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相似三角形及其应用学案

§4.6相似三角形及其应用

学习目标：

1.了解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的方法；会用相似三角形性质证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等．

2.了解图形的位似及性质，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小．

3.在利用图形的相似解决一些实际问题的过程中，进一步学习分析问题和解决问题的能力．

一、课前预习

（一）知识梳理

1．相等，成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形

是三角形。

2．相似三角形的判定：①对应相等的两个三角形相似．②两边对应成，且相等的两个三角形相似．③三边的两个三角形相似．

④如果一个直角三角形的和一条边与另一个直角三角形的斜边和一条直

角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．⑤平行于三角形一边的直线，截其它两边所得三角形与原三角形 .

3.相似三角形的性质

①相似三角形的相等，成比例．②相似三角形对应的比，对应的比和对应的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于．面积的比等于．

4. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做图形，这个点叫做，这时的相似比又叫做位似比．

（二）基础训练

1．如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm，

△ABC∽△APQ的相似比是（）

A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5

2．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.

3.如图，D、E两点分别在△CAB上，且 DE与BC不平行，

请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．

4.下列说法中正确的是（）

A．两个直角三角形一定相似； B．两个等腰三角形一定相似

C．两个等腰直角三角形一定相似； D．两个等腰梯形一定相似

5.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（）

A．1

B ．

C．

D．

6. 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，

面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为( )

A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6

7.如图，点P是Rt△ABC的斜边 BC上异于 B、C的一点，

过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，

满足这样条件的直线共有（）条．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、例题精讲

例1如图，⊙O中的弦AB截另一弦CD成CE、DE两部分，已知AB=7，CE=2，DE=6，求AE长

C B

例2如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1．6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．

例3如图所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上，点Q在BC上．

(1)当△PQ C的面积与四边形P ABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)当△PQ C的周长与四边形P ABQ的周长相等时，求CP的长；

(3)在AB上是否存在点M，使△PQM为等腰直角三角形?若存在，求出PQ的长；若

不存在，请说明理由．

例4 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．

(1)求直线AB的解析式；

(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

(3)当t为何值时，△APQ的面积为

个平方单位？

P Q

三、当堂反馈

1．如图，D是△ABC的边AB上的点，请你添加一个条件，使△ACD与△ABC相似．你添加的条件是___________

2．如图27－99所示，在△ABC中，有DE∥BC ，

2 AD

，DE＝4 cm，

则BC的长为( )

A．8 cm B．12 cm

C．11 cm D．10 cm

3．（2011贵州毕节）两个相似三角形的面积比是16

:9，其中较小三角形周长为36cm，则较大三角形周长为( )

A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm

4．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为20 cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )

A．1种B．2种C．3种D．4种

5.如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB 于E，交 AD于F，图中相似

三角形的对数是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．王明同学为了测量河对岸树AB的高度．他在河岸边放一面平面镜，他站在C处通过平面镜看到树的顶端A．如图，然后他量得B、P间的距离是56米，C、P 间距离是 12米，他的身高是1．74米．

⑴他这种测量的方法应用了物理学科

的什么知识？请简要说明；

⑵请你帮他计算出树AB的高度．

C B

7．如图所示，在房子外的屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在△ABD。已知房子上的监视器高3m，广告牌高为1.5m，广告牌距离房子5m，则盲区的长度AB为多少？

8．如图，在ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为

AE上一点，且∠BFE＝∠C．

⑴求证：△ABF∽△EAD；

⑵若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；

⑶在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF的长.

9．如图所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．

(1)当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB；

(2)过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB，试判断四边形

AEDC是什么四边形．

E D

10．如图①，在△ABC 中，AB=AC ，BC=acm ，∠B=30°．动点P 以1cm/s 的速度从点B 出发，沿折线B ﹣A ﹣C 运动到点C 时停止运动．设点P 出发x s 时，△PBC 的面积为y cm 2．已知y 与x 的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）试判断△DOE 的形状，并说明理由；

（2）当a 为何值时，△DOE 与△ABC 相似？

四、课堂小结：略

五、课后作业

1．用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在（）

A ．原图形的外部

B ．原图形的内部

C ．原图形的边上

D ．任意位置

2. 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AC ＝5，A ′C ′＝8，则 S △ABC ：S △A ′B ′C ′ = ．

3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）

4. 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到旗杆顶端的

倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m ，该生的眼部高度是1.5m ，那么旗杆的高度是___________m.

5. 小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如

图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm ，

幻灯片到屏幕的距离是1.5m ，幻灯片上小树的高度是10cm ，

则屏幕上小树的高度是（）

B ．

C ．

D ． A B C A

A ．50cm

B ．500cm

C ．60cm

D 、600cm

6. 如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°， AC= 6 ，AD=2

，那么当AB 的长等于时，

使得两个直角三角形相似．

7. 如图所示，已知CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，若AD ＝10，BD ＝5，求AC 的长．

8. （2011江西）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了

探讨：

定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．

结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：

甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在个、个、个大小不同的内接正方形．

乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．

丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．任务：（1）填充甲同学结论中的数据；

（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；

（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．

六、拓展延伸

C B

1. （2011甘肃兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD >AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE 。

（1）求证：四边形AFCE 是菱形；

（2）若AE =10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；

（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2=AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.

2. .如图，已知抛物线y ＝

3x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝t

43x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．

（1）填空：点C 的坐标是___________，b ＝_______，c ＝_______；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t

A B

C D

E F O

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