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标高投影习题

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投影在向量问题中的妙用

投影在向量问题中的妙用在人教版高中数学课本必修4《第二章平面向量》中给出了数量积和投影的概念，如果能够透彻理解并运用投影概念解决问题，会使一些问题变得非常简单。下面我们将举例说明，看例题之前先把握一下概念：OA ·OB =cos OA OB AOB 贩，我们把cos OA AOB 沸叫做OA 在OB 方向上的投影。它的几何意义为线段OA 在OB 上的射影长度或射影长度的相反数。即过Ａ点作AN ^OB 于N 。当AOB D为锐角时，投影即ON 长度；当AOB D为钝角时，投影即ON 长度的相反数。于是，OA ·OB =OA 在OB 方向上的投影′OB . 例1、在ABC ?中，C=900 ，CB=3,点M 满足BM =2MA ，则CM ?CB = 解析：CM ? CB =CM ·CB · cosMCB.注意到ＣＭ、DMCB 都是可变的，要分别求出来是很困难的。那么，只能把CM ·cosMCB 作为一个整体来处理。而CM ·cosMCB 不就是CM 在CB 方向上的投影吗。过M 点作MN ^BC 于N,CM 在CB 方向上的投影即CN.则 CM ?CB =CN ?CB=1′3=3. A N 例1 例2、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=2，DBAD=600 ，E 为BC 边的中点，F 为平行四边形内（包括边界）一动点，则AE AF ·的最大值为。解析：AF 、FAE ∠均为变量，要作成函数来求最值有一定的困难。而如果利用投影概念解Ｃ O A

决可能会有意想不到的收获。AE AF ·=cos AE AF EAF ??∠=AF 在AE 方向上的投影 ?AE ≤AC 在AE 方向上的投影AE ?＝AG AE ?，而AG 求起来又有一定困难，而如果对投影能够透彻理解的话，逆向推回去回收到意想不到的效果。AG AE ?＝AC 在AE 方向上的投影AE ?＝AC AE ?＝（A B B C +）12AB BC ? ? ?+ ?? ? ＝223122AB BC BC AB +?+＝９＋ 92＋２＝31 2 ．河北省雄县中学高级教师周新华

平面向量知识点及方法总结总结

平面向量知识点及方法总结总结一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、四、向量平行(共线)的充要条件、五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法（一）基本结论的应用

1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、（二）利用投影定义

9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、（二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（）（三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________

