9-01,一轮回扣,2018高考数学,分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【考纲下载】

1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．

2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．

两个计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有m n种方法，则完成这件事，共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法．2．分步乘法计数原理

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1m2…m n种不同的方法．

1．选用分类加法计数原理的条件是什么？

提示：当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事

情，这时就用分类加法计数原理．

2．选用分步乘法计数原理的条件是什么？

提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有

步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理．

1．某班班干部有5名男生、4名女生，从9人中选1人参加某项活动，则不同选法的种

数为()

A．9 B．5 C．4 D．72

解析：选A分两类：一类从男生中选1人，有5种方法；另一类是从女生中选1人，

共有4种方法．因此，共有5＋4＝9种不同的选法．

2．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各

取一个球，不同取法的种数为()

A．182 B．14 C．48 D．91

解析：选C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48.

3．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()

A．20 B．25 C．32 D．60

解析：选C依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.

4. 如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为()

A．6,8 B．6,6 C．5,2 D．6,2

解析：选A从甲地经乙地到丙地，分两步：

第1步，从甲地到乙地，有3条公路；

第2步，从乙地到丙地，有2条公路．

根据分步乘法计数原理，共有3×2＝6种走法．

从甲地到丙地，分两类：

第1类，从甲地经乙地到丙地，有6种走法；

第2类，从甲地不经过乙地到丙地，有2条水路，即有2种走法．

根据分类加法计数原理，共有6＋2＝8种走法．

5．计划在四个体育馆举办排球、篮球、足球三个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有________种．

解析：每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，根据分步乘法计数原理，共有43＝64种安排方案，其中三个项目的比赛都安排在同一个体育馆进行的4种安排方案不符合题意，所以在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有64－4＝60种．答案：60

[例1](1)若x，y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有________个．

(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．

[自主解答](1)因为x，y∈N*，且x＋y≤6.

所以当x＝1时，y有5个不同的值；

当x＝2时，y有4个不同的值；

当x＝3时，y有3个不同的值；

当x＝4时，y有2个不同的值；

当x＝5时，y有1个不同的值．

由分类加法计数原理知，共有5＋4＋3＋2＋1＝15个符合条件的有序自然数对．

(2)当个位数为2时，十位数只能取1；当个位数为3时，十位数有2种取法；当个位数取4时，十位数有3种取法；…；当个位数为9时，十位数有8种取法．依分类加法计数原理知：共有1＋2＋…＋8＝36个符合条件的两位数．

[答案](1)15(2)36

【互动探究】

本例(2)中的条件不变，求个位数字小于十位数字的两位数且为偶数的个数．

解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；

当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个；

当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．

同理可知；

当个位数字是2时，共7个；

当个位数字是0时，共9个．

由分类加法计数原理知，共有1＋3＋5＋7＋9＝25个符合条件的两位数．

【方法规律】

1．分类加法计数原理的特点

(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准．

(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．

2．使用分类加法计数原理遵循的原则

有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．

1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()

A．3 B．4 C．6 D．8

解析：选D法一：①公比为2时，等比数列可为1,2,4；2,4,8；②公比为3时，等比数

列可为1,3,9；③公比为32

时，等比数列可为4,6,9，又4,2,1和8,4,2；9,3,1；9,6,4也是等比数列，所以共8个．

法二：①当q >1时，分别以1,2,4为首项的有1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9.②当0

2．椭圆x 2m ＋y 2n

＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．

解析：以m 的值为标准分类，分为五类．

第1类：m ＝1时，使n >m ，n 有6种选择；

第2类：m ＝2时，使n >m ，n 有5种选择；

第3类：m ＝3时，使n >m ，n 有4种选择；

第4类：m ＝4时，使n >m ，n 有3种选择；

第5类：m ＝5时，使n >m ，n 有2种选择．

由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有20个．

答案：20

[例2] 已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )(a ，b ∈M )表示平面上的点，则

(1)P 可表示平面上________个不同的点．

(2)P 可表示平面上________个第二象限的点．

[自主解答] (1)确定平面上的点P (a ，b )可分两步完成：

第1步，确定a 的值，共有6种确定方法；

第2步，确定b 的值，也有6种确定方法．

根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.

