近世代数习题解答张禾瑞三章
近世代数习题解答
第三章环与域
1加群、环的定义
1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的.
证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+?∈,
'0是S 的零元,即a a =+'0
对G 的零元,000'
=∴=+a a
即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+?∈,
S a S a ∈-?∈
今证S 是子群
由S S b a S b a ,,∈+?∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-?∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件:
若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-?∈-?∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-?∈=-?∈00 故S b a b a S b a ∈+=--?∈)(,
2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定:
+ 0 a b c ?
0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0
c
0 a b c
证明,R 作成一个环 证R 对加法和乘法的闭的.
对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(=
事实上.
当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .
这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律.
两个分配律都成立xz xy z y x +=+)(
zx yx x z y +=+)(
事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了.
至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看
0=y 或a y =(可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx
剩下的情形就只有
0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环.
2交换律、单位元、零因子、整环
1. 证明二项式定理
n n n
n n b b a a b a +++=+- 11)()(
在交换环中成立. 证用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的:
k i i k k i k k
k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11
看1+=k n 的情形)()(b a b a k
++
))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k
k ++++++=--
1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a
1111
11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a
(因为)()()(11
k
r k
r k r -++=)
即二项式定理在交换环中成立.
2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环.
证设a 是生成元 则R 的元可以写成
na (n 整数)
2)]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2))((mna na ma =
3． 证明,对于有单位元的环来说,加法适合交换律是环定义里其他
条件的结果 (利用)11)((++b a ) 证单位元是1,b a ,是环的任意二元,
1)11(1)()11)((?++?+=++b a b a
b a b a +++=
)11()11(+++=b a
b b a a +++=
b b a a b a b a +++=+++∴ b a a b +=+
4． 找一个我们还没有提到过的有零因子的环.
证令R 是阶为2的循环加群 规定乘法:R b a ∈,而0=ab 则R 显然为环.
阶为2 ∴有R a ∈而0≠a
但 0=aa 即a 为零因子 或者R 为n n ?矩阵环.
5． 证明由所有实数2b a + (b a ,整数)作成的集合对于普通加法和乘法来说 是一个整环.
证令2{b a R +=b a ,(整数)}
(ⅰ) R 是加群2)()()2()2(d b c a d c b a +++=+++ 适合结合律,交换律自不待言.零元 200+
2b a +的负元2b a --
(ⅱ)2)()2()2)(2(bc ad bd ac d c b a +++=++ 乘法适合结合律,交换律，并满足分配律.
(ⅲ)单位元 201+
(ⅲ) R 没有零因子，任二实数00=?=a ab 或0=b
3除、环、域
1. =F {所有复数bi a +b a ,是有理数}
证明=F 对于普通加法和乘法来说是一个域. 证和上节习题5同样方法可证得F 是一个整环.
并且 (ⅰ)F 有01≠+i
(ⅱ) 0≠+bi a 即b a ,中至少一个0≠
022≠+∴b a 因而有,
i b a b b a a 2222+-++使)((bi a +i b
a b
b a a 2
222+-++1)= 故F 为域
2. =F {所有实数,3b a +b a ,(是有理数)} 证明F 对于普通加法和乘法来说是一个域.
证只证明03≠+b a 有逆元存在.则b a ,中至少有一个0≠ , 我们说032
2
≠-b a
不然的话,2
23b a =
,0(≠b 若0=b 则0=a 矛盾)
22
3b a =但3不是有理数
既然032
2
≠-b a
则3b a +的逆为3332
222b
a b
b a a -+-
4. 证明例3的乘法适合结合律.
证),)](,)(,[(332211βαβαβα
=),)(,(331212121βααββαββαα-
-
+-
-
-
-
+--=,)()[(3212132121βαββααββαα -
-
-
+--])()(3212132121ααββαβββαα
又 )],)(,)[(,(332211βαβαβα
],)[,(3232323211-
-+
-=αββαββααβα ----------------
-+--=)()([3232132321αββαβββααα, )]()(3232132321--------
------
-
-++ββααβαββαα ),([32321321321-
-----
-
---
+--=βββαβββαααα
)](32321321321-----
-----++αββαβαβαβαα
,[321321321321αβββαβββαααα-
-
-
-
---=
]321321321321βββααβαβαβαα-
----++
,)()[(3212132121βαββααββαα-
-
+--= 3212132121)()(-
-
-
++-ααββαβββαα
)])()[(())]()([(332211333211βαβαβαβαβαβα=∴
5. 验证,四元数除环的任意元)(),(di c bi a ++ ,这里d c b a ,,,是实数,可以写成
),0)(0,()1,0)(0,()0,)(0,()0,(i d c i b a +++的形式.
