初中数学竞赛辅导资料(初一用)
初中数学竞赛辅导资料
第一讲数的整除
一、内容提要：
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
能被7整除的数的特征：
①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98（能被7整除）
又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除
如1001100－1＝99（能11整除）
又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）
二、例题
例1已知两个三位数328和9
2x的和仍是三位数7
5y且能被9整除。
求x,y
解：x,y都是0到9的整数，∵7
5y能被9整除，∴y=6.
∵328＋9
2x＝567，∴x=3
例2已知五位数x
1234能被12整除，求x
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，
当1＋2＋3＋4＋x能被3整除时，x=2，5，8
当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8
∴x＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行
调整末两位数为30，41，52，63，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一
1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）
①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
2、若四位数a
987能被3整除，那么a=_______________
3、若五位数1234
x能被11整除，那么x＝__________
4、当m=_________时，5
35m能被25整除
5、当n=__________时，n
9610能被7整除
6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972
中，能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________
9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除
但不是5的倍数的共______个。
10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3
整除的数共有几个？为什么？
11、已知五位数A
1234能被15整除，试求A的值。
12、求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13、在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是______（1989年全国初中联赛题）
第二讲倍数约数
一、内容提要
1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B 的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整
数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。
3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。若用字母表示可记作：A ＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。
例如23＝3×7＋2，则23－2能被3整除。
二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。
解：列表如下
是（m+1）(n+1)
例如求360的正约数的个数
解：分解质因数：360＝23×32×5，
360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）
例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数
解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6
最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360
例3已知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N
解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数
∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6
经检验1和2不合题意，∴N＝6，3
例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数
分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。
解：∵[10,9,8]=360,
∴所以所求的数是359
练习二
1、12的正约数有_________,16的所有约数是_________________
2、分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________
3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4、一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________
5、能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______，最大三位数是________
6、已知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________
7、写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。
8、一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈，要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问
正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？
9、一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶；如果每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果每步跨4阶，那么最后剩3阶；如果每步跨5阶，那么最后剩4阶；
如果每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
第三讲质数合数
一、内容提要
1、正整数的一种分类：
1?
????质数合数
质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
2、根椐质数定义可知
①质数只有1和本身两个正约数。
②质数中只有一个偶数2。
如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；
如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。
3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。
二、例题
例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)，求这两个数。
解：∵两个质数的和等于奇数
∴必有一个是2
所求的两个质数是2和a－2。
例2已知两个整数的积等于质数m, 求这两个数。
解：∵质数m只含两个正约数1和m,
又∵（－1）（－m ）=m
∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.
例3已知三个质数a,b,c 它们的积等于30，求适合条件的a,b,c 的值。 解：分解质因数：30＝2×3×5
适合条件的值共有： ?????===532c b a ，?????===352c b a ，?????===523c b a ，?????===253c b a ，?????===325c b a ，??
?
??===235c b a
应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于
210,即abcd=2×3×5×7，那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来。 例4试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数。 解：（本题答案不是唯一的）
设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5 那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数
即32，33，34，35就是所求的一组数。
本题可推广到n 个。令N 等于不大于n+1的所有质数的积，那么N ＋2， N ＋3，N ＋4，……N ＋（n+1）就是所求的合数。
练习三
1、小于100的质数共___个，它们是__________________________________
2、已知质数P 与奇数Q 的和是11，则P ＝_______，Q ＝_______
3、已知两个素数的差是41，那么它们分别是______________
4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是______________；
如果两个整数的积等于73，那么它们是______________；
如果两个质数的积等于15，则它们是______________。
5、两个质数x 和y ，已知xy=91,那么x=_______,y=_______,或x=_______,y=_______.
6、三个质数a,b,c 它们的积等于1990，那么 ______
____________a b c =??
=??=?