(2)确定第二象限的点，可分两步完成：

第1步，确定a ，由于a <0，所以有3种确定方法；

第2步，确定b ，由于b >0，所以有2种确定方法．

由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.

[答案] (1)36 (2)6

【方法规律】

利用分步乘法计数原理解决问题时要注意

(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．

(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．

(3)对完成各步的方法数要准确确定．

1．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．

解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18个二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6个偶函数．

答案：18 6

2. 如图所示，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．

解析：电路不通可能是一个或多个焊接点脱落，问题比较复杂．但电路通的情况却只有一种，即各焊接点全未脱落．因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．

答案：63

1．两个计数原理的应用，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．

2．高考对两个计数原理的考查主要有以下几个命题角度：

(1)与数字有关的问题；

(2)涂色问题．

[例3](1)(2013·福建高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()

A．14 B．13 C．12 D．10

(2)(2014·新余模拟)

如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则涂色方法共有________种．

[自主解答](1)当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；

当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．

综上，共有13个满足要求的有序数对．

(2)因为区域1与其他4个区域都相邻，首先考虑区域1，有4种涂法，然后再按区域2,4同色和不同色，分为两类：

第1类，区域2,4同色，有3种涂法，此时区域3,5均有2种涂法，共有4×3×2×2＝48种涂法；

第2类，区域2,4不同色，先涂区域2，有3种方法，再涂区域4，有2种方法，此时区域3,5都只有1种涂法，共有4×3×2×1×1＝24种涂法．

根据分类加法计数原理，共有48＋24＝72种满足条件的涂色方法．

[答案](1)B(2)72

与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的问题．可分类解决，每类中又可分步完成；也可以直接分步解决；

(2)涂色问题．可按颜色的种数分类完成；也可以按不同的区域分步完成．

1．(2014·遵义模拟)某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门．则不同的分配方案有()

A．36种B．38种C．108种D．114种

解析：选A分两步完成，第一步分组有C12C23C13种方法；第二步分配到两个部门有A22种方法．由分步乘法原理得：共有C12C23C13A22＝36种分配方案．

2．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法共有________种(以数字作答)．

解析：由题设，四棱锥S -ABCD 的顶点S ，A ，B 所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．

当S ，A ，B 染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3，若C 染2，则D 可染3或4或5，有3种染法；若C 染4，则D 可染3或5，有2种染法；若C 染5，则D 可染3或4，有2种染法．可见，当S ，A ，B 已染好时，C ，D 还有7种染法，故有60×7＝420种不同的染色方法．

答案：420

———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————

2个区别——两个计数原理的区别

(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；

(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；

(3)复杂问题一般是先分类再分步．

数学思想(十二)

计数原理中的分类讨论

由于计数原理一个是分类计数原理，一个是分步计数原理，解决与计数原理有关问题时，要分清两个原理的区别，一般要考虑问题有几种情况，即分类；考虑每种情况有几个步骤，即分步．要求既要合理分类，又要合理分步．

[典例] (2013·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数

为()

A．243 B．252 C．261 D．279

[解题指导]排三位数可分步来完成，但要注意有重复数字这一条件．

[解析]十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：

第1步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)；

第2步，排十位数字，有9种方法；

第3步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8＝648个没有重复数字的三位数．

可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.

[答案] B

[题后悟道] 1.本题主要考查两个计数原理，注意到有重复数字三位数这一条件是解题的关键．

2．对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现重复或遗漏的现象．

已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形的种数为()

A．9 B．16 C．20 D．28

解析：选D当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数；当a为其他数时，b都可以取3个数．故共有28种情形．

[全盘巩固]

1．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()

A．2 160 B．720 C．240 D．120

解析：选B分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．

2．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是()

A．20 B．16 C．10 D．6

解析：选B当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．

3. (2014·汕头模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同涂法的种数为()

A．400 B．460 C．480 D．496

解析：选C从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，则有6×5×4×(1＋3)＝480种不同涂法．

4．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()

A．9 B．14 C．15 D．21

解析：选B∵P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P?Q，∴x∈{y,1,2}．

∴当x＝2时，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况；

当x＝y时，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况．

共有7＋7＝14种情况．即这样的点的个数为14.