证),(),(),(di bi c a di c bi a +=++
),0()0,(),0()0,(di bi c a +++=
),0)(0,()0,)(0,()1,0)(0,()0,(i d i b c a +++=
4 无零因子环的特征
1. 假定F 是一个有四个元的域,证明.
(a )的特征是2;
(b )F 的0≠或11的两个元都适合方程 证 (a ) 设F 的特征为P 则P 的(加)群F 的非零元的阶 所4P (4是群F 的阶) 但要求P 是素数, .2=∴P (b ) 设},,1,0{b a F =
由于2=P ,所以加法必然是
,0=+x x ,而b a a a =+?≠+11
故有
0 1 a b
0 0 1 a b 1 1 0 b a A a b 0 1 B
b a 1 0 又},,1{b a 构成乘群,所以乘法必然是
1,=?≠≠ab b ab a ab
1,22≠≠a a a (否则b a =)b a =?2
故有
.
1 a b 1
1 a b a a b 1 b
b a 1
这样, b a ,显然适合12
+=x x
2. 假定][a 是模的一个剩余类.证明,若a 同n 互素,
那么所有][a 的书都同n 互素(这时我们说][a 同n 互素). 证设][a x ∈且d n x =),( 则11,dn n dx x ==
由于)(1111q n x d q dn dx nq x a nq a x -=-=-=?=-
故有 ,a d ,且有 n d
因为1),(=n a 所以1=d
3. 证明, 所有同n 互素的模n 的剩余类对于剩余类的乘法来说
作成一个群(同互素的剩余类的个数普通用符号)(n φ来表示,并且把它叫做由拉φ
函数)
证]{[a G =而][a 同n 互素}
G 显然非空,因为)1),1((]1[=∈n G
(ⅰ)G b a ∈][],[
则][]][[ab b a =
又1),(,1),(==n b n a 有1),(=n ab
G ab ∈∴][
(ⅱ)显然适合结合律.
(ⅲ)因为n 有限,所以G 的阶有限. 若]][[]][['
x a x a =
即][]['
ax ax =
由此可得)(''x x a ax ax n -=-',1),(x x n n a -∴= 即有][]['
x x =
另一个消去律同样可证成立.
G 作成一个群
4. 证明,若是1),(=n a , 那么)(1)
(n a
n ≡φ(费马定理)
证),(n a 则G a ∈][
而][a 的阶是G 的阶)(n φ的一个因子 因此]1[][)
(=n a φ
即]1[][)
(=n a
φ
)(1)(n a n ≡∴φ
5子环、环的同态
1. 证明,一个环的中心是一个交换子环.
证 设N 是环的中心.
显然N O ∈N b a ∈,，x 是环的任意元
N b a b a x xb x bx ax x b a ∈-?-=-=-=-)()(
N ab ab x b xa b ax xb a bx a x ab ∈?=====)()()()()()(
是子环,至于是交换环那是明显的.
2. 证明, 一个除环的中心是个域.
证 设!是除环！是中心 由上题知N 是R 的交换子环
,1R ∈显然N ∈1,即N 包含非零元,同时这个非零元1是的单位元. R x N a ∈∈,即xa ax =
N a x a xa x axa xaa axa ∈?=?=?=------111111
N ∴!是一个域
3. 证明, 有理数域是所有复数b a bi a ,(+是有理数）作成的域)(i R 的唯一的真子域. 证 有理数域R 是)(i R 的真子域.
设F !是)(i R 的一个子域,则R F ?(因为R 是最小数域) 若,F bi a ∈+ 而0≠b
则)(i F F F i =?∈
这就是说,R 是)(i R 的唯一真子域.
4. 证明,)(i R 有且只有两自同构映射.
证 有理数显然变为其自己. 假定α→i
则由i i =?-=?-=αα112
2
或
i -=α
这就证明完毕. 当然还可以详细一些:
bi a bi a +→+:1φ bi a bi a -→+:2φ
21,φφ确是)(i R 的两个自同构映射.
现在证明只有这两个. 若bi a i +=→αφ:
(有理数变为其自己)
则由12)(12
22
2
-=+-=+?-=abi b a bi a i
1,0222-=-=b a ab
若 102
-=?=a b 是有理数,在就出现矛盾,所以有0=a 因而.1±=b
在就是说, 只能i i → 或i i -→i
5.3J 表示模3的剩余类所作成的集合.找出加群3J 的所有自同构映射,这找出域3J !的所有自同构映射.
证 1）对加群3J 的自同构映射 自同构映射必须保持!00←
→
故有i i →:1φ 2）对域3J 的自同构映射.
