不等式及其性质(教师版)

不等式及其性质(教师

版)

https://www.sodocs.net/doc/1c9863009.html,work Information Technology Company.2020YEAR

一、不等式及其性质

【学习目标】

1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；

2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；

3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；

【要点梳理】

要点一、不等式的概念

一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

要点诠释：

(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．

(2)

(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．

类型一、不等式的概念

例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．

例2.（1）4＜5；

例3.（2）x2+1＞0；

例4.（3）x＜2x-5；

例5.（4）x=2x+3；

例6.（5）3a2+a；

例7. （6）a 2+2a≥4a -2．

变式练习：

1.（2017春?城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t ℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（ ）

A ．18＜t ＜27

B ．18≤t ＜27

C ．18＜t≤27

D ．18≤t≤27

2.（2017春?未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a ；②-2＞-5；③x≥-1；④ 31y-4＜1；⑤2m≥n ；⑥2x-3，其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个

3.（2017春?南山区校级月考）下面给出了6个式子：?3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x-1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

4.（2017春?太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ）

A ．两种客车总的载客量不少于500人

B ．两种客车总的载客量不超过500人

C ．两种客车总的载客量不足500人

D ．两种客车总的载客量恰好等于500人

5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．

（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m?n 0；

（6）m+1 0．

例2．用不等式表示：

(1)x 与-3的和是负数；

(2)x 与5的和的28％不大于-6;

(3)m 除以4的商加上3至多为5．

举一反三：

【变式】a a 的值一定是（ ）．

A. 大于零

B.小于零

C.不大于零

D. 不小于零

例3.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-

正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.

A.1个

B.2个

C.3个

D. 4个

要点二、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等

式，例如，2503

x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：

(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1.

(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．

不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．

例1.（2017春?沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（ ）

A.x

x 5>

B ．2x ＞1-x 2

C ．x+2y ＜1

D ．2x+1≤3x 变式练习 2．（2017春?平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）

11..>+x x A B ．x 2-2＜1 C ．3x+2 D ．2＜x-2 3．（2016春?永丰县期中）若不等式2x a ＜1是关于x 的一元一次不等式，则a 符合（ ）

A ．a≠1

B ．a=0

C ．a=1

D ．a=2

4.若（m+1）x |m|+2＞0是关于x 的一元一次不等式，则m=（ ）

A ．±1

B ．1

C ．-1

D ．0

5.下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个．

①x ＞-3；②xy≥1；③x 2＜3；④

132≤-x x ；⑤11>+x x ； A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

要点三、不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a ＞b ，那么a±c ＞b±c.

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或a b c c

>)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或

a b c c

<)． 例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．

（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；

（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；

（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；

（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；

（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．

（6）若a ＞b ＞0，则＜． ． 【答案与解析】

解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；

（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；

（3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误；

（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；

（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．

（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．

故答案为：√、×、×、√、√、√．

【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．

例4.（2017?青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b

【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．

【答案】D.

【解析】

解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；

B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；

C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；

D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.

【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．

举一反三：

【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3

m

”，则m的取值范围是．

【答案】m＜0.

解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3

m ”，

∴m的取值范围是m＜0．

故答案为：m＜0．

【巩固练习】

一、选择题

1.（2016春?北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）

A．2个B．3个C．4个 D．5个

2．下列不等式表示正确的是( ).

A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5 C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0

3.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( )

A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．-a＜-b D．a-b＜0

5．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正

确的是（）.

A.a>c

B.a

C.a

D.b

6．下列变形中，错误的是（）.

A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若

2

1

3

x

->，则

2

3

x<-

C．若

1

1

5

x

-<，则x＞-5 D．若

11

1

5

x>，则

5

11

x>

二、填空题

7．（2016秋?太仓市校级期末）如果a ＜b ，则﹣3a

﹣3b （用“＞”或

“＜”填空）． 8．用不等式表示“x 与a 的平方差不是正数”为 ．

9．在-l ，12-，0，23

，2中，能使不等式5x ＞3x+3成立的x 的值是________；________是不等式-x ＞0的解．

10．假设a ＞b ，请用“＞”或“＜”填空

(1)a-1________b-1； (2)2a______2b ； (3)12a -_______12

b -； (4)a+l________b+1． 11．已知a ＞b ，且

c ≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)