ArcGIS投影转换不重叠或不匹配问题解决方案

ArcGIS投影转换不重叠或不匹配问题解决方案（良心原创） Mr.Chen 2015/9 注意，这里讲的主要是将带坐标的txt文件或excel等文件转换成矢量（点、线、面）遇到的投影转换不重叠问题。如果已经存在了两幅数据（栅格或矢量），它们具有相同的椭球和投影，但是仍然不重叠，那是配准问题，这里不做解释。实践中，我们往往都会遇到这样的情况：外业测绘或者用GPS获取的坐标数据导入ArcGIS 后，经过投影转换却与已有的具有相同椭球和投影的数据不重叠问题。这是什么原因？其实很简单，只要稍加注意就可以避免。一般外业测绘或GPS在获取坐标时都用的是自己的一套坐标体系。外业测绘一般是大地坐标（米/千米）。GPS一般是地理坐标（经纬度）。以GPS获取的坐标数据为例。其X和Y坐标一般形如116.8, 36.9。拿到记录该坐标的txt文件或excel文件，我们一看就知道这是地理坐标（经纬度）。但是往往我们可能要把这些记录地物的坐标与已存在的具有某个椭球和投影的矢量或栅格数据匹配，比如，叠加到行政区上。假设此时该行政区数据使用的椭球是WGS1984，投影是Beijing1954（一种大地坐标）。很多人，都会将ArcGIS数据框的默认投影直接修改成该投影（椭球WGS1984，投影Beijing1954）或者转换时在选择投影类型时直接选择该投影。导致不重叠就是错在这一步上面！要知道文件中记录的坐标是地理坐标，如果将数据框或者转换时将投影直接设置成行政区的投影坐标，就意味着坐标文件中记录的116.8和36.9变成了以米或千米为单位的大地坐标 (这和遥感图像处理时，将图像另存，得到的并不是原图像的DN值，而是保存前该图像DN值对应的RGB值被保存作为保存后图像的DN值，然后再次导入时转换成的新的RGB值)[1]，此时，无论你怎么通过ArcCatalog 或ArcMap中的ArcToolbox进行坐标定义和转换，都是在那个错误坐标基础上进行转换，结果注定还是错误。就上面的情况解决方案有两种：方法一.在导入数据前，设置ArcGIS数据框的默认投影类型。一定只选地理坐标（Geographic Coordinate Systems）,因为GPS获得的坐标数据都是WGS1984的地理坐标。然后输出保存。重新打开一个ArcMap，在ArcToolbox中的Data Management Tools—>Projections and Transformations——>Feature——>Project中选择Projected Coordinate Systems，找到Beijing1954，转换完成。方法二．在导入数据时，不进行任何数据框或投影的选择。然后重新打开ArcMap，先通过Data Management Tools—>Projections and Transformations——>Define Projection给数据定义投影WGS1984 (Geographic Coordinate Systems)。然后再通过上述方法（Data Management Tools—>Projections and Transformations——>Feature——>Project）进行投影转换。一定要分两步进行，不能在Define Projection中直接将投影定义成：椭球WGS1984，投影Beijing1954。否则和[1]的错误一模一样。另外还有外业测绘获取的大地坐标，都是一个道理。最重要的是记住：在将txt或excel 格式的坐标文件导入ArcGIS转换成矢量数据时，首先一定要知道，该坐标是地理坐标还是大地坐标？确定后，还要确定该坐标用的是哪个类型的椭球和哪种投影坐标，如WGS1984椭球，ITRF1988椭球，Beijing 1954投影坐标，Xian 1980投影坐标等等，其椭球参数和

10标高投影

2.10 标高投影2.10.1 点和直线 2.10.2 平面 2.10.3 曲线、曲面和地面2.10.4 应用示例

《技术制图投影法》GB/T 14692—1993规定：标高投影中应标注比例和高程。比例可采用比例尺(附有其长度单位)的形式，如图 2.225中所示；也可采用标注比例的形式(如1∶1000 等)。应设置某一水平面作为基准面。高程则是如图 2.225中所示的用数字表示的等高线和广场及其通道与水平基准面之间的距离 110、115、120、125、127 等。常用的高程单位为米。水平基准面的高程为零，基准面以上的高程为正，基准面以下的高程为负。图2.225 广场及其水平通道的标高投影

2.10.1 点和直线如图2.226a 所示，设空间有三个点A 、B 、C ，作出它们在高程为零的水平基准面H 上的正投影a 、b 、c ，并在它们的投影符号字母的右下角加注各点距离水平基准面H 的高程数字4、0、 -2，这些标注的高程数字称为点A 、B 、C 的标高，于是就得到了这三个点的标高投影。这三个点的标高投影，也称为它们的标高投影图，如图2.226b 所示。1.点的标高投影图2.226点的标高投影 (a)立体图(b)标高投影

2.直线的标高投影的一般表示法直线的标高投影一般由它的水平投影并加注两个端点的标高投影来表示。如图2.227a所示，空间有三条直线：一般位置直线AB、铅垂线CD、水平线EF，作出它们在水平基准面H上的正投影ab、cd、ef，并分别加注两个端点的标高，就得到它们的标高投影a6b3、c7d2、e5f5。 (a)立体图(b)标高投影图2.227 直线的标高投影的一般表示法

