足球队排名次
B题足球队排名次
下表给出了我国12支足球队在1988—1989年全国足球甲级联赛中的成绩，要求
1）设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排出名次的结果。
2）把算法推广到任意N个队的情况。
3）讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次。
对下表的说明：
1）12支球队依次记作T1，T2，。。。T12。
2）符号X表示两队未曾比赛。
3）数字表示两队比赛的结果，如T3行与T8行交叉的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3
从表中给出的比赛成绩看，数据是不整齐的：某些队之间有三场比赛的成绩，另外某些队之间则只有两场或一场比赛的成绩，还有一些队之间没有比赛成绩．
以下的解答主要参考了中国科技大学获特等奖队的论文
§1 合理的假设
1．排名仅根据现有比赛结果，不考虑其他因素。
2．每场比赛对于估计排名的重要程度是一样的，具有相同的可信度，不同的比赛相互独立．
3．有些队之间没有比赛，完全是由于比赛安排的原因造成的，不是由于球队在以前比赛中的胜负造成的，也不是由于某一方弃权造成的(根据比赛规则，弃权一方应被判输球，从而应在数据表中显示出来)．
4．按流行的赛制，以二分制计算比赛积分，即：胜一场得2分，平一场得1分，输一场得0分．(当然也可以按三分制计算积分，将胜一场的得分改为3分，以鼓励进攻，这样的修改对我们的模型不造成任何困难.).
作出以上的假设，一方面是由于原题没有提供更多的信息，我们没有理由认为某场比赛比别的比赛更具有特殊性等．当然，按照数学建模竞赛的规则，在原题条件不够的情况下允许自己查阅资料，补充信息．但本题中如果真的从体育资料中去查出1988—1989年我国足球甲级队联赛的具体情况，在模型中予以反映，所建立的模型就失去了普遍意义．因此，做出上述假设的更重要的出发点是为了使所建立的模型能够具有普适性，适合于各种不同的比赛．
§2 问题的分析
众所周知，足球界对同一赛事中比赛结果的排名有现成的算法．例如：循环比赛结果的排名，按前述二分制(或三分制)计算总积分，以总积分的高低来决定名次的先后(总积分相同者，再比净胜球数的多少，总进球数的多少，等等)．但是，这一算法着眼于排出比赛的胜负名次，并不总能合理地反映出各队真实水平的高低．比赛名次当然主要决定于各队的真实水平，但各队在比赛场次安排中“运气”的好坏也有相当的影响．比如，某队在比赛中避开了强队而大胜弱队，就是由于“运气”好而得分高的例子．我们不能完全排除这一类因素，但应尽可能合理地考虑并处理它。
另外，足球界的上述算法只适用于同一赛事的比赛结果，对于不同赛事的混合结果，特别对于比赛场次及数据参差不齐的情况(如本题所给的数据)，就显得无能为力了。
我们的目标就是要针对这种不规则的比赛数据提出一种算法，尽可能合理地反映各队的真实水平．
§3 初步的排名方案
我们先从最通行的算法开始，通过分析其缺点而一步步加以改进．
模型1总积分法：按两分制(或三分制)计算各队在所有比赛中总的积分，按总积分的高低排出名次。
但是，在所给的数据表中，各队比赛场次有多有少，而按我们的假设，比赛场次的多少并不是由于该队在以前的比赛中的胜负所致．如果按总计分法，则比赛场次少的队吃亏．为了克服这一不合理性，很自然改进为： 模型2平均积分法：将每个队的总积分除以该队参加比赛的场数，得出每场平均积分．按各队平均积分的高低来排名。
上述方法当然还可以做出一些小的改进．比如再将净胜球数、总进球数等因素也折算成一定的分数，计入总分。
§4 特征向量法的提出
在我们看来，以上总积分法和平均记分法(及其考虑了净胜球数、总进球数之后的改良版本)最大的不合理性是：在计算比赛得分时没有考虑对手的强弱．比如，胜强队和胜弱队同样都得2分，这就明显不合理．由此看来，更合理的算法应当是：胜强队得分应该多一些，胜弱队的得分应该少一些．用数学语言说，应该给每个队赋予一个“强弱系数”x i ，(非负实数)，来反映该队实力的强弱，强队的系数大，弱队的系数小．如果对手的强弱系数为x i ，你胜了它，你的得分就用这个系数对基本得分(2分)进行加权，为2分×x i 分。为了叙述方便，将第i 队记为T i (1≤i ≤N)．要算出T i 的总的得分，先对每个T j ，算出T i 对T j 的各场比赛中按二分制的平均得分，记为a ij ．如果T i 与Tj 没有比赛过，就取a i j =0．特别a ii =0．(严格说来，对没有比赛过的队T i ，T j ，取a ij =0并不合理，这等于是判这两个队各输一场，他们相对于其他的队就吃亏了．对这种情形的详细讨论将在后面进行．)将T i 对T j 的上述得分a ij 用T j 的强弱系数x j ，加权，则T i 对T j 的得分变为a ij x j ，T i 的总得分为
N iN i i x a x a y ++= 11 (1)
这样算出的各队的总得分N y y ,,1 反映了各队实力强弱的比，可以作为排名的标准． 我们的目的是为了求出反映各队实力强弱比的向量),,(1N y y Y =，但为了求Y 又要用到反映各队实力强弱比的另一个向量),,(1N x x X =．将X ，Y 都写成列向量形式，并记矩阵
N N ij a A ?=)(，则以上的计算公式(1)可以写成矩阵形式
AX Y = (2)
由于X 未知，当然不能直接从这个公式算出Y 来，但既然X 与Y 同样部是反映各队实力强弱比的向量，有理由认为它们所反映的比相等，即存在正实数λ，使Y=λX ．即AX=λX ，λ是A 的特征根，X 是属于λ的特征向量．
为叙述方便，我们把矩阵A 称为得分矩阵，它的元素ij a 是i T 对j T 的各场比赛的平均得分，是非负实数．按矩阵论的术语，A 是非负矩阵．按照矩阵论中关于非负矩阵的Perron-Frobenius 定理，不可约的非负矩阵存在最大正实特征根，对应于唯一(可相差常数倍)的实特征向量),,(1N x x X =’
．这里，说某个非负矩阵不可约，是指它不可能仅仅通过各行之间的置换和各列之间的置换化成至少有两个对角块的准对角阵．如果得分矩阵A 可约，就意味着N 支足
球队可以分成若干组(至少两组)，所有的比赛都只在同组的队之间举行．不同组的队之间从
未比赛过，在这样的情况下，显然不可能判定不同组的队之间的水平的高低．因此，要能对各队排出名次，至少应要求得分矩阵是不可约的．(如果将每个队用一个顶点表示，两队之间如果有比赛，就在相应的两个顶点之间连一条边，这样得到一个反映各队比赛情况的竞赛图，得分矩阵不可约，即相当于这个竞赛图是连通图．)这时就可以由Perron-Frobenius 定理知道A 存在最大正实特征根及相应的特征向量X 。可以取这个X 作为反映各队实力比的向量。 在实际计算中，要求出矩阵的特征根需要解一元N 次方程，这一般是很困难的，更不用说还要求特征向量了。而上述Perron-Frobenius 定理还指出：
设)1,1,1('= e 是全由1组成的N 维列向量，A 是不可约的非负矩阵，λ是它的最大正实特征根，则极限
m
m m e
A X λ
∞
→=lim
存在，且就是A 的对应于λ的特征向量．由此得出计算X 的实用算法如下．注意，我们所需要的是),,(1N x x X =的各分量的比值．而将各分量同时扩大或缩小相同的倍数后，其比值不变。为了使X 由这比值唯一决定，我们将X 的各分量同时除以它们的和N x x x +=1，即用
)/,,/(/1x x x x x X N =代替X ，化成11=+N x x 的情形．我们称满足条件11=+N x x 的向量),,(1'=N x x X 为“归一化向量”．称上述将非负向量),,(1'=N x x X 化成归一化向量X ／(x 1+…+x N )的过程为“归一化”.
