非线性方程牛顿迭代法与斯特芬森迭代法的研究与比较

非线性方程牛顿迭代法与斯特芬森迭代法的研究与比较

申林坚

（南昌航空大学 测试与光电工程学院 江西 南昌 330063）

摘要：本文针对一个具体的非线性方程032=-x e x 进行研究，首先作出了了函数

x e x x f -=23)(的图像，大体判定其零点（即方程解）在（3,4）区间内，

接着用牛顿迭代法和斯特芬森迭代法进行求解分析，牛顿法的迭代公式为

)

()

(1k k k k x f x f x x '-

=+， 斯特芬森迭代法公式为

),

(),(,

2)(21k k k k k

k k k k k k y z x y x y z x y x x ??==+---=+

记录两种方法求得指定精度解所需迭代次数及所需计算时间，并对其优缺点 进行了分析。

关键词：非线性方程；牛顿迭代法；斯特芬森迭代法

引言

非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的，为得到 更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，从而产生非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱。本论文通过对特定非线性方程032=-x e x 进行求解，介绍了两种常用的迭代法牛顿迭代法和斯特芬森迭代法，详尽阐述了其各自的数学几何原理及优缺点比较，从而更深入的理解非线性方程的迭代法求解。

正文

一.作出)(x f 的图像，确定隔根区间 在Matlab 中输入以下指令并回车：

x=(-10:0.001:10); y=3*x.^2-exp(x); plot(x,y);

grid on ;

-10

-8-6-4-20246810

-2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

x 10

4

图1

得到图1所示)(x f 的图像，易知，当10-x 时，)(x f 无零点 将y 轴方向放大，输入命令axis([-10 10 -2 2])，得到图2

-10

-8-6-4-20246810

-2-1.5-1-0.500.511.5

2

图2

可知函数有三个零点，隔根区间为（-2,0），（0,2），（2,4） 将x 轴方向放大，输入命令axis([-2 4 -2 2])，得到图3

-2

-101234

-2-1.5-1-0.500.511.5

2

图3

可将隔根区间进一步缩小为（-1,0），（0,1），（3,4）

二.牛顿迭代法求区间（3,4）中的根

对于方程0)(=x f ，如果)(x f 是线性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程0)(=x f 逐步归结为某种非线性方程来求解。

设已知方程0)(=x f 有近似根k x （假定0)(≠'k x f ），将函数在点k x 展开，有

))(()()(k k k x x x f x f x f -'+≈，

于是方程0)(=x f 可近似表示为

0))(()(=-'+k k k x x x f x f .

这是个线性方程，记其根为1+k x ，则1+k x 的计算公式为

,...,1,0,)

()

(1='-

=+k x f x f x x k k k k 这就是牛顿法。

牛顿法有明显的几何解释。方程0)(=x f 的根*

x 可解释为曲线)(x f y =与x 轴的交点的横坐标。设k x 是根*

x 的某个近似值，过曲线)(x f y =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点的横坐标1+k x 作为*

x 的新的近似值。注意到切线方程为

))(()(k k k x x x f x f y -'+=

这样求得的值1+k x 必满足0))(()(=-'+k k k x x x f x f 。由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法。

下面列出牛顿法的计算步骤：

步骤1 准备 选定初始近似值0x ，计算)(00x f f =，)(00x f f '=' 步骤2 迭代 按公式

00

01f f x x '

-

= 迭代一次，得到新的近似值1x ，计算)(),(1111x f f x f f '='=

步骤3 控制 如果1x 满足哦1εδ<或21ε

时，当时当C x x x x C x x x ≥-<-=11

1101,,

,δ 其中C 是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取C=1.

步骤 4 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数N ，或者01='f ，则方法失败；否则以

),,(111f f x '代替),,(000f f x '转步骤2继续迭代

Matlab 计算程序如下，取初始迭代值0x =3：

i=0; y=3; z=1;

while (i<=100&&z>=10^(-8)) x=y;

y=x-(3*x^2-exp(x))/(6*x-exp(x)); if abs(y)<1 z=abs(y-x); else

z=abs((y-x)/y); end i=i+1; end

format long ; disp(y); disp(i);

输出结果为y= 3.733079028632816，i=9

可知，使用牛顿迭代法，初值为3时，需迭代9次可使eps<10^-8,近似解为3.73307903

三.斯特芬森迭代法求区间(3,4)中的根

埃特金方法不管原序列{k x }是怎样产生的，对{k x }进行加速计算，得到序列{k x }。如果把埃特金加速技巧与不动点迭代结合，可得到如下的迭代法：

,...1,0,

),

(),(2)

(12

=-===+--+k x x y z x y k k k k k x y z x y k k k k k k ??

