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二次根式基础

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二次根式基础

二次根式

【学习目标】

1.了解二次根式的定义,掌握二次根式有意义的条件和性质;

2.熟练进行二次根式的乘除法运算;

3.理解同类二次根式的定义,熟练进行二次根式的加减法运算;

4.了解最简二次根式的定义,能运用相关性质进行化简二次根式.

【学习重难点】二次根式的混合运算,正确依据相关性质化简二次根式.

【学习过程】

知识点梳理

1. 一般地,式子叫做二次根式.特别地,被开方数 .

2. 二次根式的性质:

⑴a.(a);⑵(a)2=(a);⑶a2=__ ___.

3.二次根式乘法法则:

⑴a·b=(a≥0,b≥0);⑵ab=(a≥0,b≥0).

4. 二次根式除法法则:

⑴a

b

=(a≥0,b>0);⑵

a

b=(a≥0,b>0).

5. 化简二次根式实际上就是使二次根式满足:⑴;

⑵;⑶ .

6. 经过化简后,的二次根式,称为同类二次根式.

7. 一般地,二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后 .

8. 实数中的运算律、乘法公式同样适用于二次根式的混合运算

◆练习

Ⅰ. 二次根式有意义求取值范围

1. 要使x -2有意义,则x

变式:若分别使1x -2,1

x -2,

; ; .

2. 要使1

3-x

有意义,则x 的取值范围是 .

3. 使x +1,1

x ,(x -3)0三个式子都有意义的x 的取值范围是 .

4. 使x +1·x -1=x 2-1成立的条件 ;

=

成立的条件是 .

Ⅱ. 二次根式的非负性求值

1. 已知a +2+||b -1=0,那么(a +b )2011= .

2. 已知x ,y 是实数,且3x +4+y 2-6y +9=0,则xy = .

3. 若||4x -8+x -y -m =0,当y >0时,则m 的取值范围 .

4. 若a -3与2-b 互为相反数,那么代数式-

1a +6

b

的值为 . 5. 已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足2

2

610340a c a c +--=,则△ABC 为 . Ⅲ. 利用公式a 2=||a 化简

1. (1)(-7)2= ;(2)(3-π)2= ; (3) 62=

2. 已知x <1,则化简x 2-2x +1的结果= ; 若a <0,化简||a -3-a 2= .

3. 当a =2时,代数式a +1-2a +a 2= ; 化简(a -1)

1

1-a

= . 5. (a -3)2=3-a 成立,则a 的取值范围是__________.

6.已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,试化简(a +c )2-||b -c .

7. 若-3≤x ≤2时,试化简│x -2│+(x +3)2

Ⅳ. 最简与同类二次根式

1. 下列各式中,不能再化简的二次根式是 ( )

A .3a 2

B .2

3

C .24

D .30

2. 下列各式中,是最简二次根式是 ( )

A .8

B .70

C .99

D .1

x

3. 下列是同类二次根式的一组是 ( )

A .12,-32,18

B .5,75,1245

C .4x 3,22x

D .a 1

a ,a 3

b 2c

4. 若二次根式2a -4与6是同类二次根式,则a 的值为 .

5. 化简后,根式

b -a

3b 和2b -a +2 是同类根式,那么a =_____,b =______.

Ⅴ.二次根式的运算 1. 化简:⑴3

12= ;⑵15+1

6

= ;⑶18

a

= . 2. 计算:2

12

-61

3

+8= . 3. 计算:12(2-3)= .

4. 计算:⑴(2+3)(2-3)= ; ⑵(5-2)2010( 5+2)2011= .

5.下列各式①33+3=63;②177=1;③2+6=8=22;④24

3=22,其中错误的( )

A .3个

B .2个

C .1个

D .0个

6.下列各式计算正确的是 ( ) A .2+3= 5 B .2+2=2 2 C .32-2=2 2 D .12-10

2

=6- 5 7. 计算: ⑴32-212-13-6

2

⑵(48-41

3

)-(31

3

-40.5) ⑶(21

8

-18)-(1

2

+2-213) ⑷2

3

9x +6x

4

-2x 1x

⑸(32-45)2 ⑹(3-22)(22-3)

⑺ 2

3x 18x +12x x 8

-x 22x

3

8. 若x =

5+32, y =5—3

2

,求代数式的值. ⑴x 2-xy +y 2 ⑵x y +y

x

9. 观察下列各式:32-1=2×4,42-1=3×5,52-1=4×6 ……将你猜想到的规律用一个式子来表示: .

练习: 1.选择题: (1)化简

()25-的结果是( )

A .5

B . -5

C .士5

D .25 (2)代数式

2

4-+x x 中,x 的取值范围是( )

A .4-≥x

B .2>x

C .24≠-≥x x 且

D .24≠->x x 且 (3)下列各运算,正确的是( ) A .565352=?

B .532592519==

??

?

??-

?- C .()12551255-?-=

-?-

D .y x y x y x +=+=+2

222

(40)y >是二次根式,化为最简二次根式是( )

A 0)y

>

B .

0)y >

C 0)y >

D .以上都不对

(5)化简27

23-的结果是( )

A .

B .

C .

D .

