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第17课时 二次函数的图像和性质

第17课时 二次函数的图像和性质
第17课时 二次函数的图像和性质

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一、选择题

1.[2013·兰州]二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是() A.(1,3)

B.(-1,3)

C.(1,-3)

D.(-1,-3)

2.[2013·雅安]将抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为() A.y=(x-2)2

B.y=(x-2)2+6

C.y=x2+6

D.y=x2

3.[2013·德州]下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是() A.y=-x+1 B.y=x2-1

C.y=1

x D.y=-x

2+1

4.[2013·泰安]对于抛物线y=-1

2(x+1)

2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;

②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3);④x>1时,y随x的增大而减

小.其中正确结论的个数为() A.1 B.2

C.3 D.4

5.[2013·济宁]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图17-1所示,则下列结论中正确的是()

图17-1

A.a>0

B.当-10

C.c<0

D.当x≥1时,y随x的增大而增大

6.[2013·衢州]把抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为() A.b=2,c=-6

B.b=2,c=0

C.b=-6,c=8

D.b=-6,c=2

7.[2013·呼和浩特]在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是()

图17-2

8.[2013·滨州]如图17-3,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,且对称轴为x =1,点B 的坐标为(-1,0),则下面的四个结论:①2a +b =0;②4a -2b +c <0;③ac >0;④当y <0时,x <-1或x >2.其中正确的个数是

( )

图17-3

A .1

B .2

C .3

D .4

二、填空题

9.[2012·苏州]已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在二次函数y =()x -12

+1的图象上,若x 1>x 2>1,则 y 1________y 2(填“>”、1“=”或 “<”).

10.[2012·宁波]把二次函数y =(x -1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为__________________.

11.[2012·南京]已知下列函数:

①y=x2;

②y=-x2;

③y=(x-1)2+2.

其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有________(填写所有正确选项的序号).

三、解答题

12.[2013·泉州]已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).

(1)求a的值;

(2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m

13.[2013·湖州]已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)求抛物线的顶点坐标.

14.[2013·宁波]如图17-4,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴为直线x=1,图象经过点(3,0),下列结论中,正确的一项是()

图17-4

A.abc<0 B.2a+b<0

C.a-b+c<0 D.4ac-b2<0

15.[2013·聊城]如图17-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=1

2x

2经过平移得到

抛物线y=1

2x

2-2x,其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为

()

图17-5

A.2B.4 C.8D.16

16.[2013·温州]如图17-6,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD.已知点A 的坐标为(-1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)求梯形COBD的面积.

图17-6

17.[2013·威海]如图17-7,已知抛物y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)设P为对称轴上一动点,求△APC周长的最小值;

(3)设D为抛物线上一点,E为对称轴上一点,若以点A,B,D,E为顶点的

四边形是菱形,则点D的坐标为________.

图17-7

参考答案

1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.B

7.D8.B9.>10.y=-(x+1)2-2

11.①③12.(1)a=-1(2)y1

13.(1)y=-x2+2x+3(2)(1,4)

14.D15.B16.(1)y=-(x-1)2+4(2)6

17.(1)y=x2-4x+3(2)32+10(3)(2,-1)

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二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)

二次函数铅垂高 如图12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直 线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度 叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法: ah S ABC 2 1 =?,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题: 如图12-2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式; (2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?; (3)是否存在一点P ,使S △P AB =89 S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 例1解:(1)设抛物线的解析式为:4)1(2 1+-=x a y ··········································· 1分 把A (3,0)代入解析式求得1-=a 所以324)1(2 2 1++-=+--=x x x y ············································· 3分 设直线AB 的解析式为:b kx y +=2 由322 1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··································· 4分 把)0,3(A ,)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得:3,1=-=b k 所以32+-=x y ·········································································· 6分 (2)因为C 点坐标为(1,4) 所以当x =1时,y 1=4,y 2=2 所以CD =4-2=2 ········································································· 8分 图12-2 x C O y A B D 1 1