称为斯特芬森迭代法。它可以这样理解，我们要求)(x x ?=的根*

x ，令x x x -=)()(?ε，

0)()(***=-=x x x ?ε，已知*x 的近似值k x 及k y ，其误差分别为

k

k k k k k

k k k k y z y y y x y x x x -=-=-=-=)()()()(?ε?ε

把误差“外推到零”，即过())(,k k x x ε及())(,k k y y ε两点做线性插值函数，它与x 轴交点就是1+k x ，即方程

0)()

()()(=---+

k k

k k k k x x x y x y x εεε

的解

12

2)()()()()(+=+---=---=k k

k k k k k k k k k k k x x y z x y x x y x y x x x εεε

斯特芬森迭代法的另一种表达方式如下：

,...,1,0),(1==+k x x k k ψ

其中

()[].)(2))(()(2

x

x x x x x x +---

=????ψ

实验表明，即便用不动点迭代法不收敛，用斯特芬森迭代法仍可能收敛。

1.取)3ln()(2

x x =?，迭代初值为3进行迭代，Matlab 程序如下：

i=0; y=3; z=1;

while (i<=1000&&z>=10^(-8)) x=y;

y1=log(3*x^2);

y=x-(y1-x)^2/(log(3*y1^2)-2*y1+x); if abs(y)<1 z=abs(y-x); else

z=abs((y-x)/y); end i=i+1; end

format long ; disp(y); disp(i);

输出结果为y= 3.733079028632815，i=4;

可知，使用斯特芬森迭代法，取不动点函数为)3ln()(2

x x =?，初值为3时，需迭代4次可

使eps<10^-8,近似解为3.73307903，与牛顿迭代法结果吻合。

2.取x e x x x +-=23)(?，迭代初值为3进行迭代，Matlab 程序如下：

i=0; y=3; z=1;

while (i<=1000&&z>=10^(-8)) x=y;

y1=3*x^2-exp(x)+x;

y=x-(y1-x)^2/(3*y1^2-exp(y1)+y1-2*y1+x); if abs(y)<1 z=abs(y-x); else

z=abs((y-x)/y); end i=i+1; end

format long ; disp(y); disp(i);

输出结果为y= 3.733079028632814，i=147;

可知，使用斯特芬森迭代法，取不动点函数为x e x x x

+-=2

3)(?，初值为3时，需迭代147次可使eps<10^-8,近似解为3.73307903

3.取3

)(x

e x =?，迭代初值为3进行迭代，Matlab 程序如下：

i=0; y=3; z=1;

while (i<=1000&&z>=10^(-8)) x=y;

y1=sqrt(exp(x)/3);

y=x-(y1-x)^2/(sqrt(exp(y1)/3)-2*y1+x); if abs(y)<1 z=abs(y-x); else

z=abs((y-x)/y); end i=i+1; end

format long ; disp(y); disp(i);

输出结果为y= 3.733079028632815，i=10;

可知，使用斯特芬森迭代法，取不动点函数为3

)(x

e x =?，初值为3时，需迭代10次可

使eps<10^-8,近似解为3.73307903

由以上三种不同迭代函数可知，迭代函数不同，斯特芬森迭代法的迭代次数不同。 综合比较

牛顿法的迭代函数固定，收敛速度较快，但求)(x f '可能比较繁琐

斯特芬森迭代法收敛速度快，但要选择合适的迭代函数，因次如何构造一个合适的迭代函数成为关键。

参考文献

[1]蔡旭晖 刘卫国 蔡立燕 MATLAB 基础与应用教程 北京:人民邮电出版社 2009 [2]李庆扬 王能超 易大义 数值分析(第5版) 北京:清华大学出版社 2008

[3]高成 赖志国 Matlab 图像处理与应用(第2版) 北京:国防工业出版社 2007

The research and comparison of Newton's iterative method and

Steffen Sen iteration method for nonlinear equation

Shen Linjian

(Nanchang Institute of test and opto electronic engineering, Jiangxi University of

Aeronautics and Astronautics, Nanchang 330063)

Abstract : In this paper, a specific nonlinear equation is studied, firstly, the function of the image, generally determine its zero (the equation solution) in the (3,4) interval, followed by Newton iterative method and Steffen Sen iteration method for analysis, Newton iterative formula for, Steffen Sen iterative formula for the record of the two methods to obtain the specified accuracy of the required number of iterations and the required calculation time, and its advantages and disadvantages are analyzed.

