二次函数的最值问题(中考题)(含答案)

典型中考题（有关二次函数的最值）

屠园实验 周前猛

一、选择题

1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )

A. a

B.a=b C a>b D 不能确定

答案：C

2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）

A 、-

74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74

答案：C

∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.

当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2

765

y x 416??=-++ ???

此时，它在－

2≤x≤l 的最大值是

65

16

，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.

当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－

2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.

综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ．

3． 已知0≤x≤

1

2

，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6

答案：C

解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而

增大．又∵0≤x≤1

2

，∴当x=

1

2

时，y取最大值，y最大=-2（

1

2

-2）2+2=-2.5．故选：C．

4、已知关于x的函数.

下列结论：

①存在函数，其图像经过（1,0）点；

②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；

③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

真确的个数是（）

A,1个B、2个 C 3个D、4个

答案：B

分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；

②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；

③根据二次函数的增减性，即可作出判断；

④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求

出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.

解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，

解得：k=0．运用方程思想；

②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；

③假，如k=1，

b5

-=

2a4

，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；

④真，当k=0时，函数无最大、最小值；

k≠0时，y最=

22

4ac-b24k+1

=-

4a8k

，

∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；

当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．

二、填空题：

1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是

答案：12

2、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是

答案：4、4，8

解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0

=- (x-4)2+8

∴当x=4时，S最大=8.

及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.

-≤≤的最大值与最小值分别是

3、函数y=2（0x4）

答案：2,0

最小值为0，当4x-x2最大，即x=2最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为0

4、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为

答案：0

解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.

5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．

三、解答题：

1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本

的百分率为x

⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；

⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值

⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）

解：（1）()x -150 ⑵

()5.9501502

-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x

而()()2

150160x x y ---=

＝1040502

++-x x

＝

()184.0502

+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）

说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：

若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。 若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。

2、如图，二次函数的图象经过点D(0，

3

9

7

)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截

得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣h）2+k

∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）

∴y=a（x﹣4）2+k，=16a+k①

又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6

∴A（1，0），B（7，0）

∴0=9a+k②

由①②解得a=，k=﹣

∴二次函数的解析式为：y=（x﹣4）2﹣

（2）∵点A、B关于直线x=4对称

∴PA=PB

∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值

∴DB与对称轴的交点即为所求点P

设直线x=4与x轴交于点M

∵PM∥OD，

∴∠BPM=∠BDO，

又∠PBM=∠DBO

∴△BPM∽△BDO

∴

∴

∴点P的坐标为（4，）

（3）由（1）知点C（4，），

又∵AM=3，

∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，

∴∠ACM=60°，

∵AC=BC，

∴∠ACB=120°

①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°∴QN=3，BN=3，ON=10，

此时点Q（10，），

如果AB=AQ，由对称性知Q（﹣2，）

②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，

此时点Q的坐标是（4，），

经检验，点（10，）与（﹣2，）都在抛物线上

综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC

点Q的坐标为（10，）或（﹣2，）或（4，）．

3、如图，抛物线经过

(40)(10)(02)

A B C-

，，，，，三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x

⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC

△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA

△的面积最大，求出点D的坐标．

解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），

∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，

将A（4，0），B（1，0）代入，

得，

解得，

∴此抛物线的解析式为；（2）存在，

如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为

，

当1＜m＜4时，AM=4-m ，，∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①当时，

△APM∽△ACO，

即4-m=2 ，

解得m1=2，m2=4（舍去），

∴P（2，1）；

②当时，

△APM∽△CAO，

即，

解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去），

∴当1＜m＜4时，P（2，1），

类似地可求出当m>4时，P（5，-2），

当m<1时，P（-3，-14），

综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；

（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D 点的纵坐标为，

过D作y 轴的平行线交AC于E，

由题意可求得直线AC 的解析式为，

∴E 点的坐标为，

∴

∴

∴当t=2时，△DAC的面积最大，

∴D（2，1）。

4如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF．

（1）求线段EF的长；

（2）设EG=x，△AGE与△CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．

5．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．

(1)求证：MN∥AB；

(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．

（1）由题中条件可得△ACE ≌△DCB ，进而得出△ACM ≌△DCN ，即CM=CN ，△MCN 是等边三角形，即可得出结论；

（2）可先假设其存在，设AC=x ，MN=y ，进而由平行线分线段成比例即可得出结论． 解答

（1）证明：∵△ACD 与△BCE 是等边三角形， ∴AC=CD ，CE=BC ， ∴∠ACE=∠BCD ， 在△ACE 与△DCB 中， ∵AC=CD ∠ACE=∠BCD CE=BC

∴△ACE ≌△DCB （SAS ），

∴∠CAE=∠BDC ， 在△ACM 与△DCN 中， ∵∠CAE=∠BDC AC=CD

∠ACM=∠DCN

∴△ACM ≌△DCN ， ∴CM=CN ，

又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°， ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC=∠NCB=60° 即MN ∥AB ；

（2）解：假设符合条件的点C 存在，设AC=x ，MN=y ，

6、如图，在ABC ?中，∠A 90=°，10=BC , ABC ?的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '?与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.