7、能整除311＋513的最小质数是_______
8、已知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99，AB ＝M ，求M 及B
A ＋
A
B 的值。
9、试写出6个连续正整数，使它们个个都是合数。
10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？
11、求适合下列三个条件的最小整数：
①大于1②没有小于10的质因数③不是质数
12、某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，
那么这个质数是_______
13、一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是_______。
第四讲零的特性
一、内容提要
（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。
1、零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支平衡可记作结存0元。
2、零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0
记作a＞0 ?a是正数读作a＞0等价于a是正数
b<0 ? b 是负数
c≥0 ?c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）
d≤0 ?d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)
e≠0 ?e不是0（即e不是0，而是负数或正数）
3、在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，
a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
4、在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|x|≤0，当x＝0时，－|x|值最大，是0（∵x≠0时都是负数）。
2
x
--的值最大，是0。
(2)
--≤0，当x＝2时，2
x
(2)
（二）零具有独特的运算性质
1、乘方：零的正整数次幂都是零。
2、除法：零除以任何不等于零的数都得零；
零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3、乘法：零乘以任何数都得零。即a×0＝0，
反过来，如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4、加法：互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。
即a、b互为相反数?a+b=0
5、减法：两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，
若a-b=0,则a=b；若a-b＞0,则a＞b；若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a （三）在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。 例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下： 1.55近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605 二、例题 例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？ 答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。 例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？ 答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。 例3．要使下列等式成立x 、y 应取什么值？为什么？ ①x （y －1）＝0， ② ｜x －3｜＋（y ＋2）2＝0 答：①根据任何数乘以0都得0，可知当x ＝0时，y 可取任何数； 当y ＝1时，x 取任何数等式x （y －1）＝0都是能成立。 ②∵互为相反数相加得零，而｜x －3｜≥0，（y ＋2）2 ≥0， ∴它们都必须是0，即x －3＝0且y ＋2＝0， 故当x ＝3且y ＝－2时，等式｜x －3｜＋（y ＋2）2 ＝0成立。 练习四 1、有理数a 和b 的大小如数轴所示: 比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号连接） 2a_______ 0, －3b_______ 0, a 1_______ 0, － b 2_______0， －a 2 _______ 0,－b 3 _______ 0, a+b_______ 0, a －b_______ 0, ab_______ 0, (－2b)3_______ 0, b a _______ 0, b a - _______ 0 2、a 表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：_______个。 a >a, a 2> －a 2, a>－a, a+1>a 3、x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：_______句。 ①（x －2）2有最小值0， ③ －｜x+3|有最大值0， ② 2－x 2 有最大值2， ④ 3＋｜x －1｜有最小值3。 4、绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？ 5、要使下列等式成立，字母x 、y 应取什么值？ ①0x ＝0， ②(3)x x -＝0， ③1x -＋2 (3)y +＝0 0a b 6、下列说法正确吗？为什么？ ①a的倒数是1 a ②方程（a－1）x＝3的解是x＝ 1 3 a ③n表示一切自然数，2n－1表示所有的正奇数 ④如果a>b, 那么m2a>m2b (a 、b 、m都是有理数) 7、x取什么值时，下列代数式的值是正数？ ①x（x－1）②x（x＋1）（x＋2） 第五讲a n的个位数 一、内容提要 1. 整数a的正整数次幂a n,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。 2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。 3.2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表： 24k+1与21，24k＋2与22，24k＋3与23，24k＋4与24的个位数是相同的（K是正整数）。3和7也有类似的性质。 4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22， 8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。 5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律： a4k＋m与a m的个位数相同(k,m都是正整数)。 二、例题 例120032003的个位数是多少？ 解：20032003与32003的个位数是相同的， ∵2003＝4×500＋3， ∴32003与33的个位数是相同的，都是7， ∴2003的个位数是7。 例2试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由 解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2 ∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9， ∴632000＋1472002的和个位数是0， ∴632000＋1472002的和能被10整除。 例3k取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？ 