(6)5

5

,5

1=

=

b a ,则( ) A .a ,b 互为相反数 B. a ,b 互为倒数 C. 5=ab D. a =b (7)在下列各式中,化简正确的是( )

A. 15335=

B. 22

121±=a =-123-=-x x x x

2.填空

(1)当a ______有意义;当a ______没有意义.

(2________

=______=

(3)________1872_______;4814=÷=? (4)若y =2x -5+5-2x -3. 则2xy =

(5)把(a -中根号外的(1)a -移人根号内得____________ 3.式子

5

45

4

--=--x x x x 成立的条件是什么?

4.计算:

(3) 2534

1

122÷?

(5)453227+- (6)542

6

362+-

-

5.计算:

(1

)2) (2

)2(-

(4

(5

)22(- (6

6.数轴上点A 表示的实数为a ,化简2

2)3()2(-+-a a .

7.有这样一类题目:将a ±2b 化简,如果你能找到两个数m 、n ,使m 2+n 2=a 且mn =b ,则将a ±2b 将变成m 2+n 2±2mn ,即变成(m +n )2开方,从而使得a ±2b 化简. 例如,5±26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2, ∴5±26=(3+2)2=(3+2) 请仿照上例解下列问题:

(1)8-215; (2)4+2 3

补充:

1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,点P 从点C 开始沿CA 边以1cm /s 的速度向点A 运动;同时,点Q 也从点C 开始沿CB 边以2cm /s 的速度向点B 运动.问:几秒后△PCQ 的面积为35cm 2?此时PQ 的长是多少?(结果用最简二次根式表示)

2.如图,电线杆AB 直立于地面BM ,CD 是一斜坡,其坡比为1:2,AD 是电线杆的一斜拉钢绳,已知

BC =(8-米,CD 米,∠BAD =45°,试求电线杆AB 的长.

3.,x y

≠且x 、y 均不为0),

==

==

下列判断中,正确的是( )

A .甲的解法正确,乙的解法不正确

B .甲的解法不正确,乙的解法正确

C .甲、乙的解法都正确

D .甲、乙的解法都不正确

4.设a b =2,c (1)当a 有意义时,求x 的取值范围; (2)若a 、b 、c 为直角△ABC 的三边长, 试求x 的值.

5.已知实数x、y、a满足

=

试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形?

如果能,请求出该三角形的面积;如果不能,请说明理由.

6.我们知道了同类二次根式是可以合并的.=

都是同类二次根式(但它们不一定是最简二次根式).请你利用这个性质解答下面的问题:

>)=m、n的值.

已知,m、n都是整数(m n

7. 解不等式组≥, 的解集为.

>

8. 阅读材料:

小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+

2.善于思考的小明进行了以下探索:

设a=(m2(其中a、b、m、n均为整数),则有a=m2+2n2+mn.

∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法,探索并解决下列问题:

(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m、n的式子分别表示a、b,得a=_______,b=_______;

(2)利用所探索的结论,找一组正整数a、b、m、n填空:_______+(_______+2;

(3)若a+(m2,且a、m、n均为正整数,求a的值.

八年级二次根式测试题及答案

八年级二次根式测试题及 答案 Prepared on 22 November 2020

一、选择题 1. 下列式子一定是二次根式的是( ) A . 2--x B .x C .22+x D .22-x 2.若b b -=-3)3(2,则( ) A .b>3 B .b<3 C .b ≥3 D .b ≤3 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是( ) A .m=0 B .m=1 C .m=2 D .m=3 4.若x<0,则x x x 2 -的结果是( ) A .0 B .—2 C .0或—2 D .2 5.下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A .14 B .48 C .b a D .44+a 6.如果)6(6-=-?x x x x ,那么( ) A .x ≥0 B .x ≥6 C .0≤x ≤6 D .x 为一切实数 7.小明的作业本上有以下四题: ①24416a a =;②a a a 25105=?;③a a a a a =?=112;④a a a =-23。 做错的题是( ) A .① B .② C .③ D .④ 8.化简6151+的结果为( ) A .3011 B .33030 C .30330 D .1130 9.若最简二次根式 a a 241-+与的被开方数相同,则a 的值为( ) A .4 3-=a B .34=a C .a=1 D .a= —1 10.化简 )22(28+-得( ) A .—2 B . 22- C .2 D . 224- 二、填空题

11.①=-2)3.0( ;②=-2)52( 。 12.二次根式 31 -x 有意义的条件是 。 13.若m<0,则332||m m m ++ = 。 14.1112-=-?+x x x 成立的条件是 。 15.比较大小: 16.=?y xy 82 ,=?2712 。 17.计算3393a a a a -+= 。 18.23231+-与的关系是 。 19.若35-=x ,则562++x x 的值为 。 20.化简??? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题 21.求使下列各式有意义的字母的取值范围: (1)43-x (2)a 83 1- (3)42+m (4)x 1- 22.化简:(1) )169()144(-?- (2)22531- (3)5102421?- (4)n m 218 23.计算: (1)21437???? ??- (2)225241???? ??-- (3))459(4 3332-? (4)??? ??-???? ??-1263 12817 (5)2484554+-+ (6)2332326-- 四、综合题 24.若代数式| |112x x -+有意义,则x 的取值范围是什么

