二次函数图象的平移和对称变换
二次函数图象的几何变换
（1）具体步骤：
先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数
2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数图象的平移变换练习
1、函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）
A. 右移两个单位，下移一个单位
B. 右移两个单位，上移一个单位
C. 左移两个单位，下移一个单位
D. 左移两个单位，上移一个单位
2、函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤
是（ ）
A. 右移三个单位，下移四个单位
B. 右移三个单位，上移四个单位
C. 左移三个单位，下移四个单位
D. 左移四个单位，上移四个单位
3、二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到2
2y x =-的图象（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.
4、将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）
A ． 1
B ．2
C ．3
D ．4
5、把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是
235y x x =-+，则a b c ++=________________．
6、对于每个非零自然数n ，抛物线()()
2211
11n y x x n n n n +=-
+
++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（ ）
A ． 20092008
B ．20082009
C ．20102009
D ．2009
2010
7、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为
A ．()2
13y x =--- B ．()2
13y x =-+- C ．()2
13y x =--+
D ．()2
13y x =-++
8、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A ．
()
2
21y x =+ B ．
()
2
21y x =-
C ．221y x =+
D ．221y x =-
9、将抛物线2
3y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）
A. 232y x =-
B. 23y x =
C. 23(2)y x =+
D. 232y x =+
10、一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．
11、如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B ．
⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．
12、 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解
析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．
13、函数2
y x =与2
y x =-的图象关于______________对称，也可以认为
2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．
14、在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为
A ．22y x x =--+
B ．22y x x =-+-
C ．22y x x =-++
D ．22y x x =++
二次函数图像平移习题
二次函数图像平移习题 1．要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 2将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为223y x x =-+，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 4.已知二次函数21(11)y x bx b =-+-≤≤，当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动 5.把二次函数2 x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y C. ()522---=x y D. ()522-+-=x y 6．对于抛物线22 (2)34(2)1y x y x =-+=-+与，下列叙述错误的是（ ） A.开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同 D. 图象都在x 轴上方 7.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。 8．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （ ） （A ）1k >- （B ）1k >- （C ）0k ≠ （D ）10 k k >-≠且
二次函数平移变换
二次函数配方问题 如何将2y ax bx c =++ （一般式）的形式变化为 2 ()y a x h k =-+（顶点 式） 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ? ? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=， 对称轴是2b h a =- 顶点（a b a c a b 44, 22 -- ） （h, k ） （1）y=x 2-2x-1 （2） y =x 2-x-6 （3）5322--=x x y （4） y=x 2+2x+1 （5）y=2x 2-6x-1 （6）6422++-=x x y （7）432+--=x x y （8） y =-x 2-x-6 （9）y =-4x 2-3x-7 关于y=ax 2+bx+c 中a b c 的分析以及y=ax 2+bx+c 与c ax y +=图像判断 1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) 2.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2 +bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( ) 1 x A y O 1 x B y O 1 x C y O 1 x D y O x A y O x B y O x C y O x D y O
二次函数平移 一、本节学习指导 平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位 向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位 向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位 向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位 y=a (x-h )2+k y=a (x-h )2 y=ax 2+k y=ax 2 2、平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴ 2 y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2 y ax bx c =++ 变成 2 y ax bx c m =+++（或2 y ax bx c m =++- ） ⑵2 y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2 y a x b x c =++变 成2 () ()y a x m b x m c =++++（或2 ()()y a x m b x m c =-+-+） 3、二次函数2 ()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 的比较 从解析式上看，2()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即2 2 424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=，。
