叠加原理在物理学中的应用

目录

引言 (1)

1叠加原理在电磁学中的应用 (1)

电场强度的分析计算 (1)

磁感应强度的分析计算................................. 错误!未定义书签。叠加原理的应用技巧................................... 错误!未定义书签。2根据叠加原理计算线性电路的电流电压 .................. 错误!未定义书签。3叠加原理在数学物理问题中的应用...................... 错误!未定义书签。弦的自由振动 ........................................ 错误!未定义书签。弦的受迫振动 ........................................ 错误!未定义书签。4叠加原理在波动光学中的运用.......................... 错误!未定义书签。5叠加原理在量子力学中的应用.......................... 错误!未定义书签。6叠加原理的数学基础 ................................. 错误!未定义书签。结束语.............................................. 错误!未定义书签。参考文献：.......................................... 错误!未定义书签。英文摘要. ........................................... 错误!未定义书签。致谢................................................ 错误!未定义书签。

叠加原理在物理学中的应用

摘要：叠加原理是物理学中的基本原理之一,对物理学的研究起着极其重要的作用。但在物理学中叠加原理并不是一条普遍的原理,只有当描写物质运动的微分方程是线性方程时,才可应用叠加原理进行分析计算。本文列举叠加原理在电场中电场强度的计算、磁场中磁感应强度的计算、数学物理问题的求解、电路分析和光的波动特点的描述,以及量子力学态叠加原理及相关问题的讨论计算等等,最后对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理在应用方面的思维方法与灵活技巧的理解。

关键词：叠加原理；应用；数学基础；线性方程

引言

所谓叠加原理是指：几种不同原因综合所产生的总效果，等于这些不同原因单独存在时产生效果的总和[1]。自然界中有许多现象尤其是物理现象具有明显的叠加性，在解决与这些现象的有关实际问题时应用叠加原理会使问题易于解决，同时叠加原理为解决这些问题提供了简便方法。本文在总结分析叠加原理在电磁学、电路分析、数学物理问题、波动光学及量子力学中应用的基础上，对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理的认识理解，以便今后更好的加以应用。

1叠加原理在电磁学中的应用

电场中的电场力、电场强度、电势、介质极化强度、电位移矢量，磁场中的

磁场力、磁感应强度、磁场强度等等物理量的分析计算都可应用叠加原理使问题

简化[1]。若所求量为标量则直接相加减，若为矢量其叠加则服从平行四边形定则。通常利用对称性将矢量分解在两个相互垂直的方向上，化矢量叠加为标量叠加简

化计算，当其中某一方向分量的大小相等方向相反相互抵消时，就转化为一个方

向的标量叠加。

电场强度的分析计算

大家熟知，一个半径为R，带电量为q的均匀带电圆环[2]，可以看成许许多

多线元的叠加，而任一线元在轴线上一点产生的电场强度为一矢量，方向沿径向（k?），根据其电场的对称性分析知场强只有沿轴向分量，因而将矢量叠加退化

成标量叠加，由电荷的场强公式叠加求积分得轴线上一点的场强为

k

z R qz E ?)

(42

3220+=

περ

若求轴线上一点电势则可直接将点电荷电势公式求积分而得

2

2

41R

z q U +=

πε

我们在应用叠加原理解决电场、磁场问题时，要注重思维的发散性，方法的

灵活性，体现叠加的灵魂与思想。如用上述方法求得均匀带电的4

1

圆弧在其中心

点产生的电场强度为

j R

i R E ?

4?400πεηπεη-=

ρ 其中η为电荷线密度，如图所示：

则均匀带电半圆环y 轴分量相互抵消，中心点的i R

E ?

20πεη=

ρ

；均匀带电圆环E ρ为零，由公式（）令z=0同样得0=E ρ

。

若把均匀带电圆盘看成是一个个细圆环的叠加，则由公式（）积分得圆盘轴线上一点的场强为

)1(2220z R z E +-=εσρ

若许许多多这样的圆盘叠加起来可以组成一个均匀带电球体，亦可求积分得其产生的场的分布。广而推之这样的叠加思想可以用下面的积分公式统一表示，

???

?

??

???===??????V r S r l r e r dV

E e r dS

E e r dl

E )(?41)(?41)(?41202020为电荷体密度为电荷面密度为电荷线密度ρρπεσσπεηηπε （） 磁感应强度的分析计算

无穷长导线载有电流I ，在中间弯成一半径为R 的半圆弧，其余部分则与圆的轴线平行，如图所示，圆弧中心O 的磁

感应强度B ρ

等于两半无穷长直线与半圆电流在圆心处产生的磁感应强度[3]的叠加。根据Biot-Savart 定律和对称性，两段直线电流在O 点产生的磁感应

强度大小相等，方向相同，都沿图中z 轴方向。每一段所产生的B 1大小为

R

I R l R l

IR R l dl

IR R l R

R l Idl

B l l πμπμπμπμ44)(4)(40022200220

02

222012

3

=?

?????+=+=

++=∞

==∞∞

??

（）

半圆电流在O 点产生的磁感应强度B 2方向沿x 轴负方向。其大小为

R I

R R I R Idl B R

44402

00

202μππμπμπ=?==?

（）

于是得所求的磁感应强度为

)?2?(4?2?4??20002

1k i R I k R I i R I i B k B B π

μπμμ-=-=-=ρ （） B 与x 轴的夹角为

π

πθ2

arctan -= （）

类似的问题有许多，我们不再重复，而叠加原理作为一种基本方法其在应用中的简洁性、技巧性同样值得我们深刻灵活的加以理解应用。

叠加原理的应用技巧

电偶极矩为l q p ρρ

=的电偶极子，在空间任一点产生电场强度的计算，若在球坐

标下由点电荷场强公式与叠加原理去计算，数学化解过程相当复杂，用到的数学知

识也有一定的难度，但若将原来电偶极子在P 点产生的电场强度E ρ

，看成是两个相

互垂直的电偶极子（电偶极矩分别为1p ρ和2p ρ

）在P 产生的电场强度r E ρ和E ρ的叠加，则可极大的简化计算过程降低计算难度。

如图所示，P 点到电偶极子中心的距离为r,r 与l 的夹角为θ,其中

θ

θsin cos 21p p p p ==

这样就可以利用电偶极子延长线和中垂线

上的场强公式进行计算。

其中延长线上离电偶极子中心O 为r 处的电场强度大小为

3

02220241)

4(241

r P

l r rP E πεπε≈-=

中垂线上离电偶极子中心O 为r 处的电场强度大小为

3

2

322041)4(41

r P

l r P E πεπε-≈+-

= 电偶极矩为1p 的电偶极子在P 点产生的电场强度r E ρ

沿r 方向上，大小为

303104cos 2241

r p r p E r πεθ

πε==

电偶极矩为2p 的电偶极子在P 点产生的电场强度θE ρ

沿垂直r 方向上，大小为

30320

4sin 41r

p r p E πεθπεθ==

P 点的合成电场强度E ρ

的大小为

1cos 34sin cos 4423

0223

022+=

+=

+=θπεθθπεθr p r p E E E r

r E ρρ与的夹角为)2

1(cos 2sin θθθαθtg arctg arctg E E arctg r ===

2根据叠加原理计算线性电路中的电流电压

求解线性电路时，一般应用电路分析的基本定律基尔霍夫定律求解，但对于一

些有几个电源共同作用的线性电路[4]，应用叠加原理求解更易理解且可简化计算。应用叠加原理时，各支路的电流(或电压)等于各个电源分别单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和(叠加)。考虑任一独立源单独作用下,其它独立源应视为零值,即独立电压源用短路代替,独立电流源用开路代替,而全部受压源则应该保留。应用叠加时要注意电流或电压的参考方向，正确选取各分量的正负号[5]。用基尔霍夫定律和叠加性求解电路问题各有其优缺点，用基尔霍夫定律求解根据回路个数列方程便于求解回路个数较少的电路，而用叠加原理求解根据独立源个数列方程，对于独立源较少而回路个数较多的复杂电路用叠加原理求解更简便。

若计算如图所示电路中各支路电流。已知1E =10V ，2E =6V ，1R =10Ω?，2R =90Ω，3R =Ω，4R =Ω。通常由基尔霍夫方程联立求解：

???

