不等式第三课时

七年级下册数学导学案

基本不等式说课稿

《不等式》的说课稿 各位领导、老师们大家好： 今天我说课的内容是北师版数学高中教材必修五第三章第一二三节，我将从八个方面（教材、学情、教学模式、教学设计、板书、评价、开发、得失，出示ppt）说我对此课的思考和我的教学。 一、说教材 基本不等式是本章最后一节，是继一元二次不等式、简单线性规划之后又一工具性的知识, 它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。 本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式,在此基础上探究基本不等式的证明,了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,既有逻辑推理,又有直观的几何图形,使得不等式的证明成为本节课的核心部分,自然也是本节课的重点。 二：说学情 学生在此之前,已经具备了圆和三角形的基本知识,熟知了三角函数的定义,掌握了不等式的性质和比较法证明不等式。由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明中线段间的关系比较隐蔽，学生不易发现。因而本节课的难点仍然是基本不等式的证明。 三：说教学设计 《课程标准》对本节课有以下两个方面的要求： 1．探索并了解基本不等式的证明过程； 2．会用基本不等式解决简单的最值问题； 结合“课标”的要求和学生的实际，我将本节课的教学目标确定为以下三点： 1.通过观察背景图形，抽象出基本不等式； 2.了解分析法的证明思路，理解基本不等式的几何背景； 3．体会数形结合的数学思想，培养学生的抽象能力和推理能力； 四：、说教学模式

首先从背景图象出发，抽象出基本不等式，再从代数、几何两个方面进行证明，然后通过例题理解基本不等式的初步应用；最后通过课堂小结提高学生认识，加深印象。 五：教学媒体设计 为了顺利完成教学任务，实现教学目标，帮助学生理解教学难点，在媒体的使用上我做了以下安排： 制作了多媒体课件，借助几何画板动态地展示了知识的背景，增加了学生的感性认识，分解了难点； 六：教学过程设计 本节课我设计了以下六个步骤： 步骤一：创设问题情景，抽象重要不等式 新的教学理念更加注重知识产生的背景，重点体现知识的形成过程。为此，我设置了

1 第1课时 基本不等式

2．2基本不等式第1课时基本不等式 教材考点学习目标核心素养 基本不等式 理解基本不等式的内容及导出过程逻辑推理 利用基本不等式求最 值 能够运用基本不等式求函数或代数式的 最值 数学运算 问题导学 预习教材P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ 1．重要不等式与基本不等式 ■微思考1 (1)不等式a2＋b2≥2ab和 a＋b 2≥ab成立的条件相同吗？ 提示：两个不等式a2＋b2≥2ab与 a＋b 2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．

(3)基本不等式成立的条件“a ，b ＞0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4） 2≥ （－3）×（－4）是不成立的． 2．基本不等式与最值 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 2 4． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P ． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■微思考2 通过以上结论，你认为利用基本不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a ＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立． 以上三点缺一不可． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 均成立．( ) (2)若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤? ????a ＋b 22 .( ) (4)a ，b 同号时，b a ＋a b ≥2.( ) (5)函数y ＝x ＋1 x 的最小值为2.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×

高中数学第三章不等式基本不等式第三课时教案新人教A版必修

课题: §3.4 2a b +≤ 第3课时 授课类型：习题课 【教学目标】 1．知识与技能：2 a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题； 22a b +≤ ，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 2 a b +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值 【教学难点】 利用此不等式求函数的最大、最小值。 【教学过程】 1.课题导入 1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 22 a b +≤求最大（小）值的步骤。 2.讲授新课 1）利用基本不等式证明不等式 例1 已知m>0,求证 24624m m +≥。 [思维切入]因为m>0,所以可把24m 和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。 [证明]因为 m>0,，由基本不等式得 24 6221224m m +≥==?= 当且仅当24m =6m ，即m=2时，取等号。 规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和 246m m ?=144为定值的前提条件。 3.随堂练习1 [思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.

[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 例2 求证:473 a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333 a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证. [证明] 443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43 a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值 例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x =+ 的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x ?=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解 1) 因为 x>0 由基本不等式得 9 ()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12. (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得: 99 ()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==, 所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=- 即x=-32时, 9()4f x x x =+取得最大-12. 规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习2 [思维拓展1] 求9()45 f x x x =+ -(x>5)的最小值.