第14课时 二次函数及其应用

x ⑴ , ⑵ , ⑶ ,(4) . a >0 口 4. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2 的形式, 其中h = , k = . 5. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系. 6.二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得2 2 4(24b ac b y a x a a -=+ + ,其抛物线关于直线x = 对称,顶点坐标为( , ). ⑴ 当0a >时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当 x = 时,y 有最 (“大”或“小”)值是 ; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当x = 时, y 有最 ( “大”或“小”)值是 . 【典型例题】 【例1】. 二次函数y =2x 2-4x +5的对称轴方程 是x =___;当x = 时,y 有最小值是 . 【例2】. 请写出一个开口向上,对称轴为直线x =2,且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解 c bx ax y ++=2 的图象如 图所示,则在“① a <0,②b >0,③c < 0,④b 2-4ac >0”中,正确的判断是( ) A 、①②③④ B 、④ C 、①②③ D 、①④

n x ++5经过点)0,1(A (1)求抛物线的解析式; (2)P 是y 轴正半轴上一点,且△PAB 是等腰三角形,试求点P 的坐标. 【例5】例2 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池, 并在水池中央垂直安装一个柱子OP ,柱子顶端P 处装上喷头,由P 处向外喷出的水流(在 各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示).若已知OP =3米,喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米,离柱子OP 的距离为1米. (1)求这条抛物线的解析式; (2)若不计其它因素,水池的半径至少要多 少米,才能使喷出的水流不至于落在池 外? 【例6】近年来,“宝胜”集团根据市场变化情况,采用灵活多样的营销策略,产值、利税逐年大幅度增长.第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米,这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系.经市场调研,他们发现:这种电缆线一天的销量y (米)与售价x (元/米)之间存在着如图所示的一次函数关系,且40≤x ≤70. (1) 根据图象,求y与x之间的函数解析式; (2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为w元. ① 试用含x 的代数式表示w; ② 试问当售价定为每米多少元时,该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高?最高是多少元?

中考数学复习专题汇编---第五单元 第18课时 二次函数的应用

第18课时 二次函数的应用 (60分) 一、选择题(每题6分,共12分) 1.图18-1②是图①中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O ,B ,以点O 为原点,水平直线OB 为x 轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成 抛物线y =-1400 (x -80)2+16,桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面,且有AC ⊥x 轴,若OA =10 m ,则桥面离水面的高度AC 为 ( B ) 图18-1 A .16940 m B.174 m C .16740 m D. 154 m 【解析】 ∵AC ⊥x 轴,OA =10 m ,∴点C 的横坐标为-10.当x =-10时,y =-1400(x -80)2+16=-1400×(-10-80)2+16=-174 ,∴点C 的坐标为? ????-10,-174,∴桥面离水面的高度AC 为174 m. 2.[2017·临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h (单位:m)与足球被踢出后经过的时间t (单位:s)之间的关系如下表: 下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m ;②足球飞行路线的对称轴是

直线t =92 ;③足球被踢出9 s 时落地;④足球被踢出1.5 s 时,距离地面的高度是11 m .其中正确结论的个数是 ( B ) A .1 B .2 C .3 D .4 【解析】 利用待定系数法可求出二次函数表达式;将函数表达式配方成顶点式可得对称轴和足球距离地面的最大高度;求出h =0时t 的值,即可得足球的落地时间;求出t =1.5 s 时h 的值,即可对④作出判断.由表格可知抛物线过点(0,0),(1,8),(2,14),设该抛物线的表达式为h =at 2+bt ,将点 (1,8),(2,14)分别代入,得???a +b =8,4a +2b =14,解得???a =-1,b =9. ∴h =-t 2+9t =-? ????t -922+814,则足球距离地面的最大高度为814 m ,对称轴是直线t =92,①错误、②正确;∵h =-t 2+9t =0,∴当h =0时,t =0或9,③正确;当t =1.5 s 时,h =-t 2+9t =11.25,④错误.综上所述,正确结论的个数是2. 二、填空题(每题6分,共18分) 3.[2016·台州]竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t (s)时在空中与第2个小球的离地高度相同,则t =__1.6__s. 【解析】 设各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度为h ,则小球的高度y =a (t -1.1)2+h ,由题意,得a (t -1.1)2+h =a (t -1-1.1)2+h ,解得t =1.6.故第一个小球抛出后1.6 s 时在空中与第二个小球的离地高度相同. 4.如图18-2,在△ABC 中,∠B =90°,AB =12 mm , BC =24 mm ,动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合),动点Q 从点B 开始沿 边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合).如果P ,Q 分别从A ,B 同时出发,那么经过__3__s ,四边形APQC 的面 图18-2

中考数学复习 第14课时 二次函数的实际应用测试

第三单元函数 第十四课时二次函数的实际应用 1. (8分)(xx眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品; (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件,若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品? 2. (8分)(xx济宁)某商店经销一种双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元,市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元)有如下关系: y=-x+60(30≤x≤60). 设这种双肩包每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数解析式; (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元? 3. (8分)(xx成都)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择.李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表: (1)求y1关于x的函数表达式;

