青浦区2012学年第一学期高三年级数学期末试卷及解答
青浦区2012学年第一学期高三年级期终数学参考解答
（满分150分，答题时间120分钟）Q.2013.01.18
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合{}{}
a x x B x x A ≥=≤=,2，且R B A = ，则实数a 的取值范围__2≤a ____． 2．函数)2(log 1)(2≥+=x x x f 的反函数)2(2)(11
≥=--x x f
x ．
3．抛物线2
2x y =的焦点坐标是____)81,0( ．
4．若=6
4
2
5
31
22
2
c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于_____2 ．
5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V
6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 π2 ．
7．在ABC ?中，2,3==AC AB ，10=BC ，则
=?AC AB
2
3
． 8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位
置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．2
1
-
2或-． 9．如果执行右面的框图，输入4=N ，则输出的数S 等于
5
4
． 10．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到D C B A 、、、四个不同岗位服务，每个岗位至少有
一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位A 服务的概率是 401
44
2533=P C P ．
11．已知01cos sin 2
=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)．直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是 1 ． 【解析】直线MN 方程为sin cos 10x y θθ+-=
，∴1d =
=
12．已知??
?≥<+-=1
,1,1)2()(x a
x x a x f x
满足对任意21x x ≠都有
0)
()(2
121>--x x x f x f 成立，那么a
的取值范围是_____??
????2,23 ．
【解析】由题意知，()f x 在R 上单调递增，∴1
20
1(2)11a a a a ->??
>??-?+≤?
，所以322a ≤<
13．正六边形111111F E D C B A 的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形
222222F E D C B A ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是
4
3
9 ．
【解析】设所有这些六边形的边长依次构成一个等比数列{}n a ，等比数列面积构成{}n S
且226n n n S ==。∵11a =，()222222111132cos1203a a a a a =+-?= ，即2
22113
a a =，…，
2
22221
1
1
1
(3)2cos1203n n n n n a a
a
a
a
----=+-?=
，即22
1
1
3n n a a -=∴面积数列的公比21211
13n n n n S a
q S a
---=
==
，又12S =
，∴所有面积和12lim 1113
n S S S q ====--14．设R y x ∈,且满足??
???=-+--=+++4)1(2013)1(4)4(2013
)4(31
531
5
y y x x ，则x y +=_____3- ．
【解析】设函数1
5
3
()2013f x x x =+，则函数()f x 是在R 上的奇函数又是增函数。∵
(4)4f x +=-，(1)4f y -=，∴4(1)x y +=--，即3x y +=-
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程
为……………………………………………………………………………………………（ D ）．
A . x y 2±= .
B x y 2±=
C . x y 21±=
D . x y 2
2
±=
16．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是…………………………（ D ）． A .逆命题为“单调函数不是周期函数” .B 否命题为“周期函数是单调函数” C .逆否命题为“单调函数是周期函数” D . 以上三者都不对
【解析】正确的逆命题应为“不是单调函数是周期函数”；正确的否命题应为“不是周期函数是单调函数”； 正确的逆否命题应为“单调函数不是周期函数”；所以应选（D ）
17．已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线z i z l =--22:的对称点的
复数表示是……………………………………………………………………………（ .B ）．
A .i - .
B i
C .i -1
D .i +1
18．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值………………………………（ A ）．
A .恒为正数
.B 恒为负数 C .恒为0
D .可正可负
【解析】∵1201310072a a a +=，∴2013200712a a a =-，又01007>a ，∴20131a a >-
∵函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，∴201311()()()f a f a f a >-=-，即
20131()()0f a f a +>；同理可证，20122()()0f a f a +>，20113()()0f a f a +>，…，
1006
1008()()0f a f a +>。因此， )
()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ [][][][]120132201232014100610081007()()()()()()()()()
f a f a f a f a f a f a f a f a f a =+++++++++ 0>，故选（A ）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图已知四棱锥ABCD P -中的底面是边长为6的正方形，侧棱
PA 的长为8，且垂直于底面，点N M 、分别是AB DC 、的
中点．求
（1）异面直线PM 与CN 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四棱锥ABCD P -的表面积.