先取)1,1,1('= e 的归一化向量)/1,,/1()1('=n n X 作为X 的初始值．换句话说：既然一开始并不知道各队实力的强弱，不妨先认为各队实力相同．将X=X(1)代入(2)式，算出Y(1)=AX(1)作为Y 的最初近似值．(即先不加权，直接计算i T 的总分iN i a a ++ 1作为y(1)的第i 分量．y(1)当然比X(1)更好地反映了各队实力强弱的比，归一化后得到的X(2)作为X 的更好的近似值．再
用这个X(2)算出Y 的更好的近似值y(2)=Ax(2)．这个过程可以不断进行下去，即在得到X 的第m 个近似值x(m)之后，再由X(m)算出Y(m)，将Y(m)归一化后得到X(m+1)，作为X 的第m+1个近似值．由Perron-Frobenius 的上述定理可知，这一迭代过程是收敛的，极限
)(lim m X X m ∞
→=存在且就是A 的对应于最大正实特征根的特征向量．实际计算时，只要X(m+1)
－X(m)的各分量的绝对值都小于预先给定的误差允许值ε，就可以结束计算，取X=X(m+1)．求A 的特征向量X 的这一算法，在计算数学中通常叫做“幂方法”．
§5 水平比矩阵法
上面提出的特征向量法，是在建立了得分矩阵N N ij a A ?=)(之后，求出A 的对应于最大正实特征根的特征向量，作为代表各队水平比的向量，以它为依据来为各队排名次．以下我们还要提出进一步改进后的模型，它们都以求特征向量为基础，都可以叫做特征向量法．这些
模型的区别是矩阵A 的构造方法不同．我们将上述计算得分矩阵A 的特征向量的模型称为：
模型3 得分矩阵法：矩阵N N ij a A ?=)(的元素a ij 是i T 对j T 各场比赛按二分制(或三分制)算出的平均得分．当i T 与j T 没有比赛过时取a ij =0.
模型3比模型1，2更合理．但仔细考察仍有不合理性：用来加权的向量),,(1'=N x x X 代表的是各队水平的比，而算出的向量AX y y Y N ='=),,(1 的各分量是各队的得分，严格说起来，向量_),,(1'=N y y Y 代表的是各队水平的差而不是比．比如有某个队屡战屡败，得分为0，它所对应的0=i y ．这当然说明它比别的队都差，但也不能说它与别队的水平比是0，或说别的队的水平是它的无穷大倍．设想将记分制改为：胜一场得1分，平得0分，败得-1分，这也是合理的．这样就相当于将各队的得分各减去1分，Y 的各分量同时减去l ，它们相互的差不变，但比却变了.而代表各．队水平比的向量X 却不应因此改变．由此看来，更合理的办法应该是：用反映i T 与j T 的水平的比的正实数b ij 代替a ij , 用水平比矩阵N N ij b B ?=)(来代替得分矩阵．这样，由Y=BX 算出的向量Y 就仍是水平比向量，它才真正应该与X 成正比从而是特征向量.水平比矩阵B 与得分矩阵A 的一个显著区别是：所有的矩阵元素b ij 都是正实数，不能为0．而且，既然b ij 是i T 与j T 的水平比，而b ji 是i T 与j T 的水b ij 与b ji 就应当互为倒数．特别b ii =1 (即i T 与自己的水平比为1)．这样的矩阵B 称为互反矩阵. B 的元素b ij ，(1≤i ，j ≤N)是各队两两之间的水平比，而所求出的特征向量X 就是各队的水平比．这正是 “层次分析法”的主要思想．
现在的问题是：怎样具体算出水平比矩阵B 呢? 显然应当根据i T 与j T 比赛的成绩来算出b ij 。很自然会想到用T i ，T j 相互比赛得分的比a ij /a ji 作为b ij ，这样b ji =a ji /a ij 自然也就是b ij 。的倒数了．但这也有一个问题，假如a ji =0怎么办? 我们可以认为，凡是有资格参加比赛的队T i 的水平都不是0，而是有一个起码的水平分a>0(a 是待定参数)．将这个起码分a 加上比赛得分a ij ，作为T i 对T j 的水平分．反过来，a+a ji 是i T 对j T 的水平分，而)/()(ji ij ij a a a a b ++=就可作为i T 与j T 的水平比．参数a 可由体育界的人士根据经验来确定，它的大小在一定程度上反映比赛的成绩的可信程度，以及偶然因素起作用的机会的大小．这样就得到
模型4参数法：预先取定参数a (正实数)．设任意i T 对j T 的各场比赛平均得分为a ij ,则取
)/()(ji ij ij a a a a b ++=．所有的b ij 组成水平比矩阵N N ij b B ?=)(.再求出B 的对应于最大正实特征根的特征向量作为反映各队水平比的向量．
当i T 与j T 未比赛时，两队水平比b ij 应怎样选取呢? 我们取j i ij x x b /=.这样的取法的正确性当然无可争议．但问题是x i , x j 未知，当i ≠j 时不能得到b ij 的确切的值．(当i=j 时1
/==i i ii x x b
有确切值.)记J={1≤J ≤N ∣i T 与j T 比赛过}，S ：{1≤J ≤N ∣j ?J}是与T i 未比赛过的队的编号的集合(包括i 在内)．则对任意1≤i ≤N ，当j ∈J 时b ij 可以由比赛成绩算出，是已知的；而当j ∈S 时b ij =x i /x j . 我们有
∑∑∑∑∑∈==∈∈=+=+==J j N
j j ij i j ij N
j J j S j j i
j ij j ij i x c rx x b x x x b x b y 1
1
其中S r =是与i T 未比赛过的队(包括i T 自己)的个数，
??
?
??≠∈=∈=i ；S j i j r J j b c ij ij 且当当当,0;
,;
,
可见，我们可以用矩阵N N ij c C ?=)(代替B 来进行计算．也就是说，如果共有r 个队(包括T i 自己)没有和T i 比赛过，则取b ii =r ，而当i T 与j T 没有比赛(且i ≠j)时将b ij , b ji 都取作0．再用幂方法求所得到的矩阵的特征向量即可。
§6 概率法
上述模型4中的参数a 的选定带有主观随意性，不能令人满意．而且，a 是否应因i T ，j T ，的不同而易，也是问题．更主要的问题是：计算b ij 时所用的得分a ij 是用平均积分法得出的，其中有不合理性：试想如果i T 与j T 只赛了一场，i T 一战一胜得2分，平均得a ij =2；假如i T 对j T 赛了三场，i T 三战三胜，共得6分，平均得分a ij 仍为2分．但实际上，三战三胜的难度显然比一战一胜大，而两者得分相同，这就不合理．应该让三战三胜的得分比一战一胜的得分多，这才是合理的．为什么我们觉得三战三胜的难度显然比一战一胜大呢? 假如i T 胜j T 的概率是70％，则一战一胜的概率也就是70％，很有可能实现；但三战三胜的概率就只有(70％)3=34．3％，很难实现，如果实现了，就有理由认为i T 胜j T 的概率不只70％，而有可能是3%70≈89％．由此得出以下的模型．
模型5 概率法：对任何两个队i T ，j T ，客观存在着i T 胜j T 的概率p ij ，用p ij 和p ji 的比b ij =p ij /p j i 作为i T 与j T 的水平比，构造出水平比矩阵B ，算出各队的水平比向量．
以p ij /p ji 作为i T 与j T 的水平比，其合理性当然是毋容置疑的．但同样显而易见的问题是：
怎样找出概率p ij 来呢? 当然只能以两队的比赛成绩为依据，从成绩表中的数据算出p ij 来．从统计的角度看，两队进行若干场比赛的结果，并不能绝对地反映两队水平的高低．但这些结果却是p ij 和p ji 在一定程度上的实现．我们设法从这些结果反推出p ij ，p ji ，具体来说，根据i T 在对j T 的各场比赛中的总得分(注意不是平均积分)来计算p ij 。我们的主要想法是：假如p ij ，p ji 预先给定了，则可以由它们分别算出i T 在对j T 的各场比赛中总共得0分，1分，2分，…的概率，这些概率都是p ij 和p ji 的函数．假如i T 的实际总得分为m 分，就有理由认为i T 得m 分的概率比得其它分的概率都大．(这就是极大似然估计的思想：认为实际发生了的事件比没有发生的事件的概率更大．)这样就可以得到关于p ij ，p ji 的一些不等式，其中包含参数m ．解这些不等式就可得到p ij ，p ji 对于m 的依赖关系，从而可以由已知数m (由比赛成绩表算出)决定未知的户p ij ，p ji .