??=+=++=+-2332

2122411321)(0

E

R I R I E R I R R I I I I （） 得各支路电流或电压，这样解方程组数学运算较复杂，尤其是对于支路回路数较多 的复杂电路就更复杂了，一旦数学计算上出错，则全盘皆输。

而由叠加原理，1E 和2E 单独作用时的电路，如图（b ）、（c ）所示。根据图（b ）可由电路欧姆定律求得1E 单独作用时各支路的电流，即

A R R R R R R E I 97.01

.0901.090102.010

3

232141

1=+?+

+=

+?+

+=

'

（）

根据图（c ）可由欧姆定律得A I 647.03="

由分流公式求得2E 单独作用时各支路的电流，即

I R

（a ） （b ） （c ）

图 原电路及电源单独作用时的电路

A I R R R R I 581.0647.090

2.1090324121=?+="

++=

" （）

由叠加原理得： A I I I 389.0581.097.0111=-="

-'= （） 同理可求得： A I I I 067.0222="

+'=

A I I I 322.0333-='

-"= （） 由上述分析可联想到对于有较少电源作用的复杂线性电路只需求某一支路的电流时，应用叠加原理及基本电路定律就可便洁地解决问题。 3叠加原理在数学物理问题中的应用

弦的自由振动

研究两端固定的均匀弦的自由振动[5]，即定解问题

泛定方程 02=-xx tt u a u （） 边界条件 0|0==x u 0|==t x u （） 初始条件 )(|0x u t ?==

)(|x u t t ψ== （）

利用分离变量法令)()(),(t T x X t x u =

可得l

x

n l at n B l at n A t x u n n πππsin

)sin cos (),(+=，（n=1,2,3,…） （） 以上是满足振动方程和边界条件的线性独立的特解，由于方程和边界条件都是线性齐次的，本征振动的线性叠加

l

x

n l at n B l at n A t x u n n n πππsin )sin cos

(),(1+=∑∞

= （） 仍然满足方程和边界条件，这就是一般解，其中n n B A 和为任意常数，由初始条件确定，

ξ

πξ

ξψπψπξ

πξ

ξ?ψd l

n a n a n l B d l

n l A l n n l n n sin )(2sin )(200??=?===傅立叶系数傅立叶系数

（）

至此，定解问题已解决。 弦的受迫振动

若受外力作用的受迫振动[6]，其泛定方程为

),(2t x f u a u xx tt =- （）

为了研究方便设弦的初位移、初速度均为零，只受外力的扰动，定解条件为

,

0|,0|00====t x u u

|0|====τt l x u u （）

由（）表明，作用在每单位长弦上的外力为

),(),(t x f t x F ρ= （）

根据叠加原理，把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力的叠加，从时刻零持续作用到时刻t 的振动，就等于“瞬时”力引起的振动的叠加，每个“瞬时”力作用时间为［τττd +,］，作用在x 点的冲量为τd t x F ),(，可用δ函数表示“瞬时”力为τδd t x t x F ),(),(，那么我们就得到τδρd t x t x f t x F l

?=0),(),(),(

则（），（），（）的定解问题就转化为

???

??===-==0|0

|)

,(),(0

02t x xx tt V V t x t x f V a V δ0|0|0====t t l x V V （）

),,(τt x V 的定解问题可以这样求出，

“瞬时”力),(),(t x t x f δρ在时刻0+τ（比τ略大的时刻）以后不起作用，这样，“瞬时”力的作用只视为使系统带有一个冲量，这个冲量使系统初速度不再为零，定解问题为：

???

??====-+===)

,(|

0||002t x f V V V O V a V t t l x x xx tt τ 0|0=+=τt V （）

原定解问题已化为齐次方程可用分离变量法或傅立叶级数法求解。这种方法用到冲量定理所以又叫冲量定理法。

若初始条件不为零，可利用叠加原理，把u 分解为II I u u 和之和，其中I u 的初始条件是非零值，但方程是其次的，可用分离变量法求解；II u 的方程是非齐次的，但初始条件为零值，可用冲量定理法求解。

求解拉普拉斯[6]方程时，利用分离变量法把偏微分方程分解为几个常微分方程，自变量各自分离开来，另代入齐次边界条件把其转化为常微分方程的附加条件，这些条件和相应的常微分方程构成本征问题，求得线性独立的特解。所求确定解为本征特解的叠加，最后利用初始条件确定叠加系数。求解泊松方程时，可任取方程的一个特解v ，然后令u=v+w ，这就把问题转化成求解w,而0=-?=?-?=?f u v u w 这不再是泊松方程而是拉普拉斯方程。

4叠加原理在光学中的运用

光的波动满足的方程波动方程是线性方程，因此光波也遵从叠加原理，当几个波相遇时,在相遇处的总位移是它们各自独立在该处所产生的位移的矢量和。两个可能的波动过程线性叠加也是一个可能的波动过程,叠加以后有些区域振动加强,有些区域振动减弱,利用光波叠加原理可在理论上解释光的干涉、衍射现象[1]，验证单色波叠加所形成干涉图样等。

用波的叠加原理说明波的干涉现象如图所示：

有两个相干波源，位于1S 和2S 点，发出的波在空间任一点P 相遇时，P 点上的质元振动可由波的叠加原理来计算．这两列波到达P 点时的振幅分别变为1A ，2A ，则P 点参与的两个同方向、同频率的分振动分别为

??? ??

-+=??????+??? ??-=λπ??11111112cos cos r wt A u r t w A y

??? ??