（1）解法 一：连结AM ，可证CN ∥AM ， 直线PM 与AM 所成角等于直线PM 与CN 所成
角． …………………………2分 因为PA 垂直于底面,所以AM PA ⊥,
点M 分别是DC 的中点, 6=DC 53=∴AM
在PAM Rt ?中,8=PA ,53=AM ,
15
5
85
38tan =
=
∠PMA ,1558arctan =∠∴PMA …………………………4分
即异面直线PM 与CN 所成角的大小为15
5
8arctan
．…………………………6分 解法二：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系可得)0,6,3(M ，)8,0,0(P ，)0,0,3(N ，)0,6,6(C ，
)8,6,3(-=∴，)0,6,3(--=∴ …………………………2分
直线PM 与CN 所成角为θ，向量与的夹角为?
109
545
345
10945cos -
=?-=
=
? …………………………4分 又1095453cos cos =
=?θ，109
545
3arccos =θ， 即异面直线PM 与CN 所成角的大小为109
545
3arccos ．…………………………6分 （说明：两种方法难度相当）
(2) 因为PA 垂直于底面,所以AB PA ⊥，AD PA ⊥即PAB Rt ?≌PDC Rt ?
PB BC BC
AB BC
PA ⊥???
?⊥⊥，同理PD CD ⊥PBC Rt ?∴≌PAD Rt ?…………8分 底面四边形ABCD 是边长为6的正方形，所以36=底S
又PAB S S ?=侧PAD S ?+PBC S ?+PCD S ?+1086048)2
1(2)21(2=+=??+??=BC PB AB PA
14436108=+=表S
所以四棱锥ABCD P -的表面积是144 …………………………………………12分 20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列{}n a 满足)(23
3,2*1
11N n a a a n n n n ∈-+==++．
（1）设n
n
n n a b 3
2-=证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
解：（1）n n n n n n n n a a b b 32321111---=
-++++ 132********=----+=+++n
n
n n n n n n a a ，……2分 }{n b ∴为等差数列．又0=1b ，1-=∴n b n ．……………………………………………4分
()n n n n a 231+?-=∴．………………………………………………………………………6分
（2）设n n n T 3)1(313021?-++?+?= ，则 31323)1(3130+?-++?+?=n n n T ．
111
23)1(3
1)
31(93
)1(332+-+?----=?--++=-∴n n n n n n n T ．…………………10分
49
3)32(23)1(439111+?-=?-+-=∴+++n n n n n n T ．
(
)()4
1
23322
22312++-=++++=∴++n n n
n n n T S ． …………………………14分
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，满足0=?． （1）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的最小正周期；
（2）已知c b a ,,分别为ABC ?的三个内角C B A ,,对应的边长，若)2
()(A
f x f ≤对所有R x ∈恒成立，且2=a ，求c b +的取值范围．
解：（I ）由0=?得0cos sin 32cos 22=-+y x x x …………………………2分 即x x x y cos sin 32cos 22+=1)6
2sin(212sin 32cos ++
=++=π
x x x ……………4分
所以1)6
2sin(2)(++
=π
x x f ，其最小正周期为π． …………………………6分
（II ）因为)2
()(A f x f ≤对所有R x ∈恒成立 所以3)2
(=A f ，且Z k k A ∈+
=+
,2
26
π
ππ
………………………………8分
因为A 为三角形内角，所以π< π = A ． ………………………………9分 由正弦定理得B b sin 334= ，C c sin 3 3 4=，C B c b sin 334sin 334+=+ )3 2sin(334sin 334B B -+= π )6sin(4π+=B ……………………………………12分 )32, 0(π∈B ，]1,2 1 ()6sin(∈+∴πB ，]4,2(∈+c b 所以c b +的取值范围为]4,2( ………………………………………………14分 22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分，第3小题 满分2分. 设直线0,11≠+=p p x k y L ：交椭圆)0(122 22>>=+Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线 x k y L 22=：于点E ． （1）若E 为CD 的中点，求证：22 21a b k k -=?； （2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真； （3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）． 解：（1）解法一：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E 02)(1 2222212212222 22 1=-+++??????=++=b a p a x pa k x k a b b y a x p x k y ………………………2分 212221212k a b pa k x x +-=+∴ ，p k a b pa k k y y 22212221121++-?