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初中数学锐角三角函数的经典测试题及解析

初中数学锐角三角函数的经典测试题及解析一、选择题

1．如图，在扇形OAB中，120

AOB

∠=?，点P是弧

AB上的一个动点（不与点A、B重

合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33

CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．

【详解】

解：如图作OH⊥AB于H．

∵C、D分别是弦AP、BP的中点．

∴CD是△APB的中位线，

∴AB＝2CD＝63

∵OH⊥AB，

∴BH＝AH＝33

∵OA＝OB，∠AOB＝120°，

∴∠AOH＝∠BOH＝60°，

在Rt△AOH中，sin∠AOH＝

，

∴AO＝

sin3

AOH

∠，

∴扇形AOB的面积为：

1206

360

g g

，

故选：A ．

【点睛】

本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

2．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（）

A 2

B 22

C 42

D 32 【答案】C

【解析】

【分析】

在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?DE 即可求出AE 的长度．

【详解】

∵AD ⊥BC

∴∠ADC=∠ADB=90?

在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45?

∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60?

∴BD=33AD=263

． ∵BE 平分∠ABC ，

∴∠EBD=30°．

在Rt △EBD 中，26，∠EBD=30° ∴DE=33BD=223 ∴AE=AD ?DE=222242 故选：C

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．

3．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2

sin cos θθ-=( )

A ．15

B ．5

C ．355

D ．95

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．

【详解】

解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，

∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，

∴55cos 55sin 5θθ-=，

∴5cos sin θθ-=

， ∴()21sin cos 5

θθ-=

．故选：A ．

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出5cos sin 5

θθ-=．

4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（）

A．24

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，

解得x=25

，故CE=8-

，

∴tan∠CBE=

24 CE

故选C.

考点：锐角三角函数.

5．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（）

A．1 B．1

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据题意过点C作CF⊥BD与点F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝32

3-3

【详解】

过点C作CF⊥BD与点F．

∵∠BAE＝30°，

∴∠DBC＝30°，

∵BC＝2，

∴CF＝1，BF3，

易证△AEB≌△CFD（AAS）

∴AE＝CF＝1，

∵∠BAE＝∠DBC＝30°，

∴BE＝

AE＝

，

∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣

＝233 ，在Rt △CFE 中，

tan ∠DEC ＝132332

EF ==，故选C ．

【点睛】

此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等

6．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点

E ，连接AC 交DE 于点

F .若3sin 5

CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )

A ．10

B ．12

C ．16

D ．20

【答案】D

【解析】

【分析】连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ??∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．

【详解】

解：连接BD ，如图，

AB Q 为直径，

90ADB ACB ∴∠=∠=?，

AD CD =Q ，

DAC DCA ∴∠=∠，

而DCA ABD ∠=∠，

DAC ABD ∴∠=∠，

DE AB ∵⊥，

90ABD BDE ∴∠+∠=?，

而90ADE BDE ∠+∠=?，

ABD ADE ∴∠=∠，

ADE DAC ∴∠=∠，

5FD FA ∴==，

在Rt AEF ?中，3sin 5EF CAB AF ∠=

=Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=，

ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，

ADE DBE ∴??∽，

::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，

16BE ∴=，

41620AB ∴=+=．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

7．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x

=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（）

A ．逐渐变小

B ．逐渐变大

C ．时大时小

D ．保持不变

【答案】D

【解析】

【分析】

如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a -），A 为（b ，2

b ），得到OE=-a ，EB=1a

-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=

2为定值，即可解决问题．【详解】

解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ，

则△BEO ∽△OFA ，

∴BE OE OF AF

=，设点B 为（a ，1a -

），A 为（b ，2b ），则OE=-a ，EB=1a

-，OF=b ，AF=2b ，可代入比例式求得222a b =，即222a b

=，根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=22224OF AF b b

+=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b

++==++=222214()24b b b b ++=2 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.

