二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)
知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
２、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法：
（１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴
（２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3，
（１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；
（２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积:
（3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0
知识点二：二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
(1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，
（2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程
02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果
没有交点,则不能这样表示。
（3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。
【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。
【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝）
（2)a 的取值范围是 ?
【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( )
A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当a
b x 2-
=时,a
b a
c y 442-=最值
。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤,那么，首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a
b
2-时，a b ac y 442-=最值;若不在此范围内,则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围
内的增减性，如果在此范围内,y 随x 的增大而增大,则当2x x =时,c bx ax y ++=22
2
最大,当1x x =时，c bx ax y ++=121最小;如果在此范围内,y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当
2x x =时,c bx ax y ++=22
2最小。
【例1】 已知二次函数的图像（0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是( )
A ．有最小值0，有最大值３??
B ．有最小值－1,有最大值0 C.有最小值-１,有最大值3 ? D.有最小值-1,无最大值
【例2】 某宾馆有５0个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天l ８0元时,房间会全部住满. 当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每 天支出20元的各种费用．根据规定,每个房间每天的房价不得高于３40元．设每个房间的房价每天增加x 元(ｘ为10的正整数倍)．
(1)设一天订住的房间数为ｙ,直接写出y 与ｘ的函数关系式及自变量x 的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?
O
-x
y
1
3
2 3
1、二次函数的性质
2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：
a 表示开口方向:a >０时,抛物线开口向上
a ＜0时，抛物线开口向下
b 与对称轴有关：对称轴为ｘ＝a
b 2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标:(０,c )
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当?>0时，图像与x 轴有两个交点; 当?=0时，图像与x 轴有一个交点; 当?＜0时,图像与ｘ轴没有交点。
【例１】 抛物线y=x 2-2ｘ-3的顶点坐标是 ．
【例2】 二次函数有( )
A ． 最大值 Ｂ. 最小值? Ｃ. 最大值 D. 最小值
【例3】 由二次函数，可知( ） A.其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线 Ｃ.其最小值为1 D.当时,y 随x 的增大而增大
【例4】 已知函数的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．
B. ??
C.且? ?
D.且
【例5】 下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是( ）.
A.y = x 2 ?Ｂ．ｙ = x －1 ?C. y = 错误! ｘ ?D.y = 错误!未定义书签。
【例６】 若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范围是( ）
522-+=x x y 5-5-6-6-1)3(22+-=x y 3-=x 3 A ．＝ｌ B ．＞l Ｃ．≥ｌ D.≤l 知识点五、二次函数图象的平移 ① 对于抛物线y=ａx ２+ｂx ＋c 的平移 通常先将一般式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则 化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时,要减去顶点的横坐标,加上顶点的纵坐标。 ② c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m （m>0）个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2） ③ 当然，对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它化为顶点式 c bx ax y ++=2:向左（右)平移m (m ＞０）个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 【例1】 将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A ． B. C. D ． 【例2】 将抛物线y=x ２－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是___＿___. 【例３】 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移３个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移３个单位 C.先向右平移2个单位，再向下平移３个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 【补】抛物线y ＝2ｘ2-３x-7在x 轴上截得的线段的长度为＿__＿______＿___ 【公式】抛物线ｙ=ａx 2+bx ＋c 在x 轴上截得的线段的长度为_＿__＿_＿＿_＿__＿_ 知识点六：抛物线c bx ax y ++=2中, ａ、b 、c 的作用 （1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴；② 0>a b (即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0 b （即a 、b 异m m m m 2y x =-2(2)y x =-+22y x =-+2(2)y x =--22y x =--2y x =()2 23y x =+- 号）时，对称轴在y 轴右侧.