将这个想法付诸实施时，需要解决一个技术性问题：平局的概率怎样计算? 为此，我们将每场比赛想象成由两个半场组成，每半场只有胜负，没有平局．(注意这只是为分析问题而想象的两个半场，并不是实际比赛的上半场和下半场．)在两个半场中一胜一负就是全场的平局，而两胜、两负则分别是全场的胜和负．我们还规定在半场中胜得1分，负得0分，则全场的胜，平，负的得分就分别是2，1，0分，与原来的规定一致．将i T 在半场中战胜j T 的概率q ij 作为唯一一个独立参数，简记为q ，则q ij =1-q ．由此可以算出i T 对j T 进行多场比赛时i T 的各种得分情况出现的概率．比如，在三场比赛中i T 如果得4分(可能是两胜一负或一胜两平)，
那就是i T 在6个“半场”中胜4个半场，负2个半场，概率为2446)1(q q C -．一般的，在n 场
比赛中i T 得m 分的概率为()
m
n m m n q q C --1．如果i T 在对j T 的n 场比赛中实际的总得分为m ，则
认为i T 得m 分的概率比得其他分的概率都大，即：
()
k n k
k n m
n m
m n q q C q q C --->-)1(1
对所有的0≤k ≤n ，k ≠m ．对给定的m 值解出这些不等式，就得到由m 决定的q 的取值范
围，结果如下：
这里，i T 的每一种得分值m 对应于q 的一个取值范围．将q 值到底定在这个范围里的什么位置呢? 这个选择的自由仍留给体育界人士，按比赛结果的可信度来决定．比如，可以选在范围的下限或上限，或中间．一个更为合理的处理办法是：根据净胜球数w 的多少来决定把q 值选在所得范围的高处或低处，也就是说，将q 设计成w 的某个递增函数，其取值范围就是i T 的总得分m 所决定的q 的范围，随w 的增加而趋近于这个范围的上界．q 值决定之后，就可算出p ij ，p ji 从而算出b ij (等于q 2／(1-q)2)．也不妨直接取b ij =q ／(1-q)．i T 与j T 没有比赛的情形，按模型4同样的方法处。
§7 模型的检验和比较
前述五种方法得到的排名结果如下表：
其中：(1)总积分法；(2)平均积分法；(3)得分矩阵法；(4)参数珐；(5)概率法．
既然数学模型必须接受实际检验，那么，为解决这个问题的前述各种模型孰优孰劣，用什么标准检验呢?当然，直观上说，每战必胜的队一定排在第一，每战必败的队一定排在最末，
无论用哪一个模型算出来的结果都是这样，这检验不出模型的优劣．而互有胜负的队到底谁优谁劣，各种模型的答案不一，似乎又拿不出一个令人信服的客观标准来说明某个模型比别的模型更合理．有的同学查出国家体委对1988--1989年甲级足球队的排名来作为标准答案，这也是不对的．这一方面使对这一问题的解答失去普遍意义. 同时，任何人的排名结果只能是某一种模型所得的结果，其合理性本身就是被检验的对象而不是检验别人的标准．在这方面，中国科大获特等奖队提出的计算机模拟的办法，应该说是一种比较客观，令人信服的检验办法．他们的想法其实很简单：
在计算机上随机地产生一个按元素大小顺序排列的向量),,(1N t t T =．认为N t t ,,1 代表N 支假想的球队的实力强弱的比，决定它们相互比赛胜负的概率．在计算机上让这些球队按T 规定的胜负概率进行模拟比赛，任意两个队比赛的场次可以是0, 1，2，3场，产生出若干参差不齐的比赛成绩，如本题的数据情况那样．然后利用前面所说的各种模型，由这些比赛结果来对这些队进行排名．显然，这里的排名结果是有标准答案的，那就是由最初的向量T 规定的排名顺序．由各种模型的排出的名次，与这个标准答案越接近，就说明这个模型越好，从而用达样的模型按本题的数据表排出的结果也就可以认为更正确．为了衡量各种模型排出的名次与预先规定的标准名次的偏差，定义偏差
∑=-=N
i i i r R Error 1.
其中r i 是第i 个队的标准名次，R i 是模型给它排出的名次．为了减少计算机模拟中的随机性的影响，使所得结果更为可靠，可以对同一个T 进行多次模拟，计算每种模型所排出的名次的偏差的平均值，按照平均偏差的大小来判定模型的优劣．中国科大队在N=12的情形下进行了100次模拟，得出的平均偏差的情况如下：
不难看出，检验的结果与前面的分析是一致的，即特征向量算法(模型3—5)明显优于前面两种模型，而以概率法(模型5)为最优．
§8 模型的进一步分析
1．稳定性分忻：一个好的模型所预见的结果不应该由于初始数据的微小波动而有大的改变．为检验稳定度，随机地改变一到三场的比赛成绩，以排名结果的变化大小的程度来检验模型的稳定程度，排名结果变化大小的程度按前面所定义的偏差来衡量. 结果发现模型4和5都有很好的稳定程度．
2．模型4中参数n 的选择：依次试取α为1至10间的整数值，用前面所说计算机模拟的方法检验，发现取α=4时的偏差最小。
§9模型的检验补充
给定12支足球队间的比赛结果，如何排定它们的名次? 已知的信息是：各队间的比赛场次有多有少，甚至有些队之间从未交战，整个比赛数据是不规则的．在这种情况下，什么样的排名规则是合理的?一般地，如何推广到任意n 支球队的情况?
