八年级数学直角三角形全等的判定

直角三角形全等的判定

直角三角形全等的判定 一、选择题: 1. 两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等 2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对 3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( ) A. AAS B.SAS C.HL D.SSS 4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( ) A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF 5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对 6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 1 2A B C D 第2题图 第5题图 第7题图 第8题图 7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ 8. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（ ） A ． A B=AC B ． ∠BAC=90° C ． B D=AC D ． ∠B=45° B A E F D

直角三角形全等的判定

直角三角形全等的判定 一、教学目标 1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定． 2．使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等． 指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)． 由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法． 二、教学重点和难点 1．重点：“斜边、直角边”公理的掌握． 2．难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用． 三、教学手段 利用三角板、小黑板、教具(剪好的三角形硬纸片若干个)． 四、教学过程 (一)复习提问 1．三角形全等的判定方法有哪几种？ 2．三角形按角的分类． (二)引入新课 前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形． 我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？

我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等. 如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？ 1．可作为预习内容(投影仪) 如图3-43，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=△A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？ 研究这个问题，我们先做一个实验： 把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=Rt∠，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇． 2．下面我们再用画图的方法来验证：(同学们一同画图) 例1已知线段a，c(a＞c)如图3-45，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，一直角边CB=a，斜边AB=c．

《直角三角形全等的判定》同步练习题

直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定 一、选择题: 1. 两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等 2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对 【 3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( ) A. AAS 4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( ) =DE,AC=DF =EF,BC=DF =DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF ) 5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) 对; 对; 对; 对 6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. 个 个 个 个 1 2A B C D 第2题图 第5题图 第7题图 第8题图 7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ — B A E F C D

8. 如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（） A．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．, ∠B=45° 二、填空题: 9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角 边”或用字母表示为“___________”. 10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________. 11.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△ CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________ ~ 12.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD 交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________． 第11题图第12题图第13题图 13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F， 若BF=AC，则∠ABC=_______ 第14题图第15题图第16题图14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形. % 15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分

直角三角形全等判定

课堂教学教案

节 一、 回 顾 交 流 ， 迁 移 拓 展 问题探究 情境导入 图1是两个直角三角形，除了直 角相等的条件，还要满足几个条件，? 这两个直角三角形才能全等？ 操作投影仪，提出“问题探究”，组 织学生讨论． ” 如图2所示． 舞台背景的形状是两个直角三角 形，工作人员想知道这两个直角三角 形是否全等，但每个三角形都有一条 直角边被花盆遮住无法测量． （1）你能帮他想个办法吗？ （2）如果他只带了一个卷尺，能 分四人小组，合作、讨论． 小组讨论，发表意见：“由 三角形全等条件可知，对 于两个直角三角形，满足 一边一锐角对应相等，或 两直角边对应相等，这两 个直角三角形就全等了． 思考问题，探究原理．

节 一、 回 顾 交 流 ， 迁 移 拓 展 尺规作图: 做一个直角 三角形与已 知直角三角 形重合完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有 被遮住的直角边和斜边，发现它们分 别对应相等，于是他就肯定“两个直 角三角形是全等的”，你相信他的结论 吗？ 【思路点拨】（1）学生可以回答 去量斜边和一个锐角，或直角边和一 个锐角，?但对问题（2）学生难以回 答．此时，?教师可以引导学生对工作 人员提出的办法及结论进行思考，并 验证它们的方法，从而展开对直角三 角形特殊条件的探索． 操作投影仪，提出问题，引导学生 思考、验证． 做一做如课本图12．2─11：任意画 出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一 个Rt?△A′B′C′，使B′C′=BC，A′ B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪 下，放到Rt△ABC上，?它们全等吗？ 画一个Rt△A′B′C′， 使B′C′=BC,AB=AB;

《直角三角形全等的判定》参考教案

三角形全等的判定（四） 直角三角形全等的判定 教学目标 1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。 3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。新|课|标| 第|一| 网 教学重点 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学难点 熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学过程 Ⅰ．提出问题，复习旧知 1、、、 2直角边 3 ”或“不全 根据（用简写法） （2）若∠A=∠D，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全 等” ） 根据（用简写法）新|课|标| 第|一| 网 （3）若AB=DE，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）