(2)李华骑单车的时间y 2(单位:分钟)也受x 的影响,其关系可以用y 2=1 2x 2-11x +78来描 述.请问:李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需要的时间最短?并求出最短时间. 4. (8分)(xx 青岛)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每间价格比淡季上涨1 3 .下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录: (1)该酒店豪华间有多少间?旺季每间价格为多少元? (2)今年旺季来临,豪华间的间数不变.经市场调查发现,如果豪华间仍旧实行去年旺季价格,那么每天都客满;如果价格继续上涨,那么每增加25元,每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素,该酒店将豪华间的价格上涨多少元时,豪华间的日总收入最高?最高日总收入是多少元? 5. (9分)(xx 河北)某厂按用户的月需求量x (件)完成一件产品的生产,其中x >0.每件的售价为18万元,每件的成本y (万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需要量x (件)成反比.经市场调研发现,月需求量x 与月份n (n 为整数,1≤n ≤12)符合关系式 x =2n 2-2kn +9(k +3)(k 为常数),且得到了表中的数据. (1)求y 与x 满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元; (2)求k ,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损;

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗?

2020中考数学复习 第17课时 二次函数的综合应用(无答案)

A C B D E O x y 2 第17课时 二次函数的综合应用 【课前展练】 1(孝感2009).对于每个非零自然数n ,抛物线()() 2 211 11n y x x n n n n +=- +++与x 轴交于n A 、n B 两点,以n n A B 表示这两点间的距离,则1122A B A B ++…20092009A B +的值是( ) A .2009 2008 B . C . D . 2.(孝感2011)已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c <0;④8a+c>0.其中正确的有【 】 A .3个 B .2个 C .1个 D .0个 3. 二次函数y =ax 2 +bx +c(a≠0)的图象的对称轴是直线x =1,其图象的一部分如 图所示.下列说法正确的是 ▲ (填正确结论的序号). ①abc<0;②a-b +c <0;③3a+c <0;④当-1<x <3时,y >0. 4. 对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法: ①它的图象与x 轴有两个公共点; ②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小,则m=1; ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1; ④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为-3. 其中正确的说法是 ___ .(把你认为正确说法的序号都填上) 【典型例题】 【例1】(孝感2010,12分)如图,已知二次函数的图象顶点坐标为(2,0), 直线y =x +1与二次函数的图象交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上. (1)二次函数的解析式为y = . (2)证明点(―m ,2m ―1)不在(1)中所求的二次函数的图象上. (3)C 为线段AB 的中点,过点C 作CE ⊥x 轴于点E ,CE 与二次函数的图象交于 点D . ①y 轴上存在点K ,使以K 、A 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形,则点K 的坐标是 ; ②二次函数的图象上是否存在点P ,使得S △POE =2S △ABD ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

初三二次函数的图像与性质

龙文教育学科导学 教师:学生:年级:日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大,所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标:1、理解二次函数的概念;会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数; 2、熟练的画出各种抛物线的图像,根据解析式的变化判断图像的平移方法; 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移;待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容: 知识回顾 1.一般地,形如y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其中,x 是自变量, a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 (1)二次函数解析式的一般式(通式):,它的顶点坐标为(,),对称轴为;(2)二次函数解析式的顶点式(通式):,顶点坐标为(,)对称轴是;(3)二次函数解析式的交 点式:。此时抛物线的对称轴为。其中,(x 1,0)(x 2 ,0)是抛 物线与X轴的交点坐标。显然,与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a,b,c的符号与图像性质的关系: 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系

二次函数的常规解法: 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时,可选用y=ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y=ax2+bx+c(a≠0)为一般式(三点式)。 例:二次函数图象经过A(1,3)、B(-1,5)、C(2,-1)三点,求此二次函数的解析式。 说明:因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上,反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组,解方程组得a、b、c的值,即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时,可选用y=a(x+m)2+k (a≠0)求解。我们称y =a(x+m)2+k (a≠0)为顶点式(配方式)。 例:若二次函数图像的顶点坐标为(-2,3),且过点(-3,5),求此二次函数的解析式。 说明:由于顶点式中要确定a、m、k的值,而已知顶点坐标即已知了-m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的,不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)为双根式(交点式)。 例:已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3)三点,求此二次函数的解析式。 说明:很多同学看到此例会想到使用一般式来解,将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标,而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时,可选用 或 例:抛物线y=2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4,求此二次函数的解析式。 说明:对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程,记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之,要求一个二次函数的解析式,可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法,使计算过程简单化,达到迅速解题的目的。当然,也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数,才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法,提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),那么y叫做x的二次函数 注意:二次函数的表达形式为整式,且二次项系数不为0,b ,c可分别为0,也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习:

江苏省昆山市兵希中学九年级数学总复习:一轮复习第17课时:二次函数(一)

初三第一轮复习第17课时:二次函数(一) 【课前预习】 一、知识梳理: 1、二次函数的概念:形如 的函数叫做二次函数. 2、二次函数的解析式:①一般式;②顶点式;③交点式 3、二次函数的图象、性质:①图象是 ;②开口方向 ③对称轴 ④顶点坐标 ⑤增减性 ⑥最值. 4、二次函数的图象的变换(平移、旋转、轴对称) 5、用待定系数法确定二次函数解析式. 6、利用二次函数的性质解决数学问题. 二、课前练习: 1.已知以x 为自变量的二次函数22(2)2y m x m m =-+--的图象经过原点,则m 的值是 . 2.填表: 3.2 34y x x =--与x 轴的交点坐标是__________,与y 轴的交点坐标是__________. 4、已知点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)在二次函数y =(x -1)2+1的图象上,若x 1>x 2>1,则y 1______y 2. 5、关于x 的二次函数()()y=x+1x m -,其图象的对称轴在y 轴的右侧,则实数m 的取值范围是( ) A . m<1- B . 11 6、已知函数y =3x 2-4x +1,当0≤x ≤4时,则y 的变化范围是 . 7. 将抛物线y =3x 2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式

为( ) A .y =3(x +2)2 +3 B .y =3(x -2)2 +3 C .y =3(x +2)2 -3 D .y =3(x -2)2 -3 8、若抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点是A (2,1),且经过点B (1,0),则抛物线的函数关系式为 . 9、如图,在平面直角坐标系中,点A 是抛物线()2 y=a x 3+k -与y 轴的交点, 点B 是这条抛物线上的另一点,且AB ∥x 轴,则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 . 【解题指导】 例1 已知二次函数经过点(-1,0),(1,4),(3,0). (1)求这个二次函数的解析式; (2)直接写出二次函数的三个性质. 例2 如图,抛物线y =x 2 +bx +c 经过点(1,-4)和(-2,5),请解答下列问题: (1)求抛物线的解析式; (2)若与x 轴的两个交点为A ,B ,与y 轴交于点C .在该抛物线上是否存在点D ,使得△ABC 与△ABD 全等?若存在,求出D 点的坐标;若不存在,请说明理由 例3 已知二次函数23y (t 1)x 2(t 2)x 2 =++++在x 0=和x 2=时的函数值相等。 ①求二次函数的解析式; ②若一次函数y kx 6=+的图象与二次函数的图象都经过点A (3m)-,,求m 和k 的值; ③设二次函数的图象与x 轴交于点B ,C (点B 在点C 的左侧),将二次函数的图象在点B ,C

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移;当0>h 时向左平移;当0

3.二次函数的最值公式: 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ,图像有最低点,函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ;时当0?时抛物线与x 轴有两个交点;当0=?抛物线与x 轴有一个交点;当 0

2020北京试题研究课件·数学9.第17课时 二次函数的综合应用

第三章 函数 第17课时 二次函数的综合应用 (建议时间:50分钟) 1. (2019房山区二模)如图,以40 m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有函数关系h =20t -5t 2.下列叙述正确的是( ) 第1题图 A. 小球的飞行高度不能达到15 m B. 小球的飞行高度可以达到25 m C. 小球从飞出到落地要用时4 s D. 小球飞出1 s 时的飞行高度为10 m 2. (2019石景山区二模)如图,在喷水池的中心A 处竖直安装一根水管AB ,水管的顶端安装有一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1 m 处达到最高点C ,高度为3 m ,水柱落地点D 离池中心A 处3 m ,以水平方向为x 轴,建立平面直角坐标系,若选取点A 为坐标原点时的抛物线的表达式为y =-3 4(x -1)2+3(0≤x ≤3),则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为 ,水管AB 的长为 _______m. 第2题图 3. (2019平谷区一模)平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =x 2-2mx +m 2-3与y 轴交于点A ,过A 作AB ∥x 轴与直线x =4交于B 点. (1)抛物线的对称轴为x = (用含m 的代数式表示); (2)当抛物线经过点A ,B 时,求此时抛物线的表达式; (3)记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G (包含A ,B 两点),点P (m ,0)是x 轴上一动点,过P 作PD ⊥x 轴于P ,交图像G 于点D ,交AB 于点C ,若CD ≤1,求m 的取值范围.

