毕业论文(四)
毕业设计（论文）题目多重自发辐射相干对光子关联的影响研究
学生陈威. 学号2009146109 专业光信息科学与技术班级20091461 指导教师王飞.
评阅教师李晶.
完成日期2013年6月17日
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学位论文原创性声明
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作者签名：陈威 2013年 6月17日
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作者签名：陈威 2012年 6月17日
导师签名：王飞 2013年 6月17日
目录
摘要 (1)
关键词 (1)
1基本理论 (3)
1.1 光与物质相互作用的半经典理论 (3)
1.2 量子关联函数 (7)
1.3 量子回归理论 (9)
1.4 相干布居捕获 (12)
2 三能级 型原子强度关联的研究 (14)
2.1模型与方程 (15)
2.2 结论及解释 (17)
2.3 本章小结 (19)
3四能级V型原子强度关联的研究 (19)
3.1模型与方程 (19)
3.2结果及讨论 (22)
3.3本章小结 (27)
4 总结与展望 (27)
致谢 (28)
参考文献 (28)
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多重自发辐射相干对光子关联的影响研究
学生：陈威
指导老师：王飞
三峡大学理学院
摘要：原子相干和量子干涉效应是量子光学研究一个热点问题，它们导致了许多有趣的量子光学现象，比如电磁诱导透明，相干布居捕获，无反转激光等。一般而言，获得量子干涉的途径有两种，一是利用强场驱动来获得量子干涉，另一种存在于原子的自发辐射过程中，当系统有两个或多个近简并的能级时，如用同一个真空模来耦合近简并能级和一个共同的能级时，将会产生自发辐射相干效应。本文研究了一个含有三个高度简并的激发态和一个基态的驱动四能级原子，利用半经典理论我们研究了多重自发辐射相干对荧光场的光子关联的影响。结果表明，三重自发辐射相干效应使得荧光场的关联性质可以通过调节失谐来实现强关联和反关联的变换。此外，由于系统对三个场的相对相位非常敏感，从而提供了一个有效的控制光子关联的方式。物理上，这些有趣的现象可以利用缀饰态分析解释。
Abstract: Atomic coherence and quantum interference is a hotspot in the field of quantum optics, which has led a series of interesting phenomena, such as electromagnetically induced transparency, coherent population trapping and lasing without inversion. Generally, there exists two manners to obtain quantum interference. One is using strong external field to driven atom while the other one arises from the process of spontaneous emission. If a atomic system has two or more near degenerate levels, which are coupled with another common level with the same vacuum mode, the spontaneously generated coherence (SGC) effect occurs. In this thesis, by using the semi-classical theory, the effects of SGC on the fluorescence photon correlations in a driven four-level atom consisting of three upper closely lying excited states and a single lower state are investigated. It is found that in the presence of triple spontaneously generated coherence effects, the correlation properties of the three fluorescence fields can be switched from strong correlation to anticorrelation or vice versa by modifying the detunings. In addition, such a system is much sensitive to the relative phases of the three fields, which can provide an effective way to control the photon correlation. Physically, these interesting phenomena can be interpreted in terms of dressed state analysis.
关键词：强关联；反关联；自发辐射相干；相位依赖的光学特性.
Key words: Strong correlation; Anticorrelation; Spontaneously generated coherence; Phase-dependent optical properties.
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量子干涉和原子相干效应由于其广泛的应用在量子光学和量子信息中，已经得到了极大的关注。众所周知，外在驱动场诱导的相干可导致各种有趣的现象，如电磁诱导透明〔1-3〕，无反转激光〔4-6〕等。如果没有外在耦合激光场，产生相干的另一种方式是源于量子化的真空模与原子系统在特定条件下的内在相互作用。在早期的研究中，Agarwal研究了在三能级的V型系统〔7〕中的量子干涉效应，其特征在于，如果两个高度简并的上能级与一个共同的基态以同一真空模耦合，那么两个自发辐射通道可以发生干涉。这种效应通常被称为自发辐射诱导相干（SGC）或真空诱导相干（VIC）。随后，在三能级原子系统中，各种基于SGC的显著效应已经呈现，如相干布居捕获〔8〕，无反转激光〔9〕，超快光开关〔10〕，暗态极化〔11〕，光学双稳态和多稳态〔12〕和量子信息和量子计算〔13-14〕。