二次根式基础测试题含答案

二次根式基础测试题含答案 一、选择题 1.9≤,则x 取值范围为( ) A .26x ≤≤ B .37x ≤≤ C .36x ≤≤ D .17x ≤≤ 【答案】A 【解析】 【分析】 先化成绝对值,再分区间讨论,即可求解. 【详解】 9, 即:23579x x x x -+-+-+-≤, 当2x <时,则23579x x x x -+-+-+-≤,得2x ≥,矛盾; 当23x ≤<时,则23579x x x x -+-+-+-≤,得2x ≥,符合; 当35x ≤<时,则23579x x x x -+-+-+-≤,得79≤,符合; 当57x ≤≤时,则23579x x x x -+-+-+-≤,得6x ≤,符合; 当7x >时,则23579x x x x -+-+-+-≤,得 6.5x ≤,矛盾; 综上,x 取值范围为:26x ≤≤, 故选:A . 【点睛】 本题考查二次根式的性质和应用,一元一次不等式的解法,解题的关键是分区间讨论,熟练运用二次根式的运算法则. 2.a 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并,得到被开方数相同,然后列一元一次方程求解即可. 【详解】 根据题意得,3a-8=17-2a , 移项合并,得5a=25, 系数化为1,得a=5. 故选:D . 【点睛】 本题考查了最简二次根式,利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键. 3.下列各式计算正确的是( )

A 1082 ==-= B . ()() 236= =-?-= C 115236==+= D .54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断;根据二次根式的乘法法则对B 进行判断. 【详解】 解:A 、原式,所以A 选项错误; B 、原式,所以B 选项错误; C 、原式C 选项错误; D 、原式54==-,所以D 选项正确. 故选:D . 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 4.已知n 是整数,则n 的最小值是( ). A .3 B .5 C .15 D .25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解:=Q 也是整数, ∴n 的最小正整数值是15,故选C . 5.在下列算式中:= ②=; ③42 ==;=,其中正确的是( ) A .①③ B .②④ C .③④ D .①④ 【答案】B

专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升(解析版)

专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升 【基础巩固】 1.(2019·x 的取值范围是( ) A .0x ≥ B .1≥x C .1x > D .1x ≤ 【答案】B. 【解析】解:x -1≥0,解得:x ≥1 故答案为:B. 2.(2020·山西月考)计算:(2 1-=_____. 【答案】13- 【解析】解:原式=(2 2 12113-??=- 故答案为:13- 3.(2020· =______. 【解析】原式= = 2 3- - -. 4.(2020·有意义的实数x 的取值范围是__________. 【答案】x ≤3且x ≠0. 【解析】解:由题意得,3-x ≥0,x ≠0, 解得x ≤3且x ≠0, 故答案为x ≤3且x ≠0.

m=__________.5.(青岛月考)若2,,4 【答案】4. 【解析】解:∵2,m,4为三角形三边, ∴2<m<6, 原式=|m-2|+|m-6| =m-2-(m-6) =m-2-m+6 =4. 故答案为4. 6.(2020·=___________. 【答案】 = 2 . 故答案为: 2 7.(2020·浙江杭州市模拟)一个长方形的面积为,其中一边长为 边为_________. 【答案】3+ 【解析】解:由题意可得,另一边为 ( ÷ =3 故答案为:3.

8.(2019·威远县月考)当a <01a -=_______. 【答案】1. 【解析】解:∵a <0, 1a - 1a - =|a -2|-|1-a | =2-a -1+a =1. 故答案为:1. 9.(2020·成都月考)若实数x ,y 满足3y =, 则x y +的立方根为_______. 【答案】2. 【解析】解:由题意得5-x=0,即x=5,y=3, ∴x+y=8, 故x+y 的立方根为2. 10.(2020·四川月考)若24 y x =-,则x 的取值范围是__________. 【答案】x ≥1且x ≠2. 【解析】解:x -1≥0,2x -4≠0, ∴x ≥1且x ≠2. 故答案为:x ≥1且x ≠2. 11.当a=__________和可以合并. 【答案】3. 和 和 ∴3a-2=a+4,

二次根式的概念与性质1

二次根式的概念与性质1 一.选择题(共30小题) 1.下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥, 其中一定是二次根式的有() A.5个B.4个C.3个D.2个 2.下列判断正确的是() A.带根号的式子一定是二次根式 B.一定是二次根式 C.一定是二次根式 D.二次根式的值必定是无理数 3.下列各式中①;②;③;④;⑤一定是二次根式的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 4.下列各式中,二次根式有() ①②③④ A.1个B.2个C.3个D.4个 5.下列各式中:①;②;③;④.其中,二次根式的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个 6.在式子,,,,(x≤0)中,一定是二次根式的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 7.x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件() A.B.C.D. 8.若有意义,则x满足条件是() A.x≥﹣3且x≠1B.x>﹣3且x≠1C.x≥1D.x≥﹣3 9.式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是()