-+=??????+??? ??-=λπ??22222222cos cos r wt A u r t w A y

u 为波速．由同方向、同频率振动的叠加可得P 点的合振动为

)cos(?+=wt A y

)2cos(22

121212

221λπ

??r r A A A A A ---++=

)

2cos()2cos()

2sin()2sin(tan 2

221112

221

11λ

π?λπ?λπ?λπ??r A r A r A r A -+--

+-

=

1A 、2A 为两列相干波在P 点引起的两个分振动的振幅为定植，故P 点的合振动振

幅A 只取决于两个分振动的相位差12?，即

λ

π

???2

121122r r ---=

其中，21??-和21r r -是恒定的，所以12?为一恒量．这就表明，每一点的合振幅A 亦是恒量，其量值则取决于该点在空间的位置(由21r r -确定)。 若πλ

π

???k r r 222

12112=---= Λ2,1,0±±=k

则该点合成振动的合振幅最大,21A A A +=，即干涉加强； 若πλ

π

???)12(22

12112+=---=k r r Λ2,1,0±±=k

则该点合振动的合振幅最小， 21A A A -=，即干涉减弱． 5叠加原理在量子力学中的应用

在量子力学中用态函数[7]描写一个物理系统的状态，基本运动方程薛定谬方程是齐次的线性微分方程,具有叠加性。即态叠加原理[8]：

态ψ可以表示为两个态??n ψψψ，

，21的线性叠加，即 ∑=?+?++=n

n n n n c c c c ψψψψψ2211 （）

其中??,,,21n c c c 为复数。这时态叠加原理表述如下：当??n ψψψ，

，21是体系的可能状态时，它们的线性叠加ψ也是体系的一个可能状态；也就是说，当体系处于

态ψ时，体系部分地处于态??n ψψψ，

，21中。确定的运动条件得到不确定的测量结果，而得到每一测量结果的几率又是确定的，叠加原理正是这一特征的高度概括和反应。通过量子力学中关于状态的态叠加原理可验证微观粒子的波动性[8]。

粒子的双狭缝衍射实验，以1ψ、2ψ分别表示粒子穿过上下面狭缝到达屏 B 的状态,用ψ表示粒子穿过两个狭缝到达屏 B 的状态,ψ可以写1ψ写成2ψ线性叠加,即

2211ψψψc c += ( 21,c c 为复数)据叠加原理,粒子在屏 B 上一点 P 出现的几率密

度是:

*

**||||)

*)((||||2121212*

122221122112*

2*

1*

12

22112ψψψψψψψψψψψψψc c c c c c c c c c c c +++=++=+= （）

上式右边第一项是粒子穿过上狭缝出现在P 点的几率密度,第二项是粒子穿过下狭缝出现在P 点的几率密度,第三、第四项是1ψ和2ψ 的干涉项。衍射图样的产生证明了干涉项的存在。 6叠加原理的数学基础

如上述物理学中的许多现象都遵从叠加原理,而这些现象大都分别满足下列的常微分或偏微分方程，且这些微分方程都是线性微分方程[9]，因此可推断具有叠加性的物理现象对应的数学模型都应是线性方程，也就是只有描述的系统是线性系统，才可以用叠加原理分析讨论。大量的物理事实验证了这一推论的正确性。从数学理论[10]来看,数学问题的线性性质正是相应物理现象服从叠加原理这一事实的反映,也就是线性微分方程的解应具有叠加形式的解。 （1）电磁场方程

由麦克斯韦方程组知：

ερ=??E ρ（其中0ρ为自由电荷体密度） （）

0=??B ρ

（）

又因为U E -?=ρ

则电势满足泊松方程

ερ-

=?U （） 若在没有自由电荷的地方，电势满足拉普拉斯方程

0=?U （）

可见（）、（）式为一阶线性偏微分方程，（）、（）式为二阶线性偏微分方程，即静电场、静磁场的数学模型是线性的。 （2）线性电路方程

如图的直流线性电路，由电路分析的基本定律基尔霍夫定律列出的方程是线性代数方程，若为交流动态涉及储能元件C 、L 的电路，由基尔霍夫定律列出的方程是一阶线性常微分方程，如最简单的RC 串联电路的放电过程，如图，

列出的方程：

0=+c c

u dt

du RC

（） 为一阶线性常微分方程。

（3）波动方程

具有波动特征的物理系统满足的方程为

f u a u n =?-2（有外力作用） （） 02=?-u a u n （无外力作用） （）

像弦的横振动、杆的纵振动、膜的振动等等都满足上面的二价偏微分方程。 （4）薛定谔方程

量子力学中用态函数描述一个物理系统，满足的方程是薛定谔方程：

),()(),(2),(22t r r V t r t t r i ψψμ

+?-=?ψ?ηη （）

为齐次线性偏微分方程。

可以把（）—（）式写为统一形式

f Ly = （）

其中微分算子L 是线性算子，y 是一个未知的函数，等式的右面是一个给定的函数。L 是线性的条件，排除了诸如把y 的导数平方那样的运算；但允许取y 的二阶导数。因此，线性微分方程的一般形式[10]是

)()2(2)1(1)(x f y a y a y a y n n n n =+++--Λ

如果0)(=x f ，那么方程便称为齐次线性微分方程，它的解称为补函数。这是一种很重要的方程，因为在解非齐次方程时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果i a 是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。 7结束语

以上的讨论,都是叠加原理在不同问题上的应用。但是在应用叠加原理分析问题时, 必须考虑描写物质运动的微分方程是否是线性方程, 因为叠加原理只能用于描写物质运动的微分方程是线性方程的情况,如果不是线性方程,则不能用叠加原理进

图 RC 串联电路

行分析计算。上面电场中电场强度的计算、磁场中磁感应强度的计算、电路分析、数理方法中弦的振动的求解和光的波动特点的描述,以及量子力学中态叠加原理及相关问题的讨论计算等等之所以能应用叠加原理分析计算，正是因为其基本运动方程都是线性的，而物理学中的许多定律、公式、多属于线性方程,因而叠加原理在物理学有极为广泛的应用。

参考文献

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[3]何红雨.载流圆弧导线圆心处磁感应强度的计算[J].广西右江民族师范专科学校

1999,20(1):22-23.

[4]唐小愚.叠加原理在含受控源的线性电路中的应用[J].贵州工业学,2000,18(1):88-89.

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[6]梁昆淼,刘法,缪国庆.数学物理方法[M].北京:高等教育出版社,180—221.

[7]关洪.关于量子力学中态叠加原理的讨论[J].中山大学物理系2007,26(1):7-9.

[8]周世勋.量子力学教程[M].北京:高等教育出版社,1979.

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2006(5):24-26.

[10]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007,294-341.

The Application Of Superposition In Physics,

Abstract：The principle of superposition is one basic principles in physics, which is widely used in the physics research and play a vital role .But the principle of superposition is not a universal principle, only then works as when the description motion of matter the differential equation is the linear equation and only then may carry on the analysis, the computation using the principle of superposition. For example,

electric-field intensity's computation, the magnetic induction

intensity's computation, the mathematical method some question's solution, the circuit analysis and the electromagnetism fluctuation characteristic's description, as well as quantum mechanics condition

principle of superposition and related question's discussion computation

and so on, may apply the principle of superposition simplification

questions nimbly.