由于额外的能级可能引发额外的量子干涉，最近，人们对多能级系统中的干涉效应予以极大的关注。有研究表明，在四能级Y型原子系统中，SGC效应对单光子和双光子吸收起到了至关重要的作用。〔15〕正如Arun所揭示，干涉效应引起荧光光谱分离，增强和缩小〔16〕。四能级原子系统中，由SGC效应调制的自发辐射也被广泛的研究〔17〕。此外，四能级阶梯型原子系统中增强的三阶非线性效应，主要是由于量子干涉引起的〔18〕。应当指出，上述的工作，只有单一SGC效应出现在具有两个高度简并能级与两个相应的非正交偶极跃迁的原子中。到目前为止，多重SGC效应备受关注。例如，Yang和Zhu研究了在一个封闭的双Λ型四能级系统中两重SGC效应控制相干原子的跃迁〔19〕。在四能级V型原子中，当三个高度简并的上能级以同一个真空模耦合到基态时，应考虑三重SGC 效应。Joshi等分析了在没有外加场情况下，三重SGC效应对原子跃迁的影响〔20〕。他们发现，随着上能级参与自发辐射原子数量的增加，自发辐射的抑制作用愈发明显。然而，在四能级Y型原子系统中，通过使用微波场来驱动偶极禁戒跃迁，在缀饰态下可以获得产生三重SGC效应〔21〕，此时，不需要近简并能级具有非正交的偶极矩这一苛刻条件。此外，多重隧道诱导的干涉效应对三模连续型变量的影响，在一对耦合三重半导体量子阱结构中也进行了研究〔22〕。甚至在一个特殊的四能级钻石型原子系统中，也对四重SGC效应对共振荧光光谱的影响进行了深入研究〔23〕。
另一方面，在过去的研究中，作为荧光量子系统最重要的统计量之一，由归一化双时关联函数来定义的荧光光子关联已被广泛地研究。根据这个函数的值，可以通过短时间的瞬态效应给出经典或量子特征的信息。在二能级原子中，因为关联函数归一化函数的值在0和2之间振荡几个周期之后并最终趋近于1，故荧光光子关联处在“正常水平”〔24〕。然而，我们可以在三能级V型原子系统中，采用量子干涉获得非经典光子关联〔25〕。在存在量子干涉的情况下，关联函数可以取得最大值或在长时间里低于1。一般的，前者被命名为“强关联”，后者被命名为“反关联”。此外，在三级级联系统〔26〕和Λ型原子系统中〔27〕的光子关联也已经被证明。到现在为止，据我们所知，对多重SGC效应在多能级原子系统中光子关联的研究很少。这里，我们在具有三个高度简并的激发态和一个基态的四能级原子中，研究了具有多重SGC效应的荧光光子强度关联。这个机制由Anton
第3页共28页等人先前研究。他们研究了共振荧光中的三重SGC效应〔28〕。他们发现，在存在多重SGC效应的情况下，原子产生极窄的辐射线和增强的两模压缩。在本文中，我们关注利用三重SGC效应来改变瞬态荧光光子关联属性。结果呈现出以下几个特征：首先，三重SGC效应可以有效的控制强关联和反关联。如果只有单SGC效应或无SGC效应存在，那么非经典光子关联将消失。其次，在有SGC效应存在的情况下，本原子系统中的瞬态光学特性对外加场的相对相位非常敏感。因此可以利用这三个场的相对相位来控制荧光光子关联。第三，我们注意到关联属性与激发态上原子分布的演化有密切的关系。
本文的结构如下。第一章介绍了研究量子强度关联函数的一些基础理论，详细介绍了量子关联函数，量子回归定理及如何利用回归定理来处理关联函数的过程，最后简单介绍了量子干涉导致的相干布居捕获。第二章我们对四能级V型原子强度关联进行了讨论。第1节，我们描述了原子模型和密度矩阵主方程；第2节，通过数值模拟得到结果并讨论；在第3节给出结论。第三章是对本文的总结与展望。
1基本理论
本章中我们介绍了研究量子强度关联函数的一些基础理论，详细介绍了量子回归定理及如何利用回归定理来处理关联函数的过程，最后简单介绍了量子相干导致的相干布局捕获。
1.1光与物质相互作用的半经典理论
光与物质的相互作用的基本理论是量子光学研究的基本内容，是我们探讨光和物质相互作用效应的基本出发点。这里的光与物质相互作用指的是光与组成物质的原子、分子或者离子内的电子之间的相互作用。根据光和物质相互作用时对光场和物质的处理方法，基本的光和物质相互作用的理论主要有三类。第一类是经典理论，这是量子力学建立以前人们对场和原子相互作用的处理方法。它的出发点是，将原子系统和电磁场都作经典处理，认为场由经典电动力学的麦克斯韦方程组来描述，原子中的电子的运动是服从经典力学的振子。经典理论的成功是解释了物质对光的吸收和色散现象，定性地说明了原子自发辐射及谱线宽度等等。第二类是半经典理论,，是属于量子力学范围内的理论方法。它的出发点是光场采用经典麦克斯韦方程组来描述，而物质原子则用量子力学描述。半经典理论能较好地解释大部分物理现象，但是它不能解释与光场的量子化特性有关的现象，如自发辐射的产生以及由它引起的线宽极限和量子起伏效应等。第三类是量子理论，这是量子电动力学处理方法。它将光场和物质原子都做量子化处理，并将两者作为一个统一的物理体系处理。从原则上来说，量子理论可以描述光和物质相互作用的全部特性，但是这种方法的缺点是计算比较复杂。
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一般的做法是根据具体的问题采用最适合的理论去处理，而不是所有的问题都采用量子理论的全部观点和方法。下面我们重点介绍一下光和物质相互作用的半经典理论，主要以光场和二能级原子的相互作用过程为例来说明。半经典理论中，在决定场强的过程中需要用到自洽方法。物质原子在光场作用下极化形成感应电偶极子，进而得到电极化强度。感应电偶极子会辐射与光场频率相同的电磁波，因此电极化强度等同于场源。将这个电极化强度代入麦克斯韦方程组可以确定由感应极化而激发的场。而自洽指的是极化强度产生的场等于产生极化的场
〔29〕
。在我们的讨论中自洽条件始终
是满足的。下面我们将对光与物质相互作用的半经典理论中的几个具体问题进行简单介绍。
考虑单电子原子的情况，质量为m 电荷为e 的物质原子与一个外加电磁场的最小耦合哈密顿量为
()()()21
,,2H p eA r t eU r t V r m
=
-++???? ................................... 公式1-(1) 其中p i =-? 是正则动量算符，(),A r t 和(),U r t 分别是外场的矢势和标势，而()V r 是原子束缚引起的电子静电势能。电场和磁场与矢势和标势的关系为 A
E U t
?=-?-
? ........................................................... 公式1-(2)
B A =?? ................................................................ 公式1-(3)
选择下面的辐射规范条件： (),0U r t = ............................................................... 公式1-(4)
(),0A r t ??= ............................................................ 公式1-(5)
电子的状态由波函数(),r t ψ描述，而波函数满足薛定谬方程
()
(),,r t i H r t t
ψψ?=?
