2003年全国高中数学联赛试卷及答案
2003年全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题
本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第2003项是 【答】（ ） （A ）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
22 ）
3. 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60?
的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 【答】（ ） （A ）
163 (B)83 (D) 4. 若5,,123x ππ??∈--????则2tan tan cos 366y x x x πππ?
????
?=+
-+++ ? ? ???????
的最大值是
（A (C) 127 (D) 12
5 【答】（ ） 5. 已知,x y 在区间()2,2-内，且1,xy =-则函数22
49
49u x y =
+--的最小值是 （A ）
85 (B)2411 (C) 127 (D) 125
【答】（ ） 6. 在四面体ABCD 中设1,AB CD ==AB 与CD 的距离为2，夹角为
3
π
，则四面体ABCD 的体积等于 【答】（ ） （A ）
2 (B) 12 (C) 1
3 (D) 3
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．不等式3
2
2430x x x --+<的解集是______________
8．设12,F F 是椭圆22
194
x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则
12PF F ?的面积等于_____________.
9. 已知 {}
2430,,
A x
x x x R =
-+<∈ (){}
1220,2750,.x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ?，则实数a 的取值范围是
_____________.
10. 已知,,,a b c d 均为正整数，且35
log ,log ,24
a c
b d =
=若9a c -=，则b d -=____________.
11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相
切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.
12．设()_____________
120.011,2,,1),1,n n i n M n a a a a i n a ??
=???=???-=????
十进制位纯小数只取或（
n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则lim
n
n n
S T →∞
=________. 三、解答题 （本题满分60分，每小题20分） 13． 设
3
5,2
x ≤≤ 证明不等式
319.
14．设A,B,C 分别是复数0121
,,12
Z ai Z bi Z ci ==
+=+（其中,,a b c 都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线 4224012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ?中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点.
15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点
'A 刚好与A 点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当'A 取遍圆周上所有的点
时，求所有折痕所在直线上点的集合.
2003年全国高中数学联赛加试试题
第二试
一、（本题满分50分）
过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D 两点，C 在P, D 之间. 在弦CD 上取一点Q, 使.DAQ PBC ∠=∠ 求证：.DBQ PAC ∠=∠ 二、（本题满分50分）
设三角形的三边长分别是整数,,,l m n 且.l m n >>已知444333,101010l m n ??????
==????????????
其中
{}[],x x x =-而[]x 表示不超过x 的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.
三、（本题满分50分）
由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间四边形，其中
21,n q q =++()2
111,2,.2
l q q q q N ≥++≥∈已知此图中任四点不共面，每点至少有一条
连线段，存在一点至少有2q +条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D 和四条连线段AB,BC,CD,DA 组成的图形）
2003年全国高中数学联赛第一试参考答案
提示：
1. 注意到2025452
=,2116462
=,故20484520032003=+=a ;
2. 题设方程可化为b ax y +=和12
2=+b
y a x ,观察图形可知；
3. 易知直线AB 的方程为x y 3=,因此A,B 两点的横坐标满足方程016832
=--x x ,从
而弦AB 中点的横坐标为340=
x ,纵坐标3
40=y ,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P 的横坐标即PF=3
16； 4. 原函数可化为??? ??
++??? ?
?+=
6cos 342sin 2
ππx x y ,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当3
π
-
=x 时，y 取最大值
36
11
; 5. 消去y 之后可得：?
?? ?
?
+-+
=224937351x x u ,用基本不等式可求得函数u 的最小值
5
12
; 6. 可用等积法求得，过程略。
二、填空题 7. ???
?
??-???? ??---3,215215,3 . 提示： 原不等式可以化为:()()
01||3||2<-+-x x x
8. 4 21F PF ?是直角三角形，故21F PF ?的面积为4422
1
||||2121=??=?=PF PF S ;
9. 14-≤≤-a
提示：()3,1=A ,令()a x f x
+=-12
,()()5722++-=x a x x g ,则只需()()x g x f ,在
（1，3）上的图象均在x 轴的下方，其充要条件是()()()()????
???≤≤≤≤0
3010301g g f f ,由此推出14-≤≤-a ;
10．93 提示： 由已知得d c b a ==4
523,,4
2,???
??=??? ??=c d c a b a ,又 9=-c a ，故
9222242=???? ??-???? ??+=??? ??-??? ??c d a b c d a b c d a b ,推得???????=-=+192
222
c d a b c d a b ,32,12516,25====d b c a ; 11
2+
提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D 分
别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M 为弧AB 的中点。由于A1A=A1B=AB=2,2=
=OA OM ,12-=MN ,求得
()()42
2118=-=
MN N A M
A ,故所求的高为2+ ；
12．
118 提示： 12-=n n T ,n n n n n S 101210110
11012211121?+??? ??+++?=---
三、解答题 13．
证明：由()bd ac da cd bc ab d c b a d c b a +++++++++=+++2)(2
2
2
2
2
可得
,22222d c b a d c b a +++≤+++当且仅当a=b=c=d 时取等号 ……5分
则()()()()x x x x x x x 31532112
3153212-+-++++≤-+-++
192142≤+=x ……………………………………………………15分 因为x x x 315,32,
1--+不能同时相等，所以
1923153212<-+-++x x x ……………………………………20分
14．设()R y
x yi x z ∈+=,,则代入并由复数相等可得
()()()
??
???≤≤+-+-==10121sin 222
x cx x x b x a y t x 即()()a x a b x b c a y +-+-+=222因为
A,B,C 不共线 ，所以02≠-+b c a ,可见所给曲线是抛物线段（图略）…………5分 AB,BC 的中点分别是???
??+???
?
??+2,43,2,41c b E b a D ,； 所以DE 的方程为 ()()c b a x a c y -++
-=234
1
……………………………10分 联立两式得()02122
=??? ?
?
--+x b c a ,得 21=x ,注意到432141<<,所以抛物线与ABC
?中平行于AC 的中位线DE 有且只有一个公共点，此点的坐标为??
?
??++42,21b c a ,相应的复
数为i b
c a z 4
221+++=
…………………………………………………………15分 15．如图建立直角坐标系，设()ααsin ,cos 1R R A ,MN 为AA1的中垂线，设P （x,y ）是MN 上任一点，则|PA|=|PA1| ……5分 代入推得()ax a R y x R 2sin cos 222+-=+αα ………10分 可得(),22sin 2
2
22y
x R ax a R ++-=
+αθ其中2
2
sin y
x x +=
θ,
2
2cos y
x y +=
θ. 所以
1222
2
22≤++-y
x R ax a R …………15分
平方后可化为
122222
2222
≥??
? ??-??? ??+??? ???
?? ??
-a R y R a x 所求点的集合为椭圆122222
2222
≥??
? ??-??? ??+??? ???
?? ??
-a R y R a x 外（含边界）部分。…………20分