画法几何及工程制图试题及参考答案

1、单项选择题(30) 1．图纸的会签栏一般在（ B） A．图纸右上角及图框线内 B．图纸左上角及图框线外 C．图纸右上角及图框线外 D．图纸左上角及图框线内 @！．一物体图上长度标注为2000，其比例为1﹕5，则其实际大小为（ B）A．400 B．2000 C．10000 D．200 3．下列仪器或工具中，不能用来画直线的是（ D ） A．三角板 B．丁字尺 C．比例尺 D．曲线板 4. 在土木工程制图中，除了遵守建筑工程制图标准和某些行业标准外，还必须遵守的国家标准为：( A ) A.总图制图标准 B.水利水电工程制图标准 C.技术制图标准 D.铁路工程制图标准 5. 由国家职能部门制定、颁布的制图标准，是国家级的标准，简称国标。国标的代号为：( B ) A. ISO B. GB C. Standard D. ANSI 6. 图纸上的各种文字如汉字、字母、数字等，必须按规定字号书写，字体的号数为：( A ) A. 字体的高度 B. 字体的宽度 C. 标准中的编号 D. 序号 7. 绘制工程图应使用制图标准中规定的幅面尺寸，其中A2幅面的尺寸为：( C) A. 594 841（A1） B. 210 297(A4) C. 420 594(A2) D. 297 420(A3) 1189*841(A0) 8. 绘制工程图应使用制图标准中规定的幅面尺寸，其中A4幅面的尺寸为：(B ) A. 594 841 B. 210 297 C. 420 594 D. 297 420 9. 绘图比例是：( A ) A. 图形与实物相应要素的线性尺寸之比 B. 实物与图形相应要素的线性尺寸之比 C. 比例尺上的比例刻度 D. 图形上尺寸数字的换算系数 10. 如果物体的长度为1000mm，绘图比例是1:20，则在绘图时其长度应取：( C ) A. 100 B. 1000 C. 50 D. 20

平面向量注意的几个问题

平面向量注意的几个问题（二轮）一、向量加、减法的几何意义二、共线（平行）的作用三、向量的坐标运算学会建立坐标系，转化为坐标运算。特别是动点问题！四、向量的数量积及其几何意义 —— 一个向量在另一个向量上的投影。练习：一、填空选择： 1、（崇明县2016届高三二模）矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，P 为矩形内部一点，且 1AP =．若AP AB AD λμ=+ (,)R λμ∈，则23λμ+的最大值是． 2、（奉贤区2016届高三二模）已知△ABC 中，2AB = ， 3AC = ，0AB AC ?< ，且 △ABC 的面积为3 2 ，则BAC ∠= ． 3、（虹口区2016届高三三模）在锐角ABC ?中,60,B =?2,AB AC -= 则AB AC ? 的取值范围为 ( ) （A ）（0， 12）（B ）1,124?? -???? （C ）(]0,4 （D ） (] 0,2 4、（浦东新区2016届高三三模）已知2a = ，3b = ，且a ，b 的夹角为3 π ，则32a b -= 5、（杨浦区2016届高三三模）如图，已知AB AC ⊥，3AB =，3AC =，圆A 是以A 为圆心、半径为1的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为2的圆，设点P 、Q 分别为圆A 、圆B 上的动点，且12 AP BQ = ，则CP CQ ? 的取值范围是 6、（黄浦区2016届高三二模）已知菱形ABCD ，若||1AB = ，3 A π =，则向量AC 在AB 上的投影为 7、（静安区2016届高三二模）已知△ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2 A B A C A O += ，AB AO = ，则CA CB ?= . 8、（闵行区2016届高三二模）平面向量a 与b 的夹角为60?，1a = ，(3,0)b = ，则 2a b += . 9、（闵行区2016届高三二模）若AB 是圆2 2 (3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ? 的值为 10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的

高中数学经典解题技巧和方法：平面向量

高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。（3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 5. 向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的