超经典二次函数图象的平移和对称变换总结
二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数 的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的 图像； 1.能通过对实际问题中的情境分 析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性 质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和 开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二 次方程的近似解； 1.能用二次函数 解决简单的实际 问题； 2.能解决二次函 数与其他知识结 合的有关问题； （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数 2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 y ax bx c =++关于x轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y轴对称 2 y ax bx c =++关于y轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-；
二次函数图像的平移、旋转、对称
一、抛物线的变化的实质练习 （一）平移 1、y=－8x2的顶点坐标为；所以沿y轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为，顶点坐标为。 2、y=7(x－2)2的顶点坐标为；所以将抛物线y=7(x－2)2向左平移2个单位所得的抛物线的顶点是，函数关系式是：。 3、y=－3x2的顶点坐标为；所以将抛物线y=－3x2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线的顶点是，解析式是。 （二）旋转 1、y=x2+2x+3的顶点是，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是 2、y=2x2﹣12x+16的顶点是。将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是 （三）轴对称 1、将抛物线C：y=x2+3x﹣10，的顶点是；将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，对称后的顶点为；则下列平移方法中正确的是（） A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位 二、练习： 1、将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 1.1将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 2、把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为 2.1在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是 3、抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）
二次函数平移规律
二次函数平移专项练习题 平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时 抛物线开口向上，反之向上 c>0时 抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时 对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧 抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、 把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛 物线的表达式为（ ） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2 y x x =+=-（x+21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-4 1 得：a=21-（-23）= 2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4，
再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2 +2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2． 根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y
二次函数平移问题
将抛物线向左平移 m 个单位,由点的平移规律可知,顶点坐标由( h,k) 变为 二次函数的平移问题 我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律 . 一.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a 丰0)时 1. 向上或向下平移时 , 二次函数解析式的变化规律 . 将抛物线向上平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c+n 将抛物线向下平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c-n 两式比较：可得抛物线向上平移n 个单位，常数项上加n ,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移 n 个单位，常数项上减去n ,即解析 式由 y=ax 2+bx+c 变为 y=ax 2+bx+c-n 2. 向左或向右平移时 , 解析式的变化规律 . 将抛物线向左平移m 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y= 2 a(x+m) +b(x+m)+c 将抛物线向右平移 m 个单位长度后, 得到的新抛物线的解析式为 y= 2 a(x-m) +b(x-m)+c 两式比较，可得出抛物线向左平移 m 个单位，自变量上减去 m,即解析式由 y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移 m 个单位，自变量 上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x-m) 2+b(x-m)+c 3. m 个单位长度后，再将抛物线向上平移 2 y= a(x+m) +b(x+m)+c+n m 个单位长度后，再将抛物线向下平移 2 y= a(x+m) +b(x+m)+c-n m 个单位长度后，再将抛物线向上平移 2 y= a(x-m) +b(x-m)+c+n m 个单位长度后，再将抛物线向下平移 2 y= a(x-m) +b(x-m)+c-n 二.当解析式为顶点式y=a(x-h) 2+k (a ^0)时 1. 向上或向下平移时,解析式的变化规律 . 将抛物线向上平移n 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k+n 将抛物线向下平移n 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k-n 将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由(h , k )变为 (h , k+n )所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a(x-h) 2+k+n 将抛物线向下平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由(h , k )变为 (h , k-n )所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a(x-h) 2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移 n 个单位，括号外加n ,同理可推出向下平移n 个单位括号外减去 n. 即抛物线解析式由 y=a(x-h) 2+k 变为 y=a ( x+m-h)2+k-n 2. 向右或向左平移时,解析式的变化规律 将抛物线向左平移m 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m) 2+k 将抛将抛物线向左平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向左平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向右平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向右平移 的新抛物线的解析式为 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到