针对这个问题我们可以设计多种排名算法，并分别用来处理题中的数据，得到各自的结果．但到底哪一种算法更好，哪一种排名结果更合理，还必须给出评价．一般地，对这些算法的合理程度在理论上做定量的分析是很困难的，只能采取计算机模拟的方法．
我们首先假定
(1)每支球队都有自己的实力水平，这一水平在全部比赛期间大体保持不变． (2)两支球队交战时，实力差别越大，强队获胜的可能性就越大．
(3)称一个排名算法更合理，是指它给出的结果更接近各队的实力顺序． 在这几条合理的假设下，我们给出测试排名算法的方法如下． 设n 为参赛的球队数，构造一个n 元随机向量S ．S 的每个元素是[0，1]区间内的随机数．记s i 为S 的第i 个元素，它代表球队i T 的实力．记R i 为i T 的实力名次．根据向量S 的值产生一组比赛数据，具体做法是：
对任意不同的i 和j ，先用随机数决定i T 和j T 比赛的场数k ij ，(从0，1，2，3中选取)．k ij 的选取应保证整个比赛图是连通的，即若i T 和j T 不曾比赛(k ij =0)，则有j i i i i i m ==,,,,321 ，使对任意1≤l ≤m-1，有l i T 和1+l j T 交战过(01
≠+l l i i k )．这是排名算法能够工作的前提条件．然后，
产生每场比赛的比分．不妨设s i ≥s j (i T 比j T 强)，按以下经验公式确定在一场比赛中不同结果的概率：
{}j i j i s s T T P -+=7.03.0胜 , {}j i i j s s T T P --=7.03.0胜 ,
{
}{}{}j i i j j i j i s s T T P T T P T T P --=--=4.04.01胜胜平 (1). 根据一个[0，1]均匀分布的随机数的值按(1)式决定比赛的胜者(或者是平局)．
0 1
设i T 和j T 的比分为g i :g j ，则 (1) 当i T 胜时，取
g j =rand(4)，g i =g j +1+rand([1.5+6(s i -s j ])． (2) (2) 当j T 胜时，取
g j =rand(4)，g j =g i +1+rand(2)． (3)
(3)当平局时，取
g i =g j =rand(6)． (4) 其中，rand(n)产生0~n--1均匀分布的随机整数，[x]是小于等于x 的最大整数． 模拟比赛完成后，用给定算法对球队进行排序．记i R '为i T 排得的名次，令
∑=-'=N
i i i R R Error 1 (5)
代表算法排名对实力排名的误差．
显然，E 越小表明算法越合理．为了消除随机因素带来的干扰，应模拟足够多次，取E 的算术平均值瓦作判断的依据．
设对n=12时，对某6种算法各模拟比赛100次，得到结果如下表
从表中可见，算法4和算法5的平均误差最小．进一步检查这两种算法的方差，如果不超过允许的范围，就可以采用它们作为优选方案，并采纳其排名结果．
数学建模-B题-球队排名问题-答案详解
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一个给足球队排名次的方法 戚立峰毛威马斌 （北京大学数学系,100871） 指导教师樊启洪 摘要本文利用层次分析法建立了一个为足球排名次的数学模型．它首先用来排名次的数据是否充分做出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度做出估计,然后给出名次．文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序．文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象．文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动．本模型比较完满地解决了足球队排名次问题,而且经过简单修改,它可以适用于任何一种对抗型比赛的排名．
世界足球百大巨星排行榜名单
世界足球百大巨星排行榜名单 世界杯历史百大球星，回顾总结了足球明星在世界杯上的高光表现和历史地位。下面是小编为你整理的世界足球百大巨星，希望对你有用! 世界足球百大巨星排行第91-100 第100：奥维兰(沙特) 1994、1998 1994年世界杯，奥维兰在对比利时队的比赛中上演了单骑闯关，盘带近70米晃过4人的惊世进球，也凭借此球奥维兰被誉为沙特的马拉多纳。 第99：加里-阿姆斯特朗(北爱尔兰) 1982 1982年西班牙世界杯，阿姆斯特朗一战成名，在对东道主西班牙的比赛中，凭借他的进球北爱尔兰1比0击败西班牙，顺利从小组中出线。 第98：吉吉亚(乌拉圭) 1950 1950年世界杯决赛，在巴西的马拉卡纳球场，近20万球迷的注视下，吉吉亚打进绝杀进球，乌拉圭队逆转2比1击败巴西。 第97：斯库特拉维(前捷克斯洛伐克) 1990 这名高中锋是90年意大利世界杯上的明星，是当界银靴奖得主。在捷克对哥斯达黎加16进8的淘汰赛中，他完成了帽子戏法。 第96：苏格拉底(巴西) 1982、1986
巴西天团时代的队长，1982年世界杯他的传球功力为人赞叹，1986年他无助跑打进点球更是让球迷看的如醉如痴。 第95：布洛林(瑞典) 1990、1994 1994年美国世界杯，布洛林完全爆发，他个人打进三球入选赛会最佳阵容，瑞典队获得第三名。在对罗马尼亚的比赛中，他打进一个堪称震古烁今般的经典任意球配合。这个进球也为他赢得了帕尔马变量的美誉。 第94：杰森(巴西) 1966、1970 被誉为世界杯史上最出色的的传球手，1970年墨西哥世界杯，巴西4比1大胜意大利的比赛中，他打进一球，并排在贝利之后获得当界赛事的银球将。 第93：托马斯-穆勒(德国) 2010 2010年南非世界杯，托马斯-穆勒大放异彩，整届赛事他总共打进5球，凭借助攻多的优势获得金靴奖，他的德国队也获得第三名。 第92：德尚(法国) 1998 德尚在法国国家队默默无闻但作用巨大，被誉为挑水工，他也是整届法国世界杯上表现最出色的中场球员。 第91：柯奇士(匈牙利) 1954 他是1954年世界杯的最佳射手(11球)，排在同胞普斯卡什之后获得银球奖。不幸的是，匈牙利队在决赛中输给了西德队。 世界足球百大巨星排行第81-90 第90：布特拉格诺(西班牙) 1986、1990
数学建模_B题_球队排名问题_答案详解
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
一个给足球队排名次的方法 戚立峰毛威马斌 （北京大学数学系,100871） 指导教师樊启洪 摘要本文利用层次分析法建立了一个为足球排名次的数学模型．它首先用来排名次的数据是否充分做出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度做出估计,然后给出名次．文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序．文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象．文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动．本模型比较完满地解决了足球队排名次问题,而且经过简单修改,它可以适用于任何一种对抗型比赛的排名． §1 问题的提出及分析 本题的表1给出的是我国12支足球队在1988-1989年全国甲级联赛中的成绩,要求通过建立数学模型,对各队进行排名次． 按照通常的理解,排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队真实实力状况的一个顺序．为达到这一点,一个好的排名算法应满足下面一些基本要求：（1）保序性；（2）稳定性；（3）能够处理不同场比赛的权重；（4）能够判断成绩表的可约性；（5）能够准确地进行补残；（6）容忍不一致现象；（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述． 可以想象,各队的真实实力水平在成绩表中反映出来（见§3假定Ⅱ）,所以根据排名目的,我们要求排名顺序与成绩表反映的各队实力水平的顺序是一致的,这就是要求（1）． 也就是说,如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面．但a比b出色不能只是由a对b这一场比赛所决定,必须参考a,b相对于其他队的成绩,像a平c,c胜d,d平b这组比赛对a,b的相对表现是有影响的．为使一个算法满足保序性,就必须充分考虑到将a,b连结起来的所有场比赛．下面的例子表明积分法布满足保序性． 例1 a平c,c胜d,d平b,a平b． 在上述比赛中a表现应比b出色,但按积分法计算a,b都积2分．其原因就在于积分法没有把a平c,c胜d,d平b这组比赛中所体现的a,b实力对比情况考虑进去； 要求（2）就是说成绩表小的变动不会对排名结果造成巨大影响．这是由于球队发挥水平存在正常波动而必须提供的,如果这种正常的小波动引起名次的巨大变化,那么排名就不令人信服； 要求（3）使得不同场比赛在排名中的地位不同,这是因为在实际比赛中,往往会有的队不幸遇到较强的队而输掉．为了避免由于对手的强弱不同造成的不公平,要求（3）是必须的．但现在的排名制度大都满足不了要求（3）,以至于许多时候“运气”对名次起了重要作用；