平面向量部分常见考试题型总结

平面向量部分常见得题型练习类型（一):向量得夹角问题 1、平面向量，满足且满足，则得夹角为 2、已知非零向量满足,则得夹角为 3、已知平面向量满足且,则得夹角为 4、设非零向量、、满足，则５、已知 6、若非零向量满足则得夹角为类型(二)：向量共线问题 1.已知平面向量,平面向量若∥，则实数 2.设向量若向量与向量共线，则３、已知向量若平行，则实数得值就是( ) A.－2??Ｂ.0 ?C.1?D.２ _____ ) 10 , ( ), 5 4( ), 12 , ( .4 = - = = = k C B A k k 则三点共线，，，，且，已知向量 5．已知,设,且∥,则ｘ得值为() (A）0 (B）3 (Ｃ）1５(D) １8 6．已知=(１,２），=(-３,2)若k＋2与２-4共线,求实数k得值；７.已知,就是同一平面内得两个向量,其中＝(1，2）若,且∥,求得坐标 8、n为何值时，向量与共线且方向相同? ９、已知∥,求得坐标。 1０、已知向量,若()∥,则m= １1、已知不共线,,如果∥，那么ｋ=，与得方向关系就是１2、已知向量∥,则类型(三）: 向量得垂直问题１.已知向量,则实数得值为 2．已知向量 3.已知=(1,2),=(-３,2)若k＋2与2-4垂直,求实数k得值 4.已知,且得夹角为,若。 5、已知求当为何值时,垂直？ 6、已知单位向量 7、已知求与垂直得单位向量得坐标。

8、已知向量的值为垂直，则实数与且向量），（λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-= 9、 10、 ∥, 类型(四)投影问题 1．已知,得夹角,则向量在向量上得投影为 2．在△中, 3.关于且,有下列几种说法: ① ; ② ;③ ④在方向上得投影等于在方向上得投影；⑤;⑥ 其中正确得个数就是 ( ) (Ａ)4个 (B)３个 (C)2个 (Ｄ)1个类型（四)求向量得模得问题 1. 已知零向量 2. 已知向量满足 3. 已知向量, 4.已知向量得最大值为 5、设点M 就是线段B Ｃ得中点,点A 在直线BC 外， (A) ８ (B ）４ (C) 2 (D ） 1 6、设向量,满足及，求得值７、已知向量满足求 8、设向量,满足类型(五)平面向量基本定理得应用问题 1．若=（1,1),＝(1,-1),=(-１,-2)，则等于 ( ）（A) （B) (C) (Ｄ） 2、已知b a c c b a μλμλ+=-===的值，使和），求，（），，（），，（011101 ３、设就是平面向量得一组基底，则当时, 4、下列各组向量中,可以作为基底得就是( ） (A ）（B) (Ｃ) （D) 5、 (A) (B) （Ｃ) (D) d c d c m R m m +⊥∈-=+===平行与若为何值时）当（）与,)2?(,1623,23.6π 类型(六）平面向量与三角函数结合题

高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》难题汇编附答案

【最新】高考数学《平面向量》练习题一、选择题 1．如图所示，ABC ?中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v （） A ．43 AD BE +u u u v u u u v B ．53 AD BE +u u u v u u u v C ．4132A D B E +u u u v u u u v D ．5132 AD BE +u u u v u u u v 【答案】B 【解析】【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意， 2533 AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选B ．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题 2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（） A ．,,M N P 三点共线 B ．,,M N Q 三点共线 C ．,,N P Q 三点共线 D ．,,M P Q 三点共线【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r 所以() 2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r , 因为5MN a b =+u u u u r r r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r