.................................................... 公式1-(6) 在t 时刻，位置r 处发现电子的几率密度(),p r t 由其状态波函数(),r t ψ的模方()2
,r t ψ来描述，
()()2
,,p r t r t ψ= ......................................................... 公式1-(7)
从这个表达式不难看出，与(),r t ψ相差一个相位因子的波函数()(),,i r t r t e χ
φψ=也满足薛定谔方程并且给出相同的几率密度(),p r t 。这表明在我们所选择的辐射规范下，束缚电子的状态波函数的相位是完全任意的，只相差一个相位因子的两个波函数描述的是同一个物理状态。
一般原子的尺寸远远小于光场的波长，即有1k r ? ，k 是光场的波矢量。这就是通常所说的偶极近似条件。因此在处理问题的时候我们可以认为原子处于一个振幅不变的由矢势()0,A r r t +描述的平面电磁波场中。利用前面的偶极近似条件，可以矢势做如下展开
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()()()()()()()()()
00000,exp exp 1exp ,A r r t A t ik r r A t ik r ik r A t ik r A r t +=?+????
=?+?+≈?= .................................. 公式1-(8)
其中0r 为原子的中心位置坐标，r 为电子相对于原子中心的位置坐标。代入薛定愕方程中得到
()()()()2
20,,,2r t ie i A r t V r r t t m ψψ???????
=-?-+???????????
........................ 公式1-(9) 定义一个新的波函数()()()0,,,ie
A r t r r t r t e ψφ?=
，将其代入薛定谬方程中得到
()()()()()()002
,,2
0,A ,,2ie ie A r t r A r t r r t ie i r t r e e V r r t t m φφ???????+?=-?+?????????
...... 公式1-(10) 消去两边的指数项并将方程中的各项重组并利用可以得到下面的方程
()
()()00,,,r t i H eE r t r r t t
φφ?=-??????
.................................... 公式1-(11) 其中()()222022H m V r p m V r =-??+=+ 是电子的未扰哈密顿量，将方程中右边第二项记做I H ，()0,I H eE r t r =-?是电子与外场相互作用的哈密顿量。这个哈密顿量在我们后面讨论原子和光场相互作用时将经常用到。需要指出的是这个相互作用是我们在辐射规范条件下得到的，如果采用规范变换我们也可以得到其他形式的哈密顿量，这里我们就不多赘述了。尽管不同规范条件下，相互作用哈密顿量的形式有所不同但实际上它们是等价的，可以从其中任意一个出发来处理问题。在后面的处理中我们将都用到辐射规范下的相互作用哈密顿量。
图1.1 频率为ω的单模场与共振频率为0ω的二能级原子系统的相互作用示意图
二能级原子是一个实际原子的理想模型，它在研究光与物质相互作用的理论中起着很重要的作
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用。我们考虑如图1.1所示的系统，一个高低能态分别为1和2的二能级原子系统和一个单模场
()02i t i t E E e e ωω-=+作用，其中ω是场的频率，0E 是场的振幅，为了计算的简单我们将其取为
了实数并假定电场是沿x 方向偏振的。系统的哈密顿量为
0I H H H =+ ........................................................... 公式1-(12)
其中0H 是原子的自由哈密顿量
0111222H ωσωσ=+ ................................................... 公式1-(13)
1ω 和2ω 分别是原子态1和2的本征能量，并且120ωωω-=，这里的0ω是原子的共振跃迁
频率。原子和场的相互作用哈密顿量I H 的形式为
()()()
()()00**122112211
11221122
21121221212
2222I i t i t i t i t
i t i t i t i t
H exE
e x E e e ex ex E e e e e e e ωωωωωωωωσσσσ----=-=-+++=-++=-Ω-Ω-Ω-Ω
.................. 公式1-(14) 这里我们引入了场的拉比频率Ω，它的定义为012E μΩ= ，1212ex μ=是电子的跃迁偶极矩阵元。原子算符(),,1,2ij i j σ=当i j =时表示原子布居算符，当i j ≠时表示原子偶极跃迁算符。原子布居算符满足1122I +=，其中I 是单位算符。
以原子的未扰哈密顿量0111222H ωσωσ=+ 对原子和场的相互作用哈密顿量做一个么正变换00iH t iH t I e
H e -
，即我们转入相互作用绘景中得到