二次函数图象的平移和对称变换
二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题 有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。下面由具体的例子进行说明。 一、平移。 例1、把抛物线y=x2-4x+6向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，求其图象的解析式。 法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到三个新点（-3，2），（-2，-1），（-1，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中，求出各项系数即可。 例2、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。 法（二） 先利用配方法把二次函数化成2 =-+的形式，确定其顶点（2，-3），然 () y a x h k 后把顶点（2，-3）向上平移4个单位，再向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点为（5，1），因为是抛物线的平移，因此平移前后a的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2，且顶点为（5，1），就可以求出其解析式了。
【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】. 法（三） 根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为“左右平移即把解析式中自变量x改为x加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。” 例3、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。 平移后的图象的解析式为：y=2(x-3)2-8（x-3）+5+4.然后化简即可。 针对练习 1、求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。 2、抛物线2 y x =怎样平移得到的？ 2 2(1)3 y x =-+是由抛物线2 3、若抛物线2 y x =-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。 二、二次函数图象的轴对称变换 二次函数图象的对称一般有关于x对称和关于y对称等情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x轴对称 例4、把抛物线y=x2-4x+6关于x轴对称后，求其图象的解析式。 法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求关于x轴对称后得到三个新点（0，-6），（1，-3），（2，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c 中，求出各项系数即可。 例5、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于x轴对称后的解析式。 法（二）
二次函数的平移
《二次函数的平移》教学设计杜军涛 一、教材分析 1、教材分析 本节课是北师大新版初中数学九年级下册第二章第三节二次函数的平移的一个延伸和拓展，也是陕西中考近几年的一个热点和难点。本节课是在八年级下册第三章学习了图形的平移之后，在九年级下学习了二次函数的图像和性质，a,b,c对图像的影响，二次函数的平移的基础上的进一步专题研究。通过本节课的学习为后面二次函数的旋转变换，对称变换提供了一定的研究思路，也为后面二次函数其他的专题研究打下了基础，同时又为高中的数学学习做好了铺垫，具有承上启下的作用。 2、学情分析 学生的身心特点：九年级的学生他们有着强烈的求知欲，具有一定的观察能力，模仿借鉴能力，思维和思辨的能力。他们喜欢动手操作，独立思考，合作交流，他们乐于在课堂上展 示自己的想法和做法。因此，本节课我将留出充足的时间和思维空间让学生进行自主探索学习，合作交流，展示自己独特的想法。 从认知状况来说：九年级学生学生在此之前已经学习了图形（包括直线，抛物线）的平移，对二次函数的平移已经有了初步的认识，但是部分学生对于二次函数的平移只是记住了平移 规律，对于平移的本质理解不够深刻。对于二次函数平移与几何图形相结合的问题（由于其 抽象程度较高，）仍有一定的困难，因此本节课会将重心放在引导分析以上两个问题。 基于以上对教材和学情的认识，我设计了如下的教学目标 二、教学目标分析 教学目标：理解并掌握在平移过程中图像的变化对a,b,c的影响 通过对二次函数平移的研究，培养学生的动手操作、观察、分析、分类讨论、归 纳概括的能力； 情感、态度和价值观：通过数学活动让学生学会与人相处，养成自主探索，合作交流的良好学习习惯。 教学重点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。教学难点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。 三、教学方法分析 按照新课标的理念；本节课我将采用启发式、讨论式的教学方法，以问题串的形式由浅入深，层层递进，尊重学生的个体差异，激发学生的求知欲，始终在学生知识的“最近发展区” 设置问题，给学生留出足够的思考时间和思维空间，让学生进行自主探索和合作交流，从真正意义上完成对知识的自我建构。 四、学习方法分析： 通过开展自主探索，合作交流，展示等活动，培养学生分析问题，解决问题的能力 五、教学过程： 新课标指出，教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程， 是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
二次函数图象的平移和对称 变换专题(无答案)
二次函数图象的平移和对称变换执笔：欧国斌 审核: 初三数学组 课型：新授 授课时间： 【学习重难点】1、抛物线的平移、对称等变换。 【学习过程】 1、 抛物线的平移 1、抛物线y=3x2经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6 ? 2、抛物线y=-x2经过如何平移就可以得到抛物线y=-（x+4）2 ? 3、抛物线y=-x2经过如何平移就可以得到抛物线y=-（x+4）2+6? 4、抛物线y=3x2经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6x-2 ? 5、抛物线y=3x2+1经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6x-2 ? 6、归纳你的做法： 针对练习： 1、（2011山东滨州）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正 确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 2、（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（） A． B． C． D． 3、（ 2011重庆江津）将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是___ ____.