故选D

【点睛】

该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．

8．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=，则AC 的长为（）

A ．3

B ．163

C ．203

D ．165

【答案】C

【解析】

【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ．

【详解】

解：∵DE ⊥AC ，

∴∠ADE+∠CAD=90°，

∵∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠ACD=∠ADE=α，

∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ，

∴∠BAC=∠ACD ，

∵cos α=

35，35AB AC ∴=， ∴AC=520433

?=．故选：C ．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键．

9．如图，O e 是ABC V 的外接圆，AD 是O e 的直径，若O e 的半径是4，

1sin 4

B =，则线段A

C 的长是（）．

A ．2

B ．4

C ．32

D ．6

【答案】A

【解析】

【分析】连结CD 如图，根据圆周角定理得到∠ACD ＝90?，∠D ＝∠B ，则sinD ＝sinB ＝

14，然后在Rt △ACD 中利用∠D 的正弦可计算出AC 的长．

【详解】

连结CD ，如图，

∵AD 是⊙O 的直径，

∴∠ACD ＝90?，

∵∠D ＝∠B ，

∴sinD ＝sinB ＝14

，在Rt △ACD 中，∵sinD ＝

AC AD ＝14， ∴AC ＝14AD ＝14

×8＝2．故选A ．

【点睛】

10．如图，一张直角三角形纸片BEC 的斜边放在矩形ABCD 的BC 边上，恰好完全重合，边BE ，CE 分别交AD 于点F ，G ，已知8BC =，::4:3:1AF FG GD =，则CD 的长为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

【答案】C

【解析】

【分析】由ABCD 是矩形，得到AD=BC=8，且矩形的四个角是直角，根据

::4:3:1AF FG GD =，可以求出DG 的长度，再根据余角的性质算出∠DCE 的大小，根据三角函数即可算出DC 的长度.

【详解】

解：∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD=BC=8，∠DCB=90?，

又∵::4:3:1AF FG GD =

∴1114318

GD AD AD ===++, ∵∠ECB=60°，

∴∠DCE=906030?-?=?，

又∵31tan 30GD CD CD ?=

==， ∴3CD =

, 故答案为C.

【点睛】

本题主要考查矩形、特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长度是解本题的关键，特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握.

11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG 的高度．他从点A 出发沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，用测角仪测得建筑物顶端D 的仰角为37°，建筑物底端E 的俯角为30°，若AF 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE 约为(精确到0.1米，参考数据：3 1.73370.60sin ≈?≈,，

370.80370.75cos tan ?≈?≈,)（）

A．23.0米B．23.6米C．26.7米D．28.9米

【答案】C

【解析】

【分析】

如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM 的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案．

【详解】

如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，

∵沿着坡度为1:2.4

i=的斜坡AB步行26米到达点B处，

∴BN1 AN 2.4

=，

∴AN=2.4BN，

∴BN2+（2.4BN）2=262，

解得：BN=10（负值舍去），∴CN=BN+BC=11.6，

∴ME=11.6，

∵∠MCE=30°，

∴CM=

tan30?

=11.63，

∵∠DCM=37°，

∴DM=CM·tan37°=8.73，

∴DE=ME+DM=11.6+8.73≈26.7（米），

故选：C．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．

12．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若4

BC=，1

DE AF

==，则GF的长为（）

A ．135

B ．125

C ．195

D ．165

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的性质以及勾股定理求得5BE CF ==，证明BCE CDF ???，根据全等三角形的性质可得CBE DCF ∠=∠，继而根据cos cos BC CG CBE ECG BE CE

∠=∠=

=，可求得CG 的长，进而根据GF CF CG =-即可求得答案.

【详解】

∵四边形ABCD 是正方形，4BC =，

∴4BC CD AD ===，90BCE CDF ∠=∠=?，

∵1AF DE ==，

∴3DF CE ==， ∴22345BE CF =+=，

在BCE ?和CDF ?中， BC CD BCE CDF CE DF =??∠=∠??=?

