九年级相似三角形知识点总结

图形的相似 知识点总结

知识点一

1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。

2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点二：比例线段

1.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d

c b a =（或a ：b=c ：

d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

2.比例性质的基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积）

3.更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()()a b c d a c d c b d b a

d b c a ?=???=?=???=??，

交换内项，交换外项．同时交换内外项

4.合比性质：d

d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b n m f

e d c b a ΛΛ，那么b

a n f d

b m e

c a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

知识点三：黄金分割

1. 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC

BC AB AC =，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其

中AB AC 2

15-=≈AB 。 知识点四：相似三角形

1.相似三角形：两个三角形中，如果三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三

角形。 如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。

2.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

通常用k 来表示。相似比具有顺序性．

3. 相似三角形的性质

①相似三角形对应角相等、对应边成比例.

②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比。

③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.

4.三角形相似的判定定理：

（1）平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）两角对应相等，两三角形相似．

（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

（4）三边对应成比例，两三角形相似．

（5）直角三角形相似判定定理:

○

1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 ○

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。射影定理：CD 2=AD ·BD ， AC 2=AD ·AB ，BC 2=BD ·BA

知识点五：中位线

1.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。（3条）

2.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

3. 重心：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.

4. 重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.

5. 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段。

6.梯形的中位线平行于两底边，且等于两底和的一半。

7.梯形的面积=中位线╳高=1

2

（上底+下底）╳高

知识点六：位似

1.定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似

图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2.性质：①位似图形的对应边平行或共线。

②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。

知识点七：图形的变换与坐标

1.轴对称：图形关于x轴对称，横不变，纵为相反数；关于y轴对称，纵不变，横为相反数。

2.中心对称：图形关于原点对称，横纵皆为相反数。

3.平移：横坐标右加左减，纵坐标上加下减。

4.位似：以原点为位似中心，位似比为K进行变换，P（a，ｂ）变换后为(ka,kb)或(-ka,-kb)。

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /， 相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

三角形全等相似知识点总结

三角形全等、相似知识点比较总结
三角形特点及相似全靠等的概： 特点：三角形的稳定性，这一特征的本质就是“边长确定，大小、形状也就确定”，三角形的一个元素变化，相应的边和角都会跟着变化。 概念：1、相似三角形是指形状相同的三角形。2、全等三角形指的是两个三角形的形状、大小完全相同。 结论：1、可见全等三角形要在相似三角形的基础上多加几个个条件才能确定。2、判断三角形的全等与相似实际上是看由哪几个元素能确定一 个唯一的一个大小或形状相同的三角形。3、要保证三角形相似（形状一样），对应角必须相等；要保证对应角相等，对应边变化必须成比例。
三角形全等
三角形相似
性
（1） 全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等。
质
（1）（SSS）三边对应相等的两个三
角形全等。?
√
（2）(AAA)
×
（3）(ASA)两角和它们的夹边对应
判 相等的两个三角形全等。
√?
A
（4）(AAS)两角和其中一角的对边 A
对应相等的两个三角形全等。 √?
（5）（SAS)两边和它们的夹角对应 A
定 相等的两个三角形全等。
√
（6）(SSA)
S
×
（7）斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等。
√
A
S
A S
S
A
S S
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例。? (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比。? (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（1）(SSS)三边对应成比例，
两三角形相似。
√
A A
（2）(AA)两角对应相等，两三
角形相似。
√
A
A
（3）(SAS)两边对应成比例且 平行线分线段成比例
夹角相等，两三角形相似 √
A
（4）(SSA)
×
D
E
B
F
C

相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比 例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点１ 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是３６０ 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 （4）等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由ＤE ∥B Ｃ可得: 知识点４ 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B

完整版相似知识点总结

相似 【知识脉络】 【基础知识】 I.有关相似形的概念 （1）形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。 （2）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例, 这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形对应边长度的比叫做相似比（相似系数）。 n .比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1）基本性质： ① a:b c:d ad be :② a:b b:c b2 a c. 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad be , 除了可化为a: b c: d , 还可化为a c b: d , c: d a: b , b:d a : c , b : a d : c。 a—，交换内项） c d a c g匸，（交换外项） （2）换比性质（交换比例的内项或外项）： b d b a d-.（同时交换内外项） c a 川.平行线分线段成比例定理

基础图形:

定理：如上图，三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例? 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. IV .相似三角形 （1）概念： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“S”表示，读作“相 似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 注： ①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比 较容易找到相似三角形的对应角和对应边； ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的； ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样； ④全等三角形是相似比为1的相似三角形。二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求 对应边成比例。 （2）判定： 根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） ①?平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似； ③.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a （比例基本定理）