A.x<2B.x≥2C.x=2D.x<﹣2 10.如果代数式有意义,那么x的取值范围是() A.x≠3B.x<3C.x>3D.x≥3 11.使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为()A.B. C.D. 12.二次根式中,字母a的取值范围是() A.a B.a C.a D.a 13.使式子+成立的x的取值范围是() A.x≥﹣2B.x>﹣2C.x>﹣2,且x≠2D.x≥﹣2,且x≠2 14.若式子有意义,则实数m的取值范围是() A.m>﹣2B.m>﹣2且m≠1C.m≥﹣2D.m≥﹣2且m≠1 15.代数式+中x的取值范围在数轴上表示为() A.B. C.D. 16.下列说法正确的个数有() ①代数式的意义是a除以b的商与1的和; ②要使y=有意义,则x应该满足0<x≤3; ③当2x﹣1=0时,整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0; ④地球上的陆地面积约为14900万km2,用科学计数法表示为1.49×108km2. A.1个B.2个C.3个D.4个 17.使代数式有意义的整数x有()

人教版初中数学二次根式基础测试题及答案

人教版初中数学二次根式基础测试题及答案 一、选择题 1.如果一个三角形的三边长分别为12、k 、72,则化简21236k k -+﹣|2k ﹣5|的结果是( ) A .﹣k ﹣1 B .k +1 C .3k ﹣11 D .11﹣3k 【答案】D 【解析】 【分析】 求出k 的范围,化简二次根式得出|k-6|-|2k-5|,根据绝对值性质得出6-k-(2k-5),求出即可. 【详解】 ∵一个三角形的三边长分别为12、k 、72 , ∴ 72-12<k <12+72 , ∴3<k <4, 21236k k -+-|2k-5|, =()26k --|2k-5|, =6-k-(2k-5), =-3k+11, =11-3k , 故选D . 【点睛】 本题考查了绝对值,二次根式的性质,三角形的三边关系定理的应用,解此题的关键是去绝对值符号,题目比较典型,但是一道比较容易出错的题目. 2.实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+2(a b )-的结果是( ) A .2a+b B .-2a+b C .b D .2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <,0a b -<,然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简. 【详解】 解:由数轴可知:0a <,0b >,

∴0a b -<, ∴()2a a b a a b =-+-=-+, 故选:B . 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质,根据数轴得出0a <,0a b -<是解题的关键. 3.已知n 是整数,则n 的最小值是( ). A .3 B .5 C .15 D .25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解:=Q 也是整数, ∴n 的最小正整数值是15,故选C . 4.12a =-,则a 的取值范围是( ) A .12 a ≥ B .12a > C .12a ≤ D .无解 【答案】C 【解析】 【分析】 =|2a-1|,则|2a-1|=1-2a ,根据绝对值的意义得到2a-1≤0,然后解不等式即可. 【详解】 =|2a-1|, ∴|2a-1|=1-2a , ∴2a-1≤0, ∴12 a ≤ . 故选:C . 【点睛】 此题考查二次根式的性质,绝对值的意义,解题关键在于掌握其性质. 5. x 的取值范围是( )

初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题(含解析)

初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题(含解析) 一.选择题(共7小题) 1.若式子有意义,则x的取值范围为() A.x≥2 B.x≠3 C.x≥2或x≠3 D.x≥2且x≠3 2.下列二次根式中属于最简二次根式的是() A. B. C.D. 3.如果,那么x取值范围是() A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2 4.若1<x<2,则的值为() A.2x﹣4 B.﹣2 C.4﹣2x D.2 5.下列各式计算正确的是() A.+=B.4﹣3=1 C.2×3=6D.÷=3 6.若是正整数,最小的整数n是() A.6 B.3 C.48 D.2 7.下列根式中,不能与合并的是() A.B.C.D. 二.填空题(共7小题) 8.计算的结果是. 9.三角形的三边长分别为3、m、5,化简﹣=. 10.若实数a、b、c在数轴的位置,如图所示,则化简=. 11.若二次根式是最简二次根式,则最小的正整数a=. 12.计算:(+1)(﹣1)=. 13.已知x、y都是实数,且y=+4,则y x=.

14.如果+=0,那么=. 三.解答题(共26小题) 15.计算:. 16.计算:(﹣1)(+1)﹣(﹣)﹣2+|1﹣|﹣(π﹣2)0+.17.先化简,再求值:,其中a=+1. 18.计算:+(﹣)+. 19.当x=时,求代数式x2+5x﹣6的值. 20.化简求值:,求的值. 21.已知a,b,c在数轴上如图所示,化简:. 22.计算 (1)3﹣9+3 (2)(+)+(﹣) 23.计算: (1)+(﹣2013)0﹣()﹣1+|﹣3| (2)÷﹣×+. 24.先化简,再求值:(+)÷,其中a=+1. 25.已知a=()﹣1,b=,c=(2014﹣π)0,d=|1﹣|, (1)化简这四个数; (2)把这四个数,通过适当运算后使得结果为2.请列式并写出运算过程.26.先化简:(2x+1)2+(x+2)(x﹣2)﹣4x(x+1),再求值,其中.27.先化简,再求值:,其中.

