示,抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B.

(1)求点B的坐标;

(2)求抛物线的解析式;

(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题..

专题:代数几何综合题;压轴题.

分析:

(1)首先过点B作BD⊥x轴,垂足为D,易证得△BDC≌△COA,即可得BD=OC=1,CD=OA=2,则可求得点B的坐标;

(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;

(3)分别从①以AC为直角边,点C为直角顶点,则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴,②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,③若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,去分析则可求得答案.

解答:

解:(1)过点B作BD⊥x轴,垂足为D,

∵∠BCD+∠ACO=90°,∠AC0+∠OAC=90°,

∴∠BCD=∠CAO,

又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,

∴△BDC≌△COA,

∴BD=OC=1,CD=OA=2,

∴点B的坐标为(3,1);

(2)∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B(3,1),

∴1=9a﹣3a﹣2,

解得:a=,

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;

(3)假设存在点P,使得△ACP是等腰直角三角形,

①若以AC为直角边,点C为直角顶点,

则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴,如图(1),

∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,

∴△MP1C≌△DBC,

∴CM=CD=2,P1M=BD=1,

∴P1(﹣1,﹣1),经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上;

②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,

得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,如图(2),

同理可证△AP2N≌△CAO,

∴NP2=OA=2,AN=OC=1,

∴P2(﹣2,1),经检验P2(﹣2,1)也在抛物线y=x2﹣x﹣2上;

③若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,

得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,如图(3),

同理可证△AP3H≌△CAO,

∴HP3=OA=2,AH=OC=1,

∴P3(2,3),经检验P3(2,3)不在抛物线y=x2﹣x﹣2上;

故符合条件的点有P1(﹣1,﹣1),P2(﹣2,1)两点.

综合类

10.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5).

(1)求直线BC与抛物线的解析式;

(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;

(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.

考点:二次函数综合题..

专题:压轴题.

分析:(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线BC的解析式;同理,将B(5,0),C(0,5)两点∑的坐标代入y=x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

(2)MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出MN的最大值;

(3)先求出△ABN的面积S2=5,则S1=6S2=30.再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,根据平行四边形的面积公式得出BD=3,过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.证明△EBD 为等腰直角三角形,则BE=BD=6,求出E的坐标为(﹣1,0),运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1,然后解方程组,即可求出点P的坐标.

解答:

解:(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,

将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,

得,解得,所以直线BC的解析式为y=﹣x+5;

将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c,

得,解得,所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5;

(2)设M(x,x2﹣6x+5)(1<x<5),则N(x,﹣x+5),

∵MN=(﹣x+5)﹣(x2﹣6x+5)=﹣x2+5x=﹣(x﹣)2+,

∴当x=时,MN有最大值;

(3)∵MN取得最大值时,x=2.5,

∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5,即N(2.5,2.5).

解方程x2﹣6x+5=0,得x=1或5,

∴A(1,0),B(5,0),

∴AB=5﹣1=4,

∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5,

∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30.

设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,则BC⊥BD.

∵BC=5,

∴BC?BD=30,

∴BD=3.

过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.

∵BC⊥BD,∠OBC=45°,

∴∠EBD=45°,

∴△EBD为等腰直角三角形,BE=BD=6,

∵B(5,0),

∴E(﹣1,0),

设直线PQ的解析式为y=﹣x+t,

将E(﹣1,0)代入,得1+t=0,解得t=﹣1

∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1.

解方程组,得,,

∴点P的坐标为P1(2,﹣3)(与点D重合)或P2(3,﹣4).

11.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x 轴正半轴上,且OD=OC.

(1)求直线CD的解析式;

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有: , 解得;

故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 解答:

解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2. (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC2=OA?OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0). (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4; ∴直线l:y=x﹣4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:即M(2,﹣3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.