相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A

(完整版)相似三角形知识点大总结

相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．

第二十七章相似知识点总结及经验

相似 一、相似知识点： 1、相似的判定：①相似多边形的判定； ②相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′； 2、平行线分线段成比例定理 3、相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′的5种方式 4、相似三角形的周长与面积：①周长（及对应的高）相似比等于K； ②面积相似比等于K2 5、位似：①位似图形的判定 ②利用位似，将一个图形放大或缩小 ③位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K， 那么位似图形对应的坐标的比等于K或－K 二、相似图形的特征： 1、相似比例的多项式动算（主要是分式）： 2、平行线分线段成比例，及成比例线段的相关计算： 3、相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：

一、相似知识点： 1、相似的判定，如图： ①相似多边形的判定：对应角相等，对应边的比相等； ②相似三角形的判定：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果： ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′， ''B A AB ＝''C B BC ＝' 'C A AC ＝k ， （AB ＝k .A ′B ′，BC ＝k .B ′C ′，AC ＝k .A ′C ′） 则： △ABC ∽△A ′B ′C ′， △ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为k 1。 2、平行线分线段成比例定理，如图：（ 3l ，4l ，5l 的距离决定k 的大小） ①平行线分线段成比例定理：如右图3l ∥4l ∥5l ， 则： EF DE BC AB =＝k1， k DF DE AC AB ==2，k DF EF AC BC ==3， ②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段的比相等，如右图： k AC AE AB AD ==

相似三角形的性质与判定知识点总结+经典题型总结(学生版)

板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．

九年级数学下册 第二十七章 相似知识点总结 (新版)新人教版.doc

第二十七章、相似 知识点一：比例线段 1. 比例 线段 在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例 的基 本性质 (1)基本性质：a c b d =? ad ＝bc ；（b 、d ≠0） (2)合比性质：a c b d =? a b b ±＝c d d ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质： a c b d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)? ......a c m b d n ++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成 比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DE BC EF = . （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延 长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则 OA OB OD OC = . （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC. 4.黄金分割 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝= 5－1 2 ≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比． 例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 5.相似三 角形的 判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE = ，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如 图，若AB AC BC DE DF EF == ，则△ABC ∽△DEF. F E D C B A l 5 l 4 l 3l 2 l 1O D C B A E D C B A F E D C B A F E D C B A F E D C B A

相似三角形知识点梳理及经典练习

相似三角形知识点梳理及经典练习 知识点1：有关相似形的概念 1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 2.如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2：比例线段的相关概念 1.线段比：如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段 写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 2.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段 d c b a ,,,叫做成比 例线段，简称比例线段． d 叫比例后项， d 叫第四比例项.如果b=c ，即a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有 2b ad =。 3.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形。 知识点3：比例的性质（注意性质成立的条件：分母不能为0） 1.基本性质： （1）bc ad d c b a =?=::；

（2）2::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，可化为： d c b a ::=，d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=， c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关 比例计算变形中一种常用方法． ②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 （孟老师归 纳） :比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条 线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a，b的长度分别为m n，那么就说 这两条线段 的比是，或写成a：b=m n；其中a叫做比的前项, 项 2：比例尺=图上距离/实际距离 b叫做比的后 3:成比例线段：在四条线段a, b, c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例 线段，记作：b =—（或a：b=c：d） a c ①线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项， ..I.； I , ②线段a叫首项，d叫a，b，c的第四比例项。 ③ 比例中项：若a = b即&卩c,则b是a,c的比例中项. b c （二）比例式的性质 2. 1.比例的基本性质：a=c二ad=bc b d 合比：若-，则U =□或―a J b d b d b±a d±c 3?等比：若m k (右b d f .................... n = 0) n 则ace…… m =3 =巴* b d f .......................... n b n 4、黄金分割： 把线段AB分成两条线段AC BC（ AC>BC,并且使AC是AB和BC

的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割 点，其中AC^^AB 0.618AB, 2 （三）平行线分线段成比例定理 1. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线 段成比例. 2. 推论:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得 的对应线段成比例. 如图：当AD// BE// CF时，都可得到 AB _ BC~ 语言描述如下: 上一上上一上 __ ------------------------------ ----------- 、-,二二, DE AB = DE BC = EF睿~七三「三一 ［一二， 7 7 〔十宀 （4）上述结论也适合下列情况的图形: 13 11 12 1 2 3 D E

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? ， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=．

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+-- =-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． F E D C B A E A B C D

27章相似知识点总结

第27章相似形（要求深刻理解、熟练运用）

1．三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线. 2．相似形有传递性；即：∵Δ1∽Δ2Δ2∽Δ3∴Δ1∽Δ3 四、位似 1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． 2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似． 3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）． 4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择； ②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．