根据（用简写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据（用简写法） Ⅱ．导入新课 （一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a

直角三角形全等的判定教学设计

直角三角形全等的判定（HL）教学设计 中堡初中 一、教学目标： 知识目标： 1、已知斜边和直角边会作直角三角形； 2、熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等； 3、熟练使用“分析综合法”探求解题思路。 能力目标： 通过探究性教学，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；通过一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。 情感目标： 通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；在探究性教学活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神。 二、教学重点：“斜边、直角边定理”的掌握和灵活运用。 教学难点：数学语言的正确表达。 三、教学方法：采用启发式和讨论式教学 四、课前准备：课件、圆规、直尺、剪刀、纸 五、教学过程设计： （一）复习旧识、引入新知 1、三角形按角分类分为哪几种？ 2、判定三角形全等的方法有什么？ 3、Rt△ABC两直角边a，b，斜边c，那么三边有什么关系？

(二)动手操作、发现新知 1、用直尺和圆规，画一个Rt △ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=2cm,斜边AB=3cm. 则△ABC 即为所求。 2、把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？ 3、 判定两个直角三角形全等的判定定理： 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 （可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 已知：如图，在△ABC 和△ A ′B ′C ′ 中，∠C=∠C ′=90°， AB=A ′B ′, BC=B ′C ′ 求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′ 证明：在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ∵ ∠C=90°，∠C ′=90° ∴BC 2=AB 2-AC 2 B ′ C ′2=A ′B ′2-A ′C ′2(勾股定理). ∵AB=A ′B ′,AC=A ′C ′, ∴BC=B ′C ′. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ） 4、 从各个角度寻求直角三角形的判定方法及注意事项： （1）“HL ”公理是仅适用于Rt △的特殊方法。因此，判断两个直角三角形全等的方法有“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”外，还有“HL ”。 （2）应用HL 公理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt △。书写格式为： 在Rt △______和Rt △______中， ∴Rt △______≌Rt △______（HL ） 2cm 3cm { ______________,______________, == B A C A ′ c ′ B ′

直角三角形全等的判定练习题

直角三角形全等判定练习 一、选择题 1.△ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=32，BD ∶DC=9∶ 7, 则点D 到AB 的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm 2．在△ABC 内部取一点P 使得点P 到△ABC 的三边距离相等，则点P 应是△ABC 的哪三条线交点．（ ）（A ）高 （B ）角平分线 （C ）中线 （D ）边的垂直平分线 3．已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，BE=CF ，则下列说法正确的有几个 （ ）（1）AD 平分∠EDF ；（2）△EBD ≌△FCD ；（3）BD=CD ； （4）AD ⊥ BC ．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 二、填空题 4．如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件 _______或 ； 若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ， 则需要加条件 或 ． 第4题 第5题 第6题 5.如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA. 6.如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D,DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为___________cm. 三、解答题 7.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC 8.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC .你能说明BE 与DF 相等吗？ 9．已知如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=30°.求证:BD=14 AB 10.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ． （1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD =CE ，说明：BA ⊥A C ． （2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． B A B C D E F 1 2

直角三角形全等的条件

1 B A M C 直角三角形 一、知识归纳： 1、直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成 或 2、直角三角形全等的判定： A A ′ 斜边直角边定理（HL ） AB=AB _____=_____ Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′ B C B ′ C ′ 3、注意： 1、斜边、直角边公理（HL ）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。 2、SSS 、SAS 、ASA 、AAS 适用于任何三角形，包括直角三角形。 二、典型例题 例1、如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm. 例2、已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 例3、如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下: ∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知) ∴△ABF,△DCE 是直角三角形 ∵BE=CF(已知) ∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证) ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( ) 三、课堂检测： 1.两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等 2.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的() ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边 B A E F C D

