第11章梁的弯曲应力

第11章梁的弯曲应力

教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力； 梁横力弯曲时横截面 上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。

教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程， 理解横力 弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。 掌握中性层、中性轴和翘曲 等基本概念和含义。熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计 算。了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。 从弯曲强度条件出发， 掌握提高弯曲强度的若干措施。

在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有 正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩； 而剪力是切于横 截面的分布内力的合力。本章研究正应力C 和剪应力T 的分布规律，从而对平面 弯曲梁的强度进行计算。

11.1梁的弯曲正应力

11.1.1弯曲正应力一般公式

1、变形几何关系

为研究梁弯曲时的变形规律，可通过 试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对 称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上， 画两条垂直于梁轴线的横线 mm 和nn ，再 在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线 ab 和cd ，如图

11.2(a)所示。然后按图 11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲 状态。从试验中可以观察到图11.2(b)情况: (1) 梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正 交，只是横线间作相对转动。

平面弯曲情况下，一般梁横截面上既 有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC DB 段。而在CD 段内，梁横截面上剪力等 于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。 下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公 式。应综合考虑变形几何关系、物理关系 和静力学关系等三个方面。

.c

(a)

Ff

I

? fl

n Ell

Ci)

n

n

(2) 纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。 (3) 在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加， 情况与轴向拉、压时的变形相似。

根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面， 且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。 前者称为 弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。

根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上 不存在剪应力。

根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区， 其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图 11.2(c)所示。中性层与横 截面的交线称为中性轴。对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷 载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。

综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面， 仍与变弯后的梁轴正交，并 绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。

从梁中截取一微段dx ，取梁横截面的对 称轴为y 轴，且向下为正，如图11.3 (b)所 示，以中性轴为y 轴，但中性轴的确切位置 尚待确定。根据平面假设，变形前相距为 dx 的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋 转了一个角度d 0，并仍保持为平面。中性层 的曲率半径为P ，因中性层在梁弯曲后的长 度不变，所以

ab =dx =田?

变形后为

ab = (P + y )d ?

故其纵向线应变为

(P + y)d 半-P d ? y 8 = -------------- =—

屮 P

比。

2、物理关系

因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单 向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知

b = E 呂

将(a)式代入上式，得

又坐标为y 的纵向纤维ab 变形前的长度 为 (a)

可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标 y 成正

图

/I

(b)

这就是横截面上正应力变化规律的表达式。 由此可知，横截面上任一点处的 正应力与该点到中性轴的距离成正比， 正应力均相等，这一变化规律可由图 3、静力学关系 以上已得到正应力的

分布规律，

小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。这些问题需再从静力学关系来解 决。 (T dA 组成一空间平行力系, 仅存在位于 x-y 平面的弯矩M 因

此，

(c)

而在距中性轴为y 的同一横线上各点处的 11.4来表示。

但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大

如图11.5所示，横截面上各点处的法向微内力 而且由于横截面上没有轴力，

F N

M y =bdA = 0 (d)

M z =J yodA =0

(e)

以式(b)代入式(C)，得

肿dA =E

k y

dA = 0

f)

上式中的积分代表截面对 S z 。静距等于零意味着Z 轴必须通过截面的 形

心。以式(b)代入式(d)，得

Z 轴的静矩

2dA = E

f yzdA = 0

'A

p 'A J

(g)

式中，积分是横截面对y 和Z 轴的惯性积。 有I yz =0,所示上式是自然满足的。

以式(b)代入式(e)，得

由于y 轴是截面的对称轴，必然

式中积分 Jy 2

dA = l Z

A

是横截面对Z 轴(中性轴)的惯性矩。于是，(h)式可以写成

(i)

(11.1)

此式表明，在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩 M 成正比, 与El z 成反比。在同样的弯矩作用下，El z 愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形， 故El z 称为梁的抗弯刚度。

再将式(11.1)代入式(b),于是得横截面上y 处的正应力为

M

c =——y

I z

此式即为纯弯曲正应力的计算公式。

式中M 为横截面上的弯矩；I z 为截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中 性轴的距离。

当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应 力；弯矩为负时，则与上相反。在利用(11.2 )式计算正应力时，可以不考虑式 中弯矩M 和y 的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由 梁的变形来判断。 应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下， 以矩形梁为例建立的，但对于 具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍然可 以使用。同时，在实际工程中大多数受横向力作用的梁， 横截面上都存在剪力和 弯矩，但对一般细长梁来说，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。因此， (11.2 )式也适用于非纯弯曲情况。 11.1.2

最大弯曲正应力

由式(11.2)可知，在y=y max 即横截在由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力 最大，其值为

式中，比值I z /y max 仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗 弯截面模量。用 W 表示。即为

W z = lz

y

max

于是，最大弯曲正应力即为

M

b max —

W z

可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比， 与抗弯截面系数成反比。抗弯截面系 数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。

(11.2 )

◎max

M

=—ymax

1

z

M y

(11.3)

(11.4)

图11.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为

(11.5)

而空心圆截面的抗弯截面系数则为

式中a=d/D,代表内、外径的比值。

至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录） 。 例11.1图11.7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm y=6cm a=2m F=1.5KN 。计算A 截面上K 点的弯曲正应力。

z

J A

1 1

r

么

b

图IL 7

先计算截面上的弯矩

截面对中性轴的惯性矩

兀d 3

W

-32

(11.6)

3

W

r(i 4

(11.7)

b=12cm M A =—Fa = —1.5咒 2 = -3kNm

b

V (a)

Cc

图 11.

3 3

bh 12°"8° =5.832"07mm4 I z

12 12

6

M A 3x10 cc cccR 仆

贝U b k = - y = ---------- X 60 = 3.09MPa

I Z

5.832x107

A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力。

11.2平面图形的几何性质

构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。 反映截

面形状和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇 到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、 抗弯截面系数等，统称为截面的几何 性质。为了计算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质。 现在来讨论截 面的一些主要的几何性质。 11.2.1形心和静矩

若截面形心得坐标为y c 和Z C （ C 为截面形心），将面积得每一部分看成平行 力系，即看成等厚、均质薄板的重力，根据合力矩定理可得形心坐标公式

?AzdA

^ydA

静矩又称面积矩。其定义如下，在图 11.8中任意截面内取一点 M （乙y ）, 围绕M 点取一微面积dA ，微面积对z 轴的静矩为ydA ，对y 轴的静矩为zdA ，则 整个截面对z 和y 轴的静矩分别为：

有形心坐标公式

J A ydA = Ay e

JA

zdA = Az e

知:

S z = f ydA =

Ay

e

(c)

S y = JA zdA = Az c

上式中y e 和Z e 是截面形心e 的坐标，A 是截面面积。当截面形心的位置已知 时可以用上式来计算截面的静矩。

从上面可知，同一截面对不同轴的静矩不同， 静矩可以是正负或是零；静矩 的单位

是长度的立方，用m 3

或cm 、mm 等表示；当坐标轴过形心时，截面对该 轴的静矩为零。

当截面由几个规则图形组合而成时， 截面对某轴的静矩，应等于各个图形对

(a)

S z = J A

ydA

S y = JA zdA

(b)

该轴静矩的代数和。其表达式为

n

S z = W A i y

i

i J n

S y = 2 A i z

i 丄

而截面形心坐标公式也可以写成

S Az y C = -----

S A i

11.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理

从上面可以看出，惯性矩总是大于零， 以是正、负和零；惯性矩、惯性积和极惯性矩的单位都是长度的四次方， cm 、mr^等表示。

同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。 同一截面对 二根平行轴的惯性矩和惯性积虽然不同， 但它们之间存在一定的关系。下面讨论 二根平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。