解：列表观察个位数的规律 5， ∵a m与a4n+m的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数） ;∴当k为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。 练习五 1、在括号里填写各幂的个位数（k是正整数） 220的个位数是（）45的个位数是（） 330的个位数是（）87的个位数是（） 74K+1的个位数是（）311＋79的个位数是（） 216×314的个位数是（）32k-1＋72k-1的个位数是（）72k－32k的个位数是（）74k-1－64k-3的个位数是（）7710×3315×2220×5525的个位数是（） 2、目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是_______。 3、说明如下两个数都能被10整除的理由。 ①5353－3333②19871989－19931991 4、正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？ 5、设n是正整数，试说明2 n＋7n+2能被5整除的理由。 6、若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是_______ 若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是_______ 若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是_______ 若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是_______ 7、12+22+32+……+92的个位数是_______， 12+22+32+……+192的个位数是_______， 12+22+32+……+292 的个位数是_______。 8、 a,b,c 是三个连续正整数，a 2=14884,c 2=15376,那么b 2 是（ ） （A ）15116，（B ）15129，（C ）15144，（D ）15321 第六讲 数学符号 一、内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。 数学符号一般可分为： 1、元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示圆和三角形等。 2、关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。 3、运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4、逻辑符号：略 5、约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除以b 的商的整数部分记作Z （b a ），而它的余数记作R （ b a ）， 那么 Z （ 3 10）＝3，R （ 3 10）＝1；又如设[]x 表示不大于x 的最大整数，那么[]2.5＝ 5，[]2.5-＝－6，?? ? ???3 2＝0，[]3-＝－3。 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义） 对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。 在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。 二、例题 例1设[]Z 表示不大于Z 的最大整数，＜n ＞为正整数n 除以3的余数 计算： ①[]4.07＋32 7? ? -????－〈13〉＋〈2004〉 ②〈[]14.7〉＋342<>?? ? ??? 解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0 ②原式＝＜14＞＋ 1 2 ?? ?? ?? ＝2＋0＝2 例2①求19871988的个位数 ②说明19871989－19931991能被10整除的理由 解：设N（x）表示整数x的个位数 ①N（19871988）＝N（74×497）＝N（74）＝1 ②∵N（19871989）－N（19931991）＝N（74×497＋1）－N（34×497＋3） ＝N（71）－N（33）＝7－7＝0 ∴19871989－19931991能被10整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明了。 例3.定义一种符号★的运算规则为：a★b=2a+b 试计算：①5★3②（1★7）★4 解：①5★3＝2×5＋3＝13 ②（1★7）★4＝（2×1＋7）★4＝9★4＝2×9＋4＝22 例4设a※b=a(ab+7), 求等式3※x=2※(-8)中的x 解：由题设可知： 等式3※x=2※(-8)就是3（3x＋7）＝2〔2×（－8）＋7〕 ∴9x+21=－18 ∴x=－4 3 1 练习六 1、设Q＜x >表示有理数x 的整数部分，那么Q＜2.15＞＝_______， Q＜－12.3＞=_______，Q<－0.03＞＝_______，Q＜1 5 ＞＝_______。 2、设｛n｝表示不小于n的最小整数，那么｛4.3｝＝_______，｛－2.3｝＝_______，｛－2｝＝_______，｛－0.3｝＋｛0.3｝＝_______。 3、设[]m表示不大于m的最大整数 ①若m=2，则[]m= _______ ②若n= －3.5，则[]n=_______ ③若－1＜y＜0，则[]y＝_______④若7≤b<8，则[]b＝_______ ⑤若[]x=4，则_____≤x＜______⑥若n≤C 4、正整数a和b中，设a除以b的商的整数部分记作Z（a b ）余数记作 R （ a b ），a b 的个位数记作n （a b ）,写出下列各数的结果： ①R （337 ）＋R （ 25 ）＝_______ ②Z （ 337 ）＋Z （ 25 ）＝_______ ③n(19891990)= _______ 5、设n ！表示自然数由1到n 的连乘积，例如5！＝1×2×3×4×5＝120 计算：①120÷3! ②)! 35(!3!5- 6、设=2 2 11b a b a = a 1b 2－a 2b 1，计算：①2 1 4 3；② 1 1- 1- 7、定义一种符号＃的运算法则为a ＃b= b a b a ++22， 那么 ① 3＃2＝_______ ②2＃3＝_______ ③（1＃2）＃3＝_______ ④（－3）＃（1＃0）＝_______ 8、a,b 都是正整数，设a ⊕b 表示从a 起b 个连续正整数的和。 例如2⊕3＝2＋3＋4，5⊕4＝5＋6＋7＋8 已知x ⊕5＝2005，求x 9、设［x ］表示不大于x 数的最大整数且{}x ＝x －［x ］，求{}{}ππ－＋ 10、设［a ］表示不大于数a 的最大整数，例如［2］＝1，［－2］＝ －2，那么［3x+1］＝2x-2 1的所有的根的和是_______（1987年全国初中联赛题） 第七讲 用字母表示数 内容提要和例题 1、用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。 2、用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。 例如①写出数a 的倒数 ②用字母表示一切偶数 解：①当a ≠0时， a 的倒数是 a 1 ②设n 为整数， 2n 可表示所有偶数。 3、命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。 例题① 化简：?｜x －3｜（x<3） ?| x+5| 解：?∵x<3,∴x －3<0， ∴｜x －3｜＝－（x －3）＝－x ＋3 ?当x ≥－5时，｜x ＋5｜＝x ＋5， 当x <－5时，｜x ＋5｜＝－x －5（本题x 表示所有学过的数） 例② 已知十位上的数是a,个位数是b ,试写出这个两位数 解：这个两位数是10a+b (本题字母a 、b 的取值是默认题设有意义,即a 表示1到9的整数，b 表示 0到9的整数) 4、用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。 例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则 解：①分数的基本性质是 am bm a b = (m ≠0)， m a m b a b ÷÷= (m ≠0) a 作为左边的分母不另说明a ≠0； ② d c a b c d a b ?