2a c _______2b c

(3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c| 12. k 的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k 的取值范围是_______．（使用形如a ≤x ≤b 的类似式子填空．）

三、解答题

13．现有不等式的性质：

①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；

②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．

请解决以下两个问题：

（1）利用性质①比较2a 与a 的大小（a≠0）；

（2）利用性质②比较2a 与a 的大小（a≠0）．

14. ①当a=3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是_______； ②当a=-3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是__________； ③当a=1，b=1时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是________； ④根据上述数学实验你猜想a 2+b 2与2ab 的大小关系_______；

⑤用a 、b 的其他值检验你的猜想______．

15．已知x＜y，比较下列各对数的大小．

(1)8x-3和8y-3； (2)

5

1

6

x

-+和

5

1

6

y

-+； (3) x-2和y-1．

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】C；

【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代数式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4个．故选C.

2. 【答案】D；

【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误；

x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是

负数应表示为m-4＜0，故D正确。

3.【答案】B.

4.【答案】D；

【解析】从不等式a＜b入手，由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式a＜b的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a＜2b，故选项B 不成立；由不等式的性质3，不等式a＜b的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a＞-b，故选项C也不成立；由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都减去b后，不等号的方向不变，得a-b＜0．故应选D．

5.【答案】A.

6.【答案】B；

【解析】B错误，应改为：

2

1

3

x

->，两边同除以

2

3

-，可得：

3

2

x<-。

二、填空题

7. 【答案】＞.

【解析】在a＜b的两边同时乘以﹣3，得：﹣3a＞﹣3b，两边同时加上，得：﹣3a＞﹣3b．故答案为：＞．

8.【答案】x2﹣a2≤0；

9.【答案】2；-1、

1 2 -

【解析】一一代入验证.

10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞；

11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜；

【解析】利用不等式的性质进行判断。

12.【答案】-1＜k≤3．

三、解答题

13.【解析】

解：（1）a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a，

a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a；

（2）a＞0时，2＞1，得2?a＞1?a，即2a＞a；

a＜0时，2＞1，得2?a＜1?a，即2a＜a．14.【解析】

解：①当a=3，b=5时，

a2+b2=34，2ab=30，

∵34＞30，

∴a2+b2＞2ab；

②当a=-3，b=5时，

a2+b2=34，2ab=-30，

∵34＞-30，

∴a2+b2＞2ab；

③当a=1，b=1时

a2+b2=2，2ab=2，

∵1=1，

∴a2+b2=2ab；

④综合①②③得出结论：a2+b2≥2ab（a=b时，取“=”）．证明：∵（a-b）2≥0（a=b时，取“=”），

∴a2+b2-2ab≥0，

∴a2+b2≥2ab．

⑤设a=2，b=2，则a2+b2=2ab=8，上述结论正确；

设a=5，b=3，则a2+b2=34，2ab=30，所以a2+b2＞2ab，综上所述，a2+b2≥2ab（a=b≠0时，取“=”）正确．

15.【解析】

解： (1)∵ x＜y ∴ 8x＜8y，∴ 8x-3＜8y-3．

(2)∵ x＜y，∴

55

y 66

x

->-，

∴

55

11 66

x y

-+>-+．

(3)∵ x＜y，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1，

∴ x-2＜y-1．

拓展：

类型一、不等式的概念

1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ).

【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．

【答案】D.

【解析】

解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即

每一个糖果的重量小于16

3

克．故A选项错；两个糖果的重量小于

322

10

33

=克故B选项

错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于

16641

421

333

?==克故D选项对．

【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．

举一反三：

【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）.

A ．■、●、▲

B ．▲、■、●

C ．■、▲、●

D ．●、▲、■

【答案】C.

类型二、不等式的基本性质 2.下面四个命题：（1）22ac bc >,则a b >；（2）a b >，则a c b c >；

（3）若a b >，则

1b a

<；（4）若0a >，则b a b -<.其中正确的个数是（ ）. A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B.