Keywords: principle of superposition ;application;mathematical

foundation; the linear equation

地球物理学基础复习资料(白永利)

地球物理学基础复习资料 绪论 一．地球物理学的概念，研究特点和研究内容 它是以地球为研究对象的一门应用物理学，是天文学，物理学与地质学之间的 边缘学科。 地球物理学应用物理学的原理和方法研究地球形状，内部构造，物质组成及其 运动规律，探讨地球起源，形成以及演化过程，为维护生态环境，预测和减轻地球 自然灾害，勘探与开发能源和资源做出贡献。包扩地震学，地磁学，地电学，重力 学，地热学，大地测量学，大地构造物理学，地球动力学等。 研究特点：1.交叉学科地球物理学由地质学和物理学发展而来，随着学科 本身的发展，它不断产生新的分支学科，同时促进了各分支学科的相互交叉，加 强了它与地球科学各学科之间的联系。2.间接性都是通过观测和研究物理场的 信息内容实现地质勘查目标，研究的不是地质体本身，而是其物理性质。3 多解 性正演是唯一的，而反演存在多解。不同的地质体具有不同的物理性质，但产 生的物理场可能相同。不同的地质体具有相近的物理性质，由于观测误差，物理 场的观测不完整以及物理场特点研究不够，产生多解。不同的地质体具有相同的 物理性质，即使知道了地质体的物性分布，也无法确定其地质属性。 地球物理学的总趋势：多学科综合和科学的国际合作。 二．地球物理学各分支所依据的物理学原理和研究的物性参数。 地震学：波在弹性介质中的传播。地震体波走时，面波频散，自由振荡的本征 谱特征 重力学：牛顿万有引力定律。地球的重力场和重力位 地磁学：麦克斯韦电磁理论。地磁场和地磁势。 古地磁学：铁磁学。岩石的剩余磁性。 地电学：电磁场理论。天然电场和大地电场 地热学：热学规律，热传导方程。地球热场，热源。 第一章太阳系和地球 一．地球的转动方式。 1.自转地球绕地轴的一种旋转运动，方向自西向东，转速并非完全均匀，有微小变化。 2.公转地球绕太阳以接近正圆的椭圆轨道旋转的运动。 3.平动地球随整个太阳系在宇宙太空中不停地向前运动。 4.进动地球由于旋转，赤道附近向外凸出，日月对此凸出部分的吸引力使地 轴绕黄轴转动，方向自东向西。这种在地球运动过程中，地轴方向发生的运动即 为地球的进动。 5.章动。地轴在空间的运动不仅仅是沿一平滑圆锥面上的转动，地轴还以很小 的振幅在锥面内,外摆动，地球的这种运动叫章动。 二．地球的形状及影响因素。 地球为一梨形不规则回转椭球体。 影响因素：1.地球的自引力---正球体；2.地球的自转----标准扁球体；3.地球内 部物质分布不均匀--不规则回转椭球体

《应用地球物理学》前言报告

《应用地球物理学》前言报告 岩石物理技术在石油应用： 岩石物理学就只一门以岩石为研究对象，以物理学位研究手段的新学科。岩石是构成地球的最重要的材料，地球的结构和运动学性质必然与岩石的各种物理性质密切相关。岩石物理学是研究岩石在地球内部特殊环境下的各种行为及其物理性质的，针对油气勘探和储藏的岩石物理性质的研究是岩石物理学研究中较为成功的例子。 岩石或地质体中流体的运移，涉及到成岩作用、石油天然气开采等一系列问题，各国科学家都对这些问题给予了高度重视。 例:1：研究岩石中流体运移过程中由不同尺度研究问题组成的研究框架，是岩石物理学中正问题研究的典型例子。先从矿物尺度研究矿物及其晶粒的输运特性，从微观角度研究矿物的微结构和渗透性、矿物之间的孔隙以及矿物变形对这些输运过程的影响；然后研究岩石作为矿物集合体的输运特性，主要研究岩石内部微破裂和孔隙的发展、孔隙的几何情况、密度，以及它们的空间分布；第三则集中研究那些连通的裂纹和孔隙，因为只有形成了连通网络的裂纹和孔隙才对输运过程有较大的影响。最后，将以上三个方面综合，可以得到作为岩体或地质体的输运特性，从而对其流体的流动情况做出估计。 例2：岩石的水压裂或岩石的热开裂。人们通过向地下注水，或者对地下岩石加热，改变矿物晶粒间以及岩石内部的微破裂状态，从而改变岩体或地质体的渗透性。这是将岩石物理学知识应用与实践中的一个典型例子。在石油开采方面曾广泛采取水压致裂技术，水压致裂是通过向岩石注入高压液体来改变岩石中裂纹的状态，但其主要作用是使原来的裂纹扩展长度，对增加裂纹密度所起的作用有限。岩石的热开裂则是岩石受热后，由于组成岩石的各种矿物热膨胀不同，导致矿物边界出现裂纹。热开裂能改变岩石内部的微观结构，既增加裂纹的长度，又能增加裂纹的密度，在一定条件下，可以明显改变岩石整体的输运特性，在石油开采等方面有着潜在的应用前景。 岩石物理学的研究方法： 首先，实验是岩石物理学的最基础的研究方法。其做法主要是：第一，采集各种有地质意义的岩石，在实验室中分别研究各种因素对其物理性质的影响，将大量的实验结果统计归纳得到经验关系式。第二，在建立合理而简化的数学物理模型的基础上，将由实验得到的经验关系外推到实际地球问题中去。因为若没有合适的模型，而只是简单地把实验室小尺度实验得到的结果外推到大尺度的自然界，常常会出现错误的结论。 其次，由于岩石物理学的研究涉及众多诸如地质学、地球物理学、油储地球物理学、地球化学等学科，也涉及众多的基础学科领域，如力学、声学、流体力学和电磁学等。岩石物理学是一门高度跨学科的学科分支，这就决定了岩石物理学中，对于所研究的岩石的不同物理性质，必然要用到上述相应的学科中对应的物理方法和手段。 岩石物理技术在油气勘探领域具有重要作用，随着大数据时代的到来，将计算岩石物理与勘探方法相结合，将会成为一种趋势。主要是基于两个方面的考量：其一，计算机模拟已经成为了物理实验并行的实验方法；其二，岩石各种性质与尺度有关，这在一般的物理学中是根本不会碰到的问题。矿物可以近似地看成是

公开课教学设计(正余弦定理及其应用)

解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程

教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED

正余弦定理的综合应用

正余弦定理的综合应用教学设计 课题名称正余弦定理的综合应用 科目数学（高三）授课人耿向娜 一、教学内容分析 本节课为高三一轮复习中的解三角形部分的习题课。解三角形的知识在历年的高考中与三角函数向量等知识相结合，频繁出现在选择、填空和17题的位置，是学生们的重要得分点之一。本节课对2013年中出现的解三角形问题的分析解答，强化学生对解三角形的理解和巩固，同时消除他们对高考的畏惧感，提升其自信心。 二、教学目标 1、知识目标：熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、边角关系互化，同时熟练结合三角函数知识求相关函数的最值等。 2、能力目标：培养学生分析解决问题的能力，提高学生的化简计算能力 3、情感目标：让学生在直接面对高考真题的过程中，体会解决问题的快乐，提升他们的自信心，提高他们的备战能力！ 三、学情分析 我所任课的班级是高三22班是文科普通班，他们的数学基础整体上很薄弱，计算能力有待提高。通过三个多月的一轮复习，越来越多的学生对数学产生了兴趣，同时也品尝到数学成绩提高带来的喜悦，具有了一定的函数知识和解决问题的能力。 四、教学重点难点 重点正余弦定理的应用 难点公式的转化和计算