=÷(d ≠0) d 在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。 5、用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如： 乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac, =? -)1782417 1616 (812 17 2417 2-= 17 12 逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.14－5.25×3.14=3.14(6.25－5.25)=3.14 路程S=速度V ×时间T ， V= T S (T ≠0)， T= V S (V ≠0) 6、用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。 例如：加法的符号法则 如果a>0，b>0，那么 a+b>0，不可逆 绝对值性质 如果a>0,那么|a|=a ，也不可逆(若|a|=a 则a ≥0) 7、有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n 位数呢？ 解：不同的五位数可从最大五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000. 推广到n 位正整数，则要观察其规律 一位正整数,从1到9共9个， 记作9×1 二位正整数从10到99共90个， 记作9×10 三位正整数从100到999共900个， 记作9×102 四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9×103 (指数3=4-1) …… …… ∴n 位正整数共9×10 n-1个 例2 在线段AB 上加了3个点C 、D 、E 后，图中共有几条线段？ 加n 点呢？ 解：以A 为一端的线段有： AC 、AD 、AE 、AB 共4条 以C 为一端的线段有：(除CA 外) CD 、CE 、CB 共3条 以D 为一端的线段有：(除DC 、DA 外) DE 、DB 共2条 以E 为一端的线段有：(除ED 、EC 、EA 外) EB 共1条 共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此 如果是n 个点，则共有线段1+2+3+……+n+1= 11 (1)2 n n +++= (1)(2) 2 n n ++条 练习七 1、右边代数式中的字母应取什么值？ E D C B A ① 2 4-x ②S 正方形 =a 2 ③3的倍数3n 2、用字母表示： ①一切奇数； ②所有正偶数； ③一个三位数； ④n 个a 相乘的结果； ⑤负数的绝对值是它的相反数。 3、写出：?从1开始，n 个自然数的和是______________________ ?从11开始到2n+1 连续奇数的和( n>5)是__________ ?m 个球队进行单循环赛所需场数是_________________ 4、已知999=103－1, 9999=104－1, 那么各位数都是9的n 位数 n 9999=_____ 5、计算112=_____，1112 = _____， n 21111=____________________ 6、写出图中所有三角形并计算其个数， 如果线段上有n 个点呢？ 第八讲 抽屉原则 一、内容提要 1、4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。 2、如果用m n ??? ? ??表示不小于m n 的最小整数，例如73??????＝3，623?? =???? 。那么抽屉O E D C B A 原则可定义为：m 个元素分成n 个集合（m 、n 为正整数m>n ）,则至少有一个集合里元素不少于m n ?? ? ??? 个。 3、根据m n ??? ???的定义，已知m 、n 可求m n ?? ???? ； 己知m n ??? ???，则可求m n 的范围，例如已知m n ??????＝3，那么2＜m n ≤3；已知3x ?? ???? ＝ 2，则 1＜3 x ≤2，即3＜x ≤6，x 有最小整数值4。 二、例题 例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？ 分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m （2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于m n ?? ? ??? 个 解：∵=366 20005 366 17 ∴2000366?? ? ??? ＝6 答：至少有6名学生的生日是同一天 例2 从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。 解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。 ∵要在5个集合里取出6个数， ∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 （本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。 例3 袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。 分析：我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于3个（有一个集合元素不少于3个）。 解：设至少应取出x 个，用｛4 x ｝表示不小于4 x 的最小整数，那么 ｛ 4 x ｝＝3， ∴2＜ 4 x ≤3， 即8＜x ≤12， 最小整数值是9。 答：至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。 例4 等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离 初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 初中数学奥林匹克竞赛教程 初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 初中数学竞赛辅导资料（12） 用交集解题 甲内容提要 1． 某种对象的全体组成一个集合．组成集合的各个对象叫这个集合的元素．例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个． 2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集． 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集． 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集． 例如 不等式组? ??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是（ ） 不等式（1）的解集x >3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x >3． 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答．把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案． 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案．（如例2） 乙例题 例1． 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值． 解：除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝ 除以5余3的自然数集B ＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数． 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数． 