【解析】(1)由22ac bc >得0c ≠，因为2c >0,所以a b >，正确；

（2）因为a b >，当0c =时，a c b c =，所以错误；

（3）因为a b >，当0a =时，b a 没有意义，而当0a <时，1b a

>，所以错误； （4）因为0a >，所以0a -<，b a b -<，正确.

【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数.

举一反三：

【变式1】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．

A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞b

C．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b

【答案】D.

【变式2】若点P（1﹣m，m）在第一象限，则（m﹣1）x＞1﹣m的解集为．【答案】x＜﹣1.

解：∵点P（1﹣m，m）在第一象限，

∴1﹣m＞0，

即m﹣1＜0；

∴不等式（m﹣1）x＞1﹣m，

∴（m﹣1）x＞﹣（m﹣1），

不等式两边同时除以m﹣1，得：

x＜﹣1，

故答案为：x＜﹣1．

3.设a＞0＞b＞c，且a+b+c=-1，若M＝b c

a

+

，N＝

a c

b

+

，P＝

b

c

，

试比较M、N、P的大小．【答案与解析】∵a+b+c=-1，∴b+c=-1-a，

∴M=

1a

a

--

=?1?

1

a

，

同理可得N=?1?1

b

，P=?1?

1

c

；

又∵a＞0＞b＞c，

∴1

a

0＞

1

c

＞

1

b

，

∴?1?1

a

＜?1＜?1?

1

c

＜?1?

1

b

即M＜P＜N．

【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．

4.（2016春?唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．

【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．

又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．

又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①

同理得1＜x＜2…②

由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．

∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．

【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．

【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【答案与解析】

解：∵x﹣y=﹣3，

∴x=y﹣3．

又∵x＜﹣1，

∴y﹣3＜﹣1，

∴y＜2．

又∵y＞1，

∴1＜y＜2，…①

同理得﹣2＜x ＜﹣1…②

由①+②得1﹣2＜y+x ＜2﹣1．

∴x+y 的取值范围是﹣1＜x+y ＜1．

【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．

【巩固练习】

一、选择题

1．下列不等式中，一定成立的有( ).

①5＞-2；②21a >；③x+3＞2；④a +1≥1；⑤22(1)(1)0a b ++>．

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

2.若a+b ＞0，且b ＜0，则a ，b ，-a ，-b 的大小关系为（ ）.

A ．-a ＜-b ＜b ＜a

B ．-a ＜b ＜-b ＜a

C ．-a ＜b ＜a ＜-b

D ．b ＜-a ＜-b ＜a

3．若a ＜b ，则下列不等式：①111122

a b -+<-+；②5151a b -+<-+； ③22a b --<--．其中成立的有( ).

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．0个

4．若0＜x ＜1，则x ，

1x

，x 2的大小关系是( ). A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x <<

5.已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且

a b

，给出下列四个不等式： ①a c a b c d <++；②c a c d a b <++；③d b c d a b <++；④b d a b c d <++ 其中不等式正确的是（ ）.

A. ①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③

6．（2016春?丰台区期末）下列不等式变形正确的是（ ）

A ．由a ＞b ，得a ﹣2＜b ﹣2

B ．由a ＞b ，得﹣a ＜﹣b

C ．由a ＞b ，得

D ．由a ＞b ，得ac ＞bc

二、填空题 7．在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为x m ，则用不等式表示图中标志的意义为________．

8．(1)若22

a b c c <，则a_________b ； (2)若m ＜0，ma ＜mb ，则a_________b ．

9．已知2|312|(2)0x x y m -+--=，若y ＜0，则m________．

10．已知关于x 的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a 的取值范围是________．

11．（2016春?济南校级期末）下列判断中，正确的序号为 ．

①若﹣a ＞b ＞0，则ab ＜0；②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0；③若a ＞b ，c≠0，则ac ＞bc ；④若a ＞b ，c≠0，则ac 2＞bc 2；⑤若a ＞b ，c≠0，则﹣a ﹣c ＜﹣b ﹣c ．

12．如果不等式3x-m ≤0的正整数解有且只有3个，那么m 的取值范围是________．

三、解答题

13．用不等式表示：

(1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天，并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个，请写出满足条件的x的关系式；

(2)今年，小明x岁、小强y岁、爷爷m岁；明年，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄．

14．若a＞b，讨论ac与bc的大小关系．

15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．

(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；

(2)比较a+b与a-b的大小；

(3)比较3a+2b与2a+3b的大小．

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】B；

【解析】一定成立的是：①④⑤；

2. 【答案】B.