五、教法分析 本节课我利用多媒体辅助教学，采用的是教师引导下的学生自主探究式学习法。 六、教学过程 教学环节教学内容设计意图 一、基 础 知 识 回 顾回顾正弦定理：k C c B b A a = = = sin sin sin ; C k c B k b A k a sin , sin , sin= = = 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 三角形面积公式：A bc B ac C ab S sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = 通过对公式的 回顾，为本节 课解答问题提 供工具。 二、例 题 讲 解类型一：判定三角形形状 1、设在ABC ?中，若B b A a cos cos=,判定该三角形 的形状。 该题的设置目 的在于训练学 生对边角混合 式的转化。此 题可以边化 角，也可角化 边，让学生体 会正余弦定理 的应用和边角 转化的魅力。 形 直角三角形或等腰三角 或 法二：（角化边） 角形 为等腰三角形或直角三 ， 或 ） 解析：法一：（边化角 ? = = + ? = - - + ? - = - ? - + = - + ? - + = - + ? = + = + = ? = ? = b a c b a o b a c b a c b a b a b c a b a c b a ac b c a b bc a c b a B A B A B A B A B A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 . 2 2 2 2 sin 2 1 2 sin 2 1 sinBcos cos sin π π

固体地球物理学

固体地球物理学 （学科代码：070801） 一、培养目标 本学科培养德、智、体全面发展，具有坚实的地球物理理论基础和系统的专业知识，了解固体地球物理学和与其相关学科发展的前沿和动态，能够适应二十一世 纪我国经济、科技和教育发展的需要，并具有较熟练的实验技能和较强的动手能力，具有较全面的计算机知识，具有独立从事该学科领域研究和教学能力的高层次人 才。 二、研究方向 1. 地震学、 2. 地球动力学、 3. 岩石物理、 4. 应用地球物理学、 5. 城市地球物理学 三、学制及学分 按照研究生院有关规定。 四、课程设置 英语、政治等公共必修课和必修环节按研究生院统一要求。 学科基础课和专业课如下所列。 基础课: GP15201★地球内部物理学★（4） GP15202★ 地球动力学★（4） GP15203★地球物理反演★（4） 专业课：

GP14201 计算地震学（3） GP14202 地球物理学进展（4） GP14203 地震学原理（4） GP15210 地震勘探（3） GP15211 定量地震学（4） GP15212 地震偏移与成像（4） GP15213 工程地震学（4） GP15214 岩石本构理论（4） GP15215 应用地球物理学（3） GP15216 地球内部电性与探测（4） GP15218 现代计算机与网络应用（3） GP15219 固体力学（4） GP15220 城市地球物理学（3） GP15701 地球物理高级实验（2） PI05204 工程中的有限元法（3） GP16201 固体地球物理理论（4） GP16202 地球科学中的近代数学（4） GP16203 地球科学前沿讲座（4） 备注：带★号课程为博士生资格考试科目。 五、科研能力要求 按照研究生院有关规定。 六、学位论文要求 按照研究生院有关规定。

新人教A版版高考数学一轮复习三角函数解三角形正弦定理余弦定理及其应用教学案理解析版

[考纲传真] １．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.２．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． １．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 内容错误!＝错误!＝错误!＝２R. a２＝b２＋c２—２bc cos_A； b２＝c２＋a２—２ca cos_B； c２＝a２＋b２—２ab cos_C. 变形 （１）a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C； （２）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； （３）错误!＝错误!＝２R. cos A＝错误!； cos B＝错误!； cos C＝错误!. （１）S＝错误!a·h a（h a表示边a上的高）； （２）S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误!bc sin A； （３）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）． ３．实际问题中的常用角 （１）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角（如图１）． （２）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东３0°、北偏西４５°、西偏北60°等． （３）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α（如图２）．（４）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． [常用结论]

１．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. ２．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B. ３．内角和公式的变形 （１）sin（A＋B）＝sin C； （２）cos（A＋B）＝—cos C. ４．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形． [基础自测] １．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（） （２）在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.（） （３）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（） （４）当b２＋c２—a２＞0时，△ABC为锐角三角形；当b２＋c２—a２＝0时，△ABC为直角三角形；当b ２＋c２—a２＜0时，△ABC为钝角三角形． [答案] （１）×（２）√（３）×（４）× ２．（教材改编）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝错误!，B＝错误!，a＝１，则b＝（） Ａ．２Ｂ．１ Ｃ．错误!Ｄ．错误! D [由错误!＝错误!得b＝错误!＝错误!＝错误!×２＝错误!.] ３．（教材改编）在△ABC中，若a＝１8，b＝２４，A＝４５°，则此三角形有（） Ａ．无解Ｂ．两解 Ｃ．一解Ｄ．解的个数不确定 B [∵b sin A＝２４sin ４５°＝１２错误!， ∴１２错误!＜１8＜２４，即b sin A＜a＜b.

《应用地球物理学》主要知识点要点

一、名词 正演（问题）：已知地质体求其引起的异常。（给定地球物理模型，通过数值计算或物理模拟，得出相应的地球物理场） 反演（问题）：已知异常反推地质体的形状和产状。（已知异常的分布特征和变化规律，求场源的赋存状态（如产状、形状和剩余密度等） 重力勘探：重力勘探是观测地球表面重力场的变化，借以查明地质体构造和矿产分布的物探方法。 零长弹簧 零点漂移：在相对重力测量中，由于重力仪灵敏系统的弹性疲劳、温度补偿不完全等因素，仪器读数的零点值随时间而不断变化。 重力场强度：单位质量的物体在场中某一点所受的重力作用。 大地水准面：以平静海平面的趋势延伸到各大陆之下所构成的封闭曲面，作为地球的基本形状。 重力异常：由地下岩矿石密度分布不均匀所引起的重力变化，或地质体与围岩密度的差异引起的重力变化。 自由空间重力异常：对实测重力值只做正常场与高度校正。 布格重力异常：观测重力差值经过正常场校正、地形校正和布格校正之后得到异常称为布格重力异常。 均衡重力异常：布格重力异常再进行均衡校正。 重力梯级带：重力异常等值线分布密集，异常值向某个方向单调上升或下降。 三度体：x,z,y,三个方向都有限的物体。 二度体：地质体沿走向方向无限延伸。 特征点法：根据异常曲线上的一些点或特征点（如极大值点、零值点、拐点）的异常值及相应的坐标求取场源体的几何或物性参数 磁法勘探：利用地壳内各种岩矿石间的磁性差异所引起的磁异常来寻找有用矿产或查明地下地质构造的一种地球物理勘探方法 磁异常：通常把研究对象引起的磁场部分叫做磁异常，而周围环境和围岩引起的磁场同归为正常场。 磁场强度：单位正磁荷在磁场中所受的力。 磁感应强度：磁感应强度为场源在观测点的磁场强度与磁化物体所形成的附加磁场强度的和。

正余弦定理在实际生活中的应用

正余弦定理在实际生活中的应用 正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题. 求解此类问题的大概步骤为： （1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等； （2）根据题意画出图形； （3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答. 1.测量中正、余弦定理的应用 例1 某观测站C 在目标A 南偏西25?方向，从A 出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ?，求角B .再解ABC ?，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）. 解：由图知，60CAD ∠=?. 22222231202123 cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===???， 3 s i n B =. 在ABC ?中，sin 24sin BC B AC A ?= =. 由余弦定理，得222 2cos BC AC AB AC AB A =+-??. 即2223124224cos60AB AB =+-????. 整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. 故15AD AB BD =-=（千米）. 答：此人所在D 处距A 还有15千米. 评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的应用 例2 在海岸A 处，发现北偏东45?方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75?方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以/小时 A C D 31 21 20 35? 25? 东 北