()()()()000000**12211221*1221222222
iH t iH t
I I i t i t i t i t
i t i t
V e H e e e e e e e ωωωωωωωωσσσσσσ----+-+?-?==-Ω-Ω-Ω-Ω=-Ω-Ω
..... 公式1-(15)
其中我们引入了原子场失谐0ωω?=-，并且我们忽略了相互作用哈密顿量中含有振荡因子
()0i t
e
ωω±+的项，这中近似就称为旋转波近似。采取这种近似的原因是光场的频率很大约为
14310Hz ?，原子和光场作用时两者的频率几乎接近，所以在么正变换后的相互作用哈密顿量中，
后面两项相对于前面两项来说是快速振荡项它们的平均效果可以看做是零，因此可以忽略掉。在后面的量子理论中我们将看到旋转波近似对应的是保留了相互作用哈密顿量中的能量守恒项而忽略了能量不守恒的项。
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1.2 量子关联函数
关联函数一直以来都是光的相干理论的基本概念，而光的相干理论又包括经典的理论和量子理论，我们这里仅仅讨论量子关联函数。在介绍光场的相干性理论之前，需要首先介绍一下光场的探测过程。目前的光探测器大都是基于光电效应的原理，它在光场的量子相干理论的发展中起着十分重要的作用，因为光场的量子特性可通过光电效应的量子性而很好地体现出来。最近几年来，在光场中产生和探测不同程度的关联技术得到了迅猛发展。一个理想的探测器的尺寸非常之小，并且其灵敏度又不依赖于光子的频率。单个的原子可以被选作为这样的一种探测器。作为探测器的原子应该通常处于基态，一旦它吸收了一个光子而跃迁到了激发态之后，就将极快地弛豫到基态，因而可以忽略原子的受激辐射过程的影响。这就是说，作为探测器的原子，可以认为总是处于基态。在电偶极近似下，探测原子与光场的相互作用哈密顿量可表示为
1(,)H D E r t =-? ........................................................ 公式1-(16)
其中D 为原子的偶极算符，(,)E r t 为电场强度算符，它可以表示成 ()()(,)(,)(,)E r t E r t E r t +-=+ ............................................. 公式1-(17)
其中 ()1
2
()0(,)exp 2ik r
k k k k k E r t i e a i t V ωεωε+???=- ???
∑h ............................... 公式1-(18)
()
()
(,)(,)E r t E r t +
-+??=?? .................................................. 公式1-(19) 显然()
E
+为电场的正频部分，它只包含光场的湮没算符。()
E
-为负频部分，它只含有产生算符。
在光的吸收过程中，只有场的正频部分起作用。
由于假设入射的光场不是很强，因此探测原子从入射光场中每次只能吸收一个光子。当原子从
入射光场中吸收一个光子而从基态g 跃迁到某一激发态e 时，光场则从初态i 变到终态f 。由量子力学的微扰理论可知，在一级近似下。单位时间原子的跃迁概率正比于跃迁矩阵元
()
2
2
e D g
f E
i
+ .................................................. 公式1-(20)
实际上，场的终态f 无法探测，因此必须对其求和，利用完备性关系
1f
f f =∑
........................................................... 公式1-(21)
可得到单位时间跃迁到所有终态f 的总的概率正比于
()()()()2
2
e D g
i E E i e D g
TrE E i i -+-+?=? ..................... 公式1-(22)
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考虑到光场最初可能并不处于纯态i ，因此一般情况下，应采用场的密度算符来描述光场的初态。这样，单位时间内探测原子从基态g 到激发态e 的概率为 ()()2
1
,,,g e P const e D g
G r r t t →=? ..................................... 公式1-(23)
这里
()()()()()()1,,,,,G r r t t Tr E r t E r t ρ-+??=??? ................................. 公式1-(24)
它称为光场的量子自相关函数。更一般地，量子理论的一阶相关函数定义为
()()()()()()11122,,,,,G r r t t Tr E r t E r t ρ-+??=??? ............................... 公式1-(25)
其一阶相干度定义为
()()()()()
()()
()()()()()()
()11221
121211112222,,,,,,,,,Tr E r t E r t g r r t t Tr E
r t E r t Tr E r t E r t ρρρ-+-+-+?????
=
??????????