，

∴()BCE CDF SAS ???，

∴CBE DCF ∠=∠，

∵90CBE CEB ECG CEB CGE ∠+∠=∠+∠=?=∠，

cos cos BC CG CBE ECG BE CE ∠=∠=

=， ∴453CG =，125

CG =， ∴1213555

GF CF CG =-=-

=，故选A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.

13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（83，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时△BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积，即可得出本题的答案；

【详解】

解：当0

连接BD，AC，交于点O′，连接NM，过点C作CP⊥AB垂足为点P，

∴∠CPB=90°，

∵四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(0，4)，点D的坐标是3，4)，

∴BO′3，CO′=4，

∴228

'，

+'=

O B O C

∵AC=8，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∴CP=BC×sin60°=8×3

=43，BP=4，

BN=4x，BM=2x，

BM x x

==，

BN x

=，

∴=

BM BN

BP BC

，

又∵∠NBM=∠CBP，

∴△NBM∽△CBP，

∴∠NMB=∠CPB=90°，

∴

44383

CBP

S BP CP

=??=??=

；

∴

NBM

CBP

S BN

S BC

= ?

，

即y=

83=23

NBM CBP

BN x

S S x

????

=?=?

? ?

????

V V

，

当2

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴3

BM=2x，

∴y=

=24343

BM NE x x

??=

g g；

故选D.

【点睛】

本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键. 14．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）

A ．3cm

B ．2cm

C ．23cm

D ．4cm

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．

【详解】

解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ，

∵六边形ABCDEF 是正六边形，

∴∠BOC=360°÷6=60°，

∵OB=OC ，OG ⊥BC ，

∴∠BOG=∠COG=

∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ， ∴BG=

12BC=12×2=1cm ， ∴OB=sin 30BG o

=2cm ， ∴OG=2222213OB BG -=-=，

∴圆形纸片的半径为3cm ，

故选：A ．

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．

15．如图，基灯塔AB 建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i ＝1：0.75．小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC ＝20m ，然后在C 处水平向前走了34m 到达一建筑物底部E 处，他在

该建筑物顶端F 处测得灯塔顶端A 的仰角为43°．若该建筑物EF ＝20m ，则灯塔AB 的高度约为（精确到0.1m ，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（）

A ．46.7m

B ．46.8m

C ．53.5m

D ．67.8m

【答案】B

【解析】

【分析】根据山坡的坡度i ＝1：0.75，可得BD CD ＝43

，设BD ＝4x ，CD ＝3x ，然后利用勾股定理求得BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ；再利用矩形的性质求出FG ＝DE ＝46m ，BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，最后利用三角函数解直角三角形即可．

【详解】

解：如图，∵∠ADC ＝90°，i ＝1：0.75，即BD CD ＝43

， ∴设BD ＝4x ，CD ＝3x ，则BC 22(4)(3)x x 5x ＝20m ，

解得：x ＝4，

∴BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ，

易得四边形DEFG 是矩形，

则EF ＝DG ＝20m ，FG ＝DE ＝DC+CE ＝12+34＝46（m ），

∴BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，

在Rt △AFG 中，AG ＝FG·

tan ∠AFG ＝46·tan43°≈46×0.93＝42.78（m ）， ∴AB ＝AG+BG ＝42.78+4≈46.8（m ），

故选：B ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.．

16．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )

A ．cot cot m αβ-千米

B ．cot cot m βα-千米

C ．tan tan m αβ

-千米 D ．tan tan m βα-千米

【答案】A

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的概念进行作答.

【详解】

在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=

cot cot m αβ

-. 所以答案选A. 【点睛】

本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.