3. 【答案】A ；

【解析】根据不等式的性质可得，只有①成立.

4. 【答案】C；

【解析】∵0＜x＜1，∴ x2≤x≤1

x

.

5.【答案】A；

【解析】∵a

b

<

c

d

，a、b、c、d都是正实数，

∴ad＜bc，

∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），

∴

a c

a b c d

<

++

，所以①正确，②不正确；

∵a

b

<

c

d

，a、b、c、d都是正实数，

∴ad＜bc，

∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c），

∴

d b

c d a b

<

++

，所以③正确，④不正确．

故选A．

6.【答案】B．

【解析】A、a＞b，得a﹣2＞b﹣2，错误；

B、a＞b，得﹣a＜﹣b，正确；

C、a＞b，得，错误；

D、当c为负数和0时不成立，故本选项错误，故选B.

二、填空题

7. 【答案】x≤4；

8. 【答案】(1)＜， (2)＞；

【解析】（1）两边同乘以2c （20c ≠）；（2）两边同除以(0)m m <.

9. 【答案】＞8；

【解析】由已知可得：x ＝4，y ＝2x-m ＝8-m ＜0，所以m ＞8.

10．【答案】35

a >-. 11.【答案】①④⑤

【解析】解：∵﹣a ＞b ＞0，∴a ＜0，b ＞0，∴ab ＜0，①正确； ∵ab ＞0，∴a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0，②错误；

∵a ＞b ，c≠0，∴c ＞0时，ac ＞bc ；c ＜0时，ac ＜bc ；③错误； ∵a ＞b ，c≠0，∴c 2＞0，∴ac 2＞bc 2，④正确；

∵a ＞b ，c≠0，∴﹣a ＜﹣b ，∴﹣a ﹣c ＜﹣b ﹣c ，⑤正确．

综上，可得正确的序号为：①④⑤．

12.【答案】9≤m ＜12；

【解析】3x-m ≤0，x ≤

3m ，3≤3

m ＜4，∴ 9≤m ＜12. 三、解答题

13.【解析】

解：(1)16×6+(31-16-3)x ＞198;

(2)3(x+1)+6(y+1)＞m+1.

14.【解析】

解：a ＞b ，

当c ＞0时，ac ＞bc ，

当c=0时，ac=bc ，

当c ＜0时，ac ＜bc ． 15.【解析】

解：(1)222232153240a b a b b b -+--+-=--<．

利用基本不等式求最值的类型及方法

1 利用基本不等式求最值的类型及方法 1 解析：y x 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 芳 1(x 1) -1 ?」1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ① a 2 b 2 2ab a 2 b 2 ab （a 、b R ）,当且仅当a = b 时，"=”号成立; 2 1 2 2(x 1) ② a b 2 ab 2 a b ab （a 、b R ），当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2 当且仅当 1)即x 2时，“ 5 ”号成立，故此函数最小值是 -。 2 ③ a 3 b 3 c 3 3abc 3 abc ― b 3 3 3 c ( (a 、 立； ④ a b c 3v abc abc a b 3 c (a abc 3 a 、 b 、 c R ），当且仅当a = b = c 时，“=”号成 b 、 c R ）,当且仅当a = b = c 时，“=”号 成立? 注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一 “正”、二“定”、三“等”； 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①y x 2 (3 2x)(0 x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 ② 熟悉一个重要的不等式链: b 2 2 解析：①Q 0 x - ,? 3 2 2x ?- y 当且仅当 (3 2x)(0 x 3 2x 即 x ,?? sin x 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。 二、函数 f(x) ax X b 0）图象及性质 （1）函数 f(x) ax b a 、 X b 0图象如图： ⑵函数 f(x) ax b a 、 X b 0性质： ①值域：（ J 2 ab] [2 一ab,)； ②单调递增区间：（ 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 sin 2 x sin 2 x coSx 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 「 -------- —) 刃 .2 sin x 2cos x (0 tan x 2，即 x arctan^^ 时“=”号成立, ）;单调递减区间: b ], a ，［ (0, ,0) ? 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f （x ） （0 x 1）的最小 值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。 解法一：（单调性法）由函数 f(x) K ax - （a 、b 0）图象及性质知，当 x （0,1］时，函数 x 例1、求函数y 1 x 2^（x 1） 的最小值。 f （x ） x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则 f(xj f(X 2) (X 1 X 2) (— —) (X 1 X 2)4 匹 为 (X 1 X 2)4 , x-1 X 2 X !X 2 X 1X 2