标高投影及答案

郑州交通职业学院第九章综合复习题一、选择题 1.如果空间两平面平行，则下列叙述中错误的是（） A ．坡度比例尺互相平行 B ．等高线互相平行 C ．平距相等 D ．标高数字的增减方向可以一致，也可以不一致。 2.下列关于地形图等高线的叙述中错误的是（）Ａ．等高线一般是封闭曲线； B ．除悬崖、峭壁外，等高线不可交 C ．同一地形内，等高线愈密地势愈陡 D ．同一地形内，等高线愈密地势愈平坦二、填空题 1.在标高投影中，______被定为基准面。 2.平面上的等高线之间相互_____，等高线与最大坡度线相互_____。 3.正圆锥面在标高投影中，等高线都是______。 4.地形图中等高线越密集，坡度越______ 。 5.工程上将坡度比例线的投影附以整数标高，并画成一粗一细的双线，称为平面的。三、绘图题 1、已知平台的标高-2m,地面标高2m,以及平台的大小和棱面的斜坡坡度，求此平台坡脚线和坡面交线。 2. 如图所示，一斜坡引道直通水平场地，设地面高程为2米，水平场地顶面高程为5米，试画出其坡脚线和坡面交线。 2 2 a ： ----------------------------系别：___________------______---------姓名：___________--------学号：---------------------------- -----------------------------------密---------封----------线-------------内-------------不-----------准----------答------------题---------------------------

第23讲平面向量综合问题

第二十三讲平面向量综合问题 A 组一、选择题 1.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123 AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（） A ．23 B ．13 C ．13 - D ．23 - 解析：在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ，则22() 33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-12 33 CA CB +， ∴λ=3 2 ， 2. 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b 解析222()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+a b a b a b a b a b ,若函数()f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴a b =0 ?⊥a b. 3. 已知AB AC ⊥，|t |1 AB ＝，||AC t ＝，若P 点是ΔABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC +＝，PB PC 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 解析：以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B ? ?? ??1t ，0，C ()0，t ，AP →＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，即P (1，4)，所以1 -1-4t PB ?? ??? ＝，，(14)PC t ＝－，－，因此11·1416174t t PB PC t t ?? + ??? ＝－－＋＝－，因为11444,t t t t ≥＋＝所以· PB PC 的最

平面向量常见题型汇编4 平面向量的投影问题

平面向量的投影问题数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 1. 定值问题例题1：已知向量满足，且，则在方向上的投影为解析：考虑b r 在a r 上的投影为a b b ?r r r ，所以只需求出a b ?r r 即可。由a a b ⊥+r r r 可得： () 20a a b a a b ?+=+?=r r r r r r ，所以9a b ?=-r r 。进而2a b b ?==-r r r 变式1：两个半径分别为12,r r 的圆,M N ,公共弦AB 长为3，如图所示，则 AM AB AN AB ?+?=u u u u r u u u r u u u r u u u r __________. 分析：AB 为两个圆的公共弦，从而圆心,M N 到弦AB 的投影为AB 的中点，进而,AM AN u u u u r u u u r 在AB uuu r 上的投影能够确定，所以考虑计算AM AB ?u u u u r u u u r 和AN AB ?u u u r u u u r 时可利用向量的投影定义。解析：取AB 中点T ，连结,MT NT ，由圆的性质可得：,MT AB NT AB ⊥⊥ 21922AM AB AT AB AB ∴?=?==u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21922 AN AB AT AB AB ∴?=?==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 9AM AB AN AB ∴?+?=u u u u r u u u r u u u r u u u r ,a b r r 3,a b ==r r () a a b ⊥+r r r b r a r