2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质

2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质 考点1:二次函数的顶点、对称轴、增减性 1.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( ) A.图像与y轴的交点坐标为(0,1) B.图像的对称轴在y轴的右侧 C.当时,x<0的值随y值的增大而减小 的最小值为-3 2.如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表: x-1013 y-3131 下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )

或6 或6 或3 或6 5.当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为() 或2 或2 6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y,则这条抛物线的顶点一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2:抛物线特征和a,b,c的关系 1.已知二次函数图形如图所示,下列结论:①abc;②;③;④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上,则有y1y 2. 其中正确的结论有( ) 个个个个 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( ) <4ac >0 b=0 b+c=0

二次函数压轴题专题及答案

2016年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M 的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m 的值;若不存在,说明理由. 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题;数形结合. 分析: (1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长. (3)设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB,MN的表达式在(2)中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有:

, 解得; 故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C 点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M 点的坐标. 考点:二次函数综合题.. 专题:压轴题;转化思想. 分析:(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.

2018年度中考数学压轴题

1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.(1)求AC、BC的长; (2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似,请说明理由; (4)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由. 解:(1)设AC=4x,BC=3x,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, 即:(4x)2+(3x)2=102,解得:x=2,∴AC=8cm,BC=6cm; (2)①当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H,

∵AP=x ,∴BP=10﹣x ,BQ=2x ,∵△QHB ∽△ACB , ∴ QH QB AC AB = ,∴QH=错误!未找到引用源。x ,y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 (10﹣x )?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x (0<x ≤3), ②当点Q 在边CA 上运动时,过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′, ∵AP=x , ∴BP=10﹣x ,AQ=14﹣2x ,∵△AQH ′∽△ABC , ∴'AQ QH AB BC =,即:' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。,解得:QH ′=错误!未找到引用源。(14﹣x ), ∴y= 12PB ?QH ′=12(10﹣x )?35(14﹣x )=310x 2﹣36 5 x+42(3<x <7); ∴y 与x 的函数关系式为:y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+<

全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,且OC=3OA .点P 是抛物线上的一个动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点D ,连接PC . (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P 作PF ⊥BC 于点F ,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由. (3)当点P 在抛物线上运动时,将△CPD 沿直线CP 翻折,点D 的对应点为点Q ,试问,四边形CDPQ 是否成为菱形?如果能,请求出此时点P 的坐标,如果不能,请说明理由. 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3;(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,此时点P 的坐标为( 73,256)或(173,﹣253). 【解析】 试题分析: (1)利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)设P (m ,﹣ 34m 2+94m+3),△PFD 的周长为L ,再利用待定系数法求直线BC 的解析式为:y=﹣ 34x+3,表示PD=﹣2334m m ,证明△PFD ∽△BOC ,根据周长比等于对应边的比得:=PED PD BOC BC 的周长的周长,代入得:L=﹣95(m ﹣2)2+365 ,求L 的最大值即可; (3)如图3,当点Q 落在y 轴上时,四边形CDPQ 是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ ,PQ=PD ,∠PCQ=∠PCD ,又知Q 落在y 轴上时,则CQ ∥PD ,由四边相等:CD=DP=PQ=QC ,得四边形CDPQ 是菱形,表示P (n ,﹣23n 4 +94 n+3),则D (n ,﹣34n+3),G (0,﹣34 n+3),利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论. 试题解析: (1)由OC=3OA ,有C (0,3), 将A (﹣1,0),B (4,0),C (0,3)代入y=ax 2+bx+c 中,得:

中考数学复习专题二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2 =++(a b c y ax bx c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 ,可以为零.二次函数的定义域是全体 a≠,而b c 实数. 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征: ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: =+的性质: y ax c 结论:上加下减。

总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结:

1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.

中考数学二次函数压轴题(含答案)

2017年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题;数形结合. 分析: (1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式. (2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长. (3)设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB,MN的表达式在(2)中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有:

, 解得; 故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0

深圳十年中考数学压轴题汇总

压轴、 200621.如图9,抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),抛物线上另有一点C OCA ∽△OBC . (1)(3分)求线段OC 的长. 解: (2)(3分)求该抛物线的函数关系式. 解:

(3)(4分)在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形若存在,求出所有符合 条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由. 解: 200622.(10分)如图10-1,在平面直角坐标系xoy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A B 、两点,且C为AE的中点,AE交y轴于G 、两点,交y轴于C D 点,若点A的坐标为(-2,0),AE8 (1)(3分)求点C的坐标 解: 图10-1

(2)(3分)连结MG BC 、,求证:MG ∥BC 证明: (3)(4分) 如图10-2,过点D 作⊙M 的切线,交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时,PF OF 化规律. 解: 200722.如图6,在平面直角坐标系中,正方形AOCB 的边长为1,点D 在x 轴的正半轴上,且OD OB ,BD 交OC 于点E .

