共轭复数的多项式性质
共轭复数的多项式性质
时贞军张祖华
平阴县职业教育中心山东平阴250400
曲阜师范大学运筹与管理学院山东日照276826
摘要：本文发现了共轭复数的多项式性质。
关键词：复数共轭复数多项式。
据百度百科介绍，共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate).
根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 zˊ=a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反.
共轭复数有些有趣的性质: ︱x+yi︱=︱x-yi︱(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2 另外还有一些四则运算性质. 2代数特征编辑（1）|z|=|z′|；（2）z+z′=2a （实数），z－z′=2bi；（3）z· z′=|z|^2=a^2+b^2（实数）；
加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
减法法则两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i
乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac －bd)+(bc+ad)i.
除法法则复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。即：开方法则若z^n=r(cosθ+isinθ），则z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）共轭法则 z=x+iy 的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy 即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2 即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。 z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对
3运算特征（1）(z1+z2)′=z1′+z2′（2） (z1-z2)′=z1′-z2′（3） (z1·z2)′=z1′·z2′（4） (z1/z2)′=z1′/z2′ (z2≠0) 总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和（差、积、商）。
4模的运算性质编辑① | z1·z2| = |z1|·|z2| ②③┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|
由3运算特征的总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和（差、积、商）本文推断乘方的共轭等于共轭的乘方。
从而，有如下定理：
多项式（实系数或复系数）的共轭等于共轭的多项式。
【参考文献】
百度搜索。
复数讲义绝对经典
复数 一、复数的概念 1． 虚数单位 i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个 根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0) a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当 0a b ==时，z 就是实数0
6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1． 复平面、实轴、虚轴： 复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ， 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00， ，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数z a bi =+←???→一一对应 复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1． 复数1z 与2z 的和的定义：
共轭变换及其性质的研究
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊ ┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ 数学与应用数学本科生毕业论文 共轭变换及其性质的研究 指导老师：谷勤勤 学生姓名：黄越 所在学院：数理学院 专业名称：数学与应用数学班级： 091班 学号： 099084083 日期： 2013年 6 月
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ 安徽工业大学 毕业设计(论文)任务书 课题名称共轭变换及其性质的研究 学院数理学院 专业班级数学与应用数学091班 姓名黄越 学号099084083 毕业论文的主要内容及要求： 1.在查阅相关文献的基础上，评述本课题相关背景及其研究意义。 2.本课题要求熟练掌握共轭变换的概念和共轭变换的性质，并且熟练的使用矩阵工具来解决共轭变换相关定理，要求掌握共轭变换同对称变换和正交变换之间的联系。 3.完成在此课题上已有的一些研究的整理，分析。并且做出自己独立思考的成果，解决有关共轭变换的问题。 4. 写作过程要注重数学理论的构成； 5. 论点要突出，论据要充分，要有自己的特色； 6. 论文要注明参考文献不少于8篇，书写要规范，并为论文答辩做好准备。 指导教师签字：
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ 共轭变换及其性质的研究 黄越 数理学院数学与应用数学 摘要 共轭变换在高等代数学中占有着重要的地位，共轭变换及其性质的研究把对称变换、反对称变换统一起来.并借助矩阵这个工具，利用对称矩阵，反对称的性质来研究欧氏空间中的共轭变换.本文首先给出变换的定义，并给出共轭变换的重要性质，结合共轭变换定义和性质并借助于矩阵，得到共轭变换相关的定理.最后，利用共轭变换与对称变换、正交变换之间的关系，通过共轭变换的性质来解决对称变换、正交变换的一些性质和定理的证明. 关键词欧氏空间；线性变换；共轭变换
共轭复数的多项式性质
共轭复数的多项式性质 时贞军张祖华 平阴县职业教育中心山东平阴250400 曲阜师范大学运筹与管理学院山东日照276826 摘要：本文发现了共轭复数的多项式性质。 关键词：复数共轭复数多项式。 据百度百科介绍，共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate). 根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 zˊ=a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反.