足球联赛积分排名程序
合肥学院 计算机科学与技术系 课程设计报告 2008～2009学年第二期 课程程序设计语言Ⅱ课程设计 课程设计名称足球联赛积分排名程序 学生姓名朱新维 学号0804032004 专业班级网络工程（2） 指导教师高玲玲、李红 2009年6月
一．课程设计题目：足球联赛积分排名程序 1.设计内容：足球联赛采用主客场双循环赛制，胜一场得3分，平局各得1分，负一场得0分，联赛排名以积分多者在前，当两队（或多队）积分相同时，则净胜球（即进球数与失球数之差）多者在前，若净胜球相同，则进球数多者在前，若仍相同，则抽签或踢附加赛决定名次（这在联赛结束后进行，联赛未结束则两队名次并列，本程序不做这方面要求）。试编写一个足球联赛积分排名程序，程序统计最近一轮比赛后，各队积分及排名。 2.任务和要求：假设积分表结构如下：队名（不超过15个字符），已比赛的场数，赢的场数，平的场数，负的场数，进球数，失球数，积分。积分表放在正文文件中。最近一轮的结果从键盘输入，其形式为：主队名（可用代码），客队名（可用代码），主队得分（即进球数），客队得分（即进球数）。程序应根据此轮结果修改各队的积分和名次，所得的最新记分表仍在原积分文件中并同时在屏幕上显示。 3.测试数据：可选择我国当年的甲A或甲B联赛的数据输入，并检查与报章公布的数据是否一致。 二．问题的分析 本学年，上学期中我们学习了C语言，初步了解了如何用计算机语言来写出我们所需的程序。然后下学期中进一步学习了C++语言，通过半年的更深层次的学习，我也初步学会应用类与对象，数组与指针，继承与派生等等来解决一些C++语言程序中的一些实际问题。 看完这个要求，这个题目要求我实现以下几个功能： 1）．能够输入比赛的2个队伍和其进球数； 2）．能够对比赛的赢输平进行判定； 3）．能够根据比赛的赢输平进行积分的累加； 4）．能够对积分的高低对各个队伍进行排序，特别是在有些队伍积分相同时，可以通过对赢的场次的多少，或者平的场次的多少，输的场次的多少乃至进球数和失球数的多少来进行最终的比较和排序； 5）．能够将数据存储在一个文件中，可以将文件中的数据进行输入和输出。 我想到，首先我可以运用类和数组先来解决多个足球队的问题。我可以首先定义一个球队类和对象数组，那么每个球队就都是球队类的对象，并且由于联赛中参赛的队伍数是固定的，那么我就可以将每个球队存放在对象数组的一个数组元素中。然后是解决如何正确计算，保存和输出比赛的胜，平，负所得的积分，并且要对各个队伍和积分排列出正确的顺序。经过思考，我的想法是把所有的队伍编号，队伍名称，赢输平的场次，进和失的球数统统归纳到一个足球类里，然后构建函数，通过对函数的调用来实现上述要求。但事实操作中发现，如果仅仅是这样不仅程序会很繁杂，而且很容易出现错误，于是我考虑继续用一个类来解决函数调用的问题。用类是解决了上述的问题，但是到底如何进行排序，我想了很久，也试着写了些简单的程序，但都解决不了全部的问题。后来我在网上查找资料，发现了一个乒乓球比赛排序方法，和我所要做的这个程序有很多相似的地方，特别是排序方面，于是我决定把它的排序改动一下，用在我的程序上。 这样，大的思路方面基本解决了，下面就是，开始写程序了。 三．算法的设计 因为一开始写程序时总是会把多个类的定义，函数的调用等弄混淆掉，导致程序产生了很多运行逻辑的错误。后来我在查找资料时看到一个例子，可以用一个程序调用另外一个相关的程序，这样不仅使程序看上去简洁不少，也使各个程序的作用更加明了。所以我觉定把整个程序分为2
足球队排名
多种思路解决足球赛排名次问题 摘要 本题是一个给定了足球比赛时，两两相比的比分，然后给12支球队排名，并推广到n 支球队的问题。 模型一中，我们用了层次分析法中的成对比较阵求出各队的权重，然后进行排名。对于题中比分的残缺问题，用了辅助矩阵来解决。用这种方法给足球队排得名次为： 411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T 模型二中，我们列出了评判球队实力的三个因素：场均积分，场均净胜球数，场均进球数，然后根据问题中各因素的因果关系将其分为三层，即目标层、准则层和决策层。由准则层与目标层、决策层与准则层之间的关系，分别建立准则层对目标层、决策层对准则层的判断矩阵，并对判断矩阵的一致性进行检验，得出的一致性指标10.0 一．问题重述 本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们设计能依据所给数据给12只球队排名的算法，并推广到N个球队，同时给出当我们算法成立时数据所 说明：（1）12支球队依次记作T1,T2,…T12。 （2）符号X 表示两队未曾比赛。 （3）数字表示两队比赛结果，如T3行与T8行交叉处的数字表示：T3 与T8比赛了2场；T3与T8的进球数之比为0：1和3：1. 二． 模型假设 1. 比赛的结果真实可靠 2. 评判球队的实力只看场均净胜球，场均积分，及场均进球数 3. 三． 符号说明 模型一： 1.j i ij T T a 表示两球队的实力之比 2.ij m 为i T 与j T 比赛，平均每场的净胜球数 3.A 表示判断矩阵 4.A ~表示辅助矩阵 模型二： 1.k p 表示12支球队，k=1,2, …12 2．1C 表示因素：场均积分 3.2C 表示因素：场均净胜球 4.3C 表示因素：场均进球数 5.A 表示准则层对目标层的判断矩阵 6.i w 表示决策层对准则层的比较矩阵，i=1,2,3 7. 1W 表示准则层对目标层的权重； 8.2W 表示方案层对准则层的权重； B题足球队排名次 下表给出了我国12支足球队在1988—1989年全国足球甲级联赛中的成绩，要求 1）设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排出名次的结果。 2）把算法推广到任意N个队的情况。 3）讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次。 对下表的说明： 1）12支球队依次记作T1，T2，。。。T12。 2）符号X表示两队未曾比赛。 3）数字表示两队比赛的结果，如T3行与T8行交叉的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3 从表中给出的比赛成绩看，数据是不整齐的：某些队之间有三场比赛的成绩，另外某些队之间则只有两场或一场比赛的成绩，还有一些队之间没有比赛成绩． 以下的解答主要参考了中国科技大学获特等奖队的论文 §1 合理的假设 1．排名仅根据现有比赛结果，不考虑其他因素。 2．每场比赛对于估计排名的重要程度是一样的，具有相同的可信度，不同的比赛相互独立． 3．有些队之间没有比赛，完全是由于比赛安排的原因造成的，不是由于球队在以前比赛中的胜负造成的，也不是由于某一方弃权造成的(根据比赛规则，弃权一方应被判输球，从而应在数据表中显示出来)． 4．按流行的赛制，以二分制计算比赛积分，即：胜一场得2分，平一场得1分，输一场得0分．(当然也可以按三分制计算积分，将胜一场的得分改为3分，以鼓励进攻，这样的修改对我们的模型不造成任何困难.). 作出以上的假设，一方面是由于原题没有提供更多的信息，我们没有理由认为某场比赛比别的比赛更具有特殊性等．当然，按照数学建模竞赛的规则，在原题条件不够的情况下允许自己查阅资料，补充信息．但本题中如果真的从体育资料中去查出1988—1989年我国足球甲级队联赛的具体情况，在模型中予以反映，所建立的模型就失去了普遍意义．因此，做出上述假设的更重要的出发点是为了使所建立的模型能够具有普适性，适合于各种不同的比赛． §2 问题的分析 众所周知，足球界对同一赛事中比赛结果的排名有现成的算法．例如：循环比赛结果的排名，按前述二分制(或三分制)计算总积分，以总积分的高低来决定名次的先后(总积分相同者，再比净胜球数的多少，总进球数的多少，等等)．但是，这一算法着眼于排出比赛的胜负名次，并不总能合理地反映出各队真实水平的高低．