(完整word版)二次根式_测试题附答案

二次根式测试题(1) 时间:45分钟 分数:100分 一、选择题(每小题2分,共20分) 1. 下列式子一定是二次根式的是( ) A .2--x B .x C .22+x D .22-x 2.若b b -=-3)3(2,则( ) A .b>3 B .b<3 C .b ≥3 D .b ≤3 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是( ) A .m=0 B .m=1 C .m=2 D .m=3 4.若x<0,则x x x 2 -的结果是( ) A .0 B .—2 C .0或—2 D .2 5.下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A .14 B .48 C .b a D .44+a 6.如果)6(6-= -?x x x x ,那么( ) A .x ≥0 B .x ≥6 C .0≤x ≤6 D .x 为一切实数 7.小明的作业本上有以下四题: ① 24416a a =;②a a a 25105=?;③a a a a a =?=1 12;④a a a =-23.做错的题是( ) A .① B .② C .③ D .④ 8.化简 6 1 51+的结果为( ) A . 3011 B .33030 C .30 330 D .1130 9.若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同,则a 的值为( )

A .43- =a B .3 4 =a C .a=1 D .a= —1 10.化简)22(28+- 得( ) A .—2 B .22- C .2 D . 224- 二、填空题(每小题2分,共20分) 11.①=-2)3.0( ;②=-2 )52( . 12.二次根式 3 1-x 有意义的条件是 . 13.若m<0,则332||m m m ++= . 14.1112-= -?+x x x 成立的条件是 . 15.比较大小: . 16.=?y xy 82 ,=?2712 . 17.计算3 393a a a a - += . 18. 232 31+-与的关系是 . 19.若35-=x ,则562++x x 的值为 . 20.化简? ?? ? ??--+ 1083114515的结果是 . 三、解答题(第21~22小题各12分,第23小题24分,共48分) 21.求使下列各式有意义的字母的取值范围: (1)43-x (2)a 831- (3)42+m (4)x 1- 22.化简: (1))169()144(-?- (2)2253 1 -

二次根式基础练习题(有答案)

二次根式基础练习 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.若m -3为二次根式,则m 的取值为 ( ) A .m≤3 B .m <3 C .m≥3 D .m >3 2.下列式子中二次根式的个数有 ( ) ⑴31;⑵3-;⑶12+-x ;⑷38;⑸231)(-;⑹)(11>-x x ;⑺322++x x . A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 3.当22 -+a a 有意义时,a 的取值范围是 ( ) A .a≥2 B .a >2 C .a≠2 D .a≠-2 4.下列计算正确的是 ( ) ①69494=-?-=--))((;②69494=?=--))((; ③145454522=-?+=-;④145452222=-=-; A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 5.化简二次根式352?-)(得 ( ) A .35- B .35 C .35± D .30 6.对于二次根式92+x ,以下说法不正确的是 ( ) A .它是一个正数 B .是一个无理数 C .是最简二次根式 D .它的最小值是3 7.把ab a 123分母有理化后得 ( ) A .b 4 B .b 2 C .b 2 1 D . b b 2 8.y b x a +的有理化因式是 ( )

A .y x + B .y x - C .y b x a - D .y b x a + 9.下列二次根式中,最简二次根式是 ( ) A .23a B .31 C .153 D .143 10.计算:ab ab b a 1 ?÷等于 ( ) A .ab ab 21 B .ab ab 1 C .ab b 1 D .ab b 二、填空题(每小题3分,共分) 11.当x___________时,x 31-是二次根式. 12.当x___________时,x 43-在实数范围内有意义. 13.比较大小:23-______32-. 14.=?b a a b 182____________;=-222425__________. 15.计算:=?b a 10253___________. 16.计算:22 16a c b =_________________. 17.当a=3时,则=+215a ___________. 18.若x x x x --=--32 32成立,则x 满足_____________________. 三、解答题(46分) 19.(8分)把下列各式写成平方差的形式,再分解因式:

二次根式讲义(初次、基础版)

二次根式 【知识要点】 必杀技:要注意二次根式中字母的取值范围: 被开方数必须是非负数. 1. 二次根式的主要性质: ①???<-≥==002a a a a a a ; ②()a a =2(),0≥a ; ③()0,0≥≥?=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab b a b a ; ⑤()()b a b a b a b a b a b a --=-+-=+1 ; ⑥b a b a b a -+=-1. A 、最简二次根式:被开方数中不含分母,并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式,像这样的二次根式成为最简二次根式 最简二次根式的条件: ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 B 、同类二次根式:被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式 C 、乘法公式:)0,0______(≥≥=?b a b a ;反之:)0,0_______(≥≥=b a ab D 、除法公式:)0,0______(>≥=b a b a ;反之:)0,0______(>≥= b a b a E 、合并同类二次根式:__________________;=-=+a n a m a n a m 【典型例题】 例1.x 是怎样的实数时,下列二次根式有意义? (1)1+x ; (2)23-x ; (3) 123+x ; (4)x 231-. 例2.若a a ---33有意义,则a 的值为______________. 例3.若22)2()2(-=-x x ,则x 的取值范围是________________.