（1）．用x 表示?ADE 的面积; （2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）．求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式；

（4）．当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

解:(1) ∵ DE ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C

∴△ADE ∽△ABC ∴2

)(BC

DE S S ABC ADE =??

即

2

41

x S ADE =? (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5

∴当0﹤5≤x 时

2

41

x S y ADE ==? （3）x ≤5﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S △A'DE =S △ADE =241x

∴DE 边上的高AH=AH'=x 21 由已知求得AF=5

∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN ∽△A'DE 知 2

DE A'MN A')H

A'F A'(=??S S 2

MN A')

5(-=?x S

∴25

1043

)5(41222-+-=--=x x x x y

（4）在函数

2

41x y =中 ∵0﹤x ≤5 ∴当x=5时y 最大为：425

在函数25

1043

2-+-=x x y 中

当

3202=

-=a b x 时y 最大为：325 ∵425﹤325

C

B

A

∴当320=

x 时，y 最大为：325

7、如图，抛物线22

12

-+=

bx x y 与x 轴交于A 、B 两点，与Y 轴交于C 点，

且A （－1，0）。

（1）求抛物线的解析式及顶点Ｄ的坐标

（2）判断△ＡＢＣ的形状，证明你的结论。 （3）点Ｍ（m ，0）是Ｘ轴上的一个动点， 当ＭＣ+ＭＤ的值最小时，求m 的值

解：（1）将A （－1，0）代入22

12

-+=bx x y

得23-=b ，所以抛物线的解析式22

3

212--=x x y 配方得：825)23(212--=x y ，所以顶点D ??

? ??-825,23 （2）求出AC=5，BC=20，而AB=5 ∴222AB BC AC =+，故△ＡＢＣ为RT △ （3）作点C 关于X 轴的对称点E （2，0），

连接DE 交X 轴于点M ，通过两点式可求得直线DE 的

解析式：21241+-=x y ，当y =0时，解得x =41

24

∴Ｍ（4124，0）即m=41

24

8．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （12，5

2

）和B

（4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．

分析：

（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．

（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P

点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．

（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．

解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，

∴m=4+2=6，∴B（4，6），

∵A（1

2

，

5

2

）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，

∴5

2

=（

1

2

）2a+

1

2

b+6，6=16a+4b+6

解得a=2，b=-8

∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2-8n+6），∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6），

=-2n2+9n-4，

=-2（n-9

4

）2+

49

8

，

∵PC＞0，∴当n=9

4

时，线段PC最大且为

49

8

（3）∵△PAC为直角三角形，

i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．

由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；

ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．

如答图3-1，过点A（1

2

，

5

2

）作AN⊥x轴于点N，则ON=

1

2

，AN=

5

2

过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，

∴MN=AN=5

2

，∴OM=ON+MN=+

5

2

=3，

∴M（3，0）．

设直线AM的解析式为：y=kx+b，

则：1

2

k+b=

5

2

，3k+b=0，解得k=-1，b=3

∴直线AM的解析式为：y=-x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2-8x+6 ②

联立①②式，解得：x=3或x=1 2

（与点A重合，舍去）

∴C（3，0），即点C、M重合．当x=3时，y=x+2=5，

∴P

1（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2-8x+6=2（x-2）2-2，

∴抛物线的对称轴为直线x=2．

如答图3-2，作点A（1

2

，

5

2

）关于对称轴x=2的对称点C，

则点C在抛物线上，且C（7

2

，

5

2

）

当x=7

2

时，y=x+2=

11

2

，

∴P

2（7

2

，

11

2

）．

∵点P

1（3，5）、P2（

7

2

，

11

2

）均在线段AB上，

∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（7

2

，

11

2

）。

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】

中考二次函数压轴题经典题型

中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．

初三数学 二次函数的大题

二次函数与四边形 一．二次函数与四边形的形状 例 1.（浙江义乌市）如图，抛物线y = x2-2x-3与 x 轴交A、B两点（A点在 B 点左侧），直线l 与抛物线交于 A、C两点，其中 C 点的横坐标为 2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P 是线段AC上的一个动点，过P点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值；A （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 例 1.解：（1）令y=0，解得x =-1或x = 3 ∴A（-1，0）B（3，0）； 将 C 点的横坐标x=2 代入y = x2- 2x - 3得y=-3，∴ C（2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（（x, x -2x -3）∵P 点在E 点的上方，PE= （-x -1）- （x - 2x - 3）= - x + x + 2 19 ∴当x= 1时，PE的最大值= 9 3)存在4 个这样的点 F，分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+ 7，0),F4(4- 7,0) 7 练习1.（河南省实验区） 23．如图，对称轴为直线x = 7的抛物线经过点 A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E x= A(6,0) x