共轭复数有些有趣的性质: ︱x+yi︱=︱x-yi︱(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2 另外还有一些四则运算性质. 2代数特征编辑（1）|z|=|z′|；（2）z+z′=2a （实数），z－z′=2bi；（3）z· z′=|z|^2=a^2+b^2（实数）； 加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 减法法则两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i 乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac －bd)+(bc+ad)i. 除法法则复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。即：开方法则若z^n=r(cosθ+isinθ），则z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）共轭法则 z=x+iy 的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy 即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2 即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。 z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对
共轭效应
第五章 二烯烃的共轭效应 §1、二烯烃 一、二烯烃的分类和命名： 二烯烃和炔烃是同分异构体，通式C n H 2n-2 （一） 分类：根据二个烯键在 分子中的相对位置分： 累积式的二烯烃 ???ü?yà??úí?ò?Cé? ±??t?? C=C=C CH 2=C=CH 2 共轭式二烯烃 C=C-C=C CH 2=CH-CH=CH 2 ?t?????ü±?ò???μ￥?ü???a 1￡?3???t?? 孤立式的二烯烃 C=C-(CH 2 )n-C=C n > 1 ?t?????ü±??t??ò?é?μ￥?ü???a 其中：孤立式的二烯烃的性质和单烯烃相似。 每个双键各行其势，相互影响很小。 累积式的二烯烃数量少且实际应用也不多。 共轭式二烯烃在理论和实际应用上都很重要。 所以，我们讨论的是共轭二烯烃，它具有新的，特殊的性质。 （二） 命名：和烯烃相似，主 要是分别指出烯键的数目和位置就行
2-?×?ù-1￡?3-???t?? 1￡?3￡?5-?oèy?? | | ???? êy?? CH 2=C CH=CH 2 3 CH 2=CH-CH=CH-CH=CH 2 对多烯烃，每个烯键都可能有顺反构型问题，二个烯键有二个顺反问题，组合起来就有三个顺顺，顺反，反反三种异构体 ?3￡??3-2?￠4-?o ?t ?? (Z),(Z)- C=C CH 3H C=C CH 3 H H H ?3?￠·′-2?￠4?o?t?? ￡¨·′￡??3￡?(Z),(Z)- ·′￡?·′-2?￠4-?o ?t ??(E),(E)- （三）1、3丁二烯的构象： CH 2=CH-CH=CH 2 C2?￠C3 ?§ è? μ￥ ?ü Dy ×a ?á 2ú éú 2? í? μ? ?? ?? 11 ?ó C C CH 2CH 2H ?t?????ü?úC2?￠C3í?2à S-?3- 1?￠3-???t?? S-Sigle μ￥C C CH 2CH 2 H H S-·′-1?￠3???t?? ?t?????ü?úC2?￠C3?à·′2à 性质上都是围绕单键旋转产生的，从能量上说S-反稳定，但在化学反应中参加反应时，S-反→S-顺。
复数法讲义
高中平面几何 (叶中豪) 知识要点 几何变换及相似理论 位似及其应用 复数与几何 （1） 复数的意义及运算 （2） 复数与复平面上的点一一对应 （3） 复数与向量 （4） 定比分点 （5） 重心和加权重心，三角形的特殊点 （6） 面积 （7） 90°旋转与正方形 （8） 相似与复数乘法的几何解释 （9） 三次单位根与正三角形 例题和习题 1．（Sylvester ）已知P 是△ABC 所在平面上任一点。求证：3PA PB PC PG ++=，其中G 是△ABC 的重心。 2．（Lami 定理）已知P 是△ABC 所在平面上任一点，P 点对于△ABC 的重心坐标为 123::μμμ。求证：12 3 0PA PB PC 。 3．（Gergonne ）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相间 的两组中点所构成的三角形的重心重合。 4．（von Aubel ）以任意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线互相垂 直。 5．以△ABC 的AB 、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠ABD
＝∠ACE ＝90°。求证线段DE 的中点的位置与顶点A 的位置无关。 6．已知△ABC ，在给定线段MN 的同侧作三个彼此相似的三角形，使得 △A ′MN ∽△NB ′M ∽△MN C ′∽△ABC 。求证：△A ′B ′C ′∽△ABC 。 7．（1）如图，在已知△ABC 的周围作三个相似三角形：△DBC ∽△ECA ∽△FAB 。求证： AFDE 是平行四边形。 E B （2）如图，在四边形ABCD 周围作四个相似三角形：△EAB ∽△FCB ∽△GCD ∽△HAD 。求证：EFGH 是平行四边形。 G 8．在△ABC 的外围作三个相似三角形：△DCB ∽△EAC ∽△FBA 。求证：△DEF 的重心是 定点。 9．若在四边形ABCD 内存在一点P ，使得△PAB 、△PBC 都是以P 为直角顶点的等腰直角 三角形。求证：必存在另一点Q ，使得△QBC 、△QDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形。 10．（上海市高中竞赛）设△ABC 是锐角三角形。在△ABC 外分别作等腰直角三角形： △BCD 、△ABE 、△CAF ，这三个三角形中，∠BDC 、∠BAE 、∠CFA 是直角。又在 四边形BCFE 形外作等腰直角三角形△EFG ，∠EFG 是直角。求证：（1）GA AD ；（2）∠GAD ＝135°。 11．（第17届IMO ）已知任意△ABC ，在其外部作△ABR 、△BCP 、△CAQ ，使得 ∠PBC ＝∠CAQ ＝45°， ∠BCP ＝∠QCA ＝30°， ∠RBA ＝∠RAB ＝15°。 求证：（1）∠QRP ＝90°；（2）QR ＝RP 。 12．在复平面上，△ABC 是正三角形的充要条件： （1）2 0A B C 或2 0A B C ； （2）2 2 2 A B C BC CA AB ；
复数的模的两个主要性质及在高考解题中的应用
1 复数的模的两个主要性质及在高考解题中的应用 酒泉市实验中学 冯德福 一．复数模的两个主要性质 性质1. 2121z z z z = 性质 2.)0(22 121≠=z z z z z 即：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，两个复数商的模等于它们的模的商。 证明：性质1.设bi a z +=1，di c z +=2，则 1222 2222222222222222()() ()()()()22z z a bi c di ac bd ad bc i ac bd ad bc a c abcd b d a d abcd b c a c b d a d b c =++=-++=-++= -++++= +++ 又 2 22222222222222221))((c b d a d b c a d c b a d c b a z z +++=++=++= 所以 2121z z z z = 2.由性质1易得， 上述证明用的是高中数学的方法，如果使用复数的三角形式或者指数形式证明就更简单了。有兴趣的同学可以自学大学数学中《复变函数》这部分内容，提前感受大学数学的魅力。 二．在高考解题中的应用 例1.设复数z 满足 （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 解：5543432 22=?=?+=?+=z z i z i z ，故填5 点评：这道题目一般做法是先根据复数的乘方求出复数z ，再由模的公式求出z 的模，而直接使用性质1就不需要求出复数z,直接可以求出复数的模，省去了乘方运算。 例2. 若复数z 满足z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，|z|=( ) 212221222121 z z z z z z z z z z z z ===
对称矩阵的性质及应用
对称矩阵的性质及应用 班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥 内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。 关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用 1.导言 矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。 2.具体内容部分 2.1对称矩阵的基本性质
在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。 2.1.1 对称矩阵的定义 定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件 T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： （1）对称矩阵一定是方阵 （2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。即ij ji a a =，对任意i 、j 都 成立。对称矩阵一定形如1112112 22212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ?? 定义2 形式为1200000 l a a a ?? ? ? ? ??? 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l = ，通常称为对角矩阵 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。由定义知： （1）反对称矩阵一定是方阵。 （2）反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素 都为零。反对称矩阵一定形如12112 212000n n n n a a a a a a ?? ? - ? ? ? --?? 。 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。 2.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。
复数讲义(绝对经典)
复数 一、复数的概念 1． 虚数单位i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠?? +≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0 6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ， d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d =