平面向量投影的运用

巧用投影出奇制胜 ————向量数量积几何意义的运用江西省崇义中学胡述洪 (341300) 向量数量积的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模与b 在a 方向上投影|b |θcos 的乘积。向量“投影”的概念：|b |θcos 叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影是一个数量，不是向量：⑴当θ为锐角时投影为正值；⑵当θ为钝角时投影为负值；⑶当θ为直角时投影为0；⑷当θ = 0?时投影为 |b |；⑸当θ= 180?时投影为 -|b |。向量的“投影”是高中数学学习中容易忽视的一个内容，多数同学只是在空间向量求距离时，证明点到直线的距离公式才“一睹芳容”，后面又消失得无影无踪。实际上，向量“投影”具有独特的魅力，下面我们通过例题来体会向量“投影”的神奇。例一．ABC ? 中，4==BC AB ，030=∠ABC ，AD 是边BC 上的高，求?。【分析】本题若用普通方法求出、的模及夹角，再求数量积，运算量较大，也容易出错。如果向量数量积的几何意义，巧用向量“投影”就能快速求解。解：易求=2，由向量数量积的几何意义知： AD ?AC 等于AC 在AD 上的投影与的乘积。 BC AD ⊥ ∴ AC 在上的投影就是AD ∴ ?AC =2= 4 【小结】投影的形式有两种，注意合理选择。本题如选择AD 在AC 上的投影进行计算则显然复杂。 D B C A

例二．等腰三角形ABC 中，2π=A ，2==AC AB ，M 是BC 的中点，P 点在ABC ?的内部或边界上运动，求BP ?AM 的范围。【分析】本题的常规方法是建立平面直角坐标系，设P ()y x ,，建立线性约束条件及线性目标函数，利用线性规划的知识求解。思路跳跃性较大，不易掌握。下面用向量“投影”巧妙求解。解： AM 是确定的， =AM 2 ∴ 只需求出BP 在AM 上的投影的范围。由向量“投影”的意义知：当P 点与M 点重合时， BP ⊥AM ，（BP ?AM ）max = 0 当P 点与A 点重合时，BP 在AM 上的投影就是MA ，注意到此时BP 与AM 的夹角为钝角,（BP ?AM ）min = 222-=?- 综上， BP ?AM ∈ []0,2- 【小结】运用投影解题，要注意： 1、数形结合。要结合图形寻找向量之间的关系，确定向量的投影。 2、投影有正负，要根据向量的夹角正确选定符号，避免出错。例三．平行四边形AB CD 中,AP ⊥BD ,垂足为P 且AP =3, 则AP ?AC =__ (2012年湖南卷（文科）15) 【分析】本题若试图通过用数量积的定义直接求解是徒劳的，因为AC 的模及〈AP ，〉都求不出。注意到AP ⊥BD ，所以可以考虑将AC 分解成AD AB +，再转化成AB 、AD 在AP 上的投影进行计算。 M C B A P D C B A P

土木工程制图标高投影

一一一一一一１８６一１２一标高投影１２．１一概述前面各章均是用多面正投影图来表达空间形体的,它一般适用于表达规则的形体,而对于工程中的一些复杂曲面体,这种多面正投影的方法就不合适.例如,起伏不平的地面就很难用多面正投影图表达清楚,而工程建筑物一般都是在地面上修建的,在设计和施工过程中,常常需要绘制表示地面起伏状况的地形图,以便在图纸上解决有关的工程问题. 工程上常采用标高投影图来表示地形面(如图１２１) ,即用一组平行二等距的水平面与地面截交,截得一系列的水平曲线,并在这些水平曲线上标注上相应的高程,便能清楚地表达地面起伏变化的形状,这种在水平投影上加注高程的方法称为标高投影法 .这些加注了高程的水平曲线称为等高线,其上每一点距某一水平基准面H 的高度相等.这种单面的水平正投影图便称为标高投影图 .在标高投影图中,必须标明比例或画出比例尺,基准面一般为水平面 .图１２１一标高投影概念 ?例１２１?一如图１２２(a )所示,已知水平投影面H 为基准面,点A 在H 面上方４m ,点B 在H 面下方３m ,作出空间点A 和B 的标高投影图.?解?一由标高投影法的定义, 作出空间A 和B 两点的水平投影a 和b ,分别在a 和b 的右下角标注距H 面的高度,并注明绘图比例,即得到两点的标高投影图,如图１２２(b )所示 .