Key words : nonlinear equation; Newton iterative method; Steffen Sen iteration method

个人心得体会

首先，我觉得课堂教学条件比较差，那么大的一个教室坐满了人，不能保证每个学生能够听清，看清每一个知识点。因此建议以后可开展小班教学。其次，坦率得说，关于这门课的知识点，我完全是通过自学获得的，从课堂上得到的少之又少，并不是老师讲的不好，只是数学本就枯索抽象，在课堂上并不能马上领悟，因而没有兴趣继续听下去。我相信，很大一部分同学是跟我有同感的。

另外，大作业这种考查形式还是不错的，并不是很难，但要花功夫。在完成大作业的过程中，其实是一个对所学知识深入在理解的过程，通过与matlab相结合，提升了自己运用所学知识解决实际问题的能力。

我是比较赞同老师对学生严格要求的，但并不是给一个高高在上的目标，让学生难以企及，而是要循循善诱，但凡有一点上进心都能有所收获，在这点上我感觉郑老师做得不错。

最后，我觉得在教学过程中可以引进给出问题，课堂小组讨论这种形式。让学生自己来学习。当然，这是建立在小班教学的基础上的。

以上仅是个人的一点拙见，请老师参考。

牛顿迭代法文献综述

“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。 介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。本文利用文献[4]所建立的迭代格式xn+1=xn-αf(xfn)(x+n)f′(xn),对迭代格式中的参数α的讨论,实现了牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式。

牛顿法求非线性方程的根

学科前沿讲座论文 班级：工程力学13-1班姓名：陆树飞

学号：02130827

牛顿法求非线性方程的根 一 实验目的 （1）用牛顿迭代法求解方程的根 （2）了解迭代法的原理，了解迭代速度跟什么有关 题目：用Newton 法计算下列方程 （1） 013=--x x ， 初值分别为10=x ，7.00=x ，5.00=x ； （2） 32943892940x x x +-+= 其三个根分别为1,3,98-。当选择初值02x =时 给出结果并分析现象,当6510ε-=?，迭代停止。 二 数学原理 对于方程f(x)=0，如果f(x)是线性函数，则它的求根是很容易的。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程f(x)=0有近似根x k (假定k f'(x )0≠) ，将函数f(x)在点x k 进行泰勒展开，有 k k k f(x)f(x )+f'(x )(x-x )+≈??? 于是方程f(x)=0可近似的表示为 k k k f(x )+f'(x )(x-x )=0 这是个线性方程，记其根为x k+1，则x k+1的计算公式为 k+1k ()x =x -'() k k f x f x ，k=0,1,2,… 这就是牛顿迭代法。

三 程序设计 （1）对于310x x --=，按照上述数学原理，编制的程序如下 program newton implicit none real :: x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x ，函数f(x)和一阶导数f1(x) integer :: k write(*,*) "x(0)=" read(*,*) x(0) !输入变量：初始值x(0) open(10,file='1.txt') do k=1,50,1 fx(k)=x(k-1)**3-x(k-1)-1 f1x(k)=3*x(k-1)**2-1 x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛顿法 write(*,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) !输出变量：迭代次数k 及x 的值 write(10,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) if(abs(x(k)-x(k-1))<1e-6) exit !终止迭代条件 end do stop end （2）对于32943892940x x x +-+=，按照上述数学原理，编制的程序如下 program newton implicit none

非线性方程组的迭代解法【开题报告】

毕业论文开题报告 信息与计算科学 非线性方程组的迭代解法 一、选题的背景和意义 =的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b 个明显的特点：大型化和稀疏化。大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效 =是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b 大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。二、国内外研究现状、发展动态 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点） 非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。 四、研究（工作）步骤、方法及措施（思路） （一）研究方法