(1)求BEC ∠的度数. (2)求点E的坐标. (3)求过B O D ,,三点的抛物线的解析式.(计算结果要求分母有理化.参考 2525 5 55 = =; 1 ==; == 分母有理化)

200723.如图7,在平面直角坐标系中,抛物线2164y x =-与直线12 y x =相交于A B ,两点. (1)求线段AB 的长. (2)若一个扇形的周长等于(1)中线段AB 的长,当扇形的半径取何值时,扇形的面积最大,最大面积是多少 (3)如图8,线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ,两点,垂足为点M ,分别求出OM OC OD ,,的长,并验证等式 222 111 OC OD OM +=是否成立. (4)如图9,在Rt ABC △中,90ACB =∠,CD AB ⊥,垂足为D ,设BC a =,AC b =, AB c =.CD b =,试说明: 222111 +=. D

2018中考数学专题二次函数

2018中考数专题二次函数 (共40题) 1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G. (1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式; (2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标; (3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标; ②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM它的最小值. 2.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D. (1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示); (2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值; (3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式. 3.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C. (1)求直线y=kx+b的函数解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;

(3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值. 4.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1 (1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标. (2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒. ①当t为何值时,四边形OMPN为矩形. ②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)在第二象限取一点C,作CD垂直X轴于点D,AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值; (3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存

备战中考数学二次函数的综合复习

一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标; (3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P 的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣3x。 (2)点B的坐标为:(4,4)。 (3)存在;理由见解析; 【解析】 【分析】 (1)将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值,从而求得抛物线的解析式。 (2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标,也就求出了OA的长,根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值,然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标,然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。 (3)根据B点坐标可求出直线OB的解析式,由于OB⊥OP,由此可求出P点的坐标特点,代入二次函数解析式可得出P点的坐标.求△POB的面积时,求出OB,OP的长度即可求出△BOP的面积。 【详解】 解:(1)∵函数的图象与x轴相交于O,∴0=k+1,∴k=﹣1。 ∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。 (2)如图,过点B做BD⊥x轴于点D,

令x 2﹣3x=0,解得:x=0或3。∴AO=3。 ∵△AOB 的面积等于6,∴ 1 2 AO?BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上, ∴4=x 2﹣3x ,解得:x=4或x=﹣1(舍去)。 又∵顶点坐标为:( 1.5,﹣2.25),且2.25<4, ∴x 轴下方不存在B 点。 ∴点B 的坐标为:(4,4)。 (3)存在。 ∵点B 的坐标为:(4,4),∴∠BOD=45°,22BO 442=+=。 若∠POB=90°,则∠POD=45°。 设P 点坐标为(x ,x 2﹣3x )。 ∴2 x x 3x =-。 若2x x 3x =-,解得x="4" 或x=0(舍去)。此时不存在点P (与点B 重合)。 若( ) 2 x x 3x =--,解得x="2" 或x=0(舍去)。 当x=2时,x 2﹣3x=﹣2。 ∴点P 的坐标为(2,﹣2)。 ∴22OP 222= += ∵∠POB=90°,∴△POB 的面积为: 12PO?BO=1 2 ×2×2=8。 2.已知,抛物线y =ax 2+ax+b (a≠0)与直线y =2x+m 有一个公共点M (1,0),且a <b .

二次函数压轴题(含答案)

面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题;数形结合. 分析: (1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长. (3)设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB,MN的表达式在(2)中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有: , 解得;

故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C 点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 考点:二次函数综合题.. 专题:压轴题;转化思想. 分析:(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可. (2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.