基本不等式练习题及答案解析

1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定 答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____． 答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值． 解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83， 当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3

解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导 过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均 变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时， 等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

基本不等式专题 ---完整版(非常全面)

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅 当b a =时取“=”） （4）若 R b a ∈,，则 2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （ 5 ） 若 * ,R b a ∈，则 2 2111 22b a b a ab +≤+≤≤+ （ 1 ） 若 ,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+) 22212) n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等

一元一次不等式---教师版

不等式的俩边都乘上(或除去）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的俩边都乘上(或除去）同一个负数，不等号的方向改变。“>”填空。若a>b 且m≠0，则 ___a b (2) 2 2 ____ a b m m ___m a m b (4) ___a m b m 1. 若0,a 则下列各式错误的是（C ） 1a B 10a 10a 2a 0,m 那么（20032004m m 3.14m m C 2003 200420042003m m D 1 1 23 m m 关于x 的方程7 45ax x 的解是正数，求的取值范围。 解： ax+7=4x-5 ax-4x=-12 x=-12÷(a-4)>0 a b a m b m m>0am>bm: a b a b m m 且m<0am

2 1 32 x x 2)36 x x 436 x x 364 x x 合并同类项得2 x 把系数化为1得2 x 解不等式： 221 23 x x 2)2(21) x x 622 x x 226 x x 合并同类项得8 x 把系数化为1得8 x 解关于x的不等式：(m m-1＞0，m＞1时，

变式 不等式-2x<4的解集表示在数轴上，正确的是（B ） A C 四．一元一次不等式组 一元一次不等式组解集的确定主要是借助数轴直观找到．共分四种情况，“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不见”， 例6 不等式组 2110 x x >-?? -≤?的解集是_1 12x -<≤-____________________ 不等式组 图示 解集 x a x b b a x a >（同大取大） x a x b ? b a b x a <<（大小交叉取中间） x a x b >??

基本不等式求最值的类型与方法,经典大全

专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．

不等式复习资料(教师)

不等式复习资料 1 ?已知f3为R 上的减函数，贝IJ 满足f （丄）>f （l ）的实数W 的取值范围是（ ） X A. (—8,1) B ?(1,+8) C ?(―8,0)U (0,1) D ?(―8, 0)U (I, + 8) 【答案】D fx>0 2x-2y+l<0 【答案】B 5. 当XG （1,2）时，不等式x 2+/m+4<0恒成立，则加的取值范围是 ________________ 。 【答案】（一8，—5] 6. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4俩甲型货车和 8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台：每辆乙型货 车 运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费 用为（ ） A. 2000 元 B. 2200 元 C. 2400 元 D. 2800 元 【答案】B 0100 2.在约束条件! y0且XH I 时，lgx+ 1 >2 lgx C.当x>2^.x +丄的最小值为2 x B ?当x>0时，肩+4=?2 D.当0VXS2时,兀一丄无最大值 x 4.已知正数X 、 y 满足v 2x-y<0 x-3v+5>0 则z = 2 2x+y 的最大值为（ A. 8 【答案】 B. 16 C. 32 D. 64

利用基本不等式求最值的类型及方法

利用基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①， 、)(2 22 222R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1)22(1) x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2 y x x x π =<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则

广东高考数学(理)一轮题库：7.4-基本不等式(含答案)