北京大学空间物理与应用技术研究所-北京大学地球物理学系

北京大学空间物理与应用技术研究所 空间物理学是人类进入太空时代以来迅速发展起来的新兴学科。它主要研究太阳系特别是日地空间中的物理现象与规律，研究空间环境及其对人大空间活动和生态环境的影响。空间物理学主要包括太阳大气物理学，日球层（即行星际）物理学、磁层物理学、电离层物理学及电波传播及应用、高层人气（热层和中层）物理学、空间探测实验与技术。空间环境学，空间等离子体物理学及日地关系学等分支，是一门应用性强的交叉性的基础学科。 当前，人类已进入开发太空资源，开创空间产业的新时期，空间通讯和导航已广泛应用。空间对地观测正在迅速发展。空间材料和制药工程已开始诞生，空间发电系统也将运行。月球基地和行星开发将在下一世纪上半叶出现。我国是一个空间技术大国，空间应用的一些领域已进入实用阶段。人类的航天活动必须以对太空环境的认识为基础。目前日地系统整体过程的研究和地球空间环境预报已在全球范围内广泛开展。21世纪将是空间技术和科学蓬勃发展的新世纪，空间物理学人才大有作为。 北京大学空间物理与应用技术研究所2002年刚刚成立，其前身是成立于1960年的空间物理学专业。四十年来已培养出一大批日地空间物理、空间环境和空间应用等领域内的杰出的科学家和工程技术人才，其中有中国科学院、国防科工委、航天部门和高等院校等诸多系统的各级领导、技术骨干，有国际影响的空间物理学家和空间环境专家等，有的还被评选中国科学院院士；他们为发展我国的空间科学事业做出了巨大的贡献。 本研究所是国家空间物理学博士点和硕士点，现有中国科学院院士1人，教授7人（其中博士生导师3名），副教授、高级工程师和高级实验师4人，博士后1人。此外还有博士研究生和硕士研究生近20人。 本专业教师知识面广，教学水平高，科研成果出色。先后承担了22项国家自然科学基金项目和国家基金委“日地系统能量传输研究”重大项目两项课题及“863”高科技项目，还参与了国家科委攀登计划。多次获得国内外重大科学奖励，（仅2001年就获得两项国家自然科学二等奖，且均为第一获奖人），有的被选为中国科学院院士、有的被选为国际宇航科学院院士、有的被聘为欧空局卫星星座计划国际合作科学家。 在实验条件方面，本专业现已建成“电离层和电波传播实验室”，“等离子体探测实验室”和“高层大气探测实验室”。本专业教师利用这些实验条件承担过航天部的“无线与等离子体相互作用”，“返回卫星等离子体鞘套”及中美合作科学卫星项目等研究工作，还承担了航天部关于卫星表面电位和星内粒子辐射方面的重要任务。此外，本专业还进行“电离层多普勒效应”和“宇宙噪声”的日常观测，具有电离层垂直和斜向探测的能力。并已开始向美国地球物理中心交换观测资料。 本专业同国际一些知名的空间物理研究单位，如美国加州大学洛杉矶分校地球与行星物理研究所、德国马克斯普朗克高空物理研究所等，以及国内空间和科学研

中科院地球物理学

中科院研究生院硕士研究生入学考试 《地球物理学》考试大纲 本“地球物理学”考试大纲适用于中国科学院研究生院固体地球物理与地球动力学等专业的硕士研究生入学考试。“地球物理学”是相关学科专业的基础理论课程，它的主要内容包括地震学、重力与固体潮、地磁学、地热学及海底扩张与板块构造等部分。要求考生对其基本概念有比较深入的了解，掌握基本原理、方法及一般应用。 一、考试内容 （一）介质弹性与波动理论基础 1．弹性介质、应力与形变 2．弹性介质中的波动传播方程 3．弹性介质中的平面波与球面波 4．界面的影响 5．射线理论 （二）地震学基础 1．断层错动和地震波激发 2．地震仪与地震观测记录，地震的烈度、能量和震级 3．地震发震时间与震源位置的基本确定方法 4．地震体波的走时、振幅与理论地震图 5．球面层中地震体波的走时和地球内部基本构造 6．各种常见震相标示规则及其射线路径 7．地震面波的波动方程、频散方程和上地幔结构 8．地球的自由振荡 （三）地球势理论基础 1．地球重力位与地球形状 2．地球重力异常与地球内部构造 3．地球的固体潮 4．地球磁场的一般性质 5．岩石磁性与古地磁 6．地磁成因 7．地磁感应与地球内部的电导性 （四）热流与地球内部温度 1．热传导、热对流与热辐射 2．大地热流

3．热流方程的简单应用 4．地球内部温度 （五）大陆漂移、海底扩张和板块构造 1．大陆漂移与洋底扩张学说 2．板块构造与运动的基本理论与方法 3．地幔对流的基本理论 二、考试要求 （一）介质弹性与波动理论基础 1、了解并掌握地震波的弹性介质理论基础：弹性力学对介质的四个基本假定，应力与形变的基本定义，应力方程的推导过程以及包括杨氏模量与泊松比在内的五个弹性常数之间的相互关系； 2、熟练推导弹性介质中的波动传播方程，掌握纵波与横波的传播特征，了解其速度与密度及相关弹性常数的相互关系； 3、掌握弹性介质中的平面波与球面波的传播特征，特别是在简谐波情况下的振动与传播特征的异同； 4、了解界面的存在对入射纵（横）波、反射纵（横）波及折射纵（横）波的影响，并且掌握平面纵（横）波转播过程中折射系数与反射系数、转换系数的推导； 5、了解地震波射线理论中的费马原理，Snell定律，射线常数、本多夫定律、首波路径、首波临界角等基本概念。 （二）地震学基础 1、了解天然地震基本成因和断层错动激发地震波的基本概念；了解地震仪与地震观测记录的基本原理；了解地震烈度、能量和震级的基本定义；掌握地震发震时间与震源位置的测定原理与基本方法； 2、对于单个水平界面、单个倾斜界面及多层界面，掌握直达波、反射波与首波的走时方程的推导过程；掌握非匀速介质中迴折波参数方程形式的走时公式的推导，了解在不同速度分布函数的形式下，走时曲线的特征；了解平面层中体波的能量与振幅的关系并掌握在平面简谐波情况下的推导，了解直达波、迴折波、反射波与首波情况下，传播过程中的能量发散过程，以及自由界面对入射平面波的能量分配过程的影响等；简单了解地震体波的振幅受到哪些因素的影响以及利用广义射线理论求解理论地震图的基本原理； 3、掌握球面层中地震体波的射线参数方程与本多夫定律等的推导，不同的速率—深度分布曲线情况下对应的地震射线及其走时方程的推导，并了解正常及特殊情况下的走时曲线特征，掌握走时反演的古登堡方法与赫格罗兹—贝特曼—威歇特方法的一般原理与推导过程； 4、了解并掌握常用地震震相的标示规则及其传播过程中的射线路径、走时及振幅特征； 5、了解地震面波与地震体波在传播过程中的异同点，掌握洛夫波与雷利波的传播特征及在一些简单模型下的波动方程和频散方程；了解地震面波的频散方程及其所反映的地球内部构造，了解并掌握群速度与相速度的基本概念及其相互关系推导与计算方法；