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2,y=a(x-h)2,y =a(x-h)2+k 和c bx ax y ++=2图象,能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口 方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2的性质: 2. y =ax 2+k 的性质: (k 上加下减) 3. y =a (x -h )2的性质: (h 左加右减)

4. y =a (x -h)2+k 的性质: 5. y =ax 2+bx+c 的性质: 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如 下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”. 方法二:

二次函数的图像和性质知识点与练习

第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2 ,y=a(x-h)2,y =a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象, 能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 ,y =-x 2 ,y =2x 2 ,y =-2x 2 ,y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2 的性质: x y O

2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y=a (x-h)2+k的性质: 5. y=ax2+bx+c的性质:

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”. 方法二:

一元二次函数的图像和性质教学设计

§ 3.4一元二次函数的图象和性质教学设计 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式: a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

第17课时二次函数与一元二次方程学案基训题目

第17课时二次函数与一元二次方程学案基训题目 1、如果二次函数y=ax 2 +bx +c 图象与x 轴有两个交点(m,0)、(n,0),那么一元二次方程ax 2+bx +c=0有 实数根x 1= ,x 2= . 2、如果二次函数y=ax 2+bx +c 图象与x 轴有一个交点(m,0),那么一元二次方程ax 2 +bx +c=0有 实数根x 1=x 2= 。 3、如果二次函数y=ax 2 +bx +c 图象与x 轴没有交点,那么一元二次方程ax 2 +bx +c=0 实数根。 4、抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点,则m 的值为 . 5、当ac b 4->0时,一元二次方程ax 2 +bx +c=0的根的情况是 ,此时二次函数y=ax 2 +bx +c 图象与x 轴有 交点; 6、当ac b 4-=0时,一元二次方程ax 2 +bx +c=0的根的情况是 ,此时二次函数y=ax 2 +bx +c 图象与x 轴有 交点; 7、当ac b 4-<0时,一元二次方程ax 2 +bx +c=0的根的情况是 ,此时二次函数y=ax 2 +bx +c 图象与x 轴有 交点。 8、下列函数的图象中,与x 轴没有公共点的是( ) 9、方程 的根是 ;则函数 的图象与x 轴的交点有 个,其坐标是 . 10、抛物线y=a(x -2)(x +5)与x 轴的交点坐标为 . 11、已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x 轴交点的距离等于4,它与y 轴交于(0,-6),则它的表达式为 12、方程 的根是 ;则函数 的图象与x 轴的交点有 个,其坐标是 . 0542 =-+x x 2 )(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2 )(2+-=x x y D 542-+=x x y 025102 =-+-x x 25102 -+-=x x y

高考第17课曲线的切线

第17课曲线的切线 【自主学习】 第17课曲线的切线 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(选修2-2P26习题5改编)曲线y=1 2x-cos x在x= π 6处的切线方程为. 【答案】x-y- π 12- 3 2=0 【解析】设f(x)=1 2x-cos x,则f' π 6 ?? ? ??= 1 2+sin π 6=1,故切线方程为y- π3 122 ?? ? ? ?? =x-π 6,化简可得x-y- π 12- 3 2=0.

2.(选修2-2P22例3改编)已知曲线f(x)=x sin x+1在点 π 1 2?? ??? , 处的切线与直线ax-y+1=0互相垂直,那么实数a= . 【答案】-1 【解析】f'(x)=sin x+x cos x,当x= π 2时,f'(x)=1, 所以a=-1. 3.(选修2-2P20练习7改编)若直线y= 1 2x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b= . 【答案】ln2-1 【解析】设切点为(x0,ln x0),则切线斜率k=0 1 x= 1 2,所以x =2.又因为切点(2, ln2)在切线y= 1 2x+b上,所以b=ln2-1. 4.(选修2-2P16习题3改编)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为. 【答案】4 【解析】因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以g'(1)=2.又f'(x)=g'(x)+2x, 所以f'(1)=g'(1)+2=4,故切线的斜率为4.

二次函数图像与性质总结

二次函数图像与性质总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后 者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中 2 424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴 对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2 b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3.两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).

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