5．(2014·济南调研)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()

A．40 B．16 C．13 D．10

解析：选C分两类情况讨论：

第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；

第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．

根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．

6．(2014·抚州模拟)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()

A．60 B．48 C．36 D．24

解析：选B长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.

7．在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素，又点P到原点的距离|OP|≥5.则这样的点P的个数为________．

解析：依题意可知：

当a＝1时，b＝5,6两种情况；

当a＝2时，b＝5,6两种情况；

当a＝3时，b＝4,5,6三种情况；

当a＝4时，b＝3,4,5,6四种情况；

当a＝5或6，b各有6种情况．

所以共有2＋2＋3＋4＋6＋6＝23种情况．

答案：23

8．集合N＝{a，b，c}?{－5，－4，－2,1,4}，若关于x的不等式ax2＋bx＋c<0恒有实数解，则满足条件的集合N的个数是________．

解析：依题意知，最多有C35＝10个集合N，其中对于不等式ax2＋bx＋c<0没有实数解的情况可转化为需要满足a>0，且Δ＝b2－4ac≤0，因此只有当a，c同号时才有可能，共有2种情况，因此满足条件的集合N的个数是10－2＝8.

答案：8

9．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a i(i＝1，2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

解析：分两步：

第1步，先排a1，a3，a5，若a1＝2，有2种排法；若a1＝3，有2种排法；若a1＝4，有1种排法，所以共有5种排法；

第2步，再排a2，a4，a6，共有A33＝6种排法，故有5×6＝30种不同的排列方法．

答案：30

10．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；

(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．

解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有36＝729种不同的报名方法．

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得共有6×5×4＝120种不同的报名方法．

(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得共有63＝216种不同的报名方法．

11．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？

解：用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．

第1类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6，分6步完成这件事，共有

3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．

第2类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．

第3类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．

由分类加法计数原理得：6个广告共有36＋36＋36＝108种不同的播放方式．

12. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种(用数字作答)．

解：法一：从题意来看，6部分种4种颜色的花，又从图形看，知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求解．

(1)2与5同色，则3,6也同色或4,6也同色，所以共有4×3×2×2×1＝48种栽种方法；

(2)3与5同色，则2,4或4,6同色，所以共有4×3×2×2×1＝48种栽种方法；

(3)2与4且3与6同色，所以共有4×3×2×1＝24种栽种方法．

所以共有48＋48＋24＝120种栽种方法．

法二：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1,2,3有4×3×2种不同的栽法，不妨设1,2,3已分别栽种A，B，C，则4,5,6的栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见．

根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×5＝120种不同的栽种方法．

[冲击名校]

1．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法的种数为()

A．50 B．49 C．48 D．47

解析：选B根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A，B中没有相同的元素，且都不是空集，按A中元素分情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加即可．第1类，当A中最大的数是1时，A是{1}，B可以是{2,3,4,5}的非空子集，即有24－1＝15种选法；

第2类，当A中最大的数是2时，A可以是{2}或{1,2}，B可以是{3,4,5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14种选法；

第3类，当A中最大的数是3时，A可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，B可以是{4,5}的非空子集，即有4×(22－1)＝12种选法；

第4类，当A中最大的数是4时，A可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，B是{5}，即有8×1＝8种选法．

综上可知，共有15＋14＋12＋8＝49种不同的选择方法．

2．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数为________．

解析：第1步，1＝1＋0，或1＝0＋1，共2种组合方式；

第2步，9＝0＋9，或9＝1＋8，或9＝2＋7，或9＝3＋6，…，或9＝9＋0，共10种组合方式；

第3步，4＝0＋4，或4＝1＋3，或4＝2＋2，或4＝3＋1，或4＝4＋0，共5种组合方式；

第4步，2＝0＋2，或2＝1＋1，或2＝2＋0，共3种组合方式．

根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300.