例4.已知2<x<3,化简:3)2(2 -+-x x . 例5.数a、b 在数轴上的位置如图所示,化简222)()1()1(b a b a ---++. 例1、乘法运算 (1))169()25(-?- (2)1527? (3)2 28n m (4)a a 122532?- 例2:除法运算 (1)354- (2)531513÷ (3)921.150 04.0?? ( 4)2294a b 例3:加减混合运算 (1)4832 31531 1312--+

二次根式定义与性质

二次根式定义及性质 教学内容: 1.学习目标:理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论:, ,,并利用它们进行计算和化简. 2.重点:;,及其运用. 3.难点:利用,,解决具体问题. 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 知识点二:二次根式的性质 1.; 2.; 3.; 4. 积的算术平方根的性质:; 5. 商的算术平方根的性质:. 知识点三:代数式 形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).

经典例题透析 类型一:二次根式的概念 例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0); 不是二次根式的有:、、、. 例2、当x是多少时,在实数范围内有意义? 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,?才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x≥ 当x≥时,在实数范围内有意义. 总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义? (1); (2); 解:(1)由≥0,解得:x取任意实数 ∴当x取任意实数时,二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0,且x-1≠0,解得:x>1 ∴当x>1时,二次根式在实数范围内都有意义.

最新初中数学二次根式基础测试题及答案

最新初中数学二次根式基础测试题及答案 一、选择题 1.在下列各组根式中,是同类二次根式的是() A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质化简,根据同类二次根式的概念判断即可. 【详解】 A=不是同类二次根式; B=是同类二次根式; C b == D不是同类二次根式; 故选:B. 【点睛】 本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式. 2.下列各式计算正确的是( ) A.2+b=2b B=C.(2a2)3=8a5D.a6÷ a4=a2 【答案】D 【解析】 解:A.2与b不是同类项,不能合并,故错误; B不是同类二次根式,不能合并,故错误; C.(2a2)3=8a6,故错误; D.正确. 故选D. 3.x的取值范围是() A.x<1 B.x≥1C.x≤﹣1 D.x<﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】

根据二次根式有意义的条件判断即可. 【详解】 解:由题意得,x﹣1≥0, 解得,x≥1, 故选:B. 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件,熟悉掌握是关键. 4.12a =-,则a的取值范围是() A. 1 2 a≥B. 1 2 a>C. 1 2 a≤D.无解 【答案】C 【解析】 【分析】 =|2a-1|,则|2a-1|=1-2a,根据绝对值的意义得到2a-1≤0,然后解不等式即可. 【详解】 =|2a-1|, ∴|2a-1|=1-2a, ∴2a-1≤0, ∴ 1 2 a≤. 故选:C. 【点睛】 此题考查二次根式的性质,绝对值的意义,解题关键在于掌握其性质. 5.若x、y4 y=,则xy的值为() A.0 B.1 2 C.2 D.不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得,2x?1?0且1?2x?0, 解得x?1 2 且x? 1 2 , ∴x=1 2 , y=4,

《二次根式》基础测试题oa.docx

基础测试 (一)判断题:(每小题1分,共5分). 1.(72)2= 2. ............................................................................................................. () 2.J—1—F是二次根式. ................................................... () 3.A/132-122 =713?-VIF = 13-12=1. .......................................................................... () 4.vz,応,c£是同类二次根式. ............................................... () 5.Jd + b的有理化因式为y/a-b... ........................................ () 【答案】1. V; 2? X; 3. X; 4. V; 5. X. :(每小 6.等式7(x-l)2 =l-x成立的条件是_______________ . 【答案】V 7.当兀____________ 时,二次根式j2x-3有意义. 【提示】二次根式需有意义的条件是什么?a^O. 3 【答案】 2 8. ___________________ 比较大小:V3 —2 2— V3 . 【提示】I V3 < V4 = 2,???73-2<0, 2-V3 >0. 【答案】

二次根式的概念与性质

二次根式的概念与性质 编稿:庄永春审稿:邵剑英责编:张杨 一、目标认知 1.学习目标: 理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论: ,,,并利用它们进行计算和化简.2.重点: ;,及其运用. 3.难点: 利用,,解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 知识点二:二次根式的性质 1.; 2.; 3.; 4. 积的算术平方根的性质:; 5. 商的算术平方根的性质:. 要点诠释: 二次根式(a≥0)的值是非负数,其性质可以正用亦可逆用,正用时去掉根号起到化简的作用;逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式,有利于在实数范围内进行因式分解.

知识点三:代数式 形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包 括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子 为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式? (1)必须含有二次根号,即根指数为2; (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的,否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义? 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围,可根据题意列出不等式,通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式 作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一:二次根式的概念 1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0. 解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0); 不是二次根式的有:、、、. 2、当x是多少时,在实数范围内有意义? 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,?才能有意义.解:由3x-1≥0,得:x≥ 当x≥时,在实数范围内有意义.