上海历年中考数学压轴题复习[试题附答案解析]

历年中考数学压轴题复习 2001年市数学中考 27.已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2. (1)如图8,P 为AD 上的一点,满足∠BPC =∠A . 图8 ①求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长. (2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满足∠BPE =∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么 ①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP =x ,CQ =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域; ②当CE =1时,写出AP 的长(不必写出解题过程). 27.(1)①证明: ∵ ∠ABP =180°-∠A -∠APB ,∠DPC =180°-∠BPC -∠APB ,∠BPC =∠A ,∴ ∠ ABP =∠DPC .∵ 在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =CD ,∴ ∠A =∠D .∴ △ABP ∽△DPC . ②解:设AP =x ,则DP =5-x ,由△ABP ∽△DPC ,得 DC PD AP AB = ,即252x x -=,解得x 1=1,x 2=4,则AP 的长为1或4. (2)①解:类似(1)①,易得△ABP ∽△DPQ ,∴ DQ AP PD AB =.即y x x += -252,得22 5 212-+-=x x y ,1<x <4. ②AP =2或AP =3-5.

(题27是一道涉及动量与变量的考题,其中(1)可看作(2)的特例,故(2)的推断与证明均可借鉴(1)的思路.这是一种从模仿到创造的过程,模仿即借鉴、套用,创造即灵活变化,这是中学生学数学应具备的一种基本素质,世上的万事万物总有着千丝万缕的联系,也有着质的区别,模仿的关键是发现联系,创造的关键是发现区别,并找到应付新问题的途径.) 市2002年中等学校高中阶段招生文化考试 27.操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q. 图5图6图7 探究:设A、P两点间的距离为x. (1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论; (2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由. (图5、图6、图7的形状大小相同,图5供操作、实验用,图6和图7备用) 五、(本大题只有1题,满分12分,(1)、(2)、(3)题均为4分) 27.

中考数学 二次函数知识点总结

中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 ,可以为零.二次函数的定义域是 a≠,而b c 全体实数. 2. 二次函数2 =++的结构特征: y ax bx c ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的 y ax c 性质:

结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性 y a x h 质: 结论:左加右减。 总结: 4.

()2 y a x h k =-+的性质: 总结: 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”.

初中数学中考复习 二次函数知识点总结

二次函数知识点总结20110311 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.⑵a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:左图画2221,2,2 y x y x y x === , 右图画22 21,2,2y x y x y x =-=-=- 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质:左图画221,1y x y x =+=-,右图画2 2 1,1y x y x =-+=-- 结论:上加下减。

总结: 3. ()2 y a x h =-的性质:左图画22(1),(1)y x y x =+=-,右图画22 (1),(1)y x y x =-+=-- 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质:左图画22(1)1,(1)1y x y x =++=--,右图画2 2 (1)1,(1)1y x y x =-++=---

总结: 二次函数图象的平移 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,.

2017年挑战中考数学压轴题(全套)

第一部分函数图象中点的存在性问题 §1.1 因动点产生的相似三角形问题§1.2 因动点产生的等腰三角形问题§1.3 因动点产生的直角三角形问题§1.4 因动点产生的平行四边形问题§1.5 因动点产生的面积问题§1.6因动点产生的相切问题§1.7因动点产生的线段和差问题 第二部分图形运动中的函数关系问题 §2.1 由比例线段产生的函数关系问题 第三部分图形运动中的计算说理问题 §3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 §3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 第四部分图形的平移、翻折与旋转 §4.1 图形的平移§4.2 图形的翻折§4.3 图形的旋转§4.4三角形§4.5 四边形§4.6 圆§4.7函数的图象及性质§1.1 因动点产生的相似三角形问题 课前导学相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验.如果已知∠A=∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两 边表示出来,按照对应边成比例,分AB DE AC DF =和 AB DF AC DE =两种情况列方程. 应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等. 应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组). 还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式容易记错.理解记忆比较好. 如图1,如果已知A、B两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢? 我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减;竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的纵坐标相减. 图1 图1 图2 例 1 湖南省衡阳市中考第28题 二次函数y=a x2+b x+c(a≠0)的图象与x轴交于A(-3, 0)、B(1, 0)两点,与y轴交于点C(0,-3m)(m>0),顶点为D.(1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示); (2)如图1,当m=2时,点P为第三象限内抛物线上的一个动点,设△APC的面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值; (3)如图2,当m取何值时,以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似?