第七招复数的常用化简式 (学生版)
§7 复数的常用化简式 秒杀知识点 公式1：2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，2(1i)(1i)=+-． 公式2：1i i =-，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+． 这里只证明公式2中后两式． 【证明】：2 (1i) 1i 2i i 1i (1i)(1i)2++===--+； 2(1i) 1i 2i i 1i (1i)(1i)2 ---===-++-； 记忆方法：1i 1i +-中分子中间为正，即等于i +． 1i 1i -+中分子中间为正，即等于i - 秒杀思路分析 复数简单代数运算是高考重要考点之一，也是高考试卷中最基础题型．如能熟练掌握化简公式，即可避免出错，又能大大提高答卷速度，达到“秒杀”效果． 【示例1】（2016年天津卷文 9）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，则z 的实部为 ． 【示例2】（2017 年新课标全国卷Ⅰ文3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2i(1i)+ B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 【示例3】（2014 年新课标全国卷）22 (1i)(1i)+=-（ ） A ．1i + B ．2i (1i)- C ．2(1i)+ D ．i(1i)+ 方法对比 【例1】（2017年新课标全国卷Ⅱ理1）3i 1i +=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【例2】（2017年山东卷文 2）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z =（ ） A ．2i - B ．2i C ．2- D ．2 【例3】（2015 年湖南卷）已知2(1i)1i z -=+（i 为虚数单位） ，则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --
第1章复变函数习题答案习题详解
第一章习题详解 1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231+ 解： () ()() 13 234 9232323231231i i i i i i -=+-=-+-= + 实部：133231 = ??? ?? +i Re 虚部：132231- =??? ?? +i Im 共轭复数：1323231 i i +=? ?? ?? + 模： 13 113 232312 2 2= += +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3 13 22231231+?? ? ??-=+-=+?? ? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： () ()() 2 532 3321 133******** i i i i i i i i i i i i i i -= -+-= ++-- -=+-+- =-- 实部：23 131=??? ??-- i i i Re 虚部：25 131-=??? ??-- i i i Im 共轭复数：2 53131i i i i +=? ?? ??-- 模： 2 344 342 531312 2 2= = += -- i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2352232 52131131+??? ??-=+??? ? ? ??-=+?? ? ??--=??? ??--arg
3) ()() i i i 25243-+ 解： ()()()2 2672 2672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=? ? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292 522627252432 2= ? ? ? ??-+??? ??-= -+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 27262272 26 25243+??? ??=+??? ? ? ??--=?? ? ??-+ 4) i i i +-2184 解：i i i i i i 31414218-=+-=+- 实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()3421 8 -=+-i i i Im 共轭复数：()i i i i 314218+=+- 模：103 142 221 8 =+=+-i i i 辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 23213244218218+-=+?? ? ? ?- =++-=+-arg 2． 当x 、y 等于什么实数时，等式() i i y i x +=+-++13531成立？ 解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ? ? ?=-=+832 1y x ???==?111y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。
复数讲义(绝对经典)