比赛名次当然主要决定于各队的真实水平，但各队在比赛场次安排中“运气”的好坏也有相当的影响．比如，某队在比赛中避开了强队而大胜弱队，就是由于“运气”好而得分高的例子．我们不能完全排除这一类因素，但应尽可能合理地考虑并处理它。 另外，足球界的上述算法只适用于同一赛事的比赛结果，对于不同赛事的混合结果，特别对于比赛场次及数据参差不齐的情况(如本题所给的数据)，就显得无能为力了。 我们的目标就是要针对这种不规则的比赛数据提出一种算法，尽可能合理地反映各队的真实水平． §3 初步的排名方案 我们先从最通行的算法开始，通过分析其缺点而一步步加以改进． 模型1总积分法：按两分制(或三分制)计算各队在所有比赛中总的积分，按总积分的高低排出名次。 摘要 本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型。它首先对用来排名次的数据是否充分作出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度作出估计,然后给出名次。文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动。 对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序。用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以n个队，T1,T2,T3….Tn为竞赛图的G的顶点集建立竞赛图G的边集就可以算出各队的排名顺序。这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题，而且经过简单的修改，他可适用于任何一种对抗赛的排名。 关键词：竞赛图、邻接矩阵、最大特征值、特征向量 目录 一、提出问题 (3) 二、问题的重述 (4) 三、模型的假设 (4) 四、符号说明 (5) 五、模型的建立和求解 (6) 六、模型的评价与推广 (11) 七、参考文献 (12) 足球队排名模型 一、提出问题 任何一项体育竞赛都必须在“公平、公正”的原则下进行，都必须有公开的竞赛规则，足球比赛也不例外，随着足球事业的发展，评分规则也不断完善，但仍有不尽如人意之处。 附表给出的是我国12支球队字1988~1989年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次。排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队正是实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求： （1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所 反映的各队的真实水平是一致的。 （2）稳定性:成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。（3）能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的对不信遇到较强的对而输掉，避免 由于对手的强弱不同造成的不公平 （4）能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他 队的比赛成绩判断他们实力的大小。 （5）能够判断成绩表的可约性。 （6）容忍不一致现象 （7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述。 历届国际足联世界足球先生前三名名单（以下历届排名从左到右） 1991年马特乌斯（德国），帕潘（法国），莱因克尔（英格兰） 1992年范·巴斯滕（荷兰），斯托伊奇科夫（保加利亚），哈斯勒（德国） 1993年罗伯特·巴乔（意大利），罗马里奥（巴西），博格坎普（荷兰） 1994年罗马里奥（巴西），斯托伊奇科夫（保加利亚），罗伯特·巴乔（意大利） 1995年乔治·维阿（利比里亚），马尔蒂尼（意大利），克林斯曼（德国） 1996年罗纳尔多（巴西），乔治·维阿（利比里亚），阿兰·希勒（英格兰） 1997年罗纳尔多（巴西），罗伯特·卡洛斯（巴西），博格坎普（荷兰）、齐达内（法国）（并列第三） 1998年齐达内（法国），罗纳尔多（巴西），达沃·苏克（克罗地亚） 1999年里瓦尔多（巴西），贝克汉姆（英格兰），巴蒂斯图塔（阿根廷） 2000年齐达内（法国），菲戈（葡萄牙），里瓦尔多（巴西） 2001年菲戈（葡萄牙），贝克汉姆（英格兰），劳尔（西班牙） 2002年罗纳尔多（巴西），卡恩（德国），齐达内（法国） 2003年齐达内（法国），亨利（法国），罗纳尔多（巴西） 2004年罗纳尔迪尼奥（巴西），亨利（法国），舍甫琴科(乌克兰) 2005年罗纳尔迪尼奥（巴西），兰帕德（英格兰），埃托奥(喀麦隆) 2006年卡纳瓦罗（意大利），齐达内（法国），罗纳尔迪尼奥（巴西） 2007年卡卡（巴西），梅西（阿根廷），克里斯蒂亚诺·罗纳尔多（葡萄牙）， 2008年克里斯蒂亚诺·罗纳尔多（葡萄牙) ，梅西（阿根廷），托雷斯（西班牙） 2009年梅西（阿根廷），克里斯蒂亚诺·罗纳尔多（葡萄牙) ，哈维（西班牙） 2010年梅西（阿根廷），伊涅斯塔（西班牙），哈维（西班牙） 2011年梅西(阿根廷) ，克里斯蒂亚诺·罗纳尔多（葡萄牙），哈维（西班牙) 2012年梅西（阿根廷），克里斯蒂亚诺·罗纳尔多（葡萄牙），伊涅斯塔（西班牙） 历届世界足球先生介绍 1991年，马特乌斯，德国，国际米兰 作为1990年世界杯德国队的队长，马特乌斯在贝肯鲍尔的指导下，在世界杯上连续过关斩将，并在最后的决赛中战胜马拉多纳率领的阿根廷队，最终捧得大力神杯。在这一年中，马特乌斯也在个人的职业生涯中到达顶峰，最终其获得的世界足球先生。这一年，是世界足球先生颁发的第一年，马特乌斯也成为了其历史上第一位获奖者。 1992年，范巴斯滕，荷兰，AC米兰 以范巴斯滕为首的荷兰三剑客不论在什么时间什么地点都注定了是一段传奇的象征。1992年的欧洲杯，荷兰的阵容堪称豪华，但无冕之王的魔咒却让他们与冠军擦肩而过。但范巴斯滕在AC米兰的表现却是毋庸置疑，凭借在AC米兰的58场不败，他还是获得了当年的欧洲金球奖和世界足球先生。他也成为当时同一年同时获得金球奖和世界足球先生两项个人大奖的球员。 1993年，罗伯特·巴乔，意大利，尤文图斯 中国足球现状、原因及对策 一、中国足球的现状： 足球运动是第一大体育运动项目，伴随经济的飞速发展，足球运动这一项目已经影响到所有国家、民族和地区。现在世界上大约有2亿多人把足球这个项目作为自己的主要运动。但同样是亚洲人，中国足球队与日本韩国足球队水平差距是巨大的，中国足协的副主席张吉龙说：“这么多年以来，中国足球一直处于摸索、探求一条适合自己的发展道路。我们也搞过职业化，10多年职业足球我们回过头来看一看，但中国足球还是在原地打转。这让我们必须要反思走什么样的道路才能把中国足球的水平搞上去。” 中国足球在近二三十年间取得的成绩可谓是屈指可数，不仅如此中国足球的水平越来越呈下降的趋势，越来越跟不上国际的大潮流。本来还能够在亚洲排的上号的中国足球到现在已经彻底沦为亚洲三流。，从1978年开始中国恢复了全国甲级和乙级联赛双循环升降级的制度，并建立了全国成年队联赛和青年队联赛的各级比较稳定并且系统的竞赛规章制度。1982年至今，中国足球队参加了所有世界杯足球赛的预选赛和奥运会的足球预选赛，并且在2002年中国足球队在米卢蒂诺维奇主教练的带领下艰难地冲进了世界杯的决赛圈，中国以亚洲第五的身份第一次登上了世界杯的大舞台，然而三战皆负的比赛成绩，最终使得中国足球队的排名没有出现在世界排名榜上。2006年9月6日亚洲杯预选赛中国队以0:0战平新加坡队，让中国的球迷绝望了。在当时比赛的前几天，国际足联公布了最新一期的世界排名，中国足球队的世界排名最终创历史新低仅仅排在了103名，在亚洲也仅仅排在了第15名，中国足球队沦落到了亚洲的三流球队。20年来我国足球的水平总是不尽如人意 二、中国足球水平越来越呈下降的趋势的原因： 1、中国足球管理制度的缺陷： （一）体制落后，伪职业化，商业运营极差： 职业化整整二十年，中国足球行政指令依旧横行，“伪职业化”倾向明显。特别是目前运营中超联赛的中超公司，表面上是独立的公司法人，实质上隶属于中国足协，表面上运营整个联赛，实质上局限于项目招商，功能相当于欧洲国家足球职业联盟下的一个商业部。 （二）球场等硬件设施严重不足： 硬件设施不足，利用率低是直接影响中国足球运动普及的一大主因。目前，伦敦各类足球场约3000多块，北京的体育场不到100块，符合标准的足球场更少，并且国内各球场多为不对外开放的校园球场，足球运动的全民普及无法开展。