(完整版)《二次根式》基础测试卷

2017 年《二次根式》基础测试 卷 班别 姓名 得分 一.选择题(共 14 小题) 1.使二次根式 有意义的 x 的取值范围是( ) A .x ≠1 B .x >1 C . x ≤ 1 D .x ≥1 2.下列根式中,不是最简二次根式的是( ) A . B . C . D . 3.下列各组二次根式中是同类二次根式的是( ) 5.下列各式中,属于最简二次根式的是( ) A . B . C . D . 6.下列计算正确的是( ) A . B . C . 7.下列各式中,与 是同类二次根式的是( ) A . B . C . D . 8.计算 的结果是( ) A .3 B . C . 2 D . 9.下列计算正确的是( ) C .± 3 D . D . D . ÷ =3 A . ﹣ 3 B . 3

A.+ = B.﹣=﹣1 C.× =6

15. = ,(﹣ ) 2= , = 1 1 2 3 ; 2 ; 2 = 16 .代数式 有意义时,实数 x 的取值范围是 . 17.化简: ﹣ = . 18 .若实数 a 满足 =2,则 a 的值为 . 19.使 有意义的 x 的取值范围是 . 20 .计算: ÷ = . 21.计算 ﹣ = . 22 .使代数式 有意义的 x 的取值范围是 . 10.化简二次根式 B .5 得( C .± ) 5 D .30 A .﹣ 5 11. 等于( ) A .﹣ 4 B . 4 C . 2 D . ﹣2 12. 下列各结论中, 正确的是( ) A . B . C . 13. 下列各式中,是最简二次根式的是( ) A . B . C . D . 14 . 下列二次根式中,最简二次根式的是( ) A . B . C . D . .填空题(共 8 小题)

二次根式的运算(基础)知识讲解

二次根式的运算(基础)知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则,会合并同类二次根式,进行简单的二次根 式加减运算; 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘 除运算; 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中. 要点诠释: (1)在进行二次根式的加减运算时,整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. (2)二次根式加减运算的步骤: 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式; 2)判断哪些二次根式是同类二次根式,把同类的二次根式结合为一组; 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则:(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,根指数不变, 只把被开方数相乘. 要点诠释: (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中a、b都必须是非负数;(在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算: ≥0,≥0,…..≥0). (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式,则应化简,如. 2.积的算术平方根: (a≥0,b≥0),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释: (1)在这个性质中,a、b可以是数,也可以是代数式,无论是数,还是代数式,都必须满足a≥0,b≥0,才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义,等式也就不能成立了; (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数,把含有形式的a移到根号外面.

二次根式基础测试题及答案解析

二次根式基础测试题及答案解析 一、选择题 1.-中,是最简二次根式的有 ( ) A.2个B.3个C.4个D.5个 【答案】A 【解析】 ,不是最简二次根式; -,不是最简二次根式; 是最简二次根式. 共有2个最简二次根式.故选A. 点睛:最简二次根式必须满足两个条件: (1)被开方数不含分母; (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 2.下列各式中计算正确的是() = A+=B.2+=C=D.2 2 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项,分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算,选出正确答案. 【详解】 解:不是同类二次根式,不能合并,故本选项错误; B.2 = D. =1,原式计算错误,故本选项错误. 2 故选:C. 【点睛】

本题考查二次根式的加减法和乘除法,在进行此类运算时,掌握运算法则是解题的关键. 3.下列各式计算正确的是( ) A 1082 ==-= B . ()() 236= =-?-= C 115236==+= D .54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断;根据二次根式的乘法法则对B 进行判断. 【详解】 解:A 、原式,所以A 选项错误; B 、原式,所以B 选项错误; C 、原式C 选项错误; D 、原式54 ==-,所以D 选项正确. 故选:D . 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 4 .已知n 是整数,则n 的最小值是( ). A .3 B .5 C .15 D .25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解:=Q 也是整数, ∴n 的最小正整数值是15,故选C . 5.下列各式计算正确的是( ) A .2+b =2b B = C .(2a 2)3=8a 5 D .a 6÷ a 4=a 2

八年级数学下册二次根式定义练习题

八年级数学下册二次根式定义练习题 一、选择题 1.要使式子x -1有意义,则x 的取值范围是( ) A.x≤1 B.x≥1 C.x >0 D.x >﹣1 2、下列各式一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 3.下列二次根式中,属于最简二次根式的是( ) A.2 x B.8 C.2x D.12+x 4x 的取值范围是( ) A .0x > B .2x ≥- C .2x ≥ D .2x ≤ 5、若式子34x -在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A.43x ≥ B. 43x> C. 34x ≥ D. 34 x> 6. 如果代数式有意义,那么x 的取值范围是( ) A .x≥0 B .x≠1 C .x >0 D .x≥0且x≠1 7 =成立的x 的取值范围是( ) A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥ 8、在函数y=中,自变量x 的取值范围是( ) A.x ≥﹣2且x ≠0 B.x ≤2且x ≠0 C.x ≠0 D.x ≤﹣2 9、求使下列各式有意义的x 的取值范围? (1)2+x -x 23- (2)x -- 11+x (3) 1y x = - (4)2||12--x x

一、选择题 1.下列式子成立的是( ) A .33 1= B .2332=- C .332=-)( D.(3)2=6 2.化简8的结果是( ) A .2 B .4 C .22 D .±22 3.化简27 23-的结果是( ) A .32- B .32- C .36- D .2- 412a =-,则( ) A .a <12 B. a ≤12 C. a >12 D. a ≥12 5、已知y 3,则2xy 的值为( ) A .15- B .15 C .152- D . 152 6<0)得( ) A B C D 7、设实数a ,b 在数轴上对应的位置如图所示,化简 2a +|a +b |的结果是( ) A.-2a +b B.2a +b C.-b D. b 8、若+|2a ﹣b+1|=0,则(b ﹣a)2015=( ) A.﹣1 B.1 C.5 2015 D.﹣520159