第4讲基本不等式一、选择题 1．若x＞0，则x＋4 x 的最小值为( )． A．2 B．3 C．2 2 D．4 解析∵x＞0，∴x＋4 x ≥4. 答案 D 2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1 a ＋ 4 b 的最小值是( )． A.7 2 B．4 C. 9 2 D．5 解析依题意得1 a ＋ 4 b ＝ 1 2? ? ? ? ? 1 a ＋ 4 b( a＋b)＝ 1 2? ? ? ? ? ? 5＋ ? ? ? ? ? b a ＋ 4a b≥ 1 2? ? ? ? ? 5＋2 b a × 4a b ＝9 2 ，当且仅当 ?? ? ?? a＋b＝2 b a ＝ 4a b a＞0，b＞0 ，即a＝ 2 3 ， b＝4 3 时取等号，即 1 a ＋ 4 b 的最小值是 9 2 . 答案 C 3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a

又v －a ＝2ab a ＋ b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值 22 解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 2 2 ＝ a ＋b 2 －2ab 2 ，所以ab ≤1 4 ，故B 错； 1 a ＋1 b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2 ≤ a ＋b 2 ＝ 1 2 ，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝1 2， 故D 错． 答案 C 5．已知x >0，y >0，且2x ＋1 y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2) 解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1 y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )? ???? 2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ， 即x ＝4，y ＝2时取等号， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4

基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）2 2 21 3x x y += （2）)4(x x y -=

不等式及其性质(教师版)

一、不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系； 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用； 3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号读法意义 “≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大 “≤”读作“小于或等 于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥”读作“大于或等 于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 类型一、不等式的概念 例1. 判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）4＜5； （2）x2+1＞0； （3）x＜2x-5； （4）x=2x+3； （5）3a2+a； （6）a2+2a≥4a-2． 变式练习： 1.（2017春?城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（） A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27D．18≤t≤27 2.（2017春?未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-5；③x≥-1；④

基本不等式与最大最小值资料讲解

3.2 基本不等式与最大（小）值 1．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是 ( )． A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．5 解析 ∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥4. 当且仅当????? a ＝ b ，ab ＝1， 即a ＝b ＝1时，原式取得最小值4. 答案 C 2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是 ( )． A ．32－3 B ．－3 C ．6 2 D ．62－3 解析 y ＝3? ????x 2＋2x 2＋1＝3? ?? ??x 2＋1＋2x 2＋1－1≥3·(22－1)＝62－3. 答案 D 3．下列函数中，最小值为4的函数是 ( )． A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π) C ．y ＝e x ＋4e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 81 解析 对于A ，x ＋4x ≥4或者x ＋4x ≤－4；对于B ，等号成立的条件不满足；对于D ，也 是log 3x ＋log x 81≥4或者log 3x ＋log x 81≤－4，所以答案为C. 答案 C 4．当x ＝________时，函数f (x )＝x 2(4－x 2)(0＜x ＜2)取得最大值________． 解析 ∵f (x )＝x 2·(4－x 2)≤? ?? ??x 2＋4－x 222＝4，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取等号， ∴f (x )max ＝4. 答案 2 4 5．某公司一年购买某种货物200吨，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用恰好为每次的购买吨数(单位：万元)，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买________吨． 解析 设每次都购买x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x 万元，一

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A.

不等式及其性质(教师版)

不等式及其性质(教师 版) https://www.sodocs.net/doc/1c9863009.html,work Information Technology Company.2020YEAR

一、不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系； 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用； 3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2) (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 类型一、不等式的概念 例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． 例2.（1）4＜5； 例3.（2）x2+1＞0； 例4.（3）x＜2x-5； 例5.（4）x=2x+3； 例6.（5）3a2+a；

例7. （6）a 2+2a≥4a -2． 变式练习： 1.（2017春?城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t ℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（ ） A ．18＜t ＜27 B ．18≤t ＜27 C ．18＜t≤27 D ．18≤t≤27 2.（2017春?未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a ；②-2＞-5；③x≥-1；④ 31y-4＜1；⑤2m≥n ；⑥2x-3，其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3.（2017春?南山区校级月考）下面给出了6个式子：?3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x-1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4.（2017春?太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ） A ．两种客车总的载客量不少于500人 B ．两种客车总的载客量不超过500人 C ．两种客车总的载客量不足500人 D ．两种客车总的载客量恰好等于500人 5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空． （1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m?n 0； （6）m+1 0． 例2．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数； (2)x 与5的和的28％不大于-6; (3)m 除以4的商加上3至多为5． 举一反三： 【变式】a a 的值一定是（ ）．