复数讲义(绝对经典) 复数 一、复数的概念 1．虚数单位i: （1）它的平方等于，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系: i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ． （4）i的周期性： ，， ， ． 2．数系的扩充：复数 3．复数的定义： 形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示 4．复数的代数形式: 通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式． 5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数6．复数集与其它数集之间的关系： 7．两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么，
二、复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴： 复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数复平面内的点 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1．复数与的和的定义： 2．复数与的差的定义： 3．复数的加法运算满足交换律: 4．复数的加法运算满足结合律: 5．乘法运算规则： 设， ( 、、、 )是任意两个复数，那么它们的积 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6．乘法运算律： （1） （2）
复数讲义 教师版
一、知识要点 【复数基本概念及运算性质】 1.虚数单位i : 它的平方等于-1，即 2 1i =- 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 ()44142 43 0n n n n i i i i n Z +++ +++=∈ 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合 叫做复数集，用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0 时，z 就是实数0. 5. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ?a =c ，b =d 注意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 6. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 虚轴上的点除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 7．复数z 1与z 2的和与差的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 8. 复数的加法运算满足交换律与结合律 9．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数. 10.乘法运算律： (1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3; (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 11.除法运算规则： (a +bi )÷(c +di )= 2 222d c ad bc d c bd ac +-+++ i .（分母实数化） 12. 复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量 13．复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 14*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 (),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。22||z z a b ==+ 教学内容
神秘的109_4_共轭变形带的夹角
2007年1月地 质 科 学CH I N ESE JOURNAL OF GE OLOGY 42(1):1—9 神秘的109.4°———共轭变形带的夹角 3 郑亚东1 王 涛2 王新社2(1.北京大学地球与空间科学学院北京 100871; 2.中国地质科学院地质研究所北京 100037) 摘 要 塑性力学的滑移线理论、W atters on 零伸长度理论和最大有效力矩准则均获得共轭变形带的夹角为109.4°。该值与黄金规则相容,然而,滑移线理论的预测值面对伸长方向,与实际不符。零伸长度理论所预测的109.4°,不能解释实际观察到的平面共轭剪切带。根据最大有效力矩准则理论,预测韧性变形域共轭变形带面对主压应力方向或瞬时最小伸长度方向的夹角为109.4°。迄今获得的全部野外观测值和岩石力学实验结果均位于该预测值的±20°范围内,证明最大有效力矩准则的有效性。最大有效力矩准则可解释或求解:1)折劈理的形成,2)大型低角度正断层和高角度逆冲断层的形成,3)地震反射剖面中的鳄鱼嘴构造,4)变质结晶基底的基本构造型式———菱网状韧性剪切带,5)拆离褶皱的形成,6)古主应力和相关的运动学涡度。 关键词 共轭变形带 最大有效力矩准则 滑移线理论 零伸长度理论 中图分类号:P542文献标识码:A 文章编号:0563-5020(2007)01-01-09 3本文为国家自然科学基金资助项目(批准号:40102017,40572123和40472101)。 郑亚东,男,1936年1月生,教授,构造地质学专业。 2006年1月14日在“构造地质学新理论与新方法学术研讨会”上的报告,2006-06-08改回。 