直角三角形全等的判定方法

直角三角形全等的判定 教学目的： 1、通过本节课的学习，进一步弄清全等三角形的判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS。 2、通过探究，弄清直角三角形全等的判定定理：HL。 3、培养学生探究解决问题的能力和合作的品质。 教学要求： 1、熟练运用SAS、ASA、AAS、SSS。 2、理解并运用HL。 教学重点：引导学生分析、理解HL定理。 教学难点：熟练运用HL定理解决问题。 教学方法：探究、合作学习。 教学过程： 一、复习引入： 1、学生先说说三角形全等的判定定理有哪些？ 2、做一做： 具有下列条件的Rt△ABC和Rt△A′B′C′是否全等。 ①AC＝A′C′∠A＝∠A′ ②AC＝A′C′BC＝B′C′ ③AB＝A′B′∠B＝∠B′

④AC＝A′C′AB＝A′B′ 二、探究：已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′，AC＝A′C′， AB＝A′B′，它们全等吗？ 推理过程：P.91 结论：斜边、直角边定理：HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 三、例题讲解：P.91、例1 结论：角平分线的性质；三角形的内心。 四、练习： 1、判断下列说法是否正确，说明理由。 ①②③④ 2、如图：AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，你 能说明∠ABC与∠ABD为什么相等吗？ 3、如图：∠B＝∠E＝90°，AB＝AE， ∠1＝∠2，则∠3＝∠4，请说明理由。 4、议一议：已知∠ACB＝∠BDA＝90°， 要使△ABC≌BDA，还需要增加一个什么 条件？把它们分别写出来。 5、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC，请说明理由。

直角三角形全等的判定

12.2直角三角形全等的判定 周至县二曲中学张建敏 一、设计思路： 本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究 特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他 们对公理的多层次的理解。在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比 较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力。新课程 标准强调“从具体的情景或前提出发进行合情推理，从单纯的几何推理价值转 向更全面的几何的教育价值”，为了体现这一理念，我设计了几个不同的情景， 让学生在不同的情景中探求新知，用直接感受去理解和把握空间关系。这一设 计，极大的激发了他们的学习欲望，加深了师生互动的力度，课堂效益比较明 显。不同的情景又以不同的层次逐步提升既有以知识为背景的情景，又有以探 索、验证为主的情景，从不同的方面，让不同层次的学生都有所收获，体现了 “大众数学”的主旋律，也是“不同的人学习不同的数学”的新课程理念的体 现。 二、教学内容： 九年义务教育初级中学八年级数学上册第十二章第二节直角三角形全等的判定 三、教学目标： 1、知识目标： （1）已知斜边和一条直角边会作直角三角形。 （2）经历探索“斜边、直角边”判定定理的过程，理解定理，并能熟练地利用这个定理判定两个直角三角形全等。 2、能力目标： （1）通过实践探究，培养学生动手操作能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。 （2）通过变式练习，培养学生的逻辑推理能力和发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力。 3、情感目标： （1）通过学生主动参与探索获取知识，培养学生敢于探索、勇于创新的精神。 （2）通过探究性教学，营造民主和谐的课堂气氛，使学生体验学习的乐趣，提高学习的积极性。 四、教学重点： “斜边、直角边公理”的理解和运用。 五、教学难点： 灵活应用五种（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）方法判定两个直角三角形 全等。 六、教学方法：

几何证明-直角三角形

直角三角形全等的判定与直角三角形的性质 【知识精要】 直角三角形全等的判定 1、如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L ） 2、三角形全等的判定方法：S.S.S, S.A.S, A.S.A, A.A.S, 在直角三角形中仍可用 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 直角三角形中常用的辅助线 1、斜边的中线 2、斜边的高 3、等腰三角形底边中线或地边上的高构造直角三角形。 【精解名题】 例1、有两条高相等的锐角三角形是等腰三角形。 例2、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，DE 垂直平分BC 于点D ，EF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F 。求证：AB=AC+2CF. 提示：联结EB 、EC ，作EG ⊥AB 于点G 。 例3、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF=2 1AB 。 求证：（1）DF=BE （2）DF ⊥BE

例4、如图，在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于点D，E为AC中点，ED的延长线交AB的延长线于点F . 求证：BF=BD 例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AD=AC，BE=BC。 求证：∠DCE=45° 例6、如图，已知AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，交BC于点M，求证：CM=2BM 提示：联结AM 例7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD//BC，BD=BC。求证：∠DCA=∠DBC