图11.9所示任意截面对任意轴对z '轴和y '轴的惯性矩、惯性积分别为I z 、丨y ，和2 y ^ 0 过形心C 有平行于z '、y '的两个坐标轴z 和y ， 截面对Z 、y 轴的惯性矩和惯性积为I z 、I y 和 I zy 。对oz 'y '坐标系形心坐标为C (a,b )。截面 上选取微面积dA ，dA 的形心坐标为

z ，= z +a y ，= y +b

图IL 9

(d)

(e)

Z c

f) (g)

在图11.8中任意截面上选取一微面积 性矩为z 2dA 和VdA 。则整个面积对Z 轴和 性积记为I zy ,则定义： dA,则微面积dA 对z 轴和y 轴的惯 y 轴的惯性矩分别记为I z 和l y ,而惯 2 i

z

= J A

y dA, l y = J A z 2dA

(h)

I zy = J A zydA

极惯性矩定义为：

I p 珂 p2dA= JA(z2 +

(i)

2

y )dA = i z +

(j)

因为坐标的平方总是正数，惯性积可 用m 或 LU

、聽 I I

则按照惯性矩的定义有

2

2

I y ，= Jz 'dA = J (z +a) dA

“A

°A

2 2

=J z dA +2a JzdA + a fdA

“ A

“ A

° A

上式中第一项为截面对过形心坐标轴 y 轴的惯性矩；第三项为面积的a 2

倍; 而第二项为截面过形心坐标轴y 轴静矩乘以2a 。根据静矩的性质，对过形心轴 的静矩为零，所以第二项为零。这样上式可以写为

同理可得: = 573m m Zc = 0

（2）计算截面惯性矩

上面矩形与下面矩形对形心轴z 的惯性矩分别为

1 3

2 9

4

l z1

=一"000"00 +1000X100X277 =7.75勺0 mm 12 I z2 =丄咒200咒8003 +800^200 咒1732 =13.32"09mm 4

12

, 9 4

I z =l z1 +1 z2 =21.1 咒 10 mm

11.3 梁的弯曲剪应力

l y ，= l yc +a 2

A

(k)

I z ，= I zc+b 2

A

(I)

I zy U I zcyc +a

bA

(m)

也就是说，截面对于平行于形心轴的惯性 矩，等于该截面对形心轴的惯性矩再加上其面 积乘以两轴间距离的平方；而截面对于平行于 过形心轴的任意两垂直轴的惯性积，等于该面 积对过形心二轴的惯性积再加上面积乘以相 互平行的二轴距之积。这就是惯性矩和惯性积 的平行移轴定理。

例11.2 计算图11.10所示T 形截面的 形心和过它的形心z 轴的惯性矩。

解（1）确定截面形心位置

选参考坐标系oz'y '，如图11.10所示。 将截面分解为上面和下面两个矩形部分，截面形心

_ 2

A

i y

^ _ A| y C1 + A2y

c2

y c

=送 A i = A

_1000咒102

X850 +1600X102

X400

_ 2

2600 X102

500— C2

500^

I

E —

20Q

----- "-

图 11. 10

C 的纵坐标为

当进行平面弯曲梁的强度计算时，一般来说，弯曲正应力是支配梁强度计算 的主要因素，但在某些情况上，例如，当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集 中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或是薄 壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值， 剪应力就不能忽略了。下面介绍几种 常见截面上弯曲剪应力的分布规律和计算公式。

11.3.1矩形截面梁的弯曲剪应力

图 II” 11

图11.11(a)所示矩形截面梁，在纵向对称面内承受荷载作用。设横截面的 高度为

h,宽度为b,为研究弯曲剪应力的分布规律，现作如下假设：横截面上 各点处的剪应力的方向都平行于剪力，并沿截面宽度均匀分布。有相距 dx 的横

截面从梁中切取一微段，如图

(d

图 ll. 12

后，在横截面上纵坐标为y 处，再用一个纵向截面 如图11.12(b)。设横截面上y 处的剪应力为T 横面m-n 上的剪应力T 在数值上也等于T 之确

定。

如图11.12(a)所示，由于存在剪力F Q ,截面1-1与2-2的弯矩将不相同, 分别为M 和M+dM ,因此，上述两截面的弯曲正应力也不相同。设微段下部横截

1

I

1

1

h

L

c

Ht

■f

it

i

g

1

'r

1

11.12(a)。然

m-n,将该微段的下部切出， ，则由剪应力互等定理可知，纵 。因此，当剪

应力T 确定后，T 也随 (a)

CM

x+d

2

遶2

z

pdA

y

面m 与n 2的面积为3 ,在该两截面上由弯曲正应力所构成的轴向合力分别为 N

与2,则由微段下部的轴向平衡方程

2 x=0可知，

Tbdx =Tbdx = N j — N 2

由此得

N 1 -N 2 T =

bdx

由图11-12(c)可知

(a)

式中，积分代表截面3对z 轴的静矩，并用 S z*表示，因此有

N 1

(b)

N 2

(M + dM)S ： (M +F Q dx)S Z

I z

I z

将式(b)和式(c)代入式(a)，于是得

(C)

F Q S Z T = I z b

式中：I z 代表整个横截面对中性轴矩 z 的惯性距；而S z*则代表y 处横线一侧的 部分截面

对z 轴的静距。对于矩形截面，如图

M h 1 h b h 2 2

S ；=b^-y^-H+yH-^-y

2 2 2

2 4

将上式及I z =bh 3/12代入式(11.8)

(11.8)

11.13所示，其值为

f

hZ2 J

c

z

1 h/2

1

1.;

1

b/2

r*—==* b/2 -4 --- *

(b)

图 II. 13

得

(a)

3F Q 4y 2 T =——(1-斗

2bh h 2

由此可见：矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线分布

(图11.13);

在截面的上、下边缘(y=±h

)，剪应力T =0;在中性轴(y=0),剪应力最大，其

2

值为

11.3.2工字形截面梁的弯曲剪应力

工字形截面梁由腹板和翼缘组成。其横截面如图11.14所示。中间狭长部分 为腹板，上、下扁平部分为翼缘。梁横截面上的剪应力主要分布于腹板上，翼缘 部分的剪应力情况比较复杂，数值很小，可以不予考虑。由于腹板比较狭长，因 此可以假设：腹板上各点处的弯曲剪应力平行于腹板侧边， 并沿腹板厚度均匀分 布。腹板的剪应力平行于腹板的竖边，且沿宽度方向均匀分布。根据上述假设， 并采用前述矩形截面梁的分析方法，得腹板上 y 处的弯曲剪应力为：

F Q S Z

T =

I z b

式中，I z 为整个工字形截面对中性轴z 的惯性矩，S z*为y 处横线一侧的部分截面 对该轴的静矩，b 为腹板的厚度。

由图11.14(a)可以看出，y 处横线以下的截面是由下翼缘部分与部分腹板的 组成，该截面对中性轴z 的静矩为

(11.9)

3 F Q

I max

—2 bh

(11.10)

——* 1

-J

i 1

1

y

____ 1

A

-——3

■ 1

1

TBLh

(a)

圏 11

“ "H

h \「h 1 H h\ 2 2*2 2 2

2 J

丿、「

1 ,h 、"[

+ b(— — yny + —— y) \

2 『2 2 」 2 B /I I 2 . 2 \ 丄 b /h 2\ =(H —h )+ ( -y ) 8 2 4

因此，腹板上y 处的弯曲剪应力为

F

Q

「B

2

以、丄b 『

2\

I z b [8 2 4

”