二次根式基础测试题及答案

二次根式基础测试题及答案 一、选择题 1.在下列各组根式中,是同类二次根式的是( ) A .2,12 B .2,12 C .4ab ,4ab D .1a -,1a + 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质化简,根据同类二次根式的概念判断即可. 【详解】 A 、1223=,2与12不是同类二次根式; B 、122=,2与12 是同类二次根式; C 、4242,ab ab ab b a ==,4ab 与4ab 不是同类二次根式; D 、1a -与1a +不是同类二次根式; 故选:B . 【点睛】 本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式. 2.下列计算正确的是( ) A .+= B .﹣=﹣1 C .×=6 D .÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断;根据二次根式的乘法法则对C 进行判断;根据二次根式的除法法则对D 进行判断. 【详解】 解:A 、B 与不能合并,所以A 、B 选项错误; C 、原式= ×=,所以C 选项错误; D 、原式= =3,所以D 选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.

3.下列计算中,正确的是( ) A .535344= B .1a ab b b ÷=(a >0,b >0) C .5539 335777?= D . ()()22483248324832670÷? +-= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的乘法法则:a ?b =ab (a≥0,b≥0),二次根式的除法法则:a b =a b (a≥0,b >0)进行计算即可. 【详解】 A 、534 =532,故原题计算错误; B 、 a a b b ÷=1a b ab ?=1b (a >0,b >0),故原题计算正确; C 、559377?=368577?=6857 ,故原题计算错误; D 、()()22483248324832÷? +-=32 ×165=245,故原题计算错误; 故选:B . 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法,关键是掌握计算法则. 4.下列式子为最简二次根式的是( ) A . B . C . D . 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解:选项A ,被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式, A 符合题意; 选项B ,被开方数含能开得尽方的因数或因式,B 不符合题意;

二次根式的定义教案

档案号 主页 ——————— 教 学 教 案 ———————— 教 案 内 容 课次 授课时间 年 月 日 星期 _ _ :_ 至 _ :_ 课题 二次根式(1) 目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 重点 二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点 综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 教 学 过 程 及 要 点 入则孝 父母呼 应勿缓 父母命 行勿懒 父母教 须敬听 父母责 须顺承 易解:父母呼唤,应及时回答,不要慢吞吞的很久才应答,父母有事交代,要立刻动身去做,不可拖延或推辞偷懒。父母教导我们做人处事的道理,是为了我们好,应该恭敬的聆听。做错了事,父母责备教诫时,应当虚心接受,不可强词夺理,使父母亲生气、伤心。(君子闻过则喜,小人闻过则怒。) (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的_____;x 是a 的____, 记为____,a 一定是____数。 (2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =______;正数a 的算术平方根为_____,0的算术平方根为____;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16,5h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做______。 。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16 -,34,5-,)0(3≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以, 在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数 ________ )(2=a 42)3(

【期末复习】人教版 2018年 八年级数学下册 二次根式 基础题练习(含答案)

2018年八年级数学下册二次根式基础题练习 一、选择题: 1、下列二次根式中属于最简二次根式的是() A. B. C. D. 2、下列各式是最简二次根式的是() A. B. C. D. 3、要使有意义,x的取值范围是() A.x≥5 B.x≤5 C.x>5 D.x<5 4、若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围为() A.x<-3 B.x≥-3 C.x>2 D.x≥-3,且x≠2 5、下列运算正确的是() A. B. C. D. 6、使代数式有意义的自变量x的取值范围是() A.x≥3 B.x>3且x≠4 C.x≥3且x≠4 D.x>3 7、函数中,x的取值范围是() A.x≠0 B.x>﹣2 C.x<﹣2 D.x≠﹣2 8、函数y=中自变量x的取值范围是() A.x≥0 B.x>4 C.x<4 D.x≥4 9、下列各式成立的是() A. B. C. D. 10、下列二次根式中,属于最简二次根式的是() A. B. C. D. 11、下列各式计算正确的是( ) A.+= B.4-3=1 C.=3 D.2×3=6 12、下列计算正确的是() A. B. C. D. 13、下列计算正确的是() A. B. C. D. 14、下列计算错误的是() A. B. C. D.

15、下列计算正确的是() A. B. C. D. 16、下列运算正确的是() A. B. C. D. 17、下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 18、下列各根式中与是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 19、下列二次根式的运算:①,②,③,④; 其中运算正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20、下列计算正确的是() A. B. C D. 21、下列计算正确的是() A. B. C. D. 22、下列根式中,不能与合并的是() A. B. C. D. 23、下列计算正确的是() A. B. C. D. 24、下列计算正确的是(). A. B. C. D. 25、化简的结果是( ) A.3 B.-3 C. D. 二、填空题: 26、若在实数范围内有意义,则x . 27、已知函数y=,则自变量x的取值范围是______.

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