17．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且AE=BF=1，CE 、DF 交于点O ，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE ，③CE=DF ，④tan ∠OCD=

43，⑤S △DOC =S 四边形EOFB 中，正确的有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】D

【解析】分析：由正方形ABCD 的边长为4，AE =BF =1，利用SAS 易证得△EBC ≌△FCD ，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC =90°正确，③CE =D F 正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD =∠DFC ，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．

详解：∵正方形ABCD 的边长为4，∴BC =CD =4，∠B =∠DCF =90°．

∵AE =BF =1，∴BE =CF =4﹣1=3．

在△EBC和△FCD中，

BC CD

B DCF

BE CF

∠=∠

，

∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，

∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；

连接DE，如图所示，若OC=OE．

∵DF⊥EC，∴CD=DE．

∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；

∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠

DFC=

，故④正确；

∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；

故正确的有：①③④⑤．

故选D．

点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）

A．2 B．4 C．3D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】

解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，

设P、Q同时到达的时间为T，

则点P的速度为3a

，点Q的速度为

，故点P、Q的速度比为3：3，

故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，

由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，

y＝1

?AB×BQ＝

?6v×23v＝63，解得：v＝1，

故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，

则AC＝12，BC＝63，

如图当点P在AC的中点时，PC＝6，

此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，

PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1

＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝33

3，

PQ22

PH HQ

+39

+3，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

19．把Rt ABC

?三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）

A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的1

C．扩大为原来的9倍D．不变

【答案】D 【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质解答．

【详解】

三边的长度都扩大为原来的3倍，

则所得的三角形与原三角形相似，

∴锐角A 的大小不变，

∴锐角A 的余弦值不变，

故选：D ．

【点睛】

此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．

20．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4B =

，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则AE AD

的值（）

A ．35

B ．34

C ．45

D ．67

【答案】D

【解析】

【分析】

根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝37

AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝

12AB ，进而可求得AE AD

的值．【详解】解：∵CE 平分ACB ∠，

∴点E 到ACB ∠的两边距离相等，

设点E 到ACB ∠的两边距离位h ，

则S △ACE ＝12AC·h ，S △BCE ＝12

BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝

12AC·h ：12

BC·h ＝AC ：BC ，又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ，

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值．例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是．对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为．对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．2 3

中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）【答案】AB 的长约为0.6m ．【解析】【分析】作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可．【详解】解：作BF CE ⊥于F ，在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝，在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈，答：AB 的长约为0.6m ．

【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223. 【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得33，然后根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120（m ）（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，则'60A E AC ==， '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235

锐角三角函数单元测试题

锐角三角函数单元测试题 1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 4 3，BC=8，则AC 等于（） A ．6 B ．323 C ．10 D ．12 2、已知∠A 是锐角，且sinA= 3 2 ，那么∠A 等于（） A ．30°B ．45° C ．60° D ．75° 4、化简2)130(tan - ＝（）。A 、3 31- B 、13- C 、133 - D 、13- 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A 、∠B 的对边是a 、b ，且满足02 2=--b ab a ，则tanA 等于（） A 、1 B 、 251+ C 、251- D 、2 5 1± 6、如图1所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是（）A ．1 4 B ． 13 C ．1 2 D ．2 (1) (2) (3) 7、如图2所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P?是AB?延长线上一点，?BP=2cm ，则tan ∠OPA 等于（） A ． 32 B ．23 C ．2 D ．1 2 8、如图3，起重机的机身高AB 为20m ，吊杆AC 的长为36m ，?吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（） A ．（30+20）m 和36tan30°m B ．（36sin30°+20）m 和36cos30°m C ．36sin80°m 和36cos30°m D ．（36sin80°+20）m 和36cos30°m 9、王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（） A 350m B 100 m C 150m D 3100m 一、填空题 1、在△ABC 中，若│sinA-1│+（3 -cosB ）=0，则∠C=_______

锐角三角函数经典总结

锐角三角函数与特殊角专题训练【基础知识精讲】一、正弦与余弦： 1、在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边的邻边斜边的对边 A A A A ∠= ? ∠= cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ，则c a A = sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<