(11.11 )

由此可见：腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布， 如 图11.14(b)所示。在中性轴处(y=0)，剪应力最大，在腹板与翼缘的交接处(y= ± h/2)，剪应力最小，其值分别为

F Q 「BH 2 e J 2

S a "I ：bh —(B —b)§

(11.12)

(11.13)

从以上两式可见，当腹板的宽度 b 远小于翼缘的宽度B, T max 与 T min 实际上 相差不大，所以可以认为在腹板直剪应力大致是均匀分布的。 可用腹板的截面面 积除剪力F Q ,近似地得表示腹板的剪应力，即

F Q

T =——

bh

(11.14)

在工字形截面梁的腹板与翼缘的交接处，

剪应力分布比较复杂，而且存在应

力集中现象，为了减小应力集中，宜将结合处作成圆角。 11.3.3 圆形截面梁的弯曲剪应力

对于圆截面梁，在矩形截面中对剪应力方向所作的假设不再适用。 由剪应力 互等定理可知，在截面边缘上各点剪应力T 的方向必与圆周相切，因此，在水平 弦AB 的两个端点上的剪应力的作用线相交于 y 轴上的某点P,如图11.15(a)。 由于对称，AB 中点C 的剪应力必定是垂直的，因而也通过 P 点。由此可以假设， AB 弦上各点剪应力的作用线都通过 P 点。如再假设AB 弦上各点剪应力的垂直分 量T y 是相等的，于是对T y 来说，就与对矩形截面所作的假设完全相同，所以， 可用公式来计算，即

F Q S^b

J in

F Q BH 2 Bh 2

=——( ---- - --- )

rzb (

-^--8

F Q S

Z

TZb"

式中，b 为AB 弦的长度，S z*是图11.15(b) 在中性轴上，剪应力为最大值T max 。 4 F Q 4 F Q

t = ------- = ----

max c 2 r

八

3 兀r 3 A

(11.16)

式中，F Q A 是梁横截面上平均剪应力。

例11.3 梁截面如图11.16(a)所示，横截面上剪力Fc=15KN 试计算该截面 的最大弯

曲剪应力，以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的惯性矩l z =8.84 X 10-6

m 。

E II IE

解(1)最大弯曲剪应力。

最大弯曲剪应力发生在中性轴上。中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为

中阴影部分的面积对z 轴的静矩。 其值为

利用上述强度条件，可以对梁进行正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。 11.4.2 弯曲剪应力强度条件

最大弯曲剪应力通常发生在中性轴上各点处， 而该处的弯曲正应力为零，因 此，最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态，相应的强度条件为

2

S 如ax =

(20mm +120mm

—

45mm

)^mm

=9.025>c104mm 3

所以，最大弯曲剪应力为

^max

F c S^Zmax (15>d03N)(9.025 咒 104mm 3) 一， =

=' 八 6

4

=7.66MPa

I z

b

(8.84>d06mm 4)(20mm)

(2)腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力。

由图11.16(b)可知，腹板、翼缘交接线一侧的部发截面对中性轴 z 的静矩

& =(20mmx120mmx35mm) =8.40>d04mm 3 所以，该交接处的弯曲剪应力为

“ 仝=(^泌兽沁机7.13MPa I z b

8.84x10 mm x 20mm

11.4梁的强度条件

在一般情况下，梁内同时存在弯曲正应力和剪应力，为了保证梁的安全工作, 梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪 应力强度条件。以下将据此建立梁的正应力强度条件和剪应力强度条件。 11.4.1 弯曲正应力强度条件

最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处，而该处的剪应力一 般为零或很小，因而最大弯曲正应力作用点可看成是处于单向受力状态，所以， 弯曲正应力强度条件为

max

一 L W Z '

即要求梁内的最大弯曲正应力(T max 不超过材料在单向受力时的许用应力［(T ］。 对于

等截面直梁，上式变为

.

」max

(11.16)

b max

=兰 k ]

W z

(11.17)

丿max

即要求梁内的最大弯曲剪应力T max不超过材料在纯剪切时的许用剪应力［T ］。对于等截面直梁，上式变为

F Q S z,max f 1 T max =

=」

I z b

在一般细长的非薄壁截面梁中，

此，对于一般细长的非薄壁截面梁，

此，在选择梁的截面时，一般都是按正

应力强度条件选择，选好截面后再按剪应

力强度条件进行校核。但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小

而剪力却较大的梁，者如短而粗的梁、集中荷载作用在支

座附近的梁等，度条件，而且弯曲剪应力强度条件也可能

起控制作用。

例11.4 图11.17(a)所示外伸梁，用铸铁制成，均

布荷载q作用。试校该梁的强度。已知荷载集度与顶边的

距离分别为y1=95mn和y2=95mr，惯性矩I z=8.84 X10-6m,

许用拉应力［t］=35MPa 许用压应力［(T c］=140Mpa。

解(1)危险截面与危险点判断。

梁的弯矩如图11.17(b)所示，在横截面D与B上，分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二截面均为危险截面。

截面D与B的弯曲正应力分布分别如图11.17(c)与(d)所示。截面D的a点与截面B 的d点处均受压；而截面D的b点与截面B的c点处均受拉。

(F Q S Zmax

最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力。

通常强度的计算由正应力强度条件控制。

后

则不仅应考虑弯曲正应力强

横截面为 T字形，并承受

q=25N/mm截面形心离底边

(T i*

0,500 4

Mt

載JBD b

(d

H B

(d)

图It IZ

由于 |M D|>|M B|，|y a|>|y d|,| 因此

| (T a|>| (T d|

即梁内的最在弯曲压应力T c,max发生在截面D的a点处。至于最大弯曲拉应力T t,max ,究竟发生在b点处，还是C点处，则须经计算后才能确定。概言之， a,b,c三点处为可能最先发生破坏的部位。简称为危险点。

(2)强度校核。

由式(11.2 )得a,b,c三点处的弯曲正应力分别为

-rrTTrnTiTnrB ；

M

(b)

图【【.1$

Mn a=Fl=1.2F N ? m

b a = = 6 4 = 59.8M Pa

1

z

8.84x106mm4

M p y b

I z

M B Y C

=28.3 MPa

I z

= 33.6 MPa

由此得

bc,max

%max

=s =59.8MPa 吒kJ

=b e =33.6MPa 吒t t ]

可见，梁的弯曲强度符合要求。

例11.5 悬臂工字钢梁AB图11.18(a)，长l=1.2m，在自由端有一集中荷

载F,工字钢的型号为18号，已知钢的许用应力[C]=170Mpa,略去梁的自重,

(1)试计算集中荷载F的最大许可值。(2)若集中荷载为45 kN,拭确定工字钢的

型号。

Cc)

解对值

为

(1)梁的弯矩图如图11 — 18(c)所示, 最大弯矩在靠近固定端处，其绝

由附录中查得，18号工字钢的抗弯截面模量为

W=185X 103

mm 由公式(11.16)得

1.2F < (15 X 10-6)(170 X 106)

因此，可知F 的最大许可值为

185x170 3

[F]max

=26.2x 10N=26.2kN

1.2

⑵最大弯矩值 M maF FI=1.2 X 45X 103N- m=54X 103N- m 按强度条件计算所需抗弯截面系数为

6

W

^M m a ^=54^Pa^=3.1^

105mm

^

318cm 3

查附录可知，22b 号工字钢的抗弯截面模量为 325cm ，所以可选用22b 号工 字钢。 例11.6 例11.5中的18号工字钢悬臂梁，按正应力的强度计算，在自由 端可承受的集中荷载F=26.2KN 。已知钢材的抗剪许用应力[T ]=100Mpa 。试按剪 应力校核梁的强度，绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图，并计算腹板所担 负的剪力F Q 1。 解(1)按剪应力的强度校核。