（三）足球人口极度匮乏： 目前，中国足协注册青少年球员不足7000人，为日本60万，西班牙65万的1.4%，1%。注册职业球员8000人，足球人口极度匮乏严重影响中国足球的 发展。 2、储备人才的培养方案不完善 （一）储备人才数量不多 足球队排名次 摘要：本文利用高等代数中寻找特征向量的方法来解决足球排名次问题。 关键词： 一、问题的提出 下表给出了我国12支足球队在1988—1989年全国足球甲级联赛中的成绩，要求： 1）设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排出名次的结果. 2）把算法推广到任意N个队的情况. 3）讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次. 对下表的说明： 1）12支球队依次记作T1，T2，…，T12. 2）符号X表示两队未曾比赛. 3）数字表示两队比赛的结果，如T3行与T8行交叉的数字表示：T3与T8比赛了2场； T3与T8的进球数之比为0：1和3：1. 二、问题的分析 本题中要给排序的足球队不只是参加足球锦标赛、循环赛、淘汰赛的球队，而是随机 进行比赛的一些球队.比赛场次肯定不全，也肯定不等，甚至每场比赛的重要性也不同，比赛的结果也有很大的随机性.如国际足联每三个月为全世界各个国家、各地区的足球队 所进行的排序.这些国家有些未参加世界杯比赛，甚至多数国家之间并未比赛过，如与中 国足球队比赛过的国家球队只占其中一小部分，因而完全套用一些锦标赛的方法是行不 通的. 众所周知，足球界对同一赛事中比赛结果的排名有现成的算法.例如，循环比赛结果 的排名，按前述二分制（或三分制）计算总积分，以总积分的高低来决定名次的先后（总 积分相同者，再比净胜球数的多少、总进球数的多数，再相同就抽签决定）.但是，这一 算法着眼于排出比赛的胜负名次，并不总能合理地反映出各对的真实水平的高低.比赛名 次当然主要决定于各队的真实水平，但各队在比赛场次安排中“运气”的好坏也有相当 的影响.比如，某对在比赛中避开了强队而大胜弱队，就是由于运气好而得分高的例子. 我们不能完全排除这一类因素，但应尽可能合理地考虑并处理它.另外，足球队的上述算 法只适用于同一赛事的比赛结果，对于不同赛事的混合结果，特别对于比赛场次及数据 参差不齐的情况（如本题所给的数据），就显得无能为力了. 我们的目标就是针对这种不规则的比赛数据提出一种算法，尽可能合理地反映各队的 真实水平. 这里有一个问题可以反映本问题讨论的难度，即足球对之间的比赛结果不具有传递性.如甲队胜乙队，乙队胜丙队，然而丙队可以平甚至战胜甲队.再有甲队该场胜乙队，而另一场比赛可能乙队胜甲队，即使两场都是甲队胜了，也可能第一场3:2，，而第二场却是2:0胜了.然而数学上任何排序问题都应具有传递性，严格地讲，没有传递性就无法排序. 其实不只是足球比赛，其他球类比赛中都存在类似的情况.能否用一个恰当的数学模型来描述它呢？ 其实这一问题是一个随机模型。某队在比赛中的表现是一个随机变量，有均值也有方差，服从一定的分布.正因为如此，在每场比赛中某队的表现不该是千篇一律的，会有失常也会有超常发挥，不过大多数情况下是正常发挥.一些训练有素、经验丰富的球队经常表现比较稳定，也就是他们的方差比较小.每场比赛实际上是两个球队分别独立抽样（多数情况下是如此，甲队对乙队有恐惧心理就另当别论），比赛的结果实际上是比较样品的大小.正是由于抽样的随机性，各种不同的结果分别按不同的概率发生，因而造成比赛结果的不可传递性.在这种情况下，题目要求对足球队进行排序应理解为是对均值的排序。变量是随机的，但均值却是不变的，从道理上来讲，是不受某场比赛的结果影响的.正因为如此，均值是具有传递性的，因此对均值进行排序从数学上来看是合理的. 还应该指出的是，足球比赛不像田径比赛，虽然每次比赛的成绩是随机的，但其样品的观测值完全是已知的；而对球队比赛中体现的实力并不知道，从随机变量的若干样品去估计其均值是数理统计中已有不少现成方法的问题.足球比赛虽然也是抽样，却无法观测样本的准确值，每个球队的实力只能通过比赛去体现，这样足球比赛不是只有一个随机变量，而是有两个随机变量.我们并不知道样本的准确观测值，我们仅仅只知道是两个样品比较的相对结果，因此也就没有多少现成的方法可以借用. 本问题的难点在于：一是，虽然知道比赛结果是两队抽样后样品的相对比较后的结果，但是应该指出的是这一相对比较结果是十分粗糙的.尽管国际足联排名的国家与地区的球队有100多个，加上各国家的甲级队、地方队，球队上万个，可是比赛的结果相比之下却是少得可怜，从9:0狂胜到0:9的惨败，只有几十种结果，这几十种结果去反映上千个（至 世界上排名前10位的足球俱乐部 ootballdatabase - 世界领先的在线足球排名网站，发布了其最新的足球俱乐部排名。不出意外，西班牙队在前10名俱乐部中有三个席位。 由于其在国内和欧洲冠军联赛中的出色表现，皇家马德里攀升了三个席位，意大利的尤文图斯也上升了三位。德国的拜仁慕尼黑从第二位下降到第三位。切尔西超过伦敦的竞争对手托特纳姆热刺，而摩纳哥击败其他法国巴黎圣日耳曼俱乐部。 关于亚洲的排名，广州恒大淘宝足球俱乐部排名第一（世界排名第七十八位），紧随其后的是沙特阿拉伯王国希拉尔沙特足球俱乐部和全北现代汽车韩国。上海上港集团名列第十八，与北京国安和山东鲁能泰山的排名分别为第三十三和第四十二。 以下是世界上排名前10位的足球俱乐部。 10. SSC Napoli 那不勒斯足球俱乐部 那不勒斯足球俱乐部（SocietàSportiva CalcioNapoli）是一家位于意大利南部著名城市那不勒斯的足球俱乐部，成立于1904年，首任主席为乔治·阿斯卡雷利，最初的名字是ACNapoli，1964年时改为SSC Napoli。现时在意大利足球甲级联赛作赛。 据统计，那不勒斯是球迷数量第4多的意大利足球俱乐部，排在尤文图斯、国际米兰和AC米兰之后。 9. Tottenham Hotspur 托特纳姆热刺足球俱乐部 托特纳姆热刺足球俱乐部，简称热刺，是英格兰超级联赛的球队之一。由于传统主场球衣为白色，热刺球迷被称为“白百合”（Lilywhites）。成立于1882年，主场位于伦敦北部托特纳姆的白鹿巷球场。俱乐部格言“Audereest Facere”意为“敢作敢为”。早于第一次世界大战时期热刺已与邻近的阿森纳成为死敌，两队间的比赛乃著名的“北伦敦德比”。 (1)一队排在另一对之前，不能只考虑这两对的战绩，而应充分考虑这两队所有比赛场次的战绩； (2)要充分考虑对手的强弱因素，减少球队发挥水平不正常而带来的影响：避免强队偶然输给弱队带来名次的大落，又应考虑到弱队超水平发挥后名次的上升； (3)如果两队之间由于种种原因，没有比赛或者双方打成平局，就有这两对于其他对之间比赛的战绩确定这两对的强弱。 有这些原则，根据比赛战绩表，构造竞赛图如下： 以N个参赛队T1,T2,T3,...... 足球100名人（排名不分先后） No.1：【阿根廷】迭戈·马拉多纳迭戈·阿曼多·马拉多纳(Diego Armando Maradona，1960年10月30日-)是前阿根廷足球运动员，被认为足球史上最优秀亦是最具争议的球员。马拉多纳是足球场上的“上帝”，他注定是足球史上最伟大的 球员。1986年马拉多纳凭借自己的杰出表现率领阿根廷队 第二次获得世界杯冠军。 No.2：【巴西】贝利贝利1940年10月23日出生在巴西 的一个贫寒家庭，是二十世纪最伟大的足球明星之一，被喜爱他的人尊为“球王”。在足球生涯中丅共攻进1281个球，四次代表国家队出战世界杯，三次捧得世界杯（第6、7、9届）。1980年被欧美20多家报社记者评为20世纪最杰出的运动 员之首，1987年6月他被授予国际足联金质勋章，1999 年被国际奥运委员会(IOC)选举为“世纪运动员”。No.3：【阿 根廷,西班牙】阿尔弗雷多·迪·斯蒂法诺阿尔弗雷多·迪·斯蒂法诺（Alfredo Di Stefano，1926年7月4日－），是一名前阿根廷足球运动员，是五十年代末著名的球员，曾效力西班牙著名足球俱乐部皇家马德里，与匈牙利名将普斯卡什合力为皇马于1956年至1960年间连夺五届欧洲冠军杯。No.4：【荷兰】约翰·克鲁伊夫约翰·克鲁伊夫（Hendrik Johannes Cruijff，1947年4月25日－），荷兰人，是世界足球史上的 名将，也是著名的足球教练。球员时代的克鲁伊夫出身于荷兰著名球会阿积士，司职中锋，因抢截积极，盘带技术皆是顶级水平,速度快，故有“飞人”称号。他是荷兰全能足球的代表人物，曾三次夺得欧洲足球先生（1971、1973、1974）。克鲁伊夫早于1978年退出荷兰国家队，1984年宣布退役。他为国家队出赛48场，共取得33个入球。