自同构映射必须保持00←
→，11←
→
所有只有i i →:φ
6. 令R 是四元数除环,R 是子集=S {一切)}0,(a 这里a 阿是实数,显然与实数域-
S 同构.令-
R 是把R 中S 换成-
S 后所得集合;替R 规定代数运算.使-
?R R ,分别用k j i ,,表示R 的元
),,0(),1,0(),0,(i i ,那么-
R 的元可以写成d c b a dk cj bi a ,,,(+++是实数）的形式(参看
.3.3 习题5). 验证.1222-===k j i ，.,,j ik ki i kj jk k ji ij =-==-==-=
证 1）对a a →)0,(:φ来说显然-
?S S 2）=S {一切)}0,(a a 实数
=-
S {一切（)0,a a 实数
βα,{(=R 一切)}0,(a
复数对)(αβ是不属于S 的R 的元.
=-
R βα,{(一切}a
规定
a a →→)0,(),,(),(:βαβαψ
由于S 与-
S 的补足集合没有共同元,容易验证ψ是R 与-
R 间的一一映射. 规定
-R 的两个唤的和等于它们的逆象的和的象. -
R 的两个元的积等于它们的逆象的积的象.
首先,这样规定法则确是-
R 的两个代数运算.
其次,对于这两个代数运算以及R 的两个代数运算来说在ψ之下-
?R R
（3）由.3.3习题5知
),0)(0,()1,0)(0,()0,)(0,()0,(),(i d c i b a di c bi a +++=++
这里 d c b a ,,, 实数
这是因为令),0(),1,0(),0,(i k j i i ===
（4）1)0,1()0,)(0,(2
-=-==i i i
1)0,1()1,0)(1,0(2-=-==j 1)0,1()1,0)(1,0(2-=-==k
k i ij -===)1,0()1,0)(0,(
k i i ji -=-==),0()0,)(1,0(
同样j ik ki i kj jk =-==-=,
6 多项式环
1. 证明, 假定R 是一个整环,那么R 上的一个多项式环][x R 也是一个整环. 证 R !是交换环][x R ?交换环,
R 有单位元11?是][x R 的单位元, R 没有零因子][x R ?没有零因子
事实上，0
,)(10≠++=a x a x a a x f n
n
0,)(10≠++=m m m b x b x b b x g
则m
n m n x b a b a x g x f +++= 00)()(
因为R 没有零因子,所以0≠m n b a 因而0)()(≠x g x f 这样][x R 是整环
2． 假定R 是模7的剩余类环,在][x R 里把乘积
])3[]4])([4[]5[]3([23+--+x x x x
计算出来
解 原式=]2[]5[]4[]5[]5[]5[]3[]5[3
45345++++=-++-x x x x x x x x
3. 证明:
(ⅰ) ],[],[1221ααααR R =
(ⅱ) 若n x x x ,,,21 是R 上的无关未定元,那么每一个i x 都是R 上的未定元. 证 （ⅰ）=],[21ααR {一切}21122
1i i i i a
αα∑
{],[12=ααR 一切}112212j j j j a αα∑
由于
=∑2
1122
1i i i i a
αα112212j j j j a αα∑
因而=],[21ααR ],[12ααR
（ⅱ）设
00
=∑=n
k k i
k x
a
即∑=+-n k n i h i i k x x x x x a 0
010101
因为n x x x ,,21是R 上的无关未定元,所以
即i x 是R 上的未定元
4. 证明:
(ⅰ) 若是n x x x ,,21和n y y y ,,21上的两组无关未定元,那么
],,[],,[2121n n y y y R x x x R ?
(ⅱ) R !上的一元多项式环][x R 能与它的一个真子环同构. 证 (ⅰ)),,(),,(:2121n n y y y f x x x f →φ 根据本节定理3 ],,[~],,[2121n n y y y R x x x R
容易验证),,(),,(212211n n x x x f x x x f ≠),,(),,(212211n n y y y f y y y f ≠? 这样],,[],,[2121n n y y y R x x x R ?
（ⅱ）令{][=x R 一切}2210n
n x a x a a +++
显然][][2
x R x R ?
但][2
x R x ?不然的话
m m m m x b x b x b x b x b b x 22102210 ++-?++=
这与x 是R 上未定元矛盾. 所以][2
x R 是][x R 上未定元显然
故有（ⅰ）}[][2
x R x R ?
这就是说,][2
x R 是][x R 的真子环,且此真子环与][x R 同构.
7理想
1. 假定R 是偶数环,证明,所有整数r 4是?的一个理想,等式!对不对? 证 R r r r r ∈∈2121,,4,4?