截面上的剪力F Q =26.2kN 。由附录查得18号工字钢截面的几个主要尺寸如 图11.19(a)所示，又由表查得

4

4

I z

I z =1660X 10 mm 一 =154mm

S

由公式(5 —17),得腹板上的最大剪应力

26.2X103

10.7

F Q T max ——'— I

z 一 = --------

-T ------------- -- = 26.2X 106（N/m 2

） （工）d （154天10」）（6.5咒10」） S z = 26.2 MP a <100 MPa 可见工字钢的剪应力强度是足够的。

?一

L

M

In

1

21. &

bi=d

J 2s.a

21.3

: ---

(2)沿腹板高度剪应力的计算。

第11章梁的弯曲应力要点

第11章梁的弯曲应力 教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。 教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。 在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。 11.1梁的弯曲正应力 平面弯曲情况下，一般梁横截面上既 有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC、 DB段。而在CD段内，梁横截面上剪力等 于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。 下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公 式。应综合考虑变形几何关系、物理关系 和静力学关系等三个方面。 11.1.1 弯曲正应力一般公式 1、变形几何关系 为研究梁弯曲时的变形规律，可通过 试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对 称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上， 画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再 在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线 ab和cd，如图11.2(a)所示。然后按图 11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲 状态。从试验中可以观察到图11 .2(b)情况： （1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正 交，只是横线间作相对转动。

材料力学实验指导书(矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验)

矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验 一、实验名称 矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验。 二、实验目的 1．学习使用电阻应变仪，初步掌握电测方法； 2．测定矩形截面梁纯弯曲时的正应力分布规律，并与理论公式计算结果进行比较，验证弯曲正应力计算公式的正确性。 三、实验设备 1．WSG－80型纯弯曲正应力试验台 2．静态电阻应变仪 四、试样制备及主要技术指标 1、矩形截面梁试样 材料：20号钢，E=208×109Pa； 跨度：L=600mm，a=200mm，L1=200mm； 横截面尺寸：高度h=28mm，宽度b=10mm。

2．载荷增量 载荷增量ΔF=200N （砝码四级加载，每个砝码重10N 采用1：20杠杆比放大），砝码托作为初载荷，F0=26 N 。 3．精度 满足教学实验要求，误差一般在5%左右。 五、实验原理 如图1所示，CD 段为纯弯曲段，其弯矩为a 2 1 F M = ， 则m N M ?=6.20，m N M ?=?20。根据弯曲理论，梁横截面上各点的正应力增量为： z I y M ?= ?理σ （1） 式中：y 为点到中性轴的距离；Iz 为横截面对中性轴z 的惯性矩，对于矩 形截面， 12 bh I 3 z = （2） 由于CD 段是纯弯曲的，纵向各纤维间不挤压，只产生伸长或缩短，所以各点均为单向应力状态。只要测出各点沿纵向的应变增量ε?，即可按胡克定律计算出实际的正应力增量实σ?。 εσ?=?E 实 （3） 在CD 段任取一截面，沿不同高度贴五片应变片。1片、5片距中性轴z 的 距离为h/2，2片、4片距中性轴z 的距离为h/4，3片就贴在中性轴的位臵上。 测出各点的应变后，即可按（3）式计算出实际的正应力增量实σ?，并画出正应力实σ?沿截面高度的分布规律图，从而可与（1）式计算出的正应力理论值理σ?进行比较。 六、实验步骤 1．开电源，使应变仪预热。

纯弯曲正应力分布规律实验

实验三纯弯曲正应力分布规律实验 一、实验目的 1．用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律并与理论值进行比较； 2．验证纯弯曲梁的正应力计算公式； 3．掌握运用电阻应变仪测量应变的方法。 二、实验仪器和设备 1．多功能组合实验装置一台或弯曲梁试验装置； 2．TS3860型静态数字应变仪一台； 3．纯弯曲实验梁一根； 4．温度补偿块一块； 5．游标卡尺 3-1 多功能组合实验装置 3-2弯曲梁试验装置 1—弯曲梁 2—铸铁架 3—支架 4—加载杆 5—加载螺杆系统 6—载荷传感器 7和8—组成电子秤 三、实验原理和方法 弯曲梁的材料为钢，其弹性模量E＝200GN/m2，泊松比μ＝0.29。用手转动实验装置上面的加力手轮，使四点弯上压头压住实验梁，则梁的中间段承受纯弯曲。根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到纯弯曲正应力计算公式为：

x M y I σ= （3-2） 式中：M 为弯矩；I x 为横截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。 实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。当增加压力ΔP 时，梁的四个受力点处分别增加作用力ΔP ／2，如图3-3所示。 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了7片应变片（见图3-3）（对多功能组合装置：b ＝18.3mm ；h ＝38mm ；c ＝133.5mm ），各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。此外，在梁的下表面沿横向粘贴了应变片8# 。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴向应变，则由单向应力状态的胡克定律公式σ＝E ε，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 若由实验测得应变片7#和8#的应变ε7，和ε8满足 87||εμε≈ 则证明梁弯曲时近似为单向应力状态，即梁的纵向纤维间无挤压的假设成立。 图3-3弯曲梁布片图 四、实验步骤 1．检查或测量（弯曲梁试验装置）矩形截面梁的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点距离c ，及各应变片到中性层的距离y i 。 2．检查压力传感器的引出线和电子秤的连接是否良好，接通电子秤的电源线。检查应变仪的工作状态是否良好。然后把梁上的应变片按序号接在应变仪上的各不同通道的接线柱A 、B 上，公共温度补偿片接在接线柱B 、C 上。相应电桥的接线柱B 需用短接片连接起来，而各接线柱C 之间不必用短接片连接，因其内部本来就是相通的。因为采用半桥接线法，故应变仪应处于半桥测量状态，应变仪的操作步骤见应变仪的使用说明书。 3．根据梁的材料、尺寸和受力形式，估计实验时的初始载荷P 0（一般按P 0＝0.1σS 确定）、最大载荷P max （一般按P max ≤0.7σS 确定）和分级载荷ΔP （一般按加载4～6级考虑）。

工程力学第九章梁的应力及强度计算

课时授课计划 掌握弯曲应力基本概念； 掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算； 掌握弯曲剪应力强度校核。

I D (d

根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。 在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。即 3、进行强度计算时应遵循的步骤 （1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。 （3）确定危险点 （4）依据强度条件，进行强度计算。 第三节梁的剪应力强度条件 一、概念 梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。 对剪应力的分布作如下假设： (1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。 根据以上假设，可推导出剪应力计算公式： 式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力； Q—该截面上的剪力； b—需求剪应力作用点处的截面宽度； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。 剪应力的单位与正应力一样。剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。 二、矩形截面横梁截面上的剪应力 如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。 将上式带入剪应力公式得： 上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。 在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，