牛顿迭代法

牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法：

Newton迭代法实例

基于牛顿迭代法的圆形断面临界水深直接计算 学院：建筑工程学院学号：2111206052 姓名：王瑞峰 一、问题来源 圆形断面由于具有受力条件好、适应地形能力强、水力条件好等优点，已成为农田灌溉、城市给水排水等工程较常采用的断面形式。而临界水深的计算则是进行圆形断面水力计算的关键，但其计算较繁杂，要求解高次隐函数方程，且未知量包含在三角函数中，求解难度大。自20世纪90年代，对圆形断面临界水深的计算进行了大量研究，获得了较多成果。鉴此，本文应用牛顿迭代算法，得到一种较简洁且可提供高精度算法程序的近似计算公式。 二、数学模型 相应于断面单位能量最小值的水深称为临界水深，其计算公式为： 需满足的临界流方程为： 其中 式中，d为洞径；为临界水深对应的圆心角，rad；n为流速分布不均匀系数(不特殊说明时取1.0)；Q为流量，m3Is；g为重力加速度(通常取9.81 m/s2)；分别为临界流对应的过水断面面积和水面宽度。 无压流圆形断面的水力要素见图1 将式(1)、(3)、(4)代入式(2)得： 将式(5)整理即得临界水深的非线形方程： 由此可知．式(6)为临界水深h。的高次隐函数方程，且未知量包含在三角函数中。 即圆形断面临界水深的求解即为式(6)的求根问题。在现行工程实际中计算临界水深时均采用近似公式或试算法，所得结果精度不高且效率较低。 三、方法选择 牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。 解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点

附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－ x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 在对式(6)的求解方法中，应首选牛顿迭代法，因为牛顿迭代法可快速求解出其他方法求不出或难以求出的解。 引入无量纲参数k： 将式(7)代入式(6)得： 的一阶、二阶导函数分别为： 由牛顿迭代法可得： 式中，=0，1，2…为迭代次数；为的初值。 将式(8)、(9)代入式(10)，可得相应于式(6)临界水深对应中心角的牛顿迭代公式： 由式(11)迭代计算出临界水深对应的中心角后，代入式(1)即可得临界水深。 根据文献，为避免渡状水面有可能接触洞顶引起水流封顶现象。洞内水面线以上的空间不宜小于隧洞断面面积的15％，且高度不小于0.4m。可得临界水深对应的中心角的最大值一般不超过4.692，相应可得无量纲参数值的上限为0.5044。故取值范围为[O.000 0,0.504 4]。 查阅文献与的近似公式： 若将式(12)视为初值函数，代入式(11)进行一次迭代计算，不仅得到了直接计算的公式，且提高了计算结果的精度。 其中 将式(13)代入式(1)即得圆形断面临界水深。 计算实例： 某引水式电站输水隧洞为圆形断面，已知洞径d=3.0 m，试确定设计流量Q=8.0m3/s时的临界水深。 四、编程实现 本文采用Fortran软件求解，程序的代码如下：

二分法和牛顿法求解非线性方程(C语言)

(1)二分法求解非线性方程： #include #include #define f(x)((x*x-1)*x-1) void main() {float a,b,x,eps; int k=0; printf("intput eps\n");/*容许误差*/ scanf("%f",&eps); printf("a,b=\n"); for(;;) {scanf("%f,%f",&a,&b); if(f(a)*f(b)>=0)/*判断是否符合二分法使用的条件*/ printf("二分法不可使用,请重新输入:\n"); else break; } do {x=(a+b)/2; k++; if(f(a)*f(x)<0)/*如果f(a)*f(x)<0，则根在区间的左半部分*/ b=x; else if(f(a)*f(x)>0)/*否则根在区间的右半部分*/ a=x; else break; }while(fabs(b-a)>eps);/*判断是否达到精度要求,若没有达到,继续循环*/ x=(a+b)/2;/*取最后的小区间中点作为根的近似值*/ printf("\n The root is x=%f,k=%d\n",x,k); } 运行结果： intput eps 0.00001 a,b= 2,-5 The root is x=1.324721,k=20 Press any key to continue 总结：本题关键在于两个端点的取值和误差的判断，此程序较容易。二分法收敛速度较快，但缺点是只能求解单根。 (2)牛顿法求解非线性方程： #include #include float f(float x)/*定义函数f(x)*/ {return((-3*x+4)*x-5)*x+6;} float f1(float x)/*定义函数f(x)的导数*/

牛顿法非线性方程求解

《MATLAB 程序设计实践》课程考核 ---第37-38页 题１ ： 编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。（参考书籍《精 通ＭＡT ＬＡＢ科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，２００９ 年） “牛顿法非线性方程求解” 弦截法本质是一种割线法，它从两端向中间逐渐逼近方程的根；牛顿法本质上是一种切线法，它从一端向一个方向逼近方程的根，其递推公式为： - =+n n x x 1) ()(' n n x f x f 初始值可以取)('a f 和)('b f 的较大者，这样可以加快收敛速度。 和牛顿法有关的还有简化牛顿法和牛顿下山法。 在MATLAB 中编程实现的牛顿法的函数为：NewtonRoot 。 功能：用牛顿法求函数在某个区间上的一个零点。 调用格式：root=NewtonRoot )(```eps b a f 其中，f 为函数名； a 为区间左端点； b 为区间右端点 eps 为根的精度； root 为求出的函数零点。 ，