中考数学二次函数-经典压轴题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），

(完整版)初三数学二次函数较难题型

一、二次函数解析式及定义型问题 （ 顶点式中考要点 ） . 把二次函数的图象向左平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位， 所得到的图象对应的二次函数关系式是 y （x 则 b 、 c 的值为 10. 抛物线 y x 2 ax 4的顶点在 X 轴上，则 a 值为 11. 已知二次函数 y 2（x 3）2 ，当 X 取 x 1和 x 2时函数 值相等，当 X 取 x 1+x 2时函数值为 12. 若二次函数 y ax 2 k ，当 X 取 X1 和 X2（ x 1 x 2）时函数值相 等 , 则当 X 取 X1+X2时，函数值为 13. 若函数 y a （x 3）2 过（２ . ９）点，则当 X ＝４时函数值 Y ＝ 14. 若函数 y （x h ）2 k 的顶点在第二象限则， h 0, k 0 15. 已知二次函数当 x=2 时 Y 有最大值是１ . 且过（３ . ０）点求解析式？ 17. 已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为６ 二、一般式交点式中考要点 18. 如果抛物线 y=x 2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3, 那么 c 的值等于（ ） （A ） 8 （B ） 14 （C ） 8 或 14（ D ）-8 或 -14 19. 二次函数 y=x 2-（12-k ）x+12, 当 x>1 时， y 随着 x 的增大而增大， 当 x<1 时， y 随着 x 的增大而减小， 则 k 的值应取 （ （A ） 12 （ B ）11 （ C ）10（D ） 9 20. 若 b 0 ，则二次函数 y x 2 bx 1的图象的顶点在 （ A ） （ A ）第一象限（ B ）第二象限 （ C ）第三象限（ D ）第四象限 21. 不论 x 为何值 , 函数 y=ax 2+bx+c （a ≠ 0） 的值恒大于 0 的条件是 （ ） A.a>0, △ >0 B.a>0, △ <0 1)2 则原 . 如果函数 y （k 3）x k2 . （ 08 绍兴）已知点3k 2 y 1 ) ， 2， 1 ），形状开品与抛物线 y= - 2x 2相同，这个函数解析式为 kx 1 是二次函数 , 则 k 的值是 _ .( 兰州 A ．若 y 1 B ．若 C ．若 x 1 0 y 2，则 x 1 x 2，则 x 2 y 2 D ．若 x 1 10） 抛物线 x 1 x 2 x 2 ，则 y 1 y 2 y 1 b y 2 c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位， 所得图像的解析式为 y 2x 3， A . b=2 C . b= -2 . 抛物线 c=2 ， c=-1 (m 1)x 2 ax B. b=2 D. b= -3 c=0 ， (m 2 3m 4）x 5以 Y 轴为对称轴则。 M ＝ 8. 函数 y (a 5)x a 2 a 4a 5 的图象顶点在 Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则 m 的取值范围 5 2x 9. 抛物线 y （3x 1）2 当 x 时， 1 , 当 a ____ 时 , 它是一次函数 ; 当 a 时 , 它是二次函数 . 16. 将 y 2x 2 12x 12 变为 y a(x 2 m ） n 的形式，则 m . 且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写）

中考二次函数大题综合训练(附答案)

2 1、如图，抛物线 y x bx c 与x 轴交与A （1,0）,B （- 3 ，0）两点， （1 ）求该抛物线的解析式； （2 ）设（ 1 ）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在 点 Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请 说明理由 . 2、（2009 年兰州） 如图 17 ，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式； （3）若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB ， 使 C 、D 点在抛物线上， A 、B 点在地面 OM 上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 二次函数综合训练 6 米， 底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点， OM

y 3 x 6 y 5x 3、如图，直线4分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，直线4与AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D．点 E从点 A 出 发，以每秒 向左运动．过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于 P、Q 两点， 形 PQMN ，设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面 积为 运动时间为 t （秒）． 1 ）求点 C 的坐 标．（ 1 分） 2）当 0