中考数学二次函数复习专题

初中数学二次函数复习专题 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1. 理解二次函数的概念; 2. 会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法 画二次函数的图象; 3. 会平移二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y =a(ax +m)2 +k 的图象,了解特殊与一 般相互联系和转化的思想; 4. 会用待定系数法求二次函数的解析式; 5. 利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函 数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 (1)二次函数及其图象 如果y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0),那么,y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。 (2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --,对称轴是a b x 2-=,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。 抛物线y=a (x+h )2+k(a ≠0)的顶点是(-h ,k ),对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y =(m -2)x 2+m 2 -m -2额图像经过原点, 则m 的值是 2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内,那么函数 y =kx 2 +bx -1的图像大致是( ) 和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x =5 3 ,求这条抛物线的解析式。 4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如: 已知抛物线y =ax 2 +bx +c (a ≠0)与x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y 轴交点的纵坐标是-32 (1) 确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 习题1: 一、填空题:(每小题3分,共30分) 1、已知A(3,6)在第一象限,则点B(3,-6)在第象限 2、对于y=-1 x ,当x>0时,y随x的增大而 3、二次函数y=x2 +x-5取最小值是,自变量x的值是 4、抛物线y=(x-1)2 -7的对称轴是直线x= 5、直线y=-5x-8在y轴上的截距是 6、函数y= 1 2-4x 中,自变量x的取值范围是 7、若函数y=(m+1)xm2+3m+1 是反比例函数,则m 的值为 8、在公式1-a 2+a =b中,如果b是已知数,则a= 9、已知关于x的一次函数y=(m-1)x+7,如果y随x的增大而减小,则m的 取值范围是 10、 某乡粮食总产值为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨),与该乡人口 数x的函数关系式是 二、选择题:(每题3分,共30分) 11、函数y=x-5中,自变量x的取值范围 ( ) (A)x>5 (B)x<5 (C)x≤5 (D)x≥5 12、抛物线y=(x+3)2 -2的顶点在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 13、抛物线y=(x-1)(x-2)与坐标轴交点的个数为 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 14、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是( ) (A) (B) (C) (D) 15.平面三角坐标系内与点(3,-5)关于y轴对称点的坐标为( ) (A )(-3,5) (B )(3,5) (C )(-3,-5) (D )(3,-5) 16.下列抛物线,对称轴是直线x=1 2 的是( ) (A ) y=12 x2(B )y=x2+2x(C )y=x2+x+2(D )y=x2 -x-2 17.函数y=3x 1-2x 中,x的取值范围是( ) (A )x≠0 (B )x>12 (C )x≠12 (D )x<1 2

2014中考数学压轴题及答案40例

2014中考数学压轴题精选精析(21-30例) 21.(2011?湖南邵阳)如图(十一)所示,在平面直角坐标系Oxy 中,已知点A (-94 ,0),点C (0,3),点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧),以AB 为直径的圆恰好经过.... 点C . (1)求∠ACB 的度数; (2)已知抛物线y =ax 2+bx +3经过A 、B 两点,求抛物线的解析式; (3)线段BC 上是否存在点D ,使△BOD 为等腰三角形.若存在,则求出所有符合条件的点D 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解题思路】:(1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过....点C ∴∠ACB =0 90 (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC ?=2 ∵A (-94,0),点C (0,3),∴4 9=AO 3=OC ∴OB 4 932= ∴ 4=OB ∴B(4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 3127312++-=x x y (3) 1)OD=OB , D 在OB 的中垂线上,过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH=OC 21 OB OH 2 1= ∴D )23,2( 2) BD=BO 过D 作DG ⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG= 54 DG=53 ∴D(54,53)

【点评】:本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识,运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式,求解点到坐标轴的距离,进而得出相应的坐标。难度中等 24、(2011?湖北荆州)如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1. (1)求B点坐标; (2)求证:ME是⊙P的切线; (3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点, ①求△ACQ周长的最小值; ②若FQ=t,S△ACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式. 考点:二次函数综合题. 分析:(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,由正方形CDEF的面积为1,可得CD=CF=1,根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,由PB=PE,根据勾股定理即可求得n的值,继而求得B的坐标; (2)由(1)知A(0,2),C(2,0),即可求得抛物线的解析式,然后求得FM的长,则可得△PEF∽△EMF,则可证得∠PEM=90°,即ME是⊙P的切线; (3)①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ,则有AQ=A′Q,△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长,利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值; ②分别当Q点在F点上方时,当Q点在线段FN上时,当Q点在N点下方时去分析即可求

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