牛顿法的matlab程序代码如下： function root=NewtonRoot(f,a,b,eps) %牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点%函数名:f %区间左端点:a

%区间右端点:b %根的精度:eps %求出的函数零点:root if(nargin==3) eps=1.0e-4; end f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); if (f1==0) root=a; end if (f2==0) root=b; end if (f1*f2>0) disp('两端点函数值乘积大于0 ！'); return; else tol=1; fun=diff(sym(f)); %求导数 fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),a); dfb=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),b); if(dfa>dfb) %初始值取两端点导数较大者 root=a-fa/dfa; else root=b-fb/dfb; end while(tol>eps) r1=root; fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1); dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),r1); %求该点的导数值 root=r1-fx/dfx; %迭代的核心公式 tol=abs(root-r1); end end 例：求方程3x^2－exp（x）＝0的一根 解：在MATLAB命令窗口输入： >> r=NewtonRoot('3*x^2-exp(x)',3,4) 输出结果： X=3.7331

用牛顿迭代法求近似根

用牛顿迭代法求近似根

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第四题 题目：用Newton 法求方程在 74 28140x x -+= （0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）. 解：此题是用牛顿迭代法求解近似根的问题 1. Newton 迭代法的算法公式及应用条件： 设函数在有限区间[a,b]上二阶导数存在，且满足条件 ⅰ. ()()0f a f b <; ⅱ. ()''f x 在区间[a,b]上不变号； ⅲ. ()'0f x ≠; ⅳ. ()()'f c f c b a ≤-，其中c 是a,b 中使()()''min(,)f a f b 达到的一个. 则对任意初始近似值0[,]x a b ∈，由Newton 迭代过程 ()()() 1'k k k k k f x x x x f x +=Φ=-，k=0，1，2… 所生成的迭代序列{ k x }平方收敛于方程()0f x =在区间[a,b]上的唯一解а. 对本题： )9.1()9.1(0 )8(4233642)(0 )16(71127)(0 )9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f Θ 故以1.9为起点 ?? ???='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 2. 程序编写 #include #include void main() { double x0,x=1.9； do

牛顿迭代法求解非线性方程组的代码

牛顿迭代法求解非线性方程组 非线性方程组如下： 221122121210801080 x x x x x x x ?-++=??+-+=?? 给定初值()00.0T x =，要求求解精度达到0.00001 1.首先建立函数()F X ,方程编程如下，将F.m 保存到工作路径中： function f=F(x) f(1)=x(1)^2-10*x(1)+x(2)^2+8; f(2)=x(1)*x(2)^2+x(1)-10*x(2)+8; f=[f(1),f(2)] ; 2.建立函数()DF X ,用于求方程的jacobi 矩阵,将DF.m 保存到工作路径中： function df=DF(x) df=[2*x(1)-10,2*x(2);x(2)^2+1,2*x(1)*x(2)-10]; %jacobi 矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 3.编程牛顿迭代法解非线性方程组，将newton.m 保存在工作路径中： clear,clc; x=[0,0]'; f=F(x);

df=DF(x); fprintf('%d %.7f %.7f\n',0,x(1),x(2)); N=4; for i=1:N y=df\f'; x=x-y; f=F(x); df=DF(x); fprintf('%d %.7f %.7f\n',i,x(1),x(2)); if norm(y)<0.0000001 break; else end end ezplot('x^2-10*x+y^2+8',[-6,6,-6,6]); hold on ezplot('x*y^2+x-10*y+8',[-6,6,-6,6]); 运行结果如下： 0 0.0000000 0.0000000 1 0.8000000 0.8800000 2 0.9917872 0.9917117

非线性方程组的牛顿迭代法的应用

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告

非线性方程组的牛顿迭代法的应用 一、问题背景 非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱，非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的。道遥咏计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解。从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别。本文主要介绍的是非线性方程组的牛顿迭代法的数值解法。 二、数学模型 对于方程()0=x f ，如果()x f 湿陷性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将线性方程()0=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程()0=x f 有近似根k x （假定()0'≠k x f ），将函数()x f 在点k x 展开，有 ()()()()k k k x x x f x f x f -+≈'， 于是方程()0=x f 可近似地表示为 ()()()0'=-+k k k x x x f x f 这是个线性方程，记其根为1+k x ，则1+k x 的计算公式 ()() k k k k x f x f x x ' 1- =+， ,1,0=k 这就是牛顿法。 三、算法及流程 对于非线性方程 ()()()???? ????????=n n n n x L x x f M x L x x f x L x x f f ,,,,,,,,,2 1212211 在()k x 处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到