(完整word版)余弦定理及其应用

余弦定理及其应用 【教学目标】 【知识与技能目标】 (1)了解并掌握余弦定理及其推导过程． (2)会利用余弦定理来求解简单的斜三角形中有关边、角方面的问题． (3)能利用计算器进行简单的计算（反三角）． 【过程与能力目标】 (1)用向量的方法证明余弦定理，不仅可以体现向量的工具性，更能加深对向量知识应用的认识． (2)通过引导、启发、诱导学生发现并且顺利推导出余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力． 【情感与态度目标】 通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间的联系，来体现事物之间的普遍联系与辩证统一． 【教学重点】 余弦定理的证明及应用． 【教学难点】 (1)用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索． (2)余弦定理在解三角形时的应用思路． 【教学过程】 一、引入 问：在R t △ABC 中，若C=090，三边之间满足什么关系？ 答：222b a c += 问：若C ≠090，三边之间是否还满足上述关系？ 答：应该不会有了！ 问：何以见得？ 答：假如b a ,不变，将A 、B 往里压缩，则C ＜090，且222b a c +<； 同理，假如b a ,不变，将A 、B 往外拉伸，则C ＞090，且222b a c +>． 师：非常正确！那么，这样的变化有没有什么规律呢？ 答：规律肯定会有，否则，您就不会拿它来说事了． 问：仔细观察，然后想想，到底会有什么规律呢？ 答：有点象向量的加法或减法，→→→+=a c b 或→→→-=c b a ． A C B a b c A C B a b c

【探求】 设△ABC 的三边长分别为c b a ,,， 由于→→→+=BC AB AC B ac c a b a B ac c BC B B C AB AB b BC BC BC AB AB AB AC BC AB BC AB AC AC cos 2cos 2)180cos(22) ()(2222 220222-+=+-=+-+=∴?+?+?=+?+=?∴→→→→→→→→→→→→→→→→→即即 问：仔细观察这个式子，你能否找出它的内在特点？ 答：能！式子中有三边一角，具体包括如下三个方面： 第一、左边是什么边，右边就是什么角； 第二、左边有什么边，右边就没有什么边； 第三、边是平方和，乘积那里是“减号”． 师：很好！那么，你能否仿照这个形式写出类似的另外两个？ 答：可以！它们是：A bc c b a cos 2222-+=和C abc b a c cos 2222-+=． 【总结】这就是我们今天要讲的余弦定理，现在，让我们来继续研究它的结构特点以及其应用问题． 板书课题 余弦定理及其应用 二、新课 （一）余弦定理的文字表述： 三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （二）余弦定理的另一种表述形式： bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 2 22-+= （三）归纳 1. 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等； 2. 每个式子中都有四个量，知道其中的三个就可以求另外的一个； 3. 当夹角为090（即三角形为直角三角形）时即为勾股定理 (特例)． A C B a b c

地球物理学应用中的人工智能和动力系统

地球物理学应用中的人工智能和动力系统 Alexei Gvishiani, Schmidt United Institute of Physics of the Earth RAS, Russia Jacques Octave Dubois, Institut de Physique du Globe de Paris, France Artificial Intelligence and Dynamic Systems for Geophysical Applications 2002, 347pp. Hardcover EUR 119.00 ISBN 3-540-43258-2 Springer-Verlag 本书是一套两卷的丛书，作者用新的人工智能和动力系统技术采集、管理和研究地球物理学数据。第1卷《地球物理学应用中的动力系统和动力学分类》已于1998年发表，本书为该丛书的第2卷，介绍地球物理学、地球动力学和自然灾害中应用新的几何分类归并方案、动力系统和模式识别算法等论题。原来的数学技术是建立在经典和模糊系模型上的，而应用本书描述的人工智能技术大大超越地球科学应用的界限。

全书分成两部分，共有6章。第一部分用人工智能分析地球物理数据(有3章)，涉及用几何分类归并和模糊逻辑解决地球物理数据分类问题的新概念和新方法。第1章动力学和模糊逻辑群集和分类；第2章地物理学、地震学和工程地震学中的应用；第3章地震易发区的识别和地震风险评估。第二部分分形和动力系统(有3章)，讨论不同的理论工具及它们在用大的地球物理数据集的自然系统模化中的应用，用分形和动力系统分析地貌(大陆和海洋)、水文、深海探测、重力、地震、地磁和火山所生成等的数据。第4章分形和多分形；第5章动力系统的特性和长时间系；第6章结论和远景。 本书可供从事地球物理学研究和实际工作的科学家、工程师，以及大学教师和高年级学生参考。 罗银芳，研究员(中国科学院计算技术研究所) Luo Yinfang, Professor (Institute of Computing Technology, the Chinese Academy of Sciences)

地球物理学基础复习资料.docx

绪论 一.地球物理学的概念，研究特点和研究内容 它是以地球为研究对象的一门应用物理学，是天文学，物理学与地质学Z间的边缘学科。 地球物理学应用物理学的原理和方法研究地球形状，内部构造，物质组成及其运动规律，探讨地球起源，形成以及演化过程，为维护生态环境，预测和减轻地球自然灾害，勘探与开发能源和资源做出贡献。包扩地震学，地磁学，地电学，重力学，地热学，大地测量学，大地构造物理学，地球动力学等。 研究特点：1?交叉学科地球物理学由地质学和物理学发展而来，随着学科本身的发展，它不断产生新的分支学科，同时促进了各分支学科的相互交叉，加强了它与地球科学各学科之间的联系。2.间接性都是通过观测和研究物理场的信息内容实现地质勘查目标，研究的不是地质体本身，而是其物理性质。3多解性止演是唯一的，而反演存在多解。不同的地质体具有不同的物理性质，但产生的物理场可能相同。不同的地质体具有相近的物理性质，由于观测误差，物理场的观测不完整以及物理场特点研究不够，产生多解。不同的地质体具有相同的物理性质，即使知道了地质体的物性分布，也无法确定其地质属性。地球物理学的总趋势：多学科综合和科学的国际合作。二?地球物理学各分支所依据的物理学原理和研究的物性参数。 地震学：波在弹性介质屮的传播。地震体波走时，而波频散，自由振荡的本征谱特征重力学：牛顿万有引力定律。地球的重力场和重力位 地磁学：麦克斯韦电磁理论。地磁场和地磁势。 占地磁学：铁磁学。岩石的剩余磁性。 地电学：电磁场理论。天然电场和大地电场 地热学：热学规律，热传导方程。地球热场，热源。 第一章太阳系和地球 一?地球的转动方式。 1?自转地球绕地轴的一种旋转运动，方向自西向东，转速并非完全均匀，冇微小变化。 2.公转地球绕太阳以接近正圆的椭圆轨道旋转的运动。 3?平动地球随整个太阳系在宇宙太空屮不停地向前运动。 4?进动地球曲于旋转，赤道附近向外凸出，口月对此凸出部分的吸引力使地轴绕黄轴转动，方向门东向曲。这种在地球运动过程中，地轴方向发生的运动即为地球的进动。 5. 章动。地轴在空间的运动不仅仅是沿一平滑圆锥面上的转动，地轴还以很小的振幅在锥面内,外摆动，地球的这种运动叫章动。 二.地球的形状及影响因索。 地球为一梨形不规则回转椭球体。 影响因素：1?地球的自引力…正球体；2?地球的自转■…标准扁球体；3.地球内部物质分布不均匀-不规则冋转椭球体