3.4基本不等式(第一课时)

3.4 基本不等式： 2b a a b + ≤（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析 （一）教材的地位和作用 本节课是人教版《数学》必修5第三章第四节（第一课时），基本不等式是高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. （二）教学目标 1. 通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣； 2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式； 3. 经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 （三）教学重点与难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值问题时的条件的认识。 二、学生学情分析： 在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数

基本不等式教案第一课时

第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】

【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+

高中数学 3.4 基本不等式(第1课时)练习

【成才之路】2015版高中数学 3.4 基本不等式（第1课时）练习 一、选择题 1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为 ( ) A.2 5 B ．1 2 C.2 2 D ．1 [答案] B [解析] 令t ＝x (t≥0)，则x ＝t2， ∴f(x)＝x x ＋1＝t t2＋1. 当t ＝0时，f(x)＝0； 当t>0时，f(x)＝1t2＋1t ＝1t ＋1t . ∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤1 2. ∴f(x)的最大值为1 2. 2．若a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab≤1 2 B ．ab≥1 2 C ．a2＋b2≥2 D ．a2＋b2≤3 [答案] C [解析] ∵a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a(0≤a≤2)， ∴ab ＝a(2－a)＝－a2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A 、B 错误； a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2. ∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C. 3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( ) A.1 2 B ．a2＋b2 C ．2ab D ．a [答案] B [解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜1 2， 又∵a2＋b2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，

∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14， ∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12， 即a2＋b2＞12.故选B. 解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则 2ab ＝49，a2＋b2＝59， ∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小 值为 ( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．14 [答案] B [解析] 根据题意得3a·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B. 5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于 ( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 [答案] C [解析] 1a ＋1b ＝12??? ?1a ＋1b (a ＋b) ＝1＋12??? ?b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x>0，y>0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则 a ＋ b 2cd 的最小值是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 [答案] D [解析] 由等差、等比数列的性质得 a ＋ b 2cd ＝x ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·x y ＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题

高二人教A版必修5系列教案：3.4基本不等式3

3.4基本不等式2b a ab +≤ 一、三维目标： 1、知识与技能： 理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题 2、过程与方法： 能够理解并建立不等式的知识链 3、情感、态度与价值观： 通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识 4、本节重点： 应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程 5、本节难点： 应用基本不等式求最值 二、课程引入： 第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图： 四个以a ，b 为直角边的直角△ABC ，组成正方形ABCD 则22b a DA CD BC AB +==== 22b a S ABCD += ab S ABE 2 1=? 如图可知：ABE ABCD S S ?≥4 即ab b a 222≥+ 当且仅当小正方形EFGH 面积为0时取等号，即b a b a ==-,0时取得等号 三、新课讲授： （一）基本不等式的推证： 1、重要不等式与基本不等式 由引入中提到的重要不等式ab b a 222≥+，将其中的b a ,用b a ,代换， 得到基本不等式2 b a ab +≤，当且仅当b a =时，即b a =时取得等号。 特别注意，重要不等式ab b a 222≥+的适用范围是全体实数， 而基本不等式2 b a ab +≤的使用需要0,0>>b a 2、基本不等式的几种表述方式 平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理） 数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项 探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长 3、分析法推证基本不等式 要证2 b a ab +≤，只需证明ab b a 2≥+（2）。要证明（2）只需证明02≥-+ab b a （3）。

4、基本不等式(上海,含答案)

【基本要求】 掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题；掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思路，并会用这些不等式。 【重点】 基本不等式的及其证明。 【难点】 用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。 【知识精要】 1、 基本不等式 若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 均值不等式：若a 、b 为正数，则 2 a b ab +≥a b =时取等号 变式：2 2 2 ()22 a b a b ab ++≥ ≥ 推广：123,,,,n a a a a 是n 个正数，则 12n a a a n +++ 称为这n 个正数的算术平均数， 12n n a a a ??? 称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是： 12n a a a n +++ ≥12n n a a a ??? ，当且仅当12n a a a === 时等号成立。 利用不等式求最值： （1）“积定和最小”：ab b a 2≥+?如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值2P （2）“和定积最大”：2 2?? ? ??+≤b a ab ?如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值 2 14 S 。 2、 不等式的证明 比较法：要证明a b >，只需要证明0a b ->。 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把这个不等式转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够肯定这些条件都已成立，那么可以断定原不等式成立。 综合法：从已知条件出发，利用某些已经证明过的不等式为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式。