１２一标高投影１８７一一一一一一一图１２２一点的标高投影一一除了地形这样复杂的曲面外, 在土木工程中一些平面相交或平面与曲面二曲面与曲面相交的问题也常用标高投影法表示,如填二挖方的坡脚线和开挖线等. １２．２一直线的标高投影一一１２．２．１一直线的表示法直线可由直线上两点或直线上一点及该直线的方向来确定.因此,直线的标高投影有以下两种表示方法: (１)直线的水平投影并加注其上两点的标高,如图１２３(b )所示.(２)直线上一点的标高投影,并加注该直线的坡度和方向,如图１２３(c )所示.并规定表示直线方向的箭头指向下坡 . 图１２３一直线的标高投影一一１２．２．２一直线的坡度和平距直线上任意两点的高差与其水平距离之比,称为该直线的坡度 ,用i 表示.坡度(i )＝高差(H )水平距离(L )＝t a n α直线上任意两点的高差为一个单位时的水平距离,称为该直线的平距 ,用l 表示.平距(l )＝水平距离(L )高差(H )＝c o t α＝１i

“三法”解决平面向量数量积问题

“三法”解决平面向量数量积问题 L ——> > ［典例］已知在△ ABC 中，AB = 4 ,AC = 6, BC =■ 7,其外接圆的圆心为 0,则AO -BC 偲路点拨］本题如果直接利用向量数量积的定义求解，计算复杂，过程较长?我们可以从以下三种思路着手： (1) 利用数量积的几何意义，及数形结合思想，可以巧妙解决该题； (2) 选择——t ,——？为基底，利用向量基本定理，将——6 ?——？转化到两个基底之间的运算, 问题自然就能顺利解决. ⑶设D 是边BC 的中点，根据题意可知 0D 丄BC ,因此方便建立平面直角坐标系，利用坐标运算解答问题. ［方法演示］法一：投影法如图，作0D 丄BC ,垂足为D ，贝U D 是线段BC 的中点. 作AE 丄BC ,垂足为E. 则——0在——6 的方向上的投影为 -- 6 --------- 6 ---- 6 |AO | c os 〈 AO , BC 〉= |ED ——> |, 所以——0 -B 0 =|——°| |——°| cos 〈——0 ,——？> = |ED ——o | |——°|. 在厶 ABC 中，AB = 4, AC = 6, BC = 7, AB 2+ BC 2- AC 2 __ 13 2AB BC =- 8.7. 所以 cos/ ABE = cos( —/ ABC) = 13 , 8寸7 所以 BE = AB cos/ ABE =_13. 2^7 所以 |ED ——o |= BE + BD = 13 +；7 207 2 因为 |1B C |= 7, -- 6 -- 6 ---------------- 6 所以 AO - BC = |ED ——-61 | BC |= 10. 由余弦定理，得 cos/ ABC =