《纯弯曲时的正应力》教案

《纯弯曲时的正应力》教案 南京航空航天大学刘荣梅 一、教学目标 1．明确纯弯曲和横力弯曲的概念，理解基本假设。 2．掌握纯弯曲正应力公式的推导方法。 3．掌握弯曲正应力公式的应用，解决工程问题。 4．运用问题探索研究式教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学生分析问题解决问题的能力；培养学生应用实践能力。 二、教学重点和难点 1．纯弯曲和横力弯曲 （1）纯弯曲杆件横截面上仅有弯矩，而无剪力的状态称为纯弯曲。 （2）横力弯曲杆件的横截面上既有弯矩又有剪力的状态称为横力弯曲。 2．中性层和中性轴 （1）中性层杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层，称中性层。在教学中以立体图形的方 式加以解释。 （2）中性轴中性层和横截面的 交线，即横截面上正应力为零的各点 的连线，称为中性轴。在教学中以立 体图形的方式演示。 （3）中性轴的位置纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得到的。

z M y I σ= m ax M W σ= 3．直梁横截面上弯曲正应力公式 横截面上任一点正应力的大小和该点至中性轴的距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧则为压应力。横截面上最大正应力 其中W 为抗弯截面模量，几种常见横截面的W 计算公式： （1） 矩形截面 2 6 bh W = （2） 实心圆截面 3 32 d W π= （3） 空心圆截面 3 4 (1) 32 D W πα = - （4） 型钢 查型钢表或用组合法求。 注意：如果中性轴不是横截面对称（如T 形钢)，m ax y 有两个，对应W 也应有两个。 三、 教学手段 综合运用演示实验、多媒体课件等教学手段。 四、 教学方法 问题探索研究式教学方法。 五、 解决方案及时间安排

最新梁弯曲时横截面上的正应力教程文件

梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力同时存在，故梁在这些段内发生弯曲变形的F Q 同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD段内各段截面， ，梁的这种弯曲称为纯只有弯矩M而无剪力F Q 弯曲。 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象：

⑴横向线m —m 和n —n 任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a —a 和b —b 弯成了曲线，且a —a 线缩短，而b —b 线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率

梁弯曲时横截面上的正应力

在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a 所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b 、c ）,在其AC 、BD 段内各横截面上有弯矩M 和剪力F Q 同时存在，故梁在这些段内 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD 段内各段截面，只有弯矩M 而无剪力F Q ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a 所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m —m 和n —n ，再画两条纵向线a —a 和b —b ，然后在其两端外力偶矩M ，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m —m 和n —n 任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a —a 和b —b 弯成了曲线，且a —a 线缩短，而b —b 线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率 半径ρ还是一个未知量，通过静力学平衡关系∑z F )(=0，可得 图2-55 正应力分布图 图2-56 梁纯弯曲时横截面上的

弯曲正应力实验报告

弯曲正应力实验 一、实验目的：1、初步掌握电测方法和多点测量技术。； 2、测定梁在纯弯和横力弯曲下的弯曲正应力及其分布规律。 二、设备及试样： 1. 电子万能试验机或简易加载设备； 2. 电阻应变仪及预调平衡箱； 3. 进行截面钢梁。 三、实验原理和方法： 1、载荷P 作用下，在梁的中部为纯弯曲，弯矩为1 M=2 Pa 。在左右两端长为a 的部分内为横力弯曲，弯矩为11 =()2 M P a c -。在梁的前后两个侧面上，沿梁的横截面高度，每隔 4 h 贴上平行于轴线上的应变片。温度补偿块要放置在横梁附近。对第一个待测应变片联同温度补偿片按半桥接线。测出载荷作用下各待测点的应变ε，由胡克定律知 E σε= 另一方面，由弯曲公式My I σ=，又可算出各点应力的理论值。于是可将实测值和理论值进 行比较。 2、加载时分五级加载，0F =1000N ，F ?=1000N ，max F =5000N ，缷载时进行检查，若应变差值基本相等，则可用于计算应力，否则检查原因进行复测(实验仪器中应变ε的单位是 610-)。 3、实测应力计算时，采用1000F N ?=时平均应变增量im ε?计算应力，即 i i m E σε?=?,同一高度的两个取平均。实测应力，理论应力精确到小数点后两位。 4、理论值计算中,公式中的3 1I=12 bh ，计算相对误差时 -100%e σσσσ= ?理测 理 ，在梁的中性层内，因σ理=0，故只需计算绝对误差。 四、数据处理 1、实验参数记录与计算： b=20mm, h=40mm, l=600mm, a=200mm, c=30mm, E=206GPa, P=1000N ?, max P 5000N =, k=2.19 3 -641I= =0.1061012 bh m ? 2、填写弯曲正应力实验报告表格

纯弯曲梁的正应力实验参考书报告

《纯弯曲梁的正应力实验》实验报告 一、实验目的 1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律 2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式 二、实验仪器设备和工具 3.XL3416 纯弯曲试验装置 4.力＆应变综合参数测试仪 5.游标卡尺、钢板尺 三、实验原理及方法 在纯弯曲条件下，梁横截面上任一点的正应力，计算公式为 σ= My / I z 式中M为弯矩，I z 为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。 为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。 实验采用半桥单臂、公共补偿、多点测量方法。加载采用增量法，即每增加等量的载荷△P，测出各点的应变增量△ε，然后分别取各点应变增量的平均值△ε实i，依次求出各点的应变增量 σ实i=E△ε实i 将实测应力值与理论应力值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 四、实验步骤 1.设计好本实验所需的各类数据表格。 2.测量矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a及各应变 片到中性层的距离y i 。见附表1 3.拟订加载方案。先选取适当的初载荷P 0（一般取P =10％P max 左右），估 算P max （该实验载荷范围P max ≤4000N），分4～6级加载。 4.根据加载方案，调整好实验加载装置。

5. 按实验要求接好线，调整好仪器，检查整个测试系统是否处于正常工作状态。 6. 加载。均匀缓慢加载至初载荷P 0，记下各点应变的初始读数；然后分级 等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值εi ，直到最终载荷。实验至少重复两次。见附表2 7. 作完实验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。 附表1 （试件相关数据） 附表2 （实验数据） 载荷 N P 500 1000 1500 2000 2500 3000 △P 500 500 500 500 500 各 测点电阻应变仪读数 με 1 εP -33 -66 -99 -133 -166 △εP -33 -33 -34 -33 平均值 -33.25 2 εP -16 -3 3 -50 -67 -83 △εP -17 -17 -17 -16 平均值 16.75 3 εP 0 0 0 0 0 △εP 0 0 0 0 平均值 0 4 εP 1 5 32 47 63 79 △εP 17 15 1 6 16 平均值 16 5 εP 32 65 9 7 130 163 △εP 33 32 33 33 平均值 32.75 五、实验结果处理 1. 实验值计算 根据测得的各点应变值εi 求出应变增量平均值△εi ，代入胡克定律计算 各点的实验应力值，因1με=10-6ε，所以 各点实验应力计算： 应变片至中性层距离（mm ） 梁的尺寸和有关参数 Y 1 －20 宽 度 b = 20 mm Y 2 －10 高 度 h = 40 mm Y 3 0 跨 度 L = 620mm （新700 mm ） Y 4 10 载荷距离 a = 150 mm Y 5 20 弹性模量 E = 210 GPa （ 新206 GPa ） 泊 松 比 μ= 0.26 惯性矩I z =bh 3/12=1.067×10-7m 4 =106667mm 4