《基本不等式》第2课时教学设计

《基本不等式 2a b ab +≤》第2课时教学设计 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：进一步掌握基本不等式2 a b ab +≤ ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2a b ab +≤ ，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 基本不等式2 a b ab +≤的应用 【教学难点】 利用基本不等式2 a b ab +≤求最大值、最小值。 【教学过程】 1.课题导入 1．重要不等式： 如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a b a b a , 2 为+的算术平均数，称b a ab ,为 ab b a a b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实 数，而后者要求a,b 都是正数。 2.讲授新课 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy=100，篱笆的长为2（x+y ） m 。由2 x y xy +≥， 可得 2100x y +≥， 2()40x y +≥。等号当且仅当x=y 时成立，此时

《不等关系与不等式》第一课时参考教案

课题: §3.1不等式与不等关系 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h，写成不等式就是： v 40 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示

2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --?万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; （2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤??≥??≥??≥? 3.随堂练习 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本练习1、2 4.课时小结 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。 5.评价设计

[2020理数]第七章 第三节 基本不等式

[基本知识] 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0,b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 ? ???? (1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋a b ≥2，ab >0； (3)ab ≤??? ? a ＋ b 22 ，a ，b ∈R ；(4)a 2 ＋b 2 2≥ ???? a ＋ b 22 ，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时 等号成立.

3．算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为 a ＋b 2 ,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则： (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是p 2 4 .(简记：和定积最大) [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (2)函数f (x )＝cos x ＋ 4 cos x ,x ∈????0，π2的最小值为4.( ) (3)x >0,y >0是x y ＋y x ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0,则a 3＋1 a 2的最小值为2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、填空题 1．当x >0时,函数f (x )＝2x x 2＋1 的最大值为________． 答案：1 2．已知a ,b ∈(0,＋∞),若ab ＝1,则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1,则ab 的最大值为________． 解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2,当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤????a ＋b 22 ＝14,当且仅当a ＝b ＝1 2 时取到等号． 答案：2 1 4 3．若a ,b ∈R,ab >0,则a 4＋4b 4＋1 ab 的最小值为________． 解析：∵a ,b ∈R,ab >0, ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋ 1ab ≥2 4ab · 1 ab ＝4,

基本不等式全题型

题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； (2)函数f (x )＝x 2 ＋ 1 x 2 ＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2 ＋ 1x 2 ＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2x 2＋ 1 x 2 ＋1 －1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 4．(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4 x －1 的最小值为________． 解析：x ＋ 4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1 ，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4 x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－???? ??4 －x ＋ －x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4 －x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－???? ? ?4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2. 例：当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋ 1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝ x 2－2x ＋1＋x － ＋3x －1 ＝ x －2 ＋x －＋3 x －1 ＝x － 1＋ 3 x －1 ＋2≥2 x － 3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1 a －2x －x 的最小值． 解：y ＝ 1a －2x ＋a －2x 2－a 2 ≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a 2 . 题型2 基本不等式反用ab ≤ a ＋b 2 例：(1)函数f (x )＝x (1－x )(00, x (1－x )≤?? ????x ＋－x 22＝14，∴f (x ) 值域为? ?? ??0，14. (2)∵00. x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·??????2x ＋－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为? ?? ??0，18.

高中数学基本不等式(第一课时)教案

课题:§3.4 2a b +≤（第1课时） 数学组 2009-3-18 授课类型：新授课 教学目标： 1、知识与技能目标：（12 a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。 教学难点：2 a b +≤ 求最值的前提条件。 教学过程： 一、创设情景，引入新课 1.勾股定理的背景及推导 赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。 2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？ 引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正 方形EFGH 缩为一个点时，有222a b ab += （2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

（3）推理证明：作差法 二、讲授新课 1.思考：如果用222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条 件？ 2 a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。 2.推理证明：作差法 3.(1)探究:(课本P98) 如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。 引导学生发现： 2 a b +CD,得到 2a b +(0,0>>b a ) 几何意义：半弦长不大于半径长。 (2),a b 的几何平均数，称2 a b +为正数,a b 的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解 例1:若0>x ，求1y x x =+ 的最小值。 变1：若0x >，求123y x x =+的最小值。 变2：若0,0a b >>，求b a y a b =+的最小值。 变3：若3x >，求13 y x x =+-的最小值。 例2：若01x <<，求(1)y x x =-的最大值。 变：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。 设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件 四、课时小结 1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征 （2）基本不等式在几何、代数两方面的意义 2.思想方法技巧：（1）数形结合思想 （2）换元法、作差法 （3）配凑等技巧 五、作业 自编的练习