=+2 1 222 2k a b pb +=………………4分 又212122 1021022 x x y y k y y y x x x ++=???? ???? +=+=2 1222pa k pb -=2221a b k k -=?∴………………………7分 解法二（点差法）：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E )1(1221221=+b y a x ，)2(12 2 2 222=+b y a x 两式相减得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x 即 0)(2)(22 2102210=-+-b y y y a x x x ……………………………………………………3分 2 2 2 020221211k a b y a x b x x y y k ?-=??-=--=∴ 22 21a b k k -=?∴ ………………………………………………………………………7分 （2）逆命题：设直线p x k y L +=11：交椭圆)0(122 22>>=+Γb a b y a x ：于D C 、两点，交 直线x k y L 22=：于点E ．若22 21a b k k -=?，则E 为CD 的中点．………………………9分 证法一：由方程组02)(1 2222212212222 221=-+++???? ??=++=b a p a x pa k x k a b b y a x p x k y ……………………………………………………………………………………………10分 因为直线p x k y L +=11：交椭圆Γ于D C 、两点， 所以0>?，即022212>-+p b k a ，设),(11y x C 、),(22y x D 、),(00y x E 则2122212102k a b pa k x x x +-=+=∴ ，2 122 2 2102k a b pb y y y +=+=……………………12分 ?? ??? =-=??? ?=+=x k y k k p x x k y p x k y 21221又因为22 21a b k k -=? ，所以 ??? ? ???=+===+-=-=021222 202 1221212y k a b p b x k y x k a b p k a k k p x ，故E 为CD 的中点．……………………………14分 证法二：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E 则)1(1221221=+b y a x ，)2(122 2222=+b y a x 两式相减得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x 即)() (212 21221211y y a x x b x x y y k +?+?-=--=………………………………………………………9分 又00222 21,x y k a b k k =-=? ，002121y x x x y y = ++即0 0212211x p kx x x p x k p x k += ++++ ……………………………………………………12分 0 12112x p k x x p k +=++ ∴ 得0212x x x =+0212y y y =+∴，即E 为CD 的中点．……………………………14分 （3）设直线0,11≠+=p p x k y L ：交双曲线)0,0(122 22>>=-Γb a b y a x ：于D C 、两点， 交直线x k y L 22=：于点E ．则E 为CD 中点的充要条件是22 21a b k k =?．…………………16分 23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 我们把定义在R 上，且满足)()(x af T x f =+（其中常数T a ,满足0,0,1≠≠≠T a a ）的函数叫做似周期函数． （1）若某个似周期函数)(x f y =满足1=T 且图像关于直线1=x 对称．求证：函数)(x f 是偶函数； （2）当2,1==a T 时，某个似周期函数在10<≤x 时的解析式为)1()(x x x f -=，求函数 )(x f y =，[)Z n n n x ∈+∈,1,的解析式； （3）对于确定的T x T ≤<>00且时，x x f 3)(=，试研究似周期函数函数)(x f y =在区间 ),0(+∞上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由． 解：因为R x ∈关于原点对称，……………………………………………………1分 又函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，所以 )1()1(x f x f +=-① ………………………………………………………2分 又1=T ，,)()1(x af x f =+∴ 用x -代替x 得,)()1(x af x f -=+-③ ……………………………………………3分 由①②③可知,)()(x af x af -=01≠≠a a 且 ， )()(x f x f -=∴．即函数)(x f 是偶函数；…………………………………………4分 （2）当)(1Z n n x n ∈+<≤时，)(10Z n n x ∈<-≤ )1)((2)(2)2(2)1(2)(2x n n x n x f x f x f x f n n -+-=-==-=-= ；……10分 （3）当)()1(N n T n x nT ∈+≤<时，)(0N n T nT x ∈≤-< nT x n n a nT x f a T x f a T x af x f -=-==-=-=3)()2()()(2 …………………12分 显然0a 时，N n T n nT x a x f nT x n ∈+∈=-],)1(,(,3)(是增函数， 此时N n T n nT x a a x f T n n ∈+∈∈],)1(,(],3,()(……………………………………14分 若函数)(x f y =在区间),0(+∞上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有 T n n a a 31≥+， ………………………………………………………16分 解得T a 3≥ ． ………………………………………………………18分