(完整版)初中数学二次函数综合题及答案

二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y

北师大版中考复习二次函数经典总结及典型题

二 次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

)2 h k +方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点

初三数学二次函数的最值问题一(线段和周长最值)

二次函数的最值问题（一） 【课题】二次函数的最值问题 _____ 分校______年级讲师：_____ 授课时间：____年____月___日 【学习目标】 1、二次函数多与线段长度最值，多边形的周长，面积最值结合综合考查 2、掌握分类讨论思想，数形结合思想在二次函数中的应用 3、学生应具备基本的计算能力，待定系数法求解析式的步骤，利用参数发表示长度或面积的表达式。 【知识回顾】 1、表示图形面积的方法：直接代公式，分割法、补全法等。 2、常用到的公式：两点坐标距离公式，中点坐标公式。 3、线段最短问题涉及到的知识点是做对称 【新知点击】 考点一最大（小）值何处取得： （1）二次函数的一般式 c bx ax y ++=2(0≠a ) 化成顶点式 a b ac a b x a y 44)2(2 2-++=， 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）． 即当0>a 时，函数有最小值，并且当 a b x 2-=，a b ac y 442-=最小值； 当0

中考二次函数压轴题及答案

二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围．

2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线 段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标．

二次函数经典中考试题(含答案)

二次函数经典中考试题（含答案） —、解答题（共30小题） 1. （2013?武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物 分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表） ： 温度 x/C … -4 - 2 0 2 4 4.5 … 植物每天高度增长量 y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度x 的函数，且这种函数是反比例函 数、一次函数和二次函数中的一种. （1） 请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理 由； （2） 温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3） 如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm ，那么 实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果. 2. （2013?莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛 （花坛为轴对称图形）.矩 形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形 ABCD 的边长AB=4米，/ ABC=60 °设AE=x 米 （0v x V 4），矩形EFGH 的面积为S 米2. （1） 求S 与x 的函数关系式； （2） 学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草?已知红色花草的价格为 20元咪2,黄色花草的价格为40元咪2?当x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求 出最低总费用（结果保留根号）？ y 的二元一次方程组 （1） 若a=3.求方程组的解； （2） 若S=a （3x+y ），当a 为何值时，S 有最值. 4. （2013?南宁）如图，抛物线 y=ax 2+c （a 旳）经过C （2，0），D （0，- 1）两点，并与直 线y=kx 交于A 、B 两点，直线I 过点E （0，- 2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点M 、N . （1） 求此抛物线的解析式； （2） 求证：AO=AM ； （3） 探究： ①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时 的值； 3. （2013?资阳）在关于 x ，

初中数学二次函数经典综合大题练习卷

1、如图9（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过A （-1，0）、B （0，3）两点， 与x 轴交于另一点C ，顶点为D ． （1）求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标； （2）经过点B 、D 两点的直线与x 轴交于点E ，若点F 是抛物线上一点，以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标； （3）如图9（2）P （2，3）是抛物线上的点，Q 是直线AP 上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标． 2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y 2与投资成本x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资成本的单位：万元） 图① 图② （1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式； （2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z 与投入种植花卉的投 资量x 之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

3、如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点 从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿方向以 个单位每秒速度运动，运动时间为．求： （1）的坐标为； （2）当为何值时，与相似？ （3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及 的最大值． 4、如图①，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为，顶点C,D在第一象限．点P从点 A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）求正方形ABCD的边长． （2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P,Q两点的运动速度． （3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标． （4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使∠OPQ=90°的点有个．

二次函数的最值问题(中考题)(含答案)

典型中考题（有关二次函数的最值） 屠园实验 周前猛 一、选择题 1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( ) A. ab D 不能确定 答案：C 2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A 、- 74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74 答案：C ∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2 765 y x 416??=-++ ??? 此时，它在－ 2≤x≤l 的最大值是 65 16 ，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符. 当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－ 2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ． 3． 已知0≤x≤ 1 2 ，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C

解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而 增大．又∵0≤x≤1 2 ，∴当x= 1 2 时，y取最大值，y最大=-2（ 1 2 -2）2+2=-2.5．故选：C． 4、已知关于x的函数. 下列结论： ①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； ③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。 真确的个数是（） A,1个B、2个 C 3个D、4个 答案：B 分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断； ②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假； ③根据二次函数的增减性，即可作出判断； ④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求 出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断. 解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0， 解得：k=0．运用方程思想； ②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法； ③假，如k=1， b5 -= 2a4 ，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法； ④真，当k=0时，函数无最大、最小值； k≠0时，y最= 22 4ac-b24k+1 =- 4a8k ， ∴当k＞0时，有最小值，最小值为负； 当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想． 二、填空题： 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是

