有界解析函数的n阶导数估计

有界解析函数的n阶导数估计

戴绍虞1,2,潘一飞3,4

【摘 要】摘要: 本文研究了有界解析函数的n阶导数估计.利用有界解析函数泰勒展开式的系数估计，得到了n阶导数估计的一般式,改进了已有的相关结果.

【期刊名称】数学杂志

【年(卷),期】2010(030)002

【总页数】7

【关键词】关键词:有界解析函数;导数估计

1 引言

设?(z)在|z|＜1内解析，且|?(z)|＜1，则由Schwarz引理可知如下不等式

1984年，文献[1]得到了二阶与三阶导数的估计式.当?(z)满足上述条件时，则

随后，文献[2]将结果推广至n阶导数的一般估计式|?(n)(z)|其中

I(n,0)=1,I(n,1)=n??k,m?k);m≤n?1,m= 1,2,···,n?1.

本文目的在于讨论有界解析函数n阶导数的估计式，主要结果如下.

定理1.1 设?(z)在|z|＜1内解析，且|?(z)|＜1，则

其中A2m+1=1?|c0|2?···?|cm|2，A2m+2=1?|c0|2?···?|cm|2，m=0,1,2,···,

推论1.1 设?(z)在|z|＜1内解析，且|?(z)|＜1，则

推论1.2 设?(z)在|z|＜1内解析，且|?(z)|＜1，则当n≥3时有

此外，我们应用定理证明中所用到的引理，得到了比Bohr定理更精确的估计.

2 定理及推论的证明

为便于叙述，以下记B={?(z):?(z)在D上解析，且|?(z)|＜1}，其中D为单位圆.定理1.1的证明需要下面两个引理.

引理2.1(见文献[3])设f(z)∈B，H(D)={D上全体解析函数}，记H′(D)为H(D)上的线性泛函空间.则对H′(D)上的任何线性泛函L有下面的不等式成立

其中L2表示L2(?)=L(L(?))，?=?(z,ζ)关于z解析，且关于ζ解析；|L|2表示关于z解析，且关于解析.引理2.2 (见文献[3])设f(z)∈B，若则当n≥0时有