初中数学八年级《直角三角形全等的判定》优秀教学设计

§12.2.2 三角形全等的条件（第4课时） 一、教学目标 知识与技能：直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”． 过程与方法：经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系．掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题． 情感、态度与价值观：通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法．发展实践能力和创新精神 二、教学重难点 教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 三、教学过程 （一）单元导入，明确目标 1、判定两个三角形全等的方法：、、、 2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是 3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E， （1）若∠A=∠D，AB=DE， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”） 根据（用简写法） （2）若∠A=∠D，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”） 根据（用简写法） （3）若AB=DE，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”） 根据（用简写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”） 根据（用简写法） （二）问题引领，探究新知 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是 否全等，但两个三角形都有一条直角边 被花盆遮住无法测量．（播放课件） （1）你能帮他想个办法吗？ （2）如果他只带了一个卷尺，能完成这 个任务吗？ （1）[生]能有两种方法． 第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的．

直角三角形全等的判定

直角三角形全等的判定 知识结构 重点与难点分析： 本节课教学方法主要是“自学辅导与发现探究法”。力求体现知识结构完整、知识理解完整；注重学生的参与度，在师生共同参与下，探索问题、动手试验、发现规律、做出归纳。让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下： 本节课开始，让同学们自己思考问题：判定三角形全等的方法有四种，如果这两个三角形是直角三角形，那么判定它们全等的方法有哪些呢？学生展开讨论，初步形成意见，然后由教师答疑。这样促动了学生学习，体现了以“学生为主体”的教育思想。 （2）在层次教学中培养学生的思维水平 本节课的层次主要表现为两个方面：一是对公理的多层次理解；二是综合练习的多层次变化。 公理的多层次理解包括：明确公理的条件及结论；公理的文字语言、图形语言、符号语言的理解及掌握；公理的作用。这里特别强调三个方面：1、特殊三角形的特殊性；2、归纳总结判定直角三角形全等的方法。 综合练习的多层次变化：首先给出直接应用公理证明三角形全等的题目；然后给出变式题目；最后给出综合应用题目。这里注意两点：一是给出题目后先让学生独立思考，并按教材的形式严格书写。二是给出的综合题目有一定的难度，教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。 教法建议： 由“先教后学”转向“先学后教” 本节课开始，让同学们自己思考问题：判定三角形全等的方法有四种，如果这两个三角形是直角三角形，那么判定它们全等的方法有哪些呢？学生展开讨论，

初步形成意见，然后由教师答疑。这样促动了学生学习，体现了以“学生为主体”的教育思想。 （2）在层次教学中培养学生的思维水平 本节课的层次主要表现为两个方面：一是对公理的多层次理解；二是综合练习的多层次变化。 公理的多层次理解包括：明确公理的条件及结论；公理的文字语言、图形语言、符号语言的理解及掌握；公理的作用。这里特别强调三个方面：1、特殊三角形的特殊性；2、归纳总结判定直角三角形全等的方法。 综合练习的多层次变化：首先给出直接应用公理证明三角形全等的题目；然后给出变式题目；最后给出综合应用题目。这里注意两点：一是给出题目后先让学生独立思考，并按教材的形式严格书写。二是给出的综合题目有一定的难度，教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。 教学目标： 1、知识目标： （1）掌握已知斜边、直角边画直角三角形的画图方法； （2）掌握斜边、直角边公理； （3）能够使用HL公理及其他三角形全等的判定方法实行证明和计算. 2、水平目标： （1）通过尺规作图使学生得到技能的训练； （2）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理水平. 3、情感目标： （1）在公理的形成过程中渗透：实验、观察、归纳； （2）通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征。 教学重点：SSS公理、灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等。 教学难点：灵活应用五种方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）来判定直角三角形全等。

直角三角形全等的证明及三角形全等提高题

7.如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF. 求证：AB=AC 8.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？ 9．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°.求证:BD=1 4 AB C D F 1 2 A B

10.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ． （1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD =CE ，说明：BA ⊥A C ． （2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 1已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 2已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 3已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 F E A C D B A E D C B