二次函数综合应用题(有答案)中考23题必练经典

函数综合应用题 题目分析及题目对学生的要求 1.求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。 需要注意的是： (1) 不能忘记写自变量的取值范围 (2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。 2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。 最值的求法： (1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。 推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x的取值范围。 备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围； 备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。

一、求利润的最值 （2010·武汉）23. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为 每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间 空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天 的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大最大利润是多少元 解：(1) y=5010 1x (0x160，且x 是10的整数倍)。 (2) W=(50101x)(180x20)= 10 1x 234x8000； (3) W= 101x 234x8000= 10 1(x170)210890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0x160， ∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=5010 1x=34。答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元。 （2009武汉）23．（本题满分10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个 月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高 于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元 （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元根据以上结论，请你直接写 出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元 解：（1）2 (21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）； （2）210( 5.5)2402.5y x =--+． 100a =-

中考数学复习指导：解二次函数中三角形面积最值问题

解二次函数中三角形面积最值问题 一、灵割巧补，间接转化求最值 这里的割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解，补是指将所求图形填上一部分然后用补后的图形面积减去所补的部分面积.两种做法的实质都是间接的求出所求图形的面积. 例1 在如图所示的直角坐标系中，有抛物线2424455 y x x =-+.连接AC ，问在直线AC 的下方，是否在抛物线上存在一点N ，使NAC V 的面积有最大值?若存在请求出此值;若不存在请说明理由. 解析 设N 点坐标为2424(,4)55 a a a -+，(0,5)a ∈，如图所示过点A 作直线平行于x 轴，过点N 作直线平行于y 轴，与x 轴交于点F ，与AC 相交于点G ，两直线相交于点D .容易求得直线 AC 的方程445y x =- +，得出G 点坐标(4(,4)5a a -+，求出NG 的长为2445 a a -+，111222 ACN ANG CGN S S S NG OF NG CF NG OC =+=?+?=?V V V 2210a a =-+，故当52a =时三角形面积有最大值252，此时N 点的坐标为5(,3)2-. 点拨 本题中将三角形割开求解的方法在应用中是较为常见的，此种方法也可视为是铅垂法，即三角形的面积等于三角形的水平宽与铅垂高的积的一半，本题中就是演示了整个的推理以及求解过程. 二、直线平移，化为切线求最值 切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，即通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时(此时就是相切)存在长度的极值，借此来直接求出点的坐标.此法不用求出面积的解析式就可直接求解，是解题的新思路. 例2 如图所示，在平面直角坐标系中，有一抛物线2142 y x x =+-，在第三象限的抛物线上是否存在一动点M ，使ABM V 面积存在最大值?若存在，求出最值;若不存在，说明理由.

中考数学有关二次函数大题含答案汇总

中考数学有关二次函数大题 1、（2007天津市）知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点 C （2，8）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标。 2、（2007贵州省贵阳）二次函数 2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如 图1所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程2 0ax bx c ++=的两个根．（2分） （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（2分） （3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（2分） （4）若方程2 ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（4分 3、（2007河北省）如图2，已知二次函数 24y ax x c =-+的图像经过点A （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．

4、（2008?茂名）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣4）、 B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2﹣x1=5． （1）求b、c的值； （2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由． 5、（2008?宁波）如图4，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B． （1）求点A，B，C的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式 ．

2018届重庆中考复习：二次函数相关的最值问题练习(含答案)

二次函数相关的最值问题 2 例1.如图，抛物线y = —x —4x+ 5与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点. 求直线AC的解析式及顶点D的坐标； 若Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA QC求|QA—QC|的最大值及此时点Q的坐标; (3)连接CD点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PE//x轴交直线AC于点 E,作PF//CD交直线AC于点F,当线段PE+ PF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；

⑷在⑶K,连接0L 3问的条件下，将 KH求线段 (5)在⑶+ P' E'+ E 问的条件下，将线段PE沿着直线B取最小值时点E'的坐标.

针对训练 2 1 .如图，直线y= kx + b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A( —4, 0)、B(0 , 3)，抛物线y=—x + 2x + 1与y 轴交于点C. ⑴求直线y = kx + b的解析式； (2) 若点P(x , y)是抛物线y = —x2+ 2x+ 1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标； (3) 若点E在抛物线y = —x2+ 2x + 1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+ EF的最小值.

2 .如图①，已知抛物线y =—身x2+ ^3~x + 3与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴 交于点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD过点D作DH Lx轴于点H,过点A作AEL AC 交DH的延长线于点E. ⑴求线段DE的长度； (2)如图②，试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当△ CPF的周长最小时，△ MPF面积的最大值是多少. ① ②