?∈-=-)(4442121r r r r R r r ∈-21 ?∈=∈)(4)4(,'1'1'r r r r R r R r r ∈'1
?∴ 是R 的一个理想.
等式 )4(=?不对
这是因为R 没有单位元,具体的说)4(4∈但??4
2. 假定R 是整数环,证明.1)7,3(= 证 R 是整数环,显然)1(=R .1)7,3(=
又 )7,3()7(13)2(1∈+-=
1)7,3(=∴
3. 假定例3的R 是有理数域,证明,这时),2(x 是一个主理想. 证 因为2与x 互素,所以存在)(),(21x P x P 使
),2(11)()(221x x xP x P ∈?=+
),2()1(][x x R ==∴ 。 即~是一个主理想.
4. 证明,两个理想的交集还是一个理想.
证 ?和?是两个理想
?? 非空显然 .,,?∈??∈b a b a
.,??∈-??∈-?∈-? b a b a b a R r a R r a ∈?∈?∈??∈,,
??∈??∈?∈? ar ra ar ra ar ra ,,,,
5. 找出模6的剩余类环的所有理想.
证 找出的理想是
]}5[],4[],3[],2[],1[],0{[=R ]}0{[1=R
]}3[],0{[2=R ]}4][2[],0{[3=R
我们只有这四个 理想必包]0[
若包含]1[或]5[则必包含所有的元
若同时含];3[],2[或]4[],3[则必包含]5[或]1[
6. 一个环R !的一个子集S 叫做R 的一个左理想,假如 (ⅰ)S b a S b a ∈-?∈, (ⅱ)s ra R r S a ∈?∈∈,
你能不能在有理数域F 上的22?矩阵环里找到一个不是理想的左理想/
证 ????????
???? ??=2221121122a a a a F 11a 是有理数 取???????????? ??=?00b a ?∈???? ??--=???? ??-???? ??000000d b c a d c b a 2222211211F c c c c ∈???? ???∈???
? ??++=???? ?
????? ??00002221121122211211b c a c b c a c b a c c c c ?∴是22F 的一个左理想,
但它不是理想.
?????
?
??=???? ?????? ??222112112221121100bc bc ac ac c c c c b a （只要012≠ac 或)012≠bc
8 剩余类环、同态与理想
1. 假定我们有一个环R 的一个分类，而S 是由所有的类 ],[],[],[c b a 所作成的集合 又假定][]][[],[][][xy y x y x y x =+=+规定两个S 的代数运算，证明]0[是R 的一个理想 并且给定类刚好是模]0[的R 剩余类。
证 （ⅰ） 先证]0[是R 的一个理想]0[,∈b a
即]0[][],0[][==b a ]0[]00[]0[]0[][][=+=+=+b a
而][][][b a b a +=+]0[]0[][∈+?=+∴b a b a
]0[∈a ]0[][=a ]0[][][][=-=-+a a a a ][]0[][]0[][][a a a a a -=-=-+=-+ ]0[]0[][∈-?=-∴a a
,[][][][][0][0][0]r R ra r a r r ∈==== ]0[∈∴ra 同理]0[∈ar
于是]0[是R 的理想
（ⅱ） 若y x ,属于同一类，即][][y x =
0][][][][][=-=-+=-y x y x y x ]0[∈-y x 即y x ,属于对]0[同一剩余类
反之，若y x ,属于对]0[的同一剩余类即]0[∈-y x
所以]0[][=-y x
即 ][][y x = 亦即y x ,属于同一类 这样给定的类正好是对][ο来讲的剩余类。
2． 假定φ是环R 到环-R 的一个同态满射，证明，φ是R 与-
R 间的同构映射，当而且
只当φ的核是R 的零理想的时候。
证 （ⅰ） 若-
?R R ，-
0的逆象只有0既核是零理想 （ⅱ） 若φ的核的零理想
R b a ∈,而 b a ≠
那么?-b a 核， 0)(≠-b a φ 即)()(b a φφ≠
∴是同构映射
3． 假定R 是由所有复数bi a +是整数1作成的环，环）
（i 1R +有多少元？
证 R 是有单位元的交换环
那么主理想i 1+的元的形式应为i b a b a i bi a )()()1)((++-=++
令y b a x b a =+=-,2
,2x y b y x a -=
+=
我们说当而且只当y x ,的奇偶性相同时，b a ,是整数 所以）
（i 1R +共有两个元：
一个元是][vi u +而v u ,奇偶性相同以]1[i +代表
一个元是][vi u +而v u ,奇偶性相反以]21[i +代表 实际上，R 的任二元i b a i b a 2211,++
而)1()()()()(21212211i i b b a a i b a i b a +∈-+-=+-+ 则 21a a -与21b b -奇偶性相同
=---?)()(1121b b a a 偶数
=---?)()(2211b a b a 偶数
11b a -? 与22b a -奇偶性相同
若 11b a - 与 22b a - 均奇数
11b a -?以及2,2b a 均奇偶性相反，若11b a -与 22b a - 均偶数
11b a -?以及2,2b a 均奇偶性相同，反之亦然。
9 最XX 想
1． 假定R 是由所有复数b a bi a ,(+是整数所作成的环，证明，)
1(i R +是一个域，
证证法一，由.8.3习题3知)
1(i R +是只包含两个元，是有单位元的交换环且
有零理想与单位理想，所以)
1(i R
+是一个域。
证法二，证明)1(i +是R 的最XX 想。
设?是R 的一个理想，且
)1(i R +???