4、在同一平面直角坐标系内，将函数 的图象沿 轴方向向右平移2个单位长度后再沿 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( ) A.（ ，1） B.（1， ）C.（2， ）D.（1， ） 5、抛物线经过（）可以得到抛物线。 A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 2、 抛物线的对称 1、已知抛物线C1的解析式是， 求：（1）抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式； （2）抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，求抛物线C2的解析式； （2）抛物线C3与抛物线C1关于原点对称，求抛物线C3的解析式。针对练习： 1、抛物线关于x轴对称的图象的解析式是__________，关于y轴对称的图
《二次函数图象的平移》专题练习
《二次函数图象的平移》专题练习 一、选择题 1 ?抛物线y =1x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得 的抛物线表达式是（ ） B . y = -(x — 3)2 + 2 2 D . y = -(x + 3)2 + 2 2 2.如图，点A , B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线y = a （x — m ） 2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于 C D 两点（C 在 D 的左侧），点C 的横坐标最小值为一3,则点 D 的横坐标最大值为（ ） A . — 3 B . 1 C. 5 D . 8 3.已知y = 2x 2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x 轴、y 轴分别 向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是A y = l (x + 3)2— 2 2 1 2 C. y = -(x — 3) — 2 2
A y = 2 (x—2) 2+ 2 B . y = 2 (x + 2) 2-2 C. y = 2 (x—2)2—2 D . y = 2 (x + 2) 2+ 2 4．在平面直角坐标系中，将抛物线y x22x 3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( ) 22 A. y=—( x+ 1) + 2 B . y=—( x —1) + 4 22 C. y=—( x—1) + 2 D . y=—( x + 1) + 4 二、解答题 5. 把抛物线y = ax2bx c先向右平移2个单位，再向下平移5个单 位得到抛物线y x22x 2，求a、b、c的值。 6. 已知一个二次函数的图象是由抛物线y 2x2沿y轴方向平移得到的，当x 1时，y 4 。 (1)求此抛物线的解析式； (2)当x为何值时，y随x的增大而减少。
2017年二次函数中的面积问题
二次函数——面积问题 〖知识要点〗 一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二．常见图形及公式 抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱ =a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442 -） 抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 21= ?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. B C 铅垂高 水平宽 h a 图1 C B A O y x D B A O y x P
〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为 . 2、若抛物线y=x 2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________. 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ． 〖典型例题〗 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式； （2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标 （3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??= 2 1，求P 点坐标。
二次函数图像的变换
二次函数图像的变换 第一环节 【知识储备】 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出 二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图 所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，
二次函数图像与性质总结
二次函数图像与性质总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质： y a x h 左加右减。
4.()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后 者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中 2 424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴 对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2 b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
函数图象平移问题的解法
二次函数图像平移的一般解法 二次函数图象平移常见的方法是，将抛物线解析式通过配方写成顶点形式的表达式，根据在平移过程中顶点位置的变化，写出新抛物线的顶点坐标，从而确定出它的解析表达式．解题的困难在于需要较强的直观想象能力和快速画框架图能力和逆向逆向思维能力。而利用相对运动的知识，则可以得到一个解此类问题的十分简单明了的方法。. 1．平移规律 设在直角坐标系xoy中有一抛物线y＝f（x）,现将此抛物线向右平移（x轴的正方向）m（m＞0）个单位，再向上平移（y轴的正方向）n（n＞0）个单位。按照相对运动的观点，可以视抛抛物线未动,而将坐标系向相反方向平移，即y 轴向左平移m个单位，x轴向下平移n个单位，这样得到的新坐标系我们记为x′o′y′，（如图）为了叙述的方便我们将坐标系xoy下的点记为（x , y）, 新坐标系x′o′y′下的点记为（x′,y′），于是有 将这一关系式变形,可得 用新坐标（x′,y′）表示旧坐标（x , y）的表达式： 将此式代入抛物线的解析式y＝f（x）,得 y′－n＝f（x′－m） 这个式子就是抛物线在新坐系下x′o′y′中的的解析式。 考虑到题目中是要求将抛物线平移的，因而仍需将点（x′,y′）换成（x , y），于是我们就得到了平移之后的抛物线的解析式为y－n＝f（x－m）这样就可以得到一个规律：要获得把抛物线y＝f（x）向右平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新抛物线解析式，只需将原抛物线的解析式y＝f（x）中的x, y分别用x－m, y－n替换即可． 类似地,可得： 把抛物线y＝f（x）向右平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新抛物线解析式为y＋n＝f（x－m） 把抛物线y＝f（x）向左平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新抛物线解析式为y－n＝f（x＋m） 把抛物线y＝f（x）向左平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新抛物线解析式为y＋n＝f（x＋m） 这些规律又可总结为左右平移“x右减左加”，上下平移“y上减下加” 说明：利用这一规律写平移后的函数图象的解析式只需要考查是用x＋m 还是x－m 替换y＝f（x）中x，是用y＋n还是y－n替换y＝f（x）中y,使用起来很方便，此法也适用于直线等函数图象的平移。 ２．解题举例
二次函数图象的平移和对称变换