高一数学教案：苏教版高一数学基本不等式3

第十课时基本不等式（三） 教学目标： 通过这节课，使学生能够运用均值不等式定理来讨论与不等式有关的各类问题。 教学重点、难点：均值不等式定理的灵活运用。 教学过程： 1复习回顾 2 ?例题讲解： 例 1 已知 a>1, 00 1 T 1 一 logab + —》2 ,（ — log ab ） - log a b = 2 1 --log a b + 砸 ab w — 2 即 log a b + log b a <— 2 1 2 当且仅当一log a b = ―l ~ , log a b = 1, log a b =— 1 时，等号成立，此时 ab = 1。 —log a b 2 例2：已知x , y 为正实数，且x 2+专=1,求x,1 + y 2的最大值. 解题思路分析： 因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 2 1 y 前面的系数为 1 =.2 x 例3:已知x , y 为正实数，3x + 2y = 10,求函数 W = 3x + 2y 的最值. 解题思路分析： ,3x + _2y w 2 ( 3x ) 2+( . 2y ) 2b w a 2 +b 2 ab < 同时还应化简,1 +y 2中 分别看成两个因式 若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, a + b 2 a 2+ b 2 w_ ，本题很简单 =\/2 , 3x + 2y = 2\! 5 X 1 + y 2 = x 2 ? 1 2 2 +与 2 号r X. 下将x , 2 x ? x 2+ ( w 1 + :

《基本不等式》第二课时参考教案

§3.42a b +≤ 第2课时 授课类型：新授课 【教学目标】 12 a b +≤ ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 22a b +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 2a b +≤ 的应用 【教学难点】 2a b +≤ 求最大值、最小值。 【教学过程】 1.课题导入 1．重要不等式： 如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称b a b a ,2 为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab b a a b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数， 而后者要求a,b 都是正数。 2.讲授新课 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy=100，篱笆的长为2（x+y ） m 。由2 x y +≥ 可得x y +≥ 2()40x y +≥。等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤212 2236236()28 x x +-=当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2 解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园 的面积为xy m 218922 x y +≤==，可得 81xy ≤ 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。 因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2 归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤4 2 M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且 ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。 解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得

基本不等式(均值不等式)技巧窍门

基本不等式习专题之基本不等式做题技巧 【基本知识】 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈， 则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； )(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “=”号成立. 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3) 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。

【技巧讲解】 技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于 构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造） 1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 3：设2 3 0<-的最小值。 5 已知，且满足，求的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋ y 2 2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 7 若且,求的最小值 . 技巧一答案： 1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --g 不是常数，所以对42 x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 2解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 3、解：∵230<-x ∴2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 4解析： 0,0x y >>3212x y +=lg lg x y +,,0a b c >()4a a b c bc +++=-2a b c + +

第一课时 基本不等式

2.2基本不等式 第一课时 基本不等式 课标要求素养要求 1.掌握基本不等式ab≤ a＋b 2(a>0，b>0). 2.能灵活应用基本不等式解决一些证 明、比较大小问题. 通过学习掌握基本不等式及其简单应 用，重点发展数学运算、逻辑推理素养. 新知探究 如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会 的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦 图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车. 问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 提示由图可知 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”. 1.?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.特别地，如果a>0， b>0，我们用a，b分别代替上式中的a，b，可得ab≤ a＋b 2，当且仅当a＝b

时等号成立.通常称此不等式为基本不等式，其中，a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数. 2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 拓展深化 [微判断] 1.a ＋b 2≥ab 对任意实数a ，b 都成立.(×) 提示 只有当a >0且b >0时，a ＋b 2≥ab 才能成立. 2.若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .(√) 3.若a >0，b >0，则ab ≤? ????a ＋b 22 .(√) [微训练] 当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________(填序号). ①b a ＋a b ≥2；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab . 解析 根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b 2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确. 答案 ③ [微思考] 1.不等式a 2＋b 22≥ab 和a ＋b 2≥ab 中“＝”成立的条件相同吗？ 提示 不相同.前者仅需a ＝b 即可，后者要求a ＝b ≥0. 2.“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义是什么？ 提示 a ＝b ?a 2＋b 22＝ab ；a ＝b >0?a ＋b 2＝ab .