同时有)1(i bi a +?+而?∈+bi a
根据.8.3习题3知b a ,奇偶性相反R yi x ∈+ 若)1(i yi x +∈+则?∈+yi x 若)1(i yi x +?+则y x ,的奇偶性相反
∴同属一类
即?∈+∈+-+)1()()(i yi x bi a
?是理想，故R yi x ∈+ ，R =?
而R 是有单位元交换环自不必多说 根据本节定理)1(i R
+是域。
2． 我们看环R 上的一个多项式环][x R ，当R 是整数环时，][x R 的理想)(x 是不是最 XX 想？当R 是有理数域的时候，情形如何？
证（ⅰ）R 是整数环时，)(x 不是][x R 的最XX 想
这是因为由.7.3例3知),2(x 是][x R 的理想 明显的有)(),2(][x x x R ≠? 且)(),2(][x x x R ≠≠
（ⅱ）当R 是有理数域时，可证)(x 是][x R 的最XX 想。
设?是][x R 的一个理想，且)(x ??而)(x ≠?
那么，0,010≠?∈+++b x b x b b m
m
?是理想?∈+++-)(1010m m x b x b b b
即??∈+++--)(11
011
0x x b b x b b m m 而??∈++--)(1011
0x x b b x b b m m
)1(1011
0m m x b b x b b --+++ -m m x b b x b b 1011
0--++ ?∈=1
于是][x R =?
3． 我们看所有偶数作成的环R 。证明，（4）是R 的最XX 想，但4
R 不是一个域。
证设?是R 的一个理想，且4??而)4(≠?
则?除包含n 4外还至少包含一个m 而r q m +=4
40?≤r
m 是偶数，只有2=r
那么，?∈-==q m r 42 故有R =?
即)4(是R 的最XX 想。
4
R 只包含两个元]4[],2[
而没有单位元：
]4[]4][2[],4[]2][2[==
所以4
R 不是一个域。
4． 我们看有理数域F 上的全部22?矩阵环22F ，证明，22F 只有零理想同单位理想， 但不是一个除环。
证设?是22F 的一个理想，0≠????
? ??≠???? ????00002221
1211
a a
a a 不失一般性，假设011≠a
那么?∈????
??=???? ?????? ?????? ??0000001
00011122211211a a a a a ?∈???? ??=???? ?
????? ?????? ??112112
110000*********a a a a a 易知?∈???? ??111100a a ?∈???
? ??=???? ?????? ?
?--1001000
011111111
11a a a a 22F =?∴
但22F 不是除环 因为???
?
??4221没有逆
10 商域
1． 证明一个域！是它自己的商域。 证设Q 是F 的商域
显然Q F ?
Q q ∈则b a
q =而0,,≠∈b F b a
F ab b
a
q ∈==?-1
即F Q ?Q F =∴
2． 详细证明本节定理3
证本节定理3 是说；
假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域 那么F 包含R 的一个商域 现在证明 在F 里
0,,(11≠∈==--b R b a b
a
a b ab 有意义，作F 的子集 {=-
Q 所有}b
a )0,,(≠∈
b R b a
我们证明-Q 是F 的子域
)0,0,,,,(,≠≠∈∈-
d b R d c b a Q d c b a 11---=-cd ab d c
b a 111
1-----=d cbb b add
1))((--=bd bc ad -∈-=Q bd
bc ad
0,(≠∈-bd R bc ad 且)R bd ∈ 1111)()(----=cd ab d c b a ----∈===Q bc ad bc ad dc ab 111)( ),(R bc ad ∈
Q 对F 的代数运算来说作成一个域再证R Q ?-
对R 的任一元a 及一元0≠b 则有
-
-∈==Q a b ab b
ab 1
)(
因此，F 包含R 的一个商域-Q