单一材料梁的弯曲正应力实验

单一材料梁的弯曲正应力实验 一、实验目的 1．用电测法测量单一材料的矩形截面梁在纯弯曲状态时其横截面上正应力的大小及分布规律，并与理论计算值比较，从而验证梁的弯曲正应力理论公式。 2．初步掌握电测法原理和静态电阻应变仪的使用方法。 二、预习思考要点 1．本实验装置是如何实现使梁的某一区段处于纯弯曲状态的？ 2．梁处于纯弯曲状态时其内力分布有何特征？ 3．梁处于纯弯曲状态时，若要测取其上某一点的线应变为何只需在该点布设一枚应变计，且平行于梁的轴线方向？ 三、实验装置和仪器 1．纯弯曲实验装置 本实验采用低碳钢或中碳钢制成的矩形截面梁，测试其正应力分布规律的实验装置如图1-26（a）所示，所加的砝码重量通过杠杆以一定的放大比例作用于加载辅梁的中央，设作用于辅梁中央的载荷为F，由于载荷对称，支承条件对称，则通过两个挂杆作用于待测梁上C、D处的载荷各为F/2。由待测梁的内力图可知CD段上的剪力Q=0， 弯矩为一常量M= 2a F ，即梁的CD段处于纯弯曲状态。 图1-26 弯曲正应力实验装置及试样贴片位置图 2．静态电阻应变仪 3．游标卡尺、钢直尺 四、实验原理 由于矩形截面梁的CD段处于纯弯曲状态，当梁发生变形其横截面保持平面的假设

成立，又可将梁视作由一层一层的纵向纤维叠合而成且假设纵向纤维间无挤压作用，此时纯弯曲梁上的各点处于单向应力状态，且弯曲正应力的方向平行于梁的轴线方向，所以若要测量纯弯曲状态下梁的横截面上的正应力的分布规律，可在梁的CD 段任一截面上沿不同高度处平行于梁的轴线方向布设若干枚电阻应变计，为简便计算，本实验的布片方案如图1-26（b ）所示，一枚布设在梁的中性层上，其余四枚分别布设在距中性层h/4或h/2处（h 为梁矩形截面的高度），此外还布设了一枚温度补偿片。 当梁受载后，电阻应变计随梁的弯曲变形而产生伸长或缩短，使自身的电阻改变。通过力学量的电测法原理，利用电阻应变仪即可测出梁横截面上各测点的应变值ε实。由于本实验梁的变形控制在线弹性范围内，所以依据单向虎克定律即可求解相应各测点的应力值，即σ实=E ·ε实，E 为梁材料的弹性模量。 实验采用“等增量法”加载，即每增加等量的载荷ΔF ，测定一次各点相应的应变增量Δε实，并观察各点应变增量的线性程度。载荷分为3—5级，最终载荷的选取，应依据梁上的最大应力σmax <(0.7－0.8)σs （σs 为材料的屈服极限）。当加载至最后一级，测完各应变值后即卸载，最后算出各测点应变增量的算术平均值实ε?，依次求出各点的应力增量Δσ实。 Δσ实=E· 实ε? （1-43） 把Δσ实与理论公式计算的应力增量 Δσ理= z I y M ?? （1-44） 进行比较，算出截面上各测点的应力增量实验值与理论值的相对误差，即 %100???-?= 理 理 实σσση （1-45） 从而验证梁的弯曲正应力公式的正确性。 五、实验步骤 1．用游标卡尺和钢直尺测量梁的矩形截面的宽度b 和高度h ，载荷作用点到梁支点的距离a 。 2．根据梁的截面尺寸和支承条件，材料的σs 值，确定分级加载的载荷增量和级次，（每级加载应使梁上各点的应变有较明显的变化），最终载荷值。 3．本实验采用多点半桥公共补偿测量法，将5枚应变测量计和公共温度补偿计分别接入静态电阻应变仪的相邻桥臂上，根据电阻应变计所给出的灵敏系数k 值调好电阻

弯曲正应力实验报告

弯曲正应力实验报告

矩；y为所求应力点至中性轴的距离。由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。 实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。当增加压力P?时，梁的四个受力点处分别增加作用力/2 ?，如下图所示。 P 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布 规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了3片应变片，各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。此外，在梁的上表面和下表面也粘贴了应变片。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴向应变，则由单向应力状态的虎 克定律公式E σε =，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 σ =E 实 ε 实 式中E是梁所用材料的弹性模量。

图 3-16 为确定梁在载荷ΔP 的作用下各点的应力，实验时，可采用“增量法”，即每增加等量的载荷ΔP 测定各点相应的应变增量一次，取应变增量的平均值Δε实来依次求出各点应力。 把Δσ实与理论公式算出的应力Z I MY =σ比较，从而验证公式的正确性，上述理论公式中的M 应按下式计算： Pa ?= M 2 1 （3．16） 四、实验步骤 1、检查矩形截面梁的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点距离a ，及各应变片到中

性层的距离i y 。 2、检查压力传感器的引出线和电子秤的连接是否良好，接通电子秤的电源线。检查应变仪的工作状态是否良好。分别采用1/4桥，1/2桥，全桥的接线方法进行测量，其中1/4桥需要接温度补偿片，1/2桥通过交换接线方式分别进行两次试验来比较试验结果。 3、根据梁的材料、尺寸和受力形式，估计实验时的初始载荷0 P (一般按00.1s P σ=确定)、最 大载荷max P (一般按max 0.7s P σ≤确定)和分级载荷P ? (一般按加载4～6级考虑)。 本实验中分四次加载。实验时逐级加载，并记录各应变片在各级载荷作用下的读数应变。 4、实验完毕后将载荷卸掉，关上电阻应变仪电源开关，并请教师检查实验数据后，方可离开实验室。 五、数据处理 1、原始数据。 其中a=80mm b=19.62mm h=39.38mm 1/4桥 荷载 测点 测点 测点 测点 测点

梁的弯曲应力

第8章梁得弯曲应力 梁在荷载作用下,横截面上一般都有弯矩与剪力，相应地在梁得横截面上有正应力与剪应力。弯矩就是垂直于横截面得分布内力得合力偶矩;而剪力就是切于横截面得分布内力得合力。所以,弯矩只与横截面上得正应力σ相关,而剪力只与剪应力τ相关。本章研究正应力σ与剪应力τ得分布规律，从而对平面弯曲梁得强度进行计算。并简要介绍一点得应力状态与强度理论。 8.1梁得弯曲正应力 平面弯曲情况下,一般梁横截面上既有弯 矩又有剪力，如图8、1所示梁得AＣ、ＤＢ 段。而在CD段内,梁横截面上剪力等于零，而 只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。下面推导梁 纯弯曲时横截面上得正应力公式。应综合考虑 变形几何关系、物理关系与静力学关系等三个 方面。 8.１.1弯曲正应力一般公式 1、变形几何关系 为研究梁弯曲时得变形规律,可通过试验, 观察弯曲变形得现象。取一具有对称截面得矩 形截面梁,在其中段得侧面上,画两条垂直于梁 轴线得横线mｍ与nｎ,再在两横线间靠近上、 下边缘处画两条纵线aｂ与cd,如图8、2(a)所 示。然后按图8、１（a)所示施加荷载,使梁得 中段处于纯弯曲状态。从试验中可以观察到图 8、２(b)情况: (１)梁表面得横线仍为直线,仍与纵线正交,只 就是横线间作相对转动。 (２)纵线变为曲线,而且靠近梁顶面得纵线缩 短,靠近梁底面得纵线伸长。 (３)在纵线伸长区,梁得宽度减小，而在纵线 缩短区，梁得宽度则增加,情况与轴向拉、压时得 变形相似。 根据上述现象,对梁内变形与受力作如下假设: 变形后,横截面仍保持平面,且仍与纵线正交;同时, 梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。前 者称为弯曲平面假设;后者称为单向受力假设。 根据平面假设,横截面上各点处均无剪切变形,因此，纯弯时梁得横截面上不存在剪应力。 根据平面假设,梁弯曲时部分纤维伸长,部分纤维缩短,由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变得过渡层,称为中性层,如图8、2(ｃ)所示。中性层与横截面得交线称为中性轴。对于具有对称截面得梁,在平面弯曲得情况下,由于荷载及梁得变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面得对称轴垂直。

