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北京市海淀区年高三一模数学(理科)试卷及标准答案

北京市海淀区年高三一模数学(理科)试卷及答案

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海淀区高三年级第二学期期中练习

数学（理科）

2018. 4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{0,},{12}A a B x x ==-<< | ，且A B ?，则a 可以是 (A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 2

（2）已知向量(1,2),(1,0)==-a b ，则+2=a b (A) (1,2)- (B) (1,4)- (C) (1,2) (D) (1,4)

（3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A) 2 (B) 6 (C) 8 (D) 10

（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为,M 且(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为

(A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 2-

（5）已知a ，b 为正实数，则“1a >，1b >”是“lg lg 0a b +>”的( )

(A)充分而不必要条件

(B) 必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D) 既不充分也不必要条件

（6）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是

(A) 1

(B)

(C)

(D)

（7）下列函数()f x 中，其图象上任意一点(,)P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是 (A) 3()f x x = (B) ()f x x = (C) ()e 1x f x =- (D) ()ln(1)f x x =+

（8）已知点M 在圆221:(1)(1)1C x y -+-=上，点N 在圆22

2:(1)(1)1C x y +++=上，

则下列说法错误的是

（A ）OM ON ?u u u u r u u u r

的取值范围为[322,0]--

（B ）||OM ON +u u u u r u u u r

的取值范围为[0,22]

（C ）||OM ON -u u u u r u u u r

的取值范围为[222,222]-+

（D ）若OM ON λ=u u u u r u u u r

，则实数λ的取值范围为[322,322]---+

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数

=+ ______. （10）已知点(2,0)是双曲线:C 2

221x y a

-=的一个顶点，则C 的离心率为_______.

（11）直线2x t y t =??=?（t 为参数）与曲线2cos sin x y θ

θ=+??=?

（θ为参数）的公共点个数为_______.

（12）在ABC ?中，若2,3,6

c a A π

==∠=

，则sin _______,cos 2_______.C C == （13）一次数学会议中，有五位教师来自,,A B C 三所学校，其中A 学校有2位，B 学校有2位，C 学校有1位。现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有_______种不同的站队方法. （14）已知()3

,3,.

x x a f x x x x a ?=?

② 当2a -?时，则满足()()13f x f x +->-的x 的取值范围是__________．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+- （Ⅰ）求()6

f π

的值；

（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.

（16）（本小题13分）

流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播. 科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度。

第一季度

第二季度

第三季度

第四季度 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月

甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 72%

59%

乙地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70%

a% b%

（Ⅰ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；

（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）若108a b +=，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ，求M 的最大值和最小值.（只需写出结论）

（17）（本小题14分）

已知三棱锥P -ABC （如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 为边长为2 的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．在三棱锥P -ABC 中：（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A -PC -B 的余弦值；（Ⅲ）若点M 在棱PC 上，满足

CM CP =λ，1233,??

λ∈????

，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，

求

的取值范围. (图2)

(图1)

（18）（本小题13分）

已知函数ln ()x

f x x a

+ （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当0a >时，若函数()f x 的最大值为21

，求a 的值. （19）（本小题14分）

已知椭圆C ：()222210x y a b a b

+=>>的离心率为3

2，且点()2,1T 在椭圆上.设与

OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，直线,TP TQ 分别与x 轴正半轴交于,M N

两点.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）判断OM ON +的值是否为定值，并证明你的结论. （20）（本小题13分）

设1,11,2

1,2,12,22,,,1,2

,()

n n i j n n

n n n n a a a a a a A a a

a a ???

?== ? ? ???

L L M M O M L

是由1，2，3，…，2n 组成一个n 行n 列的数表（每个数恰好出现一次），2n ≥且*n ∈N .

若存在1i n ≤≤，1j n ≤≤，使得,i j a 既是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值，则称数表A 为一个“N -数表”，,i j a 为数表A 的一个“N -值”.

对任意给定的n ，所有“N -数表”构成的集合记作n Ω.

（Ⅰ）判断下列数表是否是“N -数表”.若是，写出它的一个“N -值”

123456789A ??

= ? ?

，147825693B ?? ?= ? ???；

（Ⅱ）求证：若数表A 是“N -数表”，则A 的“N -值”是唯一的；

（Ⅲ）在19Ω中随机选取一个数表A ，记A 的“N -值”为X ，求X 的数学期望

()E X .

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学(理)参考答案与评分标准 2018.4

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

题号 9 10

11 12

答案

1+i 52

48 (3,3]-

1x >-

注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。

三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。 15. （本题满分13分）（Ⅰ）2

()23sin

cos

2cos 16

f ππ

=+-

32321222??=??+?- ? ???

2= ·

··································································· 3分（Ⅱ）()3sin 2cos 2f x x x =+

2sin(2)6

x π

因为函数sin y x =的单调递增区间为2,22

2k k π

πππ??

???

（k ∈Z ），

令2222

k x k π

ππ-

≤+

（k ∈Z ），

解得 3

k x k π

ππ-

≤≤+

（k ∈Z ），

故()f x 的单调递增区间为[,]36

k k π

ππ-+（k ∈Z ） ···························· 13分

16. （本题满分13分）

（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用i A 表示事件抽取的月份为第i 月，则

123456789101112{,,,,,,,,,,,}A A A A A A A A A A A A Ω=共12个基本事件， 26891011{,,,,,}A A A A A A A =共6个基本事件，所以，61

()122

P A =

=. ·

··································································· 4分（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2.

242662(0)155C P X C ===

=，1124268(1)15C C P X C ===，22261

(2)15

C P X C === 随机变量X 的分布列为

X 0

815

115

（Ⅲ）M 的最大值为58%，最小值为54%. ················································· 13分

17.（本题满分14分）（Ⅰ）方法1：

A B

设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意

2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===

因为在PAC ?中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥，

因为在POB ?中，1PO =，1OB =，2PB =

所以 PO OB ⊥

因为 AC OB O =I ，,AC OB ?平面ABC 所以 PO ⊥平面ABC

因为 PO ?平面PAC ·

································································ 4分

所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：

A B

设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .

因为在PAC ?中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥，

因为 PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==

所以 POA ?≌POB ?≌POC ? 所以 90POA POB POC ∠=∠=∠=? 所以 PO OB ⊥

因为 AC OB O =I ，,AC OB ?平面ABC 所以 PO ⊥平面ABC

因为 PO ?平面PAC ································································· 4分所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：

A B

设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ?中，PA PC =，所以 PO AC ⊥

设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ?中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以 OQ AB ⊥.

因为在PAB ?中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以 PQ AB ⊥.

因为 PQ OQ Q =I ，,PQ OQ ?平面OPQ 所以 AB ⊥平面OPQ

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

朝阳区高三期末试题及答案(数学理)

北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科） 2011.1 （考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．设全集U R =，{ |(2) 0 }A x x x ，{ |ln(1) }B x y x ，则U ()A B C 是（A ）2, 1-（）（B ）[1, 2) （C ）(2, 1]- （D ）1, 2（） 2．要得到函数sin 24 y x π =- （）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移4π 单位（B ）向右平移 4π 单位（C ）向右平移8 π 单位（D ）向左平移8 π 单位 3．设，，是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题 ①若，，则γα⊥； ②若l 上两点到α的距离相等，则α//l ； ③若l ，// l ，则； ④若 //，l ，且//l ，则// l . 其中正确的命题是（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ (D)③④ 4．下列函数中，在(1, 1)内有零点且单调递增的是（A ）12 log y x （B ）2 1x y （C ）2 1 2 y x (D) 3y x

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<