... 公式1-(26)
与推导光场的一阶相干度类似，量子理论中光场的二阶相干度定义为
(
)
()()()()()()()()
()()
()()()()()()
()111222222111212121
11111222222,,,,,,,,,,,Tr E r t E r t E r t E r t g r r t t Tr E r t E r t Tr E r t E r t ρρρ--++-+-+??????
=
??????????
... 公式1-(27)
二阶相干度反映了光场强度张落的关联程度，它可由Hanbury Brown-Twiss(简记为HBT)实验来测量，根据电场算符的表达式，可将二阶相干度简化为
()
()()()()()
()()()()
??
2??,lim
j k k j jk t j
j k
k a t a t a t a t g t t a t a t a t a t τττττ→∞
+++=++ ........................ 公式1-(28)
二阶关联函数一般又称为强度关联函数。一般地，如果用原子算符表示二阶关联函数，其归一化的强度关联函数为
()()()()()()
1,1,1,11,11,1lim
j j k k j j jk t j j k k t t t g t t σσστσστ++++→∞
++++=+ ................................ 公式1-(29)
上式中按正规序排列的三算符双时关联函数，可通过量子回归定理求解。
量子回归定理描述了系统算符和库之间相互作用的运动，是处理多时间平均问题的基础理论，在研究共振荧光谱和强度关联函数中有十分重要的应用。Lax 在文献
〔30〕
中对量子回归定理进行了
具体的推导，如果M 是一个完备马尔可夫算符M μ的线形组合，那么该算符的时间演化可以写为下面的形式
()()(),''i i i
M t a t t M t =∑ ............................................ 公式1-(30)
如果系数(),'i a t t 已知，那么算符的双时平均可以写为
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()()()()()()()'',''''i i
Q t M t N t a t t Q t M t N t =∑ ....................... 公式1-(31)
这里，'t t >。算符N 和Q 为t 时刻以前的任何时刻的系统算符。据此可对公式1-(29)进行推导，利用演化算符
()()1,11,1,,k k k k m n mn mn
t h t στσ+++++=∑ ....................................... 公式1-(32)
并根据量子回归定理，可将归一化的强度关联函数简化为
()()
()
()1,1,,11
1,1k k j j j k jk k k k h P g P τττσ++→++++=
=
∞ ....................................... 公式1-(33)
其中()()11,1,,j k k k j j P h ττ→+++=表示当原子初始处在j 态时，t τ+时刻原子处于1k +态的几率。
1k P +表示原子处于1k +态的定态值。
1.3 量子回归理论
量子回归定理是处理多时间平均问题的基础理论。研究荧光的谱密度和光子反聚束特性时通常都会用到双时关联函数。通常来说，仅仅一个密度矩阵方程的解还不足以计算双时关联函数，还需要跃迁几率分布。然而在某些条件下量子回归定理就可以通过计算单时关联函数从而得到双时关联函数。Lax
〔31〕
认为量子回归理论描述了系统算符和库相互作用的运动行为。如果M 是一个完备马
尔可夫算符M μ的线性组合，那么该算符的时间演化可以写为下面的形式
()(,)()i i i
M t a t t M t ''=∑ .............................................. 公式1-(34)
如果系数(,)i a t t '已知，那么算符的双时平均可以写为
()()()(,)()()()i i i
Q t M t N t a t t Q t M t N t ''''''=∑ ........................... 公式1-(35)
三时平均可以写为
(,)()(,)(,)(,)()(,)i i i
Q t t M t N t t a t t Q t t M t N t t ''''''''''''''=∑ .................. 公式1-(36)
这里N 和Q 是任意的系统算符，t t t '''>>。一方面，量子回归定理是马尔可夫属性的一个很显然的结果，可以从下面的过程看出来。由朗之万过程
()d
M A F t dt
μμμ=+ ..................................................... 公式1-(37) 若该系统为马尔可夫过程，则
()()()0,(,)()(,)0,Q t F t N t t t Q t t F t N t t t t t μμ'''=>'''''''''
=>> .................................... 公式1-(38)
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其中，()F t μ是朗之万力。从上面的计算可以发现，朗之万力()F t μ与t 时刻以前的算符是没有关联的，所以量子回归定理可以作为马尔可夫过程的定义，并且朗之万力的属性也是该定理的必然结果。另一方面，经典回归理论与通常定义的马尔可夫系统是完全等价的。考虑一系列的系统算符
12,,,f a a a a ??≡??K 和一系列的与之相联系的c -数12,,,f αααα??≡??K 。通常的算符函数()
M a 就可以通过某种对应关系和经典函数相对应
(c)()()()M a M a M a =?=? ............................................... 公式1-(39)
上式可以写为一种等价的形式
()1122()()()()()c f f M a d M a a a ααδαδαδα=---?K ..................... 公式1-(40)
算符(())M a t 在t 时刻的平均值为
[](())()()M a t Tr M a t ρ= .............................................. 公式1-(41)