C++实现 牛顿迭代 解非线性方程组

C++实现牛顿迭代解非线性方程组（二元二次为例） 求解{0=x*x-2*x-y+0.5; 0=x*x+4*y*y-4; }的方程 #include #include #define N 2 // 非线性方程组中方程个数、未知量个数#define Epsilon 0.0001 // 差向量1范数的上限 #define Max 100 // 最大迭代次数 using namespace std; const int N2=2*N; int main() { void ff(float xx[N],float yy[N]); //计算向量函数的因变量向量yy[N] void ffjacobian(float xx[N],float yy[N][N]); //计算雅克比矩阵yy[N][N] void inv_jacobian(float yy[N][N],float inv[N][N]); //计算雅克比矩阵的逆矩阵inv void newdundiedai(float x0[N], float inv[N][N],float y0[N],float x1[N]); //由近似解向量x0 计算近似解向量x1 float x0[N]={2.0,0.25},y0[N],jacobian[N][N],invjacobian[N][N],x1[N],errornorm; int i,j,iter=0; //如果取消对x0的初始化，撤销下面两行的注释符，就可以由键盘x读入初始近似解向量for( i=0;i>x0[i]; cout<<"初始近似解向量："<

matlab程序设计实践-牛顿法解非线性方程

中南大学MATLAB程序设计实践学长有爱奉献，下载填上信息即可上交，没有下载券的自行百度。所需m文件照本文档做即可，即新建（FILE）→脚本（NEW-Sscript）→复制本文档代码→运行（会跳出保存界面，文件名默认不要修改，保存）→结果。第一题需要把数据文本文档和m文件放在一起。全部测试无误，放心使用。本文档针对做牛顿法求非线性函数题目的同学，当然第一题都一样，所有人都可以用。←记得删掉这段话 班级： ？ 学号： 姓名：

一、《MATLAB程序设计实践》Matlab基础 表示多晶体材料织构的三维取向分布函数（f＝f（φ1，φ，φ2））是一个非常复杂的函数，难以精确的用解析函数表达，通常采用离散 空间函数值来表示取向分布函数，是三维取向分布函数的一个实例。 由于数据量非常大，不便于分析，需要借助图形来分析。请你编写一 个matlab程序画出如下的几种图形来分析其取向分布特征： （1）用Slice函数给出其整体分布特征； " ~ （2）用pcolor或contour函数分别给出(φ2＝0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 … 90)切面上f分布情况(需要用到subplot函数)；

(3) 用plot函数给出沿α取向线(φ1=0~90，φ＝45，φ2＝0)的f分布情况。 (

备注：数据格式说明 解： （1）（ （2）将文件内的数据按照要求读取到矩阵f(phi1,phi,phi2)中，代码如 下： fid=fopen(''); for i=1:18 tline=fgetl(fid); end phi1=1;phi=1;phi2=1;line=0; f=zeros(19,19,19); [ while ~feof(fid) tline=fgetl(fid); data=str2num(tline); line=line+1;数据说明部分，与 作图无关此方向表示f随着 φ1从0,5,10,15, 20 …到90的变化而 变化 此方向表示f随着φ 从0,5,10,15, 20 … 到90的变化而变化 表示以下数据为φ2＝0的数据，即f（φ1，φ，0）

牛顿迭代法及其应用教学提纲

编号 毕业设计（论文）题目 Newton Raphson 算法及其应用 二级学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 班级108010101

学生姓名侯杰学号10801010106 指导教师职称 时间 目录 摘要 (3) Abstract (3) 一、绪论 (4) 1.1 选题的背景和意义 (4) 1.2 牛顿迭代法的优点及缺点 (4) 二、Newton Raphson 算法的基本原理 (5) 2.1 Newton Raphsn算法 (5) 2.2 一种修正的Newton Raphsn算法 (7) 2.3 另外一种Newton Raphsn算法的修正 (11) 三、Newton Raphson 算法在计算方程中的应用 (18) 四、利用牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率 (21) 4.1附息国债实时收益率的理论计算公式 (22) 4.2附息国债实时收益率的实际计算方法 (22)