解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝； 其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组． 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组． 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人，订阅B 种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们 七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。 6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1．添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1 ①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里 16是完全平方数） ②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5) ③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1 =a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1) 2．运用因式定理和待定系数法 定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x3－5x2+9x－6②2x3－13x2+3 2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题 一、选择题(4选l 型，每小题选对得5分，否则得0分．本大题满分50分) 1．2003和3002的最大公约数是 ( ) A. 1 B. 7 C. 11 D ．13 2．(16+1．63×2．87-125×0．115+O ．0163×963)÷ 0．11= ( ) A 20 B. 26 C. 200 D ．以上答案都不对 3．(721 +343-271-187)÷(1521 +743-473-38 7) ( ) A 2151 B.3115 C.5631 D ．以上答案都不对 4．已知(3A+2B)：(7A+5B)=13:31，那么(13A+12B)：(17A+15B)= ( ) A ．5：4 B.4：5 C ．9：7 D ．7：9 5．设A=55×1010×2020×3030× 4040×5050，把A 用10进制表示，A 的末尾的零的个数是 ( ) A.260 B.205 C. 200 D ．175 6．中国首位航天员杨利伟乘神舟5号飞船，在约400公里高空绕地球14圈，飞行约21小时，成功返回，圆了中华民族千年飞天梦．假定地球是球体，半径约6400公里，不计升空和降落，杨利伟飞行距离和速度分别是 ( ) A ．60万公里和9．7公里／秒 B.61万公里和8．3公里／秒 C. 60万公里和7．9公里／秒 D ．61万公里和7．8公里／秒 7．图中可数出的三角形个数为 ( ) A ．60 B. 52 C 48 D.42 8．小龙用10元购买两种邮票：“羊城地铁”每张O ．80元，“珠江新桥”每张1．50元．每种至少购1张，多购不限．不同的购买方法种数为 ( ) A ．33 B. 34 C.32 D ．30 9．不超过300，既和12互质，又和50不互质的自然数个数为 ( ) A ．60 B. 20 C ．15 D ．10 10．用重1克、3克、9克、27克、81克、243克和728克(注意：不是729克)的砝码各1个，在天平上分别称量重200克、500克、1000克的物体A ，B ，C ，可以准确称量的是( )(注：砝码可以放在天平的2个盘) A ．A B ．B C A 和B D ．A ，B 和C 二、填空题(每小题答对得5分，否则得0分．本大题满分共50分) 11．设A=1+3+5+…+2003，则A 的末位数字是 12．以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，那么被乘数是 13．如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套 得一个三角形．所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有 种． 14．3个边长2厘米的正方形如图，甲的中心在乙的一个顶点上，乙的中 心在丙的一个 顶点上，甲与丙不重叠．则甲乙丙总共覆盖的面积是 平方厘米． 15．化简： 16．图中△ABC，△BCD，△CDA 的面积分别为49，27和14平方米， 则△AOD 的面积为 平方米． 神舟五号飞天 × 神 飞天神舟五号 初中数学竞赛知识点归纳 一、数的整除（一） 如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。 如1001100－2＝98（能被7整除） 又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除 如1001100－1＝99（能11整除） 又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除） 二、倍数.约数 1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。 4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作： A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。 三、质数.合数 1正整数的一种分类： 第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分 新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总（共15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“－”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“－”号后,多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如：当n 为自然数时,()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；,是在因式分解过程中常用的因式变 换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532x y x y +=-=-?? ? ,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2, 观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式,求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n,32322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() Θ对任意自然数n,103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨： 例1。因式分解322x x x ()()--- 解：322x x x ()()--- 初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ E 解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。 乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。 