用c -数来表示算符的平均值 ()(())()(,)c M a t d M P t ααα=?.......................................... 公式1-(42)
其中
1122(,)()()()f f P t a a a αδαδαδα≡---K .............................. 公式1-(43)
这里(,)P t α表示算符和c -数按照从左到右、下标从1到f 的对应关系排列顺序的准几率密度。如果算符和c -数的对应关系式完全对称，则分布函数就是魏格纳分布函数 ()()
()
1122(,)(2)f f i t i t i t f i P t d e e
e e
ξαξαξαξααπξ-----?=??L ...................... 公式1-(44)
j j
ξαξα?≡∑ ......................................................... 公式1-(45)
此时
()
()()
()()(2)
f
i i M a WM d M
d e
e
ωωξαξα
αααπξ--??==?? .................................. 公式1-(46)
算符的平均值表示为
()(())()(,)M a t d M P t ωωααα=? ........................................ 公式1-(47)
对应经典马尔可夫过程多时几率密度定义为
111111111,1(,;,;,)(,|,)(,;)n n n n n n n n n n P t t t P t t P t t ααααααα------=?L L .......... 公式1-(48)
写成等价的形式
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111111111,1(,;,;,)(,|,)()(,;)n n n n n n n n n n P t t t p t t d P t t ααααααδαααα------'''=-??L L 公式1-(49)
在上式两边同时乘以11(())((),())n n M t N t t ααα-L ，并积分得到
111111(())((),())
()(,|,)(())((),())
n n n n n n n n n M t N t t M d P t t d t N t t ααααααααδαααα----'''=?-??L L ..... 公式1-(50)
对于任何过程，马尔可夫过程或者非马尔可夫过程，双时关联函数均可以写为
1111111111(,;,)(,|,)(,)
(,|,)(())
n n n n n n n n n n n n n n n n P t t P t t P t P t t t αααααααδαα----------==?- .................. 公式1-(51)
两边同时乘以()n M α，并对1,n n αα-积分，得到
11(())()(,|,)(())n n n n n n n M t M d P t t d t ααααααδαα--'''=?-?? ........... 公式1-(52)
这里一系列的函数1(())n t δαα-'-中的α'就是量子回归定理中M μ的完备集。比较公式1-(50)和公式1-(52)，可以发现只要在公式1-(52)的两端平均值中都乘以因子N 就可以得到公式1-(50)，这就是量子回归定理的经典描述，这个证明过程的逆过程也是成立的。从而表明，量子回归定理和马尔可夫属性是完全等价的。量子回归定理就等价于假定这个系统是马尔可夫系统，所以我们可以用量子回归定理作为量子马尔可夫系统的定义。
利用Lax 的量子回归定理，以二能级原子为例，可以计算其二级关联函数。如果二能级原子上下能级分别表示为2、1。由算符σ+
、σ-
的定义，可知在相互作用绘景中
12exp()()i t t σωρ+= ................................................... 公式1-(53)
21exp()()i t t σωρ-=- .................................................. 公式1-(54)
22()t σσρ+-= ........................................................ 公式1-(55)
由布洛赫方程的线性（只含ij ρ的一次项)可知方程的解()ij t ρ与初值12(0)ρ、21(0)ρ、22(0)ρ成线性关系。利用公式1-(55)
，可知σσ+
-
和22()t ρ都与(0)ij ρ
成线性关系。这样可把σσ
+-
写成
1234()()()()(0)()(0)()(0)(0)t t t t t t σσαασασασσ+--++-=+++ ..... 公式1-(56)
其中()i t α可由布洛赫方程的解确定，但这里并不需要其具体表达式。进而考虑到经过很长时间以后，系统便与初条件无关了。这样公式1-(56)的系数必满足下式 234()()()0ααα∞=∞=∞= .............................................. 公式1-(57)
1()()()σσα+-∞∞=∞ ................................................. 公式1-(58)
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下面把()()t t σσ+-看成量子回归定理中的M 算符，而令(0)()Q t σ+'=，(0)()N t σ-'=，则由(1.20)式有
1(0)()()(0)()(0)(0)t t t σσσσασσ++--+-= ............................. 公式1-(59)
其中左边的()()t t σσ+-用公式1-(56)的算符形式进入，并且其中的一些项为零，即
(0)(0)(0)(0)(0)(0)
(0)(0)(0)(0)0
σσσσσσσσσσ+--++-++--=== ........................... 公式1-(60) 公式1-(60)的关系式容易利用公式1-(56)，公式1-(57)和公式1-(58)得到，即对公式1-(60)的每一部
分都用量子回归定理，并且把数（例12(0)(0)σρ+
=&是数)都看成算符特例，再特别注意到这时公
式1-(34)右边系数i α都为零。再一次利用()E σ+-:,()()E σ-+:，可把二阶关联函数写成原子算符的形式，即
(2)
2
(0)()()(0)
()()()t t g t σσσσσσ++--+
-
=
??
∞∞??