4.3利用牛顿迭代法计算 (23) 五、结论 (26) 致谢 (27) 参考文献 (28) 摘要 牛顿在17世纪提出的一种近似求解方程的方法，即牛顿拉夫森迭代法.迭代法是一种不断的用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或被称为一次解法，即一次性解决的问题.迭代法又分为精确迭代以及近似迭代.“牛顿迭代法”就属于近似迭代法，本文主要讨论的就是牛顿迭代法，方法本身的发现到演变到修正的过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，以及用牛顿迭代法解方程，利用牛顿迭代法计算国债的实时收益率。 关键词：Newton Raphson迭代算法；近似解；收益率； Abstract In the 17th century，Newton raised by an approximate method of solving equations，that is Newton Iteration，a process of recursion new value constantly with the old value of variable. Correspond with the iterative method is a direct method or as a solution，that is a one-time problem solving. Iteration is divided into exact iterative and approximate iterative. "Newton Iterative Method" are approximate iterative method. This article mainly focuses on the Newton Iteration. The main contents of this article include the discovery，evolution and amendment process of this methods; an improve of avoiding calculating Newton Iteration with second-order derivative; Newton Raphson iterative method of solving equations and Calculating the real-time yield of government bonds. Keywords: Newton Iterative Algorithm; approximate solution; Yield；

非线性方程组的牛顿迭代法的应用

非线性方程组的牛顿迭代法的应用

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告

非线性方程组的牛顿迭代法的应用 一、问题背景 非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱，非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的。道遥咏计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解。从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别。本文主要介绍的是非线性方程组的牛顿迭代法的数值解法。 二、数学模型 对于方程()0=x f ，如果()x f 湿陷性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将线性方程()0=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程()0=x f 有近似根k x （假定()0'≠k x f ），将函数()x f 在点k x 展开，有 ()()()()k k k x x x f x f x f -+≈'， 于是方程()0=x f 可近似地表示为 ()()()0'=-+k k k x x x f x f 这是个线性方程，记其根为1+k x ，则1+k x 的计算公式 () () k k k k x f x f x x ' 1- =+， ,1,0=k 这就是牛顿法。 三、算法及流程 对于非线性方程 ()()()???? ????????=n n n n x L x x f M x L x x f x L x x f f ,,,,,,,,,2 12 12211 在()k x 处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到

非线性方程组牛顿迭代法(1)

华中师范大学 课程结业论文 题目：非线性方程组牛顿法及MATLAB程序 院系：数学与统计学学院 专业：数学与应用数学 年级：2014级 课堂名称：数值分析（1）实验 学生姓名：杨帅 学号：2014212643 2016年6月18

非线性方程组牛顿法及其MATLAB 程序 〔摘要〕学了《数值分析》这门课，了解到非线性方程的数值解法有：对分区间法、简单迭代法、Aitken-Steffensen 加速法、Newton 迭代法、正割法等，自然就会想到非线性方程组的数值解法有哪些呢？和非线性方程的数值解法有哪些不不同呢？ 在研究非线性方程组的数值解法之前，首先要给非线性方程组下一个合理定义；n 个变量n 个方程（n>1）的方程组表示为0 ),...,,(2 1 =n i x x x f （其中i=1,2...，n ），若i f 中至少有一个是非线性函数，则称上述 的表示为非线性方程组。在R 中记，T n x x x f f ),...,,(2 1 =，其中记 ),...,()(1n i i i x x f x f f ==且D x ∈。 若存在尣∈D ，使?(尣)=0，则称尣为非线性方程组的解。上述方程组可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣的迭代序列{尣}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法；但研究数学问题的时候，一般是由简单到复杂，由特殊到一般。因此要在研究非线性方程组牛顿解法的时候，首先要探究非线性方程的牛顿解法。 1.1求解线性方程组的牛顿法及其MATAB 程序 1.1.1程序设计思路 输入的量：初始值0 x 、近似根k x 的误差限tol ，近似根k x 的函数 值)(k x f 得误差限ftol ，迭代次数的最大值gxmax 、函数fnq （x ）=) (x f