丁图中共有等边三角形48个： 边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15 顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10 边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10 顶点在下▼的个数有 1＋2＝3 边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同 一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不 出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。 （1989年全国初中数学联赛题） 解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1，A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2（因重复计算）。 要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线， 共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A 1A 4，A 2A 5， A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速 前进，当甲在O 点时，乙离点O 为500米，2分钟后，甲、乙离点O 相 等；又过8分钟，甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y 米，根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3 2017 年上初一数学竞赛试题 （ 考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 720 =1） （ ． 8） A.只能是1 B.除1以外还有1个 C.共有3个 D.共有4个 二、填空题（每题3分，共18分） 9．观察下列等式：111122? =-，222233 ?=-，33 3344?=-，……则第n 个等式为____________ ． 10.点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于__________. 11、小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 密 封 线 学校： 班级： 姓名： 考 那么，当输入数据为8时，输出的数据为 ． 12、现对某商品降价20 销售量要比按原价销售时增加的百分数为13. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 ． 14.已知231x y =-?? =?是二元一次方程组1 1 ax by bx ay +=??+=?的解,则()()a b a b +-的值是 . 18.（619.(620.（8c,d 互 （1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？ （2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应 交水费多少元？ 22.（10分）有铅笔、圆珠笔、钢笔三种学习用品。若购买铅笔3支、圆珠笔7支、钢笔1支共需35元，若购买铅笔4支、圆珠笔10支、钢笔1支共需42元。现购买铅笔、圆珠笔、钢笔各1支共需多少元？ 初一数学竞赛讲座 第11讲染色和赋值 染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。 一、染色法 将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。 例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）, 能否覆盖一个8×8的棋盘？ 解：如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。 例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗？ 初一数学竞赛讲座 应用问题选讲 我们知道，数学是一门基础学科。我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。 运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。即： 这里，建立数学模型是关键的一步。也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。下面介绍一些典型的数学模型。 一、两个量变化时，和一定的问题 两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？ 观察下面的表： 我们不难得出如下的规律： 两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。 这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。 例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？ 解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有 x＋2y＝1.2×20＝24。 长方形的面积为 因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。于是有 x=12， y＝6。 例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？ 解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获利: （50＋x-40）×（500-10x） =10×（10+X）×（50-X）（元）。 因（10+x）+（50－x）=60为一定值，故当10+X=50－X即X=20时，它们的积最大。 此时，每个的销售价为50＋20=70（元）。 例3若一个长方体的表面积为54厘米2，为了使长方体的体积最大，长方体的长、宽、高各应为多少厘米？ 解：设长、宽、高分别为x，y，z厘米，体积为V厘米3。 2（xy＋yz+zx）=54，xy＋yz+zx=27。 因为V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx）， 故当 xy=yz=zx即 x=y=z=3时，V2有最大值，从而V也有最大值。 例4有一块长24厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒，现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？ 解：如上图，设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的容积为 V=x（24-2x）（24-2x） =2×2x（12-x）（12-x）。 因为2x+（12-x）+（12-x）=24 是一个定值，故当 2x=12-x＝12-x， 即x=4时，其乘积最大，从而纸盒的容积也最大。 二、两个量变化时，积一定的问题 两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？ 