构造地质学中广泛采用库伦准则(Price and Cosgr ove,1990)解释断裂的形成,即断裂 面与主压应力轴(σ1)间的夹角一般为30°,共轭断裂面间的夹角一般为60° (图1左)。Anders on (1951)根据库伦准则将断层分为3种基本类型:逆冲断层、正断层和走滑断层。逆冲断层倾角小于45°,正断层大于45°,走滑断层近于直立。然而,这种关系只适用于脆性断裂。自然界和实验产生的共轭韧性变形带,面对缩短方向的夹角总是钝角(一般 为110°± )(图1右)。对此,Ra m say (1980)假定为岩石塑性压缩下递进变形的产物,即随岩石的进一步韧性压缩,导致初始面对缩短方向的共轭断裂的锐角递进变成钝角。如果这一解释正确,共轭剪切带间的夹角初始为锐角,随岩石的缩短程度而增大,从60°向180°趋近。然而自然界和实验所观察到的110°±相当固定。Paters on and W eiss (1966)对千枚岩实验研究证明:大约缩短量为10%时开始出现共轭膝褶带,其夹角为110°±。该夹角在缩短量应变50%前并不随缩短量而增大(图2)。塑性力学中的滑移线理论(H ill,1950)和零伸长度理论(W atters on,1999)和新近提出的最大有效力矩准则理论(Zheng et al .,2004)均给出109.4°的理想夹角,然而立论的依据截然不同,与实践观测结果也不尽一致。最近,Zhang and Eckert (2005)综合了最大正应力准则、Tresca 准则、摩尔2库伦准则和von M ises 准则,建立了一个统一的椭圆破裂准则,但仍不能解释共轭变形带在缩短或最大挤压一侧的钝夹角。
高中数学竞赛讲义(十五)──复数
高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcos θ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模， 也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isinθ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|； （8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1- θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。
有标题 对角占优矩阵的性质及其应用
本科生毕业论文(设计) 题目：对角占优矩阵的性质及其应用 学生姓名：付艳 学号： 200810010212 指导教师：邹庆云 专业班级：数学与应用数学 完成时间： 2012年5月
目录 0引言 (1) 1主要结果 (2) 1.1 对角占优矩阵奇异性 (2) 1.2对角占优矩阵行列式 (3) 1.3对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性 (4) 1.4对角占优矩阵其他相关性质 (5) 1.5关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用 (9) 1.6关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用 (11) 结论 (14) 参考文献 (14) 致谢 (15)
对角占优矩阵的性质及其应用 数学与应用数学专业学生：付艳 指导教师：邹庆云 摘要：本文根据严格对角占优矩阵、不可约对角占优等概念，讨论了对角占优矩阵的若 干性质及其应用，而对角占优矩阵有强、弱之分，本文主要以严格对角占优矩阵为研究 对象，适当的给出了不可约对角占优矩阵的一些性质。本文主要研究了对角占优矩阵的 奇异性、行列式、特征值、以及其逆矩阵的对角占优性，同时研究了矩阵对角占优性在 利用迭代法求解线性方程组，以及进行矩阵LU 分解等方面的应用。 关键词：对角占优矩阵，奇异性，迭代收敛性，行列式，特征值。 Abstract ：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominant concepts discussed diagonally dominant matrix of a number of nature and its application, and diagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strict diagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature of some of the dominant matrix. This article on the diagonally dominant matrix of singularity, the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant, while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations, as well as matrix LU decomposition, and other aspects of the application. Keywords ：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant; eigenvalue. 0 引言 各类对角占优矩阵是数值代数和矩阵分析研究中的重要课题之一，19世纪末，人们 在研究行列式的性质和值的计算时，就注意到“对角占优”这一性质，而对于对角占优 矩阵的一些性质在数值计算、矩阵分解方面具有重要作用，因此，对对角占优矩阵性质 及其应用的探讨成为许多国内外学者的主要研究课题。 定义1 若A 是n n ?矩阵，且满足ii ij j i a a ≠≥∑ ()ii ij j i a a ≠>∑（1,2,,i n =…），则称A 为 对角占优矩阵（严格对角占优矩阵）。