4如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 7、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 8、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 9. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 10. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 A B C D E F O A B C D E F A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4

八上全等三角形证明方法归纳经典

【第1部分 全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 概念深入理解： （1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化） 2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质： 全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 （2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； 图 3 图 1 图2

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三角形的判定：（深入理解） ①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS） ⑤斜边，直角边（HL） 注意：（容易出错） （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）； （2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。

直角三角形全等判定定理

直角三角形全等判定定理 编写时间：年月日执行时间：年月日总序第个教案【教学目标】 1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定． 2．使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法． 【教学重点和难点】 1．重点：“斜边、直角边”公理的掌握． 2．难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用． 【教学手段】：剪好的三角形硬纸片若干个 【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索. 【教学过程】 (一)复习提问 1．三角形全等的判定方法有哪几种？2．三角形按角的分类． (二)引入新课 前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等. 如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？ 1．可作为预习内容 如图3-43，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=△A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？ 研究这个问题，我们先做 一个实验： 把Rt△ABC与Rt△A＇B＇ C＇拼合在一起(教具演示) 如图3-44，因为∠ACB=∠A＇ C＇B＇=Rt∠，所以B、C(C＇)、 B＇三点在一条直线上，因

人教版八年级上册 直角三角形全等判定

直角三角形全等判定（基础） 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三 角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三 角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC． 求证：（1）AB＝CD： （2）AD∥BC． 举一反三： 【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC． 求证：ED⊥AC． 2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理

由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） （2）一个锐角和斜边对应相等；（） （3）两直角边对应相等；（） （4）一条直角边和斜边对应相等．（） 举一反三： 【变式】（2015春?丘北县校级月考）下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等； （2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； （3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等； （4）有两条边相等的两个直角三角形全等； （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3、已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD． 求证：AD＝BC； 、 举一反三： 【变式】已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90° . 求证：OC＝OD. 【巩固练习】 一、选择题 1．（2015春?深圳校级期中）下列语句中不正确的是（）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等

直角三角形全等的证明及三角形全等提高题

直角三角形全等的证明及三角形全等提高题

2 7.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF. 求证：AB=AC 8.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC.你能说明BE 与DF 相等吗？ A B C D E F 1 2 B

9．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， AB ∠A=30°.求证:BD=1 4 A 3

10.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E． （1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥A C． （2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 4

5 1已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 2已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 3已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。 求证：BE ＝CD 。 F E A C D B A E D C B

4如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下 推出一个正确的命题。①AB=AC ②③BE=CF 7、已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD， 若E是AC上一点。求证：EB=ED。 D A E C B 8、已知：如图，AB、CD交于O点，CE//DF，CE=DF，AE=BF。求证：∠ACE=∠BDF。 D C A B C D E F O 6

《直角三角形全等的判定》同步练习题

1.2 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定 一、选择题: 1. 两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等 2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对 3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( ) A. AAS B.SAS C.HL D.SSS 4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( ) A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF 5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对 6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 1 2A B D 第2题图 第5题图 第7题图 第8题图 7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ B A E F D

全等三角形证明方法

全等三角形的证明方法 一、三角形全等的判定： （1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)； （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ； （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ； （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ； （5）直角三角形全等的判定：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 二、全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等； （2）全等三角形的周长相等、面积相等； （3）全等三角形的对应边上的高对应相等； （4）全等三角形的对应角的角平分线相等； （5）全等三角形的对应边上的中线相等； 三、找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。 ①积极发现隐含条件： 公共角对顶角公共边 ②观察发现等角等边: 等边对等角同角的余角相等同角的补角相等 等角对等边等角的余角相等等角的补角相等

③推理发现等边等角: 图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化 图4 :等量和转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化 图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化 图11:等段转化

四、构造辅助线的常用方法： 1、关于角平分线的辅助线: 当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。 角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性； ②角平分线上的点到角两边的距离相等。 关于角平分线常用的辅助线方法： （1）截取构造全等: 如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1、如上右图所示，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。 （2）角分线上点向角两边作垂线构造全等 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D 向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。 例2、如上右图所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180°