观察下面的表： 七年级数学竞赛试题 1、下列命题中正确的是（ ） A 、带根号的数都是无理数 B 、不带根号的数一定是有理数 C 、无限小数都是无理数 D 、无理数一定是无限不循环小数 2、下列说法和式子正确的是（ ） A 、81的平方根是3± B 、1的立方根是1± C 、11±= D 、0>x 3、2 )3(-的平方根是（ ） A 、3± B 、9± C 、3- D 、3 4、x 是任意实数，则2|x |+x 的值（ ） A 、大于零 B 、不大于零 C 、小于零 D 、不小于零 5、如果0)(=-+a a ，则a 是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 6、下列各对数中互为相反数的是（ ） A 、2a 与2a - B 12-与12+、 C 、23与2)3(- D 、2a -与2)(a - 7、若代数式7322++y y 的值为8，则代数式9642 -+y y 的值是（ ） A 、2 B 、17- C 、7- D 、7 8、某次数学测验，共有16道选择题，评分办法是答对一道题得6分，答错扣2分，不答得0分，某学生有一道题没有答，若要成绩在60分以上，他至少要答对（ ） A 、10题 B 、11题 C 、12题 D 、13题 9n 为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 10、如果11x x -=-，那么（ ） A 、x ＜1 B 、x ＞1 C 、x≤1 D 、x≥1 11、比较53 12296,194,143----的大小是（ ） A 、2961941435312->->->- B 、53 12143194296->->->- C 、2961431945312->->->- D 、29 65312143194->->->- 12、观察下列算式： ......2562,1282,642,322,162,82,42,2287654321========通过观察，用你所发现的规律写出11 8的末位数字是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 初中数学奥林匹克竞赛教程 初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解： 初一数学奥林匹克竞赛题（含答案） 初一奥数题一 甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？ S的末四位数字的和是多少？ 4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米 共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程． 5．求和： 6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数． 8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除． 9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答： 所以x=5000(元)． 所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24． 3．因为 a-b≥0，即a≥b．即当b ≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立． 4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则 有 由②有2x+y=20，③ 由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20． 所以x=8(千米)，于是y=4(千米)． 5．第n项为 所以 6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数． 7．设 由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即 (4-m)pq+1=2(p+q)． 可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q． (1)若m=1时，有 解得p=1，q=1，与已知不符，舍去． (2)若m=2时，有 因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解． (3)若m=3时，有 解之得 故 p＋q=8． 8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x． 9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以 2013年暑期初一数学竞赛第五讲：二元一次方程组（1） 【典型例题】 例1、二元一次方程组的解 x?3?m2?2ymx?的值是？1、已知是方程的一个解，则?y?5? x?y?2?mm的值为多少？使方程组62、若，则的解的和为?x?2y?m? ax?by??16x?8??c抄错了，得到解的解应为，小明解题时把3、已知方程组 ??cx?20y??224y??10??x?12?222a?b?c值为多少？，则?y??13? 例2、二元一次方程组的两种通用解法 x?1?y? 1、用代入法解方程组?2x?3y?5? 2x?3y?1? 2、用加减法解方程组?3x?5y?1? 例3、解二元一次方程组及高元一次方程组（综合） 21???1?63y?23x?173y?x?16??、解方程组1、解方程组 2??1117x?23y?57????0?2x?22y?1? ?115???xy16?zyy?x????8y?23x?711???、解方程组、解方程组43 ??y?zz?x12xy1?????2x?3y7311???? z?xx?y4? 1 / 5 a?a?a?aa?a?a?aa?a?a?aa?a?a?a5324245553112431??? 5、若 aaaa4132a?a?a?a4312a?a?a?a?a?0k??k的值。，求，且51432a5 bcdef??4?a?acdef?9??b?abdef?16??c(a?c?e)?,d,ef(b?d?f),ab,c,的满足解方程组，求6、已知正数?abcef1??4d??abcdf1?? e9??abcde1??f16?值。 x?x?x?x?x?x?...?x?x?x?x?1?19994219972199831199837、解方程组?x?x?...?x?x?1999?1219981999 例4、含绝对值的方程组 |x|?|y|?7|x?y|?1??1、解方程组2、解方程组??2|x|?3|y|??1|x|?2|y|?3?? 一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将 正确答案的英文字母填在题后的圆括号内) 1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33中，最大的是( )． (A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-33 2. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( ) (A)2a+(21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+2 1b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+2 1b)2-4(a 2＋b 2)2 3．若a 是负数，则a+|-a|( )， (A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数 4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )． (A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l 5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )． (A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离 (C)A 、B 两点到原点的距离之和 (D)A 、C 两点到原点的距离之和 6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别 是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )． (A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点 7.已知a+b ＝0，a≠b ，则化简a b (a+1)＋b a (b+1)得( )． (A)2a (B)2 b (C)+2 (D)-2 8．已知m<0，-l初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全
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