第七章 直梁弯曲时的内力和应力

第七章直梁弯曲时的内力和应力 一、填空题： 1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。 2、车床上的三爪盘将工件夹紧之后，工件夹紧部分对卡盘既不能有相对移动，也不能有相对转动，这种形式的支座可简化为___________支座。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 4、梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然__________于横截面。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。 6、梁上某横截面弯矩的正负，可根据该截面附近的变形情况来确定，若梁在该截面附近弯成上_____下_______，则弯矩为正，反之为负。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 8、以梁横截面右侧的外力计算弯矩时，规定外力矩是顺时针转向时弯矩的符号为_______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 12、桥式起重机横梁由左、右两车轮支承，可简化为简支梁，梁长为L，起吊重量为P，吊重位置距梁左、右两端长度分别为a、b，且a>b,由此可知最大剪力值为_______. 13、将一简支梁的自重简化为均布载荷作用而得出的最大弯矩值,要比简化为集中罚作用而的最大弯矩值__________ 14、由剪力和载荷集度之间的微分关系可知,剪力图上的某点的_________等于对应于该点的载荷集度. 15、设载荷集度q（X）为截面位置X的连续函数，则q（X）是弯矩M（X）的_______阶导函数。 16、梁的弯矩图为二次抛物线时，若分布载荷方向向上，则弯矩图为向_________凸的抛物线。

纯弯曲梁的正应力实验

纯弯曲梁的正应力实验 一、实验目的： 1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律 2.验证纯弯曲梁的正应力公式 二、实验设备及工具： 1.材料力学多功能试验台中的纯弯曲梁实验装置 2.数字测力仪、电阻应变仪 三、实验原理及方法： 在纯弯曲条件下，根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到梁横截面上任意一点的正应力，计算公式：z M y I σ?= 为测量梁横截面上的正应力分布规律，在梁的弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。贴法：中性层一片，中性层上下1/4梁高处各一片，梁上下两侧各一片，共计五片。 采用增量法加载，每增加等量荷载△P （500N ）测出各点的应变增量△ε，求的各点应变增量的平均值△ε实i ，从而求出应力增量： σ实i =E △ε实i 将实验应力值与理论应力值进行比较，已验证弯曲正应力公式。 四、原始数据：

五、实验步骤： 1. 打开应变仪、测力仪电源开关 2.连接应变仪上电桥的连线，确定第一测点到第五测点在电桥通道上的序号。 3. 检查测力仪，选择力值加载单位N或kg，按动按键直至显示N上的红灯亮起。按清零键，使测力计显示零。 4.应变仪调零。按下“自动平衡”键，使应变仪显示为零。 5.转动手轮，按铭牌指示加载，加力的学生要缓慢匀速加载，到测力计上显示500N，读数的学生读下5个测点的应变值，（注意记录下正、负号）。用应变仪右下角的通道切换键来显示第5测点的读数。以后，加力每次500N，到3000N为止。 6.读完3000N应变读数后，卸下载荷，关闭电源。 六、实验结果及处理：

1.各点实验应力值计算 根据上表数据求得应变增量平均值△εPi，带入胡克定律计算各点实验值： σ实i=E△εPi×10-6 2.各点理论应力值计算 载荷增量△P = 500N 弯矩增量△M = △P/2×L P 应力理论值计算（验证的就是它） 3.绘出实验应力值和理论应力值的分布图 以横坐标表示各测点的应力σ 实和σ 理 ，以纵坐标表示各测点距梁中性层的位置。 将各点用直线连接，实测用实线，理论用虚线。 σ y 4.实验值与理论值比较，验证纯弯曲梁的正应力公式

机械设计基础课后习题答案 第11章

11-1 解1）由公式可知： 轮齿的工作应力不变，则则，若，该齿轮传动能传递的功率 11-2解由公式 可知，由抗疲劳点蚀允许的最大扭矩有关系： 设提高后的转矩和许用应力分别为、 当转速不变时，转矩和功率可提高 69%。 11-3解软齿面闭式齿轮传动应分别验算其接触强度和弯曲强度。（ 1）许用应力查教材表 11-1小齿轮45钢调质硬度：210～230HBS取220HBS；大齿轮ZG270-500正火硬度：140～170HBS，取155HBS。 查教材图 11-7， 查教材图 11-10 , 查教材表 11-4取， 故： （ 2）验算接触强度，验算公式为：

其中：小齿轮转矩 载荷系数查教材表11-3得齿宽 中心距齿数比 则： 、，能满足接触强度。 （ 3）验算弯曲强度，验算公式： 其中：齿形系数：查教材图 11-9得、 则： 满足弯曲强度。 11-4解开式齿轮传动的主要失效形式是磨损，目前的设计方法是按弯曲强度设计，并将许用应力降低以弥补磨损对齿轮的影响。 （ 1）许用弯曲应力查教材表11-1小齿轮45钢调质硬度：210～230HBS取220HBS；大齿轮 45钢正火硬度：170～210HBS，取190HBS。查教材图11-10得 ,

查教材表 11-4 ，并将许用应用降低30% （ 2）其弯曲强度设计公式： 其中：小齿轮转矩 载荷系数查教材表11-3得取齿宽系数 齿数，取齿数比 齿形系数查教材图 11-9得、 因 故将代入设计公式 因此 取模数中心距 齿宽 11-5解硬齿面闭式齿轮传动的主要失效形式是折断，设计方法是按弯曲强度设计，并验算其齿面接触强度。

纯弯曲正应力分布规律

叠梁、复合梁正应力分布规律实验 一、实验目的 1．用电测法测定叠梁、复合梁在纯弯曲受力状态下，沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律； 2．推导叠梁、复合梁的正应力计算公式。 二、实验仪器和设备 1．纯弯曲梁实验装置一台（纯弯曲梁换成叠梁或复合梁）； 2．YJ-4501A静态数字电阻应变仪一台； 三、实验原理和方法 叠梁、复合梁实验装置与纯弯曲梁实验装置相同，只是将纯弯曲梁换成叠梁或复合梁，叠梁和复合梁所用材料分别为铝梁和钢梁，其弹性模量分别为E=70GN/m2和E=210GN/m2。叠梁、复合梁受力状态和应变片粘贴位置如图1所示，共12个应变片。叠梁、复合梁受力简图如图2所示，由材料力学可知