口诀－--左同,右异 (a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧） (3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置． 当0=x 时，c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（０,c ）： ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴; ③0 0 b . 【例1】 如图为抛物线的图像,A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =O Ｃ=１,则下列关系中正确的是( ) A.ａ＋b=－１ B ．a-b=-1 C.b<2ａ Ｄ．ａc<0 【例2】 已知抛物线y ＝a ｘ2＋ｂｘ＋ｃ(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) Ａ．a>０ B ．b<０ C.c<0 D ．a ＋ｂ＋c ＞０ 【例3】 如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1） ;（2）c ＞１；(3）2a -b ＜0;(4）a ＋b +ｃ<０。你认为其中错误．． 的有( ） A.２个 B.3个 ?Ｃ.4个 ?D ．1个 【例４】 如图,二次函数y=ax ２+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交,其顶点坐标为，下列结论: ①ac ＜0;②a+b ＝0；③4ac －ｂ2=4a ；④ａ+b+c<０.其中正确的个数是（ ） Ａ． １ B. ２ Ｃ. ３ D. 4 【例5】 如图，是二次函数 y=ax 2+bx+c （ａ≠0）的图象的一部分,给出下列命题 :①a+ｂ＋c=０； ②b>2a ；③ax 2+bx+c=0的两根分别为－3和1；④a-２b+c ＞０.其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号） 【例6】 如图,平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( ） A.m ＝n ，ｋ＞h Ｂ．m =n ,ｋ 2y ax bx c =+ +2y ax bx c =++240b ac ->1,12?? ??? Ｃ．m ＞ｎ，k ＝h D.m 知识点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式 1、两点间距离公式:如图:点Ａ坐标为(ｘ1,ｙ１)，点B 坐标为（x ２，y ２),则AB 间的距离，即线段ＡB 的长度为 () ()2 212 21y y x x -+- (这实际上是根据勾股定理得出来的） 2、中点坐标公式：如图,在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为 ， ，中点的坐标为．由,得, 同理，所以的中点坐标为. 3、两平行直线的解析式分别为：y=k １x+b 1,y=k ２x ＋b ２，那么k 1＝k ２，也就是说当我们知道一条直线的k 值,就一定能知道与它平行的另一条直线的ｋ值。 4、两垂直直线的解析式分别为：y=k 1x ＋ｂ1,ｙ=k 2x+b ２,那么k 1×k 2=-1,也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的ｋ值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解) 以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚” 【例1】 如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2ｘ+３与ｘ轴交于Ａ．B 两点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点. (1)求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标; （2)点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线ｌ∥AC 交抛物线于点Q,试探究:随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A.P 、Ｑ、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）请在直线ＡC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出Ｍ点的坐标． A B 11()A x y ，22()B x y ，AB P ()p p x y ，12p p x x x x -=-12 2 p x x x +=122p y y y += AB 1212()22 x x y y ++， 1 y 【例2】 如图,已知抛物线y=﹣ｘ２+bx ＋c 与一直线相交于A(﹣1,0)，C （2,3）两点,与y 轴交于点N.其顶点为D.（1)求抛物线及直线AC 的函数关系式; (2）设点M(3,m),求使M Ｎ＋ＭD 的值最小时m 的值； (3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B,E 为直线ＡC 上的任意一点,过点Ｅ作EF ∥BD 交抛物线于点F,以B,D,E ，Ｆ为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E 的坐标;若不能，请说明理由； （4)若P 是抛物线上位于直线ＡC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值． 【例3】 如图,抛物线42 3 412--= x x y 与x 轴交于A,B 两点（点B 在点A 的右边),与y 轴交于C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点Ｐ是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为(m ，0），过P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q 。 （1）求点Ａ、B 、C 的坐标； (２）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、B Ｃ于点M 、N 。试探究m 为何值时,四边形ＣＱＭD 是平行四边形，此时，请判断四边形C ＱB Ｍ的形状，并说明理由。 【练习】 1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 ｍ,则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如右图所示)() Ａ．1.5 m Ｂ．１．6２5 ｍＣ．１.66ｍ D.1.67m 2、已知函数 ()() ()() 2 2 113 513 x x y x x ?-- ? =? -- ?? ≤ ＞ ,则使y＝ｋ成立的x值恰好有三个，则k的值为（) Ａ．0 B.1?C.2?Ｄ．3 3.二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示,则反比例函数 a y x =与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( ). 4.如图，已知二次函数c bx x y+ + =2的图象经过点(-1,0），（１，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是． x y O 1 1 （1,-2） c bx x y+ + =2 -1