No.5：【德国】弗朗茨·贝肯鲍尔弗朗茨·贝肯鲍尔，（1945年9月11日-），德国著名足球运动员，教练员，现任德国足协主席，绰号“足球皇帝”。贝肯鲍尔103次代表西德队出场，攻入14球，参加过1966年、1970年和1974年世界杯足球赛，并于1974年夺得世界杯冠军。1986年和1990年，贝肯鲍尔做为主教练带领西德队参加世界杯赛，并于1990年夺得世界杯冠军。贝肯鲍尔无论是在德国足坛、欧洲足坛还是世界足坛，都是一位具有传奇色彩的人物。从他投身德国足坛的第一天起直到今天，他的一切都与德国现代足球运动密切相关。No.6：【匈牙利】弗兰奇·普斯卡什弗兰奇·普斯卡斯(1927年4月2日——2006年11月)匈牙利、西班牙足球运动员。普斯卡斯一生共参加了1200多场比赛，射入1100多粒进球，是世界上为数不多的进球超过1000个的传奇巨星之一。No.7：【英格兰】斯坦利·马修斯全名：斯坦利.马修斯英名：Stanley Matthews 生日：1915年2月1日国籍：英格兰位置：右前卫身高：174cm 金球： 世界足球明星前100名排行榜 1、贝利（1940年生，巴西，前锋）迄今享誉最多的足球运动员，三届世界杯得主。 2、马拉多纳（1960年生，阿根廷，前锋或前卫）为足球而生的一代球王。 3.迪斯蒂法诺（1926年生，阿根廷-西班牙，前锋）五十年代率领皇马神话般地连续五次夺取欧洲冠军杯。 4、普斯卡什（1927年生，匈牙利，内锋）五十年代战无不胜的无冕之王匈牙利队的领军人物。 5、加林查（1933-1983年，巴西，边锋）巴西58、62年两夺世界杯的关键人物，两腿畸形却速度奇快，为足球史上最具传奇色彩的球星。 6、贝肯鲍尔（1945年生，前西德，中卫）七十年代率拜仁及西德队获得过几乎所有重大比赛的冠军，现代全能型球员的典范。 7、尤西比奥（1942年生，葡萄牙，前锋）原籍莫桑比克，66年世界杯最佳射手，为本菲卡队夺得两届欧洲冠军杯。 8、齐达内（1972生，法国，前卫）当今最有成就的中场大师。 9、罗马里奥（1966生，巴西，前锋）天生的射手，94年巴西夺取世界杯的头号功臣。 10、科帕（1931生，法国，前锋）齐达内之前被认为是法国足球史上最有才华的球星。 11、迪迪（1928-2001年，巴西，前卫）58、62年世界冠军队的中场核心。 12、班克斯（1938年生，英格兰，守门员）被公认为足球史上最伟大的守门员。 13、克鲁伊夫（1947年生，荷兰，前锋）全攻全守足球的代表人物。 14、普拉蒂尼（1955年生，法国，前卫）八十年代欧洲最佳球员，三度金球奖得主。 15、穆勒（1945年生，前西德，前锋）身材矮壮的射门机器，世界杯进球纪录（14球）保持者。 16、查尔顿（1937年生，英格兰，前卫）英国最有成就的足球大师，曼联足球的见证人。 17、图拉姆（1972年生，法国，后卫）当今最佳后卫，法国队连夺世界杯和欧锦赛的关键人物之一。 18、里维拉（1943年生，意大利，前卫）六、七十年代AC米兰的领军人物，意大利足球的旗帜。 19、内德维德（1973年生，捷克，前卫）东欧足球最杰出的代表，当今足坛第一硬汉。 20、里杰卡尔德（1962年生，荷兰，前卫或中卫）名扬天下的荷兰“三剑客”之一，现代全能型球员的代表人物。 21、博格坎普（1969年生，荷兰，前锋或前卫）当今最具创造性的球星之一，每次大赛都表现出色。 22、佐夫（1942年生，意大利，守门员）欧洲“钢门”。 23、马尔蒂尼（1968年生，意大利，后卫）米兰王朝的见证人，职业球员的典范，二十年如一日，状态之稳定令人难以置信！ 24、科奇士（1929-1979年，匈牙利，前锋）五十年代匈牙利梦之队的主要成员，54年世界杯赛最佳射手。 25、罗纳尔多（1976生，巴西，前锋）足坛“外星人”，26岁即三次成为“世界足球先生”。 26、马特乌斯（1961年生，德国，前卫或后卫）90年世界杯得主，德国足球的象征。 足球比赛排名问题 足球比赛排名问题 摘要 本文利用层次分析法构建了一个为足球排名次的数学模型．它首先判断用来排名次的数据是否充分,并在能够排名次时对数据的可依赖程度做出估计,最后给出名次.并且本文证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序. 本文构建的模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象．本文还证明了模型的稳定性,保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动．本模型比较完满地解决了足球队排名次问题,并且经过简单修改,它可以适用于任何一种对抗型比赛的排名,模型得到推广. 关键词：足球排名层次分析法模型稳定性分析 目录 摘要……………………………………………………………… 第1章绪论………………………………………………………… 1.1 出题背景………………………………………………… 1.2 题目特点…………………………………………………第2章模型………………………………………………………… 2.1 问题提出…………………………………………………… 2.2 问题分析………………………………………………… 2.3 模型假设………………………………………………… 2.4 符号表示………………………………………………… 2.5 模型建立与求解…………………………………………… 2.5.1 模型设计……………………………………………… 2.5.2 结果检验………………………………………………结论…………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………致谢…………………………………………………………………附录………………………………………………………………… 模糊分析法解足球队排名问题 摘要：本文解答了93年全国大学生数学建模竞赛B题，运用模糊聚类分析法，讨论了足球队比赛的排名问题。首先，我们将数据进行预处理，求出每队的胜,负,平以及总场数，归一化处理后作为建模的影响因子，然后由相似系数构建模糊相似矩阵，最后构建模糊等价矩阵截取进行排名，并将得到的结果从12支队推广到了N支队的情况。本文中所用的方法经过验证，得到的结果合理，可信。 关键词：模糊分析法，相似系数，比赛排名 一问题分析 根据题目所给的表格，我们能得到的数据是残缺和不整齐对称的，这样就给排名造成了困难。例如在图表中，T1队和T2队打了三场比赛，和T5只打了一场比赛，和T11没打比赛。这样如果只是单纯的利用胜利的场数来进行排名，所得到的结果必定是不完善的，同时也是不准确的。因此为了得到较完善的结果，我们可以先将每个队所参加的比赛中，胜，负和平的场数列表如下，得到每个队实力的大概了解。 表一 场数 队T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 胜10 5 8 1 2 2 13 6 7 6 1 2 负 5 4 4 12 5 3 1 8 8 5 6 3 平 4 6 3 6 2 0 3 3 2 6 2 4 总19 15 15 19 9 5 17 17 17 17 9 9 接着，我们分析各队在每场比赛中的平均进球数，失球数和进失球数差数，这些数据也有助于我们进一步了解各队的实力。列表如下： 表二 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 进球数1.41 2 0.8 1.33 3 0.63 2 1 0.6 2.05 9 0.94 1 0.64 7 0.88 2 0.77 8 0.66 7 失球数0.94 1 0.66 7 0.8 1.68 4 1.44 4 1.2 0.58 8 0.82 4 1 1 1.55 6 1 进失球差0.47 1 0.43 3 0.53 3 -1.05 2 -0.44 4 -0.6 1.47 1 0.11 8 -0.35 3 -0.11 8 -0.77 8 -0.33 3 通过表一，二的分析，我们可以确定T7是最好的，T4是最差的，但是对于其他的球队仅以上述数据还是无法得出准确可信的排名。 为了得出合理可信的排名，我们还应该考虑，Ti与其余各队的比赛成绩，由于有的对和其余的对没有比赛，其成绩难以确定。为了解决这个难题，我们准备先制定一个规则，为各队定义一组特征数据，同时计算各队之间的模糊相似度。最后综合表一二，即可得出合理的排名出来。 二模型假设足球队排名次
数学建模解决有关足球队排名问题
历届国际足联世界足球先生前三名名单
中国足球现状原因及对策 (1)
足球队排名次
世界上排名前10位的足球俱乐部
足球比赛的排名方式
足球100名人(排名不分先后)
足球明星前100名排行榜
足球比赛排名问题
模糊分析法解足球队排名问题-数学建模