三余弦定理及其应用举例

三余弦定理及其应用举例一、三余弦定理（又叫最小角定理） 如图所示，设A为面α上一点，过A的斜线AO在面α上的射影为 AB， AC为面α内的一条直线，那么∠OAC,∠OAB,∠BAC三角的余弦关系为： OAB BAC OAC∠ ? ∠ = ∠cos cos cos(∠BAC和∠OAB只能是锐角） 不难验证：cosθ=cosθ1×cosθ2． 特别地，当∠BAC为零角时，由于1 cos0=， ∴斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的角．二、应用练习 在ABC Rt?中,4 ,3 , 2 = = = ∠AC AB π A,PA是面ABC的斜线, 3 π PAC PAB = ∠ = ∠． (1)求PA与面ABC所成的角的大小； (2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上？ 图（1）图（2）图（3） 解：(1)依题意，斜线PA在面ABC上的射影必在∠BAC的角平分线上，设垂足为O，连结AO,并延长AO∩BC=D,设θ PAO= ∠,则θ即为斜线PA与面ABC所成的角, 因此 2 2 2 2 2 1 4 cos 3 cos cos= = = π π θ,∴ 4 π θ=,即斜线PA与面ABC所成的角为 4 π ； B

∵直角三角形ABC 的直角平分线长AD=7 212， ∴当延长AP 到/p 时，AD 成为斜线/Ap 的射影，垂足D 恰好落在边BC 上， ∴7 2472122/=?=Ap ， 即当PA 的长度等于 724的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上． 辅助例题.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影必在这个角的平分线上． 已知：,,,,AC PF AB PE αP αBAC ⊥⊥??∠ αPO PF PE ⊥=,， 求证：OAC OAB ∠=∠． 证明：连OA 、OE 、OF ， ∵PF PE αOF OE αPO =?⊥,,、， ∴OPE Rt ?≌OPF Rt ?，故OE=OF ； 由??? ???==⊥⊥PA PA PF PE AC PF AB PE ,PAE Rt ?≌PAF Rt ?，故AE=AF ； 由??? ???===AO AO AF AE OF OE OAE Rt ?≌OAF Rt ?，故OAC OAB ∠=∠． 说明：此结论可以作为定理来用．

应用地球物理学

中科院研究生院硕士研究生入学考试 《应用地球物理》考试大纲 本《应用地球物理》考试大纲适用于中国科学院研究生院地球物理学各专业的研究生入学考试。应用地球物理学是研究地球物理场空间与时间分布规律以实现地质勘查和找矿目标的一门应用科学。通过观测和研究不同岩、矿石间物理性质的差异，利用物理学原理分析和解释各种地球物理场的特点和意义。要求考生准确掌握应用地球物理基本概念和基本原理，了解主要的六种（重、磁、电、震、放射性和地热）勘探方法。考试内容包括三部分：（1）重力勘探与磁法勘探；（2）电法勘探、放射性测量与地热测量；（3）地震勘探。试题内容包括名词解释（50分）、简答题（50分）、综合计算证明题（50分）。 一、考试内容 （一）应用地球物理基础知识 1.基本概念和基础理论 2.常见岩石的物性差异 3.地球物理场基本知识 4.地球物理勘探方法特点 （二）重力勘探 1.地球重力场的组成 2.正常重力场与重力异常 3.重力测量与重力观测资料改正的基本方法 4.重力异常数据处理与解释的基本方法 （三）磁法勘探 1.地球磁场的组成及基本特征 2.岩石的磁性 3.磁测工作和资料改正的基本方法 4.磁异常数据处理和解释的基本方法 （四）电法勘探 1.电阻率法 2.充电法和自然电场法 3.激发极化法 4.电磁感应法 （五）放射性和地热勘探 —1—

1.放射性的基本知识 2.放射性测量原理及野外工作方法 3.地热学基本知识 4.地温梯度与岩石热物理参数的常用测量方法 （六）地震勘探 1.地震波的动力学 2.地震波的运动学 3.地震勘探的野外工作方法 4.地震资料的数据处理与解释 二、考试要求 （一）应用地球物理基础知识 1.掌握地球物理勘探方法的基本分类、理论基础及应用范围 2.熟悉常见岩石的形态特征、物性特点及其差异 3.了解不同矿藏的地球物理异常特点 （二）重力勘探 1.熟悉地球重力场模型 2.了解重力测量野外工作方法 3.熟悉常见岩（矿）石密度 4.掌握重力异常数据处理方法 5.熟悉重力资料解释的基本步骤和方法 （三）磁法勘探 1.熟悉地磁要素及地磁场的解析表示 2.了解磁法勘探野外工作方法 3.熟悉常见岩石磁性特征 4.掌握磁异常各分量转换方法及简单形体磁异常解释方法 （四）电法勘探 1.掌握岩石电阻率的测定方法，熟悉电阻率剖面法、测深法基本装置类型 2.了解岩石的自然极化特性，熟悉常见自然极化电场特点及自然电场法的应用 3.了解岩石的激发极化机理，熟悉激发极化的频率特性、时间特性及其应用 4.掌握电磁法的理论基础，熟悉电磁测量剖面法、测深法的分类特点及应用（五）放射性和地热勘探 1.熟悉放射性现象及α射线、β射线、γ射线的基本特点 2.了解放射性测量方法原理 3.熟悉地热学中的常见物理量含义及岩石热物理性质 4.了解地球热结构特点，掌握大地热流密度的含义和测量方法 （六）地震勘探 —2—

2020_2021学年高考数学一轮复习专题4.7正弦定理和余弦定理及其应用知识点讲解理科版含解析

专题4.7 正弦定理和余弦定理及其应用 【考情分析】 １．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【重点知识梳理】 1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． 图①图② 2．方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 4．坡度(又称坡比) 坡面的垂直高度与水平长度之比． 【典型题分析】 高频考点一解三角形中的实际问题 例１．（2020·河南省鹤壁市一中模拟）如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米． 【答案】40013 【解析】在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝ 180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得 BD sin∠DAB ＝ AD sin∠ABD ，所以 400 sin 30° ＝ AD sin 120° ，得AD＝ 4003(米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC

＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002 ×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米． 【方法技巧】利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 (1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图． (2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型． (3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解． (4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 【变式探究】（2020·山东省淄博市八中模拟）如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________． 【答案】 21 14 【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2 －2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，得BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝21 7 . 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝27 7 . 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝21 14 . 高频考点二 平面几何中的解三角形问题 例２．【2020·全国Ⅰ卷】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD == AB ⊥AC ， AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.