第29章投影和视图知识点总结 知识点一：三视图 1．三种视图的内在联系 主视图反映物体的_________；俯视图反映物体的________；左视图反映物体的 _____ __．因此，在画三种视图时，主、俯视图要长对______，主、左视图要高_____ __，俯、左视图要_______． 2．三种视图的位置关系 一般地，首先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图的______画出俯视图，在主视图的________画出左视图． 3．三种视图的画法 首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，其中看得见部分的轮廓线通常画成______线，看不见部分的轮廓线通常画成_______线． 知识点二：平行投影和中心投影 1．太阳光与影子 太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为______ ___． 物体在太阳光照射的不同时刻，不仅影子的长短在_______，而且影子的方向也在改变．根据不同时刻影长的变换规律，以及太阳东____西______的自然规律，可以判断时间的先后顺序． 分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线______，则为平行投影；若两直线_______，则为中心投影，其交点就是光源的位置． 灯光的光线可以看成是从_______发出的（即为点光源），像这样的光线所形成的投影称为中心投影． 中心投影光源的确定：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的___________即为光源的位置． 知识点三．视点与盲区 盲区即为视觉看_______的区域．

(完整版)人教版第27章相似三角形知识点总结

第27章相似三角形知识点 知识点1 有关相似形的概念 1、形状相同的图形叫相似图形， 2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形． 3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段， 简称比例线段 知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0） bc ad d c b a =?=::； a c a b c d b d b d ±±= ?= 知识点4 比例线段的有关定理 1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例 已知AD ∥BE ∥CF, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等. 知识点5 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 知识点6 三角形相似的判定方法 1、平行法： 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2、只看角法（AA ）： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两角对应相等，两三角形相似． 3、只看边法 (SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． (HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似． 4、边角组合法(SAS)： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 B

相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案.

拔高相似三角形习题集 适合人群:老师备课,以及优秀同学拔高使用. 一、基础知识（不局限于此) (一)．比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2。比例性质: (1）基本性质: bc ad d c b a =?=ac b c b b a =?=2 (2）合比定理:d d c b b a d c b a ±=±?= (3）等比定理:)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3。黄金分割:如图,若AB PB PA ?=2,则点Ｐ为线段AB 的黄金分割点． 4.平行线分线段成比例定理 （二)相似 1.定义：我们把具有相同形状的图形称为相似形。 2．相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例，对应角相等. 3.相似三角形的判定 ● （１)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （２)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。 ● (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. ● (４)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 4。相似三角形的性质 ● (1)对应边的比相等,对应角相等。 ● (2)相似三角形的周长比等于相似比。 ● (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质： 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 6。梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线。 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。 7.相似三角形的应用： 1、利用三角形相似，可证明角相等;线段成比例(或等积式）; ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 （三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二、经典例题 例1.如图在４×4的正方形方格中,△ABC 和△D ＥＦ的顶点都在长为1的小正方形顶点上． B

九年级相似三角形知识点总结

九年级相似三角形知识点总结 知识点一 1、相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。 2、相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。知识点二：比例线段 1、比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 2、比例性质的基本性质: （两外项的积等于两内项积） 3、更比性质(交换比例的内项或外项)： 4、合比性质：（分子加（减）分母,分母不变） 5、等比性质：（分子分母分别相加，比值不变、）如果，那么、注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法、 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零、知识点三：黄金分割 1、定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=ABBC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中≈0、618。知识点四：相似三角形

1、相似三角形：两个三角形中，如果三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。 2、相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。通常用k来表示。相似比具有顺序性、 3、相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例、②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比。 ③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方、4、三角形相似的判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）两角对应相等，两三角形相似、（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似、（4）三边对应成比例，两三角形相似、（5）直角三角形相似判定定理: 、斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。射影定理：CD=ADBD，AC=ADAB，BC=BDBA知识点五：中位线 1、三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。（3条） 2、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 3、重心：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心、 4、重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，

相似三角形知识点总结 2020 初中数学知识点及技巧(全)

注意： （1） 相似三角形是相似多边形中的一种； （2） 应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （3） 相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； ? = 相似三角形的判定及有关性质 知识点 1：比例线段的相关概念 a c 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 = b d （或 a : b =c :d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． ⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式． ⑶比例线段是有顺序的，如果说 a 是b , c , d 的第四比例项，那么应得比例式为： b = d ． c a 知识点 2：比例的性质 基本性质：(1) a : b = c : d ? ad = bc ；(2) a : c = c : b ? c 2 = a ? b ． 反比性质(把比的前项、后项交换)： a = c ? b = d ． a c a ± b b d a c c ± d ?b - a = d - c 合比性质： = ? = ．发生同样和差变化比例仍成立．如： a = c ? ? a c 等等． b d b d b d ? a - b = ? a + b c - d c + d a c 等比性质：如果 = e = = m ( b + d + f + + n ≠ 0) ，那么 a + c + e + + m = a ． 知识点 3：比例线段的有关定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（三角形中位线定理的逆定理） 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.（梯形中位线定理的逆定理） 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点:4：黄金分割 把线段 AB 分成两条线段 AC , BC ( AC > BC ) ，且使 AC 是 AB 和BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金 分割，点C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC = AB ≈ 0.618AB ． 2 知识点 5：相似图形 1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）. 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数） 5 -1 ?