y = ax 2 + bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - b x + c - ； 二次函数图象的几何变换 中考要求 内容 基本要求 略高要求 1.能通过对实际问题中的情境分 析确定二次函数的表达式； 较高要求 1. 能 用 二 次 函 数 1.能根据实际情境了解二次函数 二次函数 的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的 图像； 2.能从函数图像上认识函数的性 质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和 开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二 次方程的近似解； 解决简单的实际 问题； 2. 能 解 决 二 次 函 数与其他知识结 合的有关问题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成 y = a( x - h)2 + k 的形式，确定其顶点 (h , k ) ，然后做出二次函数 y = ax 2 的图像，将抛物线 y = ax 2 平移，使其顶点平移到 (h , k ) .具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称 y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ； y = a (x - h )2 + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 - k ； 2. 关于 y 轴对称 y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ； y = a (x - h )2 + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h )2 + k ； 3. 关于原点对称 y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ； y = a (x - h )2 + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h )2 - k ； 4. 关于顶点对称 b 2 2a y = a (x - h )2 + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 + k ． 5. 关于点 (m ，n ) 对称 y = a (x - h )2 + k 关于点 (m ，n ) 对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2 + 2n - k 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛
二次函数平移专项练习精编版
二次函数平移专题 一、填空 1、抛物线2ax y =向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线 2.二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_________平移_________个单位，再向 ____________平移____________个单位得到. 3、抛物线3)2(32-+=x y 可由抛物线2)2(32++=x y 向 _____ 平移 ____ 个单位得到． 4、将抛物线5)3(5 32+-=x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 5、把抛物线2)1(2---=x y 是由抛物线3)2(2-+-=x y 向 平移 个 单位，再向_____平移_______个单位得到。 6、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为____________ 7、将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是____________ 8、抛物线y ＝x 2－5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 9、将抛物线21(3)22 y x =+-向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为___ 10．抛物线232 y x =-向左平移1个单位得到抛物线解析式为___________ 22y x =
11、二次函数 的草图： 开口向_________， 顶点坐标是（ ），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而___________。当x=___________时，函数有最______值，其值为______。 与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是_________。它是由函数________向___平移_____个单位得到的。 12、二次函数 的草图： 开口向____，顶点坐标是（ ），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_________.当x=______时，函数有最______值，其值为______。与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是_____。它是有函数________向___平移_____个单位得到的。 13、二次函数2(1)3y x =-++的草图： 开口向___， 顶点坐标是（ ），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_________.当x=______时，函数有最______值，其值为______。与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是_____。它是有函数________向___平移_____个单位，再向 ____________平移____________个单位得到. 二、选择 1 .把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 22(1)y x =+221y x =+
初中数学二次函数图像的平移
二次函数图象的平移 【知识要点】 1．二次函数()02≠+=a c ax y 的图象画法． 方法一，用“列表、描点、连线”方法来画； 方法二，将二次函数()20y ax a =≠的图象向上平移c 个单位. 2．二次函数()02≠+=a c ax y 的性质 二次函数 02 3．利用二次函数()02 ≠+=a c ax y 的性质解有关简单的实际问题. （1）根据题意建立二次函数关系式，并注意其定义域； （2）应用二次函数()02 ≠+=a c ax y 的性质解决相关的实际问题. 4．y=ax 2 +bx+c 配成顶点式的一般步骤： 【经典例题】 例1 （1）在同一直角坐标系中，分别画出下列函数的图象．221x y -=，2212+-=x y ，12 1 2--=x y .
（2）在同一坐标系中画出函数y=x 2，y=(x+1)2，y=(x －2)2 的图像，并说出它们的位置关系。 例2 如图，一次函数b ax y +=2与二次函数b ax y -=2在同一坐标系中的图象是（ ）. 例3 （1）抛物线y=23 12 +x 的顶点坐标是 ，对称轴是 。 （2）y=2x 2 +5的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向 ，当x= 时，y 有最 值为 ，这是由y=2x 2 得到的。 （3）y=－8x 2 沿y 轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为 ，顶点坐标为 。 （4）已知函数y=ax 2 与函数y=－2 3 2x +c 的图象形状相同，且将抛物线y=ax 2沿对称轴平移2个单位就得到与抛物线y=－ 2 3 2x +c 完全重合，则a= ，c= （5）一条抛物线其形状与抛物线y=2x 2 相同，对称轴与抛物线y=(x －2)2 相同，且顶点的纵坐标是3，则这条抛物线的函数解析式是 。 （6）将抛物线y=7(x －2)2 向左平移2个单位所得的抛物线的函数关系式是： 。 （7）函数y=(3－2x)2 －2有最 值，当x= 时，这个值等于 。 例5 直接说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 （1）y=2(x+3)2 +5 （2）y=－3(x －1)2 －2 （3）y=4(x －3)2 +7 （4）y=－5(x+2)2 －6 O A O B O C O D