平面向量例题讲解

平面向量一、考点知识回顾 1.向量的概念： 2.向量的表示方法: 3.零向量、单位向量： 4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定平行.向量a 、b 、c 平行，记作a // b // C .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 5. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6. 向量的加法、减法：向量和：作平移，首尾连，连首尾；向量差：作平移，共起点，指被减； r r r r ③平面向量的坐标运算：若 a (Xl ，yi) , b (x 2 ，y 2)，则a b (X i x 2 , y 1 y 2 ) , r r r a b (X i X 2, y i y ?) , a ( x, y) o ④向量加法的交换律： a + b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) + c = a + (b + c ) 7. 实数与向量的积：(向量的加减法运算、实数与向量的乘积仍是向量，向量与向量的乘积是实数) &平面向量基本定理：如果 e ,佥是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数入I ,入2使* =入i e i +入2 e 2 o 9.向量a 和b 的数量积：①a ? b =| a | ? | b |cos ，其中 € [0 ,n ]为a 和b 的夹角。 ②|b |cos 称为b 在a 的方向上的投影。③a ? b 的几何意义是：b 的长度|b |在a 的方向上的投影的乘积，是一个实数(可正、可负、也可是零) ，而不是向量。 ④若 a =（ Xi , yi ） , b =（ x2, y 2）,则 a ?b XiX 2 yiy 2 ⑤运算律： a ? b=b ? a,（入 a ） ? b=a ?（入 b ）=入（a ? b ）, （a+b ） ? c=a ? c+b ? c 。 ⑥ a 和 b 的夹角公式：cos = r - r N I b | 2 ⑦ a?a a | a 12=x 2+y 2，或| a |= X i X 2 y i y 2 ii ?两向量平行、垂直的充要条件设a = ( Xi , yi ) , b = ( X 2, y 2 ) ① a _L b a ? b=0 , a b a ? b = Xi X2 + yi y2 =0 - 2 2 2 2 、X i y i v X 2 y 2 若 A （x i ,y i ） B(X 2,y 2)，贝 y AB x ?为必屮 ⑧| a ? b | W |a| AB | .「(X 2 X i ) (y ? y i ) I 5E [?0 a

平面向量部分常见的考试题型总结

平面向量部分常见的题型练习类型（一）：向量的夹角问题 1.平面向量b a ,41==且满足 2.=，则与的夹角为 2.已知非零向量,（2-⊥=，则与的夹角为 3.已知平面向量b a ,满足424)2.(==-=+-（且，则与的夹角为 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=

微专题平面向量中最值问题归纳

平面向量最值问题总结题型一数量积的最值问题例题1：平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ?=?=-==，则a b ?最小值是______ 分析：本题条件中有1e =，而1,2a e b e ?=?=可利用向量数量积的投影定义得到,a b 在e 上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以e 的起点为原点，所在直线为x 轴建立坐标系，则,a b 起点在原点，终点分别在1,2x x ==的直线上，从而,a b 可坐标化，再求出a b ?的最值即可【解析】如图建系可得：()()1,,2,a a b b == 由2a b -= ()2 23a b =?-= 而2 a b ab ? =+，由轮换对称式不妨设a b >，则a b b a -= ?=- (2 2 5522244 a b a a a a ?∴?=+-=-+=-+≥ ??，() min 5 4 a b ∴?= 例题2：已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ 【分析】本题由于l 为过M 的任一直线，所以:,:AP AB AQ AC 的值不确定，从而不容易利用三边向量将,BQ CP 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而,,,A B C M 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l 方程，与,AB AC 方程联立解出,P Q 坐标，从而BQ CP ?可解出最大值【解析】以,BC AM 为轴建立直角坐标系，()()(1,0,1,0,,0,3B C A M ?- ??

设直线:l y kx =+ ，由()( )(1,0,1,0,B C A -可得： )):1,:1AB y x AC y y x =+==- ):31y kx P y x ?=+?∴??=+? 得： x y ?=????=?? ；):3 1y kx Q y x ?=+ ???=-? 得： x y ?=????= ?? (( 53 353,, k BQ CP ????+∴== (()() 222222 575931622 39333k k k BQ CP k k k --+∴?=+=+=--- ()22222 62216 18401406333333k k k k k ??+-+?? ===?+ ? ?---? ??? 例题3：已知圆C 的方程2 2 (1)1x y -+=，P 是椭圆22 143 x y +=上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ， B ，则PA PB ?的取值范围为（） A ．3 [,)2 +∞ B ．3,)+∞ C ．563, 9?????? D ．356, 29?? ???? 【解析】(,)P x y ，设2 2 2 2 2 1,(1,0),||||1(1)1244 CPA CPB C PA PC x y x x θ∠=∠==-=-+-= -+ 2 222122 114sin cos 212sin 11||2424 44 x x PC x x x x θθθ-+?==?=-= -+-+，

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