........................................ 公式1-(61)
其中表明0t '=与0t t t '+≡+之间的关联，分母中的光强期待值成了定态的期待值（这里只考虑定态条件)。将公式1-(58)和公式1-(59)带入公式1-(61)，则
(2)11()
()()
t g t αα=
∞ ......................................................... 公式1-(62)
再利用公式1-(56)，公式1-(57)和公式1-(58)的系数以及公式1-(55)可知
122()()()()t t t t ασσρ+-== ............................................. 公式1-(63)
带入公式1-(62)则得到二阶关联函数的公式 (2)221()
()()
t g t ρα=
∞ ......................................................... 公式1-(64)
1.4 相干布居捕获
原子态的相干叠加可以产生一些新的效应，其中相干布居捕获就是一个重要现象。由于相干布居捕获引起的原子荧光的消失是原子相干的有力证明，相干布居捕获也叫暗共振。原子的这个捕获态在很多方面都有重要的应用。例如:电磁诱导透明
〔32-38〕
，无反转激光
〔39-42〕
，绝热布居转移
〔43〕
等等。
如果制备原子在一个相干叠加态上，那么在一定条件下，原子对场的吸收可能为零。
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图1.2 三能级Λ型原子与两光场相互作用模型
如图1.2所示，考虑Λ型三能级原子与两个光场相互作用时的布居捕获现象。频率为c ω和拉比频率为c Ω的场藕合能级1和2，频率为p ω和拉比频率为p Ω的场藕合能级2和3，并假设
1和3相互之间是偶极禁戒的。
在旋波近似下，系统的哈密顿量为
0I H H H =+ ........................................................... 公式1-(65)
其中自由哈密顿量为
()0333111H σσ=?+? .................................................. 公式1-(66)
相互作用的哈密顿量为
()2321.2
p c V H C σσ=-
Ω+Ω+
.......................................... 公式1-(67) 其中失谐量123c ωω?=-，221p ωω?=-。23ω，21ω是两个跃迁共振频率。
当系统满足120?=?=时，暗态是哈密顿量H 的本征值为零的态，用-态表示。在本系统中即原子由于21→和23→之间的相消干涉，导致处在暗态-的原子没有被场激发。 0H -= .............................................................. 公式1-(68)
得
()
31c p -=-Ω+ΩΩ ............................................... 公式1-(69)
其中2
2
=p c
ΩΩ+Ω。当系统满足三光子共振条件12?=?=?，暗态是系统哈密顿量H 的本
征态，即H -=?- 。此时暗态是稳定的，下面我们计算这种特殊情况下原子的布居数。因为自发辐射对暗态的形成没有影响，为方便计算，不考虑自发辐射。
在旋波近似和偶极近似下的主方程为
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[],i
H ρ
ρ=-
.......................................................... 公式1-(70) 由主方程和封闭系统的布居守恒定律，可以得到密度矩阵元的运动方程为
*
1121121122
c c i i ρρρρΩΩ==- .......................................... 公式1-(71)
*
**
2212213223222222p c c c i i i i ρρρρρρΩΩΩΩ==-+- ....................... 公式1-(72)
()212111223121+22p c
i i i ρ
ρρρρρΩΩ==-?-+ ........................... 公式1-(73)
()232333221323+22
p c
i i i ρ
ρρρρρΩΩ==-?-+ ........................... 公式1-(74)
*
1323121322
p c i i ρρρρΩΩ==- .......................................... 公式1-(75)
初态时000ρ=，解上述密度运动方程的稳态解，我们得到
2
112
2
c
p c
ρΩ=
Ω+Ω ...................................................... 公式1-(76)
2
222
2
p
p c
ρΩ=
Ω+Ω ...................................................... 公式1-(77)
这说明在双光子共振的条件下，初态处在相干叠加态()
31
c p -Ω+ΩΩ的原子，在与双模相干
场发生相互作用的时候，原子的布居数出现稳恒的状态，这种现象称为原子的相干布居捕获。
导致这种现象的原因是原子21→和23→两种不同的单光子跃迁之间存在一定的干涉效应。而初始处于态()
31
c p -Ω+ΩΩ的原子由于这种相消干涉造成光场-原子相互作用系统
彼此退耦，使得原子处在2上的布居数为零。此时1和3的布居数也没变，光场的相干性质也没变，系统发生原子的相干布居捕获。
2 三能级Λ型原子强度关联的研究[27]
在V 型三能级原子中，Swain 等人
〔44〕
用一个单模驱动场同时祸合两个非简并的激发态与基态，
当驱动场很强时，量子干涉会导致两激发态辐射出反关联光子。另外，量子干涉还将导致两激发态的一个叠加态辐射强关联光子，而另一个态则辐射反关联光子。在同一系统中，在非共振驱动级联
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型三能级原子系统中，由于系统内多重量子干涉机制的建立，导致了两荧光场出现强关联和反关联
〔45〕
。与此同时，三能级Λ型原子荧光场的强度关联也得到了研究，在本章中我们对此做简要的介