叠梁横截面弯矩：M=M 1+M 2 2 2112221111 Z Z Z Z I E I E M I E M I E M += == ρ I Z1为叠梁1截面对Z 1轴的惯性距； I Z2为叠梁2截面对Z 2轴的惯性距。 因此，可得到叠梁Ⅰ和叠梁Ⅱ正应力计算公式分别为 2 2111 111 1 1Z Z I E I E Y M E Y E += =ρ σ 2 2112222 2 2Z Z I E I E Y M E Y E += =ρ σ 式中Y 1——叠梁Ⅰ上测点距Z 1轴的距离； Y 2——叠梁Ⅱ上测点距Z 2轴的距离。 复合梁 设： E 2 / E 1 = n 2 2111 Z Z I E I E M += ρ I Z1为梁1截面对中性Z 轴的惯性距； I Z2为梁2截面对中性Z 轴的惯性距。 中性轴位置的偏移量为： ) 1(2) 1(+-= n n h e 因此，可得到复合梁Ⅰ和复合梁Ⅱ正应力计算公式分别为 2 21111 1Z Z I E I E MY E Y E += =ρ σ 2 21122 2Z Z I E I E MY E Y E += =ρ σ 在叠梁或复合梁的纯弯曲段内，沿叠梁或复合梁的横截面高度已粘贴一组应变片，见图1。当梁受载后，可由应变仪测得每片应变片的应变，即得到实测的沿叠梁或复合梁横截面高度的应变分布规律，由单向应力状态的虎克定律公式εσE =，可求出应力实验值。应力实验值与应力理论值进行比较，以验证叠梁、复合梁的正应力计算公式。 四、实验步骤 1． 叠梁、复合梁的单梁截面宽度 b=20mm, 高度 h=20mm, 载荷作用点到梁支点距离c=150mm 。 2． 将载荷传感器与测力仪连接, 接通测力仪电源, 将测力仪开关置开。 3． 将梁上应变片的公共线接至应变仪背面B 点的任一通道上，其它接至相应序号通道的A 点上，公共补偿片接在0通道的B 、C 上。 4． 实验： 叠梁实验 a ． 本实验取初始载荷P 0=0.5KN （500N ），P max =2.5KN(4500N)，ΔP=0.5KN(500N)， 共分四次加载； b ． 加初始载荷0.5KN(500N)，将各通道初始应变均置零； c ． 逐级加载，记录各级载荷作用下每片应变片的读数应变。 复合梁实验

梁的纯弯曲正应力实验

梁的纯弯曲正应力实验 一、 实验目的 1.了解电阻应变测试技术的基本原理，学会使用应力 / 2.测定矩形截面梁纯弯曲时横截面上的正应力分布规律，验证梁的平面弯曲正应力公式。 3.测定材料的泊松比。 二、实验仪器 1.CLDT － C 2.XL －2118B 应力/ 三、实验原理 在平面弯曲时，梁横截面上正应力公式为： 式中：M 为作用在横截面上的弯矩；I 为梁横截面对中性轴的惯性矩； y 为中性轴到测点之距； 实验装置： 弯曲试验装置图 电阻应变测量技术原理： I y M ?= σ εK R =?()43214433221144εεεε-+-=??? ?-+-=?R R R R U DB A

测试仪器：XL －2118B 应力/应变综合参数测试仪 ? 由测量各应变片应变值 ? 由虎克定律求各测点的应力值： 式中：E 为材料的弹性模量。E =206 GPa ? 为提高测量精度，采用“增量法”，每增加一次载荷ΔP = 500N ，测出相应应变的增量，最后 取应变增量的平均值?ε，求出各测点的应力增量值： ?σ实＝E ??ε ? 把由实验得到的?σ实，与由理论计算得到的 ?σ理＝?M ?y/I 进行比较，以验证弯曲正应力公式 的正确性。 四、实验步骤 1.确定梁的尺寸b, h, l, a ；计算I ；检查梁支点，加载点位置是否正确。 2.接线：将六个应变片和温度补偿片接入应变仪各测点。其中工作片接AB ，补偿片接BC(公共补偿)。 3.打开XL －2118B 应力/应变综合参数测试仪，按“N/kg”转换键使力显示单位为N ，检查螺旋加载装置，确认无力作用后按“清零”键。 4.预调平衡：按单点平衡键，对各测点进行桥路平衡。 5.加载测量（逆时针旋转为加载，每次加载500N ，最大载荷2kN ）：记录各测点应变片的读数εi 。 6. 卸载，数据经教师审阅后方可离开。 ) 6,5,4,3,2,1( =?=i E i i εσ

弯曲正应力强度条件例题.

例题 一T 形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图（a ）所示。若已知此截面对形心轴z 的惯性矩4763c m z I =，且152m m y =，288mm y =；铸铁的许用拉应力 []30M P a t σ=，许用压应力[]90MPa c σ=。试校核梁的正应力强度。 解：（1）求支座反力。 由静力平衡方程求得支座反力分别为：()25kN Ay F .=↑，() 105kN By F .=↑ 例题图 （2）绘制梁的内力图，确定最大的内力值及其所在位置（危险截面）。 该梁内力图如图（b ）所示。对于脆性材料做成的横截面关于中性轴不对称的梁，其最大拉应力和最大压应力不一定都发生在弯矩绝对值最大的截面上。因此，进行强度校核时，应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面做最比分析，从而求得梁内的最大拉应力和最大压应力。所以C 、B 截面均为危险截面，且两截面弯矩值分别为： 25kN.m zC M .=， 4kN.m zB M = （3）强度校核。 C 截面强度校核：C 截面产生最大正弯矩，最大拉应力发生在截面的下边缘，最大压应力发生在截面的上边缘，如图6-21（c ）所示，其值分别为： []62a a 4 251088288MP 30MP 76310zC t max t z M y ..I σσ??===<=? []61a a 4 251052171MP 160MP 76310zC c max c z M y ..I σσ??===<=? B 截面强度校核：B 截面产生最大负弯矩，最大拉应力发生在截面的上边缘，最大

压应力发生在截面的下边缘，如图所示（c ），其值分别为： []62a a 4410522726MP 30MP 76310 zB t max t z M y .I σσ??===<=? []62a a 4 410884613MP 160MP 76310zB c max c z M y .I σσ??===<=? 此梁强度符合要求。

梁弯曲正应力测量实验报告

厦 门 海 洋 职 业 技 术 学 院 编号：XH03JW024-05/0 实训（验） 报告 班级： 姓名： 座号： 指导教师： 成绩： 课程名称： 实训（验）： 梁弯曲正应力测量 年 月 日 一、 实训（验）目的： 1、掌握静态电阻应变仪的使用方法； 2、了解电测应力原理，掌握直流测量电桥的加减特性； 3、分析应变片组桥与梁受力变形的关系，加深对等强度梁概念的理解。 二、 实训（验）内容、记录和结果（含数据、图表、计算、结果分析等） 1、实验数据： （1） 梁的尺寸： 宽度b=9mm ；梁高h=30mm ；跨度l =600mm ；AC 、BD ：弯矩a=200mm 。测点距轴z 距离： 21h y ==15mm ；42h y ==7.5mm ；3y =0cm ；-=-=44h y 7.5mm ；-=-=2 5h y 15mm ； E=210Gpa 。 抗弯曲截面模量W Z =bh 2/6 惯性矩J Z =bh 3 /12 （2） 应变)101(6-?ε记录： （3） 取各测点ε?值并计算各点应力： 1ε?=16×10-6 ；2ε?=7×10-6 ；3ε?= 0 ；4ε?=8×10-6 ；5ε?=15×10-6 ； 1σ?=E 1ε?=3.36MPa ；2σ?=E 2ε?=1.47MPa ；3σ?=0 ；

4σ?=E 4ε?=1.68MPa ；5σ?=E 5ε?=3.15MPa ； 根据ΔM W =ΔF ·a/2=5 N ·m 而得的理论值： 1σ?=ΔM W /W Z =3.70MPa ；2σ?=ΔM W h /4(J Z )=1.85MPa ；3σ?=0 ； 4σ?=ΔM W h /4(J Z )=1.85MPa ；5σ?=ΔM W /W Z =3.70MPa ； （4） 用两次实验中线形较好的一组数据，将平均值ε?换算成应力εσ?=E ,绘在坐标 方格纸上，同时绘出理论值的分布直线。