用牛顿迭代法求解非线性方程

数值分析实验报告（一） 实验 名称 用牛顿迭代法求解非线性方程实验时间2011年11 月19日姓名班级学号成绩 一、实验目的 1．了解求解非线性方程的解的常见方法。 2．编写牛顿迭代法程序求解非线性方程。 二、实验内容 分别用初值 0.01 x=， 10 x=和 300 x=求113，要求精度为5 10-。 三、实验原理 设113 x=，则21130 x-=，记f(x)= 2113 x-，问题便成为了求2x -113=0的正根； 用牛顿迭代公式得 2 1 113 2 k k k k x x x x + - =-，即 1 1113 () 2 k k k x x x + =+（其中k=0，1，2，3，…,） 简单推导 假设f(x)是关于X的函数: 求出f(x)的一阶导，即斜率: 简化等式得到: 然后利用得到的最终式进行迭代运算直至求到一个比较精确的满意值。 如果f函数在闭区间[a,b]内连续，必存在一点x使得f(x) = c，c是函数f在闭区间[a,b]内的一点 我们先猜测一X初始值，然后代入初始值，通过迭代运算不断推进，逐步靠近精确值，直到得到我们主观认为比较满意的值为止。 回到我们最开始的那个”莫名其妙”的公式，我们要求的是N的平方根，令x2 = n，假设一关

于X的函数f(x)为: f(X) = X2 - n 求f(X)的一阶导为: f'(X) = 2X 代入前面求到的最终式中: X k+1 = X k - (X k 2 - n)/2X k 化简即得到我们最初提到求平方根的迭代公式: 四、实验步骤 1．根据实验题目，给出题目的C程序。 当初值为0.01、10、300时，即x=0.01,10,300 分别应用程序： #include "stdio.h" int main() { float number; printf("Please input the number:"); scanf("%f", &number); float x=1; int i; for (i=0;i<1000;i++) { x = (x + number/x)/2; } printf("The square root of %f is %8.5f\n", number ,x); } 得出结果 2．上机输入和调试自己所编的程序。 当x=0.01时，结果为：10.63015 x=10时，结果为：10.63015 x=300时，结果也为：10.63015 3．实验结果分析。 当初值取0.01、10、300时取不同的初值得到同样的结果10.63015。 五、程序

线性方程组的迭代法

第六章 线性方程组的迭代法 一、教学目标及基本要求 通过对本节的学习，使学生掌握线性方程组的数值解法。 二、教学内容及学时分配 本节主要介绍线性方程组的数值解法，迭代公式的建立，迭代收敛性。 三、教学重点难点 1．教学重点：迭代公式的建立、迭代收敛性。 2. 教学难点：迭代收敛性。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。 6.2 解线性方程组的迭代法 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题。在实际问题中产生的线性方程组的类型有很多，如按系数矩阵含零元素多少分类，有稠密和稀疏(零元素占80%以上)线性方程组之分；如按阶数的高低分类，有高阶(阶数在1000阶以上)中阶、(500~1000阶) 和低阶(500阶以下)线性方程组之分；如按系数矩阵的形状和性质分类，有对称正定、三对角、对角占优线性方程组之分。因为数值解法必须考虑方法的计算时间和空间效率以及算法的数值稳定性。因此，不同类型的线性方程组，其数值解法也不相同。但是，基本的方法可以归结为两大类，即直接法和迭代法。 分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。 (a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是Gauss 消去法，重要的直接法全都受到Gauss 消去法的启发。计算代价高。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解，如何避免舍入误差的增长是设计直接法时必须考虑的问题。 (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列。收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题。迭代法要求方程组系数矩阵具有某种特殊形式（如对角占优阵），是解高阶稀疏矩阵方程组的重要方法。 §6.1 迭代公式的建立 迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求线性方程组的解。 设有方程组b Ax = （1） 将其转化为等价的便于迭代的形式f Bx x += （2） （这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,）并由此构造迭代公式

牛顿迭代法论文

目录 一牛顿迭代法的简介 (4) 1.1 牛顿迭代法的产生背景 (4) 1.2 牛顿迭代法的概述 (4) 1.3 牛顿迭代法的优点 (4) 二牛顿迭代法的分析 (4) 2.1 牛顿迭代法的思想 (4) 2.2 牛顿迭代法的要求 (5) 2.3 牛顿.迭代法 (6) 三牛顿迭代求根的方法 (7) 四牛顿迭代法具体例子的实现 (7) 伍牛顿迭代法的收敛性 (10) 六、迭代求根应注意的事项 (10) 七、参考文献 (11) 八附录.c语言代码 (13)

题目: 牛顿法---插值方法 摘要: 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。牛顿迭代法是一个重要的计算方法和思想。牛顿迭代法的主要功能：计算方程时可以比较快速方便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面. 关键字: 牛顿迭代方程根算法

一 .牛顿迭代法简介 1.1 牛顿迭代法的产生背景 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。 1.2 牛顿迭代法的概述 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +…取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 1.3 牛顿迭代法的优点 迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法，它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具