绍。其研究结果表明，在没有量子干涉时，该系统辐射的荧光场产生了强关联光子。而在量子干涉最大时，强度关联却变到一般了。这是否说明在Λ系统中不需要量子干涉效应就可以产生强关联呢？为此，通过修饰态变换发现Λ系统实际上可以等价于一个V 型系统，在它的衰变通道之间也存在量子干涉，因此强关联的出现也是由于量子干涉。通过比较Λ系统和V 型系统，得出如下结论：强关联与CPT 相联系。对V 型系统，量子干涉和相干激发一起导致系统出现CPT 现象，此时荧光场出现强关联；对Λ系统，在修饰态绘景下，量子干涉和相干一起诱导系统产生CPT 现象，荧光场也出现出了强关联。
2.1模型与方程
考虑一个三能级Λ型原子，如图2.1(a)所示。两个亚稳态是非简并的但相距很近。用一个单模强场同时耦合两个跃迁。很明显CPT 条件不能很精确地满足。在合适的旋转框架和偶极近似下，约化密度算符的主方程为
图2.1 (a)三能级Λ系统。k Ω是原子与场相互作用的拉比频率。k γ是原子衰变速率，1,2k
=。(b)在修饰绘景
中的等价系统。a Ω和a γ是修饰绘景中的有效哈密顿量和衰变速率。
[]1212,d i
H L L L dt ρρρρρ=-+++
......................................... 公式2-(1) 这里
()111222113223..H H c σσσσ=-?-?-Ω+Ω+ ............................. 公式2-(2)
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为系统的哈密顿量，且 ()1
11331333322
L γρσρσσρρσ=-- .......................................... 公式2-(3)
()2
22332333322
L γρσρσσρρσ=
-- ......................................... 公式2-(4)
12,γγ分别描述从态3到态1和2各自的衰变速率。为了比较，在这个系统中引入量子干涉项。
()121213322331L ρβγγσρσσρσ=+ ......................................... 公式2-(5)
这个干涉项产生于当两偶极矩不互相垂直时两个跃迁13-和23-与相同的真空模耦
合。参数β表示的是两偶极矩的相互方向，0β=表示两偶极矩相互垂直；1β=±表示两偶极矩平行或是反平行。kl k l σ=在k l =时为投影算符，在k l ≠时为跃迁算符(),1,2,3k l =。
112E μΩ=? 和222E μΩ=? 为拉比频率，这里E 为场振幅，1μ和2μ是原子偶极矩。131ωω?=-和232ωω?=-是原子与场的失谐，31ω和32ω是原子共振跃迁频率，21ω是两亚稳态
间的能级间距。获得密度矩阵元方程如下 11
133131113d i i dt
ργρρρ=+Ω-Ω .............................................. 公式2-(6) ()33
1233113131223232d i i i i dt
ργγρρρρρ=-++Ω-Ω+Ω-Ω ...................... 公式2-(7)
12
21121233213132d i i i dt
ρωρβγγρρρ=+-Ω+Ω ................................ 公式2-(8)
()()13121132121331112d i i i dt ργγρρρρ??
=-+-?-Ω+Ω-???? ...................... 公式2-(9)
()()23122231212332212d i i i dt ργγρρρρ??
=-+-?-Ω+Ω-????
.................... 公式2-(10) 归一化的强度关联函数的表达式为
()()()()()()()()()
()()
()
()
()()
()
2lim
t E t E t E t E g E
t E t E
t E t τττττ--++-+-+→∞
++=++ ....................... 公式2-(11)
对这个系统，有()
()()()()113223E
t D t t t μσμσ+∝=+并且()()()~?E t D t ∝。将原子算符与场算
符相联系，可将关联函数写为
()()()()
()()()
?3322
2
1
2
33
33lim
t D t t D t g t t σττμ
μσ
στ→∞
+=++ ............................. 公式2-(12)
通过量子回归定理，关联函数()()()?
33D t t D t στ+严格遵从随时间τ演化的密度矩阵元()
lk ρτ的方程组，满足的初始条件是()()330lk t ρσ，这里()00lk ρ=除了
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()11112
0γργγ=
+ ........................................................ 公式2-(13)
()22212
0γργγ=
+ ........................................................ 公式2-(14)
()()12
122112
00βγγρργγ=
+ ............................................... 公式2-(15)
因此可将归一化的关联函数表示为
()()()
332033
lk g ρρττρ=
.................................................... 公式2-(16)
这里()33ρτ和33ρ分别为能态3上的瞬态布居和定态布居。
2.2 结论及解释
在以下的数值计算中，拉比频率、失谐和衰变速率都以1γ为单位，时间的单位是()
11
γ-。图
2.2(1a )0β=，211ω=，(2a )0β=，212ω=，(1b )1β=，211ω=，(2b )1β=，212ω=，分别画出了强度关联函数()2g τ。其他的参数选择为21γ=，125Ω=Ω=，212ω?=。在没有量子干涉时，关联函数的最大值在211ω=()1a 和212ω=()2a 时分别是41.8和10.8。这些最大值随能级间距21ω的减小而增大，关联函数产生最大值的条件与三能级V 型系统形成强烈的对比，在V 型系统中，强关联仅仅发生在量子干涉存在时。而对Λ系统，一旦存在量子干涉，关联函数的值将小于2。如图()1b 和()1b 所示，与二能级的一般情形类似。