高中数学全套讲义 选修1-2 复数运算难 教师版
考点一复数的运算 (2) 考点二复数的模 (5) 课后综合巩固练习 (7)
考点一 复数的运算 1．复数的加法与减法 ⑴加法：设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R ，定义12()()i z z a c b d +=+++． 复数的加法运算满足交换律、结合律． ⑵相反数：已知复数i a b +，存在惟一的复数i a b --，使(i)(i)0a b a b ++--=，i a b --叫做i a b +的相反数．i (i)a b a b --=-+．在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称． ⑶复数的减法法则：(i)(i)(i)(i)a b c d a b c d +-+=++--()()i a c b d =-+-， ⑷复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．复数的乘法 设1i z a b =+，2i z c d =+，a 、b 、c 、d ∈R ，定义12()()i z z ac bd ad bc =-++． 复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律， 一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方． 复数的乘方也就是相同复数的乘积．实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、，有m n m n z z z +?=，()m n mn z z =， 1212()n n n z z z z ?=?． 在复数的乘方运算中，要记住以下结果： 1i i =，2i 1=-，3i i =-，4i 1=；41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =． <教师备案> 记12ω=-， 则12ω=-，331ωω==，210ωω++=，1ωω?=，1ωω+=-，2ωω= 3．复数的除法 已知i z a b =+，如果存在一个复数z '，使1z z '?=，则z '叫做z 的倒数，记作1 z ． 22222 1i || a b z z a b a b z =-=++． 两个复数除法的运算法则如下： i (i)(i)i a b a b c d c d ++÷+=+22i (i)c d a b c d -=+?+22()()i ac bd bc ad c d ++-=+2222i ac bd bc ad c d c d +-=+++． 1．（2019春?遂宁期末）设m R ∈，复数(1)()z i m i =+-在复平面内对应的点位于实轴上，又函数()f x mlnx x =+，若曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．{}1 (,] 12 -∞ B ．(-∞，0]{1} C ．(-∞，0]{2} D ．(-∞，0)(2?，)+∞ 【分析】由已知求得m ，得到()f x ，利用导数研究单调性及过(0,1)-的切线的斜率，再画出图形，数形结合可得实数k 的取值范围． 【解答】解： (1)()(1)(1)z i m i m m i =+-=++-在复平面内对应的点位于实轴上， n
复数性质及其在数学上的应用毕业论文
【标题】复数性质及其在数学上的应用 【作者】齐耀秋 【关键词】数学复数应用 【指导老师】王进 【专业】数学与应用数学 【正文】 １引言 复数是中学数学知识的重要交汇点，它的代数、几何、三角等多种表示形式以及特有的性质和运算法则，决定了它与代数、几何、三角的紧密联系。代数与几何是中学数学的两大重要内容，在代数中复数及其相关性质是重要的学习内容，探讨怎样巧用复数性质解决数学问题十分有意义。通过对一些具体例子的论证，说明利用复数及其相关性质解决某些数学问题往往能起到避繁就简、化难为易的作用。本课题从复数在代数中的应用、复数在几何中的应用、复数在三角中的应用三个方面展开讨论。 2复数概念及性质 2.1复数概念 形如的数叫做复数。 复数的表示形式有： 代数形式；三角形式；指数形式。 几何形式： 用向量表示复数； 用点表示复数。 向量的长度称为复数的模，记为：，即。 向量与轴正半轴间的角即为复数的辐角，即为：。 复数与互为共轭复数。 2.2复数性质 设,于是有： ；纯虚数或零；。 ；；。 ；。 ；。 棣莫弗公式：。 3复数性质在数学中的应用 3.1利用复数性质解决代数问题 例１设，求函数的最小值 分析：由于直接利用二次函数或根式的性质都不能求解，配方，联想复数的模可设复数，从而利用复数模性质将本题解决。 解： 设， 因为 而， 所以
因此函数的最小值为５。 由此例可见，巧设复数，利用复数的模能使问题得以快速解决。 例２设复数满足：，它们在复平面内分别对应于不同的点A点B，O为坐标原点，若，求使得△AOB有最大面积时的a的值，并求出最大面积． 解：由于，所以，首先应结合题目条件，考虑与的关系． 首先，，所以，，解这个关于的方程，得：． 所以，， 因此， 所以， 等号成立当且仅当，即时取得．此时，△AOB取得最大面积，为。 本课题通过复数的几何表示法及复数模的性质，平均值不等式求解三角面积的最大值显得尤为简单。 例３设a、b、x、y都是实数，求证： 分析：按常规无理不等式证明，此题是很难解决的。如果考虑式中五个根式都是复数的模，则利用模的性质来证明，问题就简单多了。 证明：设，则 ，则 ，则 ，则 又因为 所以 由模的性质可知 所以 例４设a为任意实数，求证： 证明：因为 设， 根据（等号仅当同向时成立） 因，故有 例５：求证: 分析：由于，可以用数学归纳法证明以上等式，但由等式联想棣莫弗公式和二项