基本不等式求最值技巧

基本不等式求最值技巧 一. 加0 在求和的最小值时，为了利用积的定值，有时需要加上零的等价式。 例1. 已知，且，求的最小值。 解：因为，所以，所以， ，所以。式中等号当且仅当时成立，此时。所以当时， 取最小值。 例2. 设，且，求的最小值。 解：因为，，所以，所以，且。 所以 式中等号当且仅当时成立，此时。将它代入 中得。所以当时，取最小值 。

2. 乘1 在求积的最大值时，为了凑出和的定值，有时需要乘上1的等价式。 例3. 已知，且，求xyz的最大值。 解：因为，且， 所以 式中等号当且仅当时成立，此式可写为，令其比值为t，则，，，把它们代入，解得。所以当， 时，xyz取最大值。 3. 拆式 在运用基本不等式求最值时，为满足解题需要，有时要进行拆式。 例4. 求函数的最小值。 解：因为，所以， 所以

式中等号当且仅当时成立，解得，所以当时，。例5. 设且，求的最小值。 解：因为， 所以 式中等号当且仅当时成立，此时，所以当时，取最小值3。 4. 拆幂 在求积的最大值时，为了满足和为定值时对项数的要求，有时要拆幂。 例6. 设，求函数的最大值。 解：因为，所以 所以 式中等号当且仅当时即时成立。所以当时，。例7. 设，且为定值，求的最大值。

解：因为 所以 式中等号当且仅当时成立，此时。 所以当，取最大值。 5. 平方 在求积的最大值时，有时要凑出和的定值很困难，但积式平方后却容易凑出和的定值。 例8. 设，且为定值，求的最大值。 解：因为， 所以 所以 式中等号当且仅当时成立，此时

所以当时，取最大值。 例9. 已知，求的最大值。 解：因为，所以， 所以 所以。式中等号当且仅当，即时成立。所以当时，。

基本不等式(含答案)

§3.4 基本不等式：ab ≤ a ＋ b 2 材拓展 1．一个常用的基本不等式链 设a >0，b >0，则有： min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }， 当且仅当a ＝b 时，所有等号成立． 若a >b >0，则有： b <21a ＋1b 0，则a b ＋b a ≥2. 3．利用基本不等式求最值的法则 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (a ，b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值． (1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab ≤????a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时， 等号成立． (2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 注意：利用基本不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”． 4．函数f (x )＝x ＋k x (k >0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f (x )＝x ＋k x (k >0)的单调性加以解决． 利用函数单调性的定义可以证明函数f (x )＝x ＋k x (k >0)在(0，k ]上单调递减，在[k ，＋∞)上单调递增． 因为函数f (x )＝x ＋k x (k >0)是奇函数，所以f (x )＝x ＋k x (k >0)在(－∞，－k ]上为增函数，在[－k ，0)上为减函数．

基本不等式完整版(非常全面)

2 8 基本不等式专题辅导 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数 的和为定植时，它们的积有最小值； a b 6、柯西不等式 （1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(柑 b ? b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s ) (3) 设a 1,a 2, ,a n 与 db, ,b 是两组实数，则有 2 2 2 p22 2 佝 a 2 a . )(0 b 2 b n )(日山 a 2b 2 a n b n ) 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二 (2)右 a, b R ，则 ab a,b,c 为两两不相等的实数， (2)若 a, b R ,则 ab b 2 ab bc ca 4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等” 5、常用结论 1 (1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”) x 1 (2)若 x 0,则 X - 2 （当且仅当 x 1时取 “=”) X (3)若 ab 0,则-- 2 （当且仅当 a b 时取 “=”) b a 2 2 (4)若 a, b R ，则 ab （ 旦 b)2 a b 2 2 (5)若 a, b R ，贝U 1 . a ab b a 2 b 2 v ------ 1 1 2 2 (1 已知a a,b,c a )(1 1, 求证: b)(1 c) 8abc a, b, c R

高中数学不等式知识点总结教师版

高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b ab +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小；