答案：300

第11章计数原理随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考点11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 概念方法微思考 1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？ 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理． 2．两种原理解题策略有哪些？ 提示 ①明白要完成的事情是什么； ②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； ③有无特殊条件的限制； ④检验是否有重复或遗漏． 1．（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 【答案】D 【解析】根据正六边形的性质，则111D A ABB -，111D A AFF -满足题意， 而1C ，1E ，C ，D ，E ，和1D 一样，有248?=， 当11A ACC 为底面矩形，有4个满足题意， 当11A AEE 为底面矩形，有4个满足题意， 故有84416++= 故选D ． 2．（2020?上海）已知{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有__________种． 【答案】18 【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种， 故共有：2464218++++=． 故答案为：18． 3．（2018?新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 知识与技能： ①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法： ①通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分 析能力； ②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力； 情感态度与价值观： ①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣 ②引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式. 教学重点理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 教学难点弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学方法启发式 教具准备多媒体 教学过程 一、引入课题 引例：从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？ 决问题. 设计意图：从贴近学生实际生活的实例出发，让学生明白本节课的教学内容，激发学生学习兴趣。 师生互动：老师提问学生回答。 二、讲授新课： 1、分类加法计数原理 问题1：（多媒体展示）十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法?有３＋２＝５种方法 探究１：（多媒体展示）你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.） 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲

地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。 发现新知：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +???++=21种不同的方法.（也称加法原理） 设计意图：由特例到定义的设计思路让学生理解加法原理的概念，体现了一般存在于特殊之中的辩证法思想，便于让学生理解概念。 师生互动：由老师提问学生回答的方式进行。在本知识点中学生可能对“一件事”的概念的理解不是很好，在学生回答完后，老师应该进行点拨。 知识应用 例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？ 设计意图：通过本例及变式练习让学生进一步理解“分类”的含义。并向学生指出分类的关键是弄清“一件事”是什么。 师生互动：由老师引导学生回答例题，由学生独立解答变式，并回答“一件事”是什么。 分类加法计数原理特点： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 设计意图：让学生总结加法原理的特点，加深对概念的理解。 师生互动：由学生总结，老师给以补充。 2 、分步乘法计数原理 问题2：（多媒体展示）从A 村道B 村的道路有3条，从B 村去C 村的路有2条，从C 村去D 的道路有3条，小明要从A 村经过B 村，再经过C 村，最后到D 村，一共有多少条路线可以选择？ 从A 村经 B 村去C 村有 2 步, 第一步, 由A 村去B 村有 3 种方法, 第二步, 由B 村去C 村有 2 种方法, 第三步，从C 村到Ｄ村有３种方法 所以从A 村经 B 村又经过C 村到Ｄ村共有 3 ×2 ×３= １８ 种不同的方法 探究2：（多媒体展示）你能说说这个问题的特征吗？（分析要完成的“一件事” 是什么.） 完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有３种不同的方法，在第2步中有２种不同的方法，第三步有３种不同的方法. 那么完成这件事共有3 ×2 ×３= １８种不同的方法.一件事就是：从Ａ村到Ｄ村的一种走法 发现新知 分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么

人教版高数选修2-3第一章11分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习教案(教师版)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念. 2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别. 3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题. 1.分类计数原理与分步计数原理 (1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2 +…+m n种不同的方法 注意：○1分类计数原理又称为加法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容； ○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成； ○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重). (2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法. 注意：○1分步计数原理又称为乘法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤； ○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性； ○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代. 2.分类计数原理和分步计数原理的区别 辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。 类型一分类计数原理 例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？ [解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学目的 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣. 2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力. 3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题. 教学重点 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点： 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 教 具 多媒体、实物投影仪 教学过程 一、引入课题 今天我们来学习两个计数原理：分类加法计数原理和分类乘法计数原理。这两个原理不仅是我们解决计数问题的依据，也是我们学习排列组合和概率论的基础。 二、引出两个原理 问题1: 重庆的王先生欲回老家广州过年，从重庆到广州可以乘坐火车或者汽 车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到广州共有多少种不同的走法？ 分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从 重庆到广州，所以，共有3+2=5种不同的走法。 由问题1引出分类加法计数原理： 完成一件事情，有两类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有n 种不同的方法，那么完成这件事共N=m+n 种不同的方法.（也称加法原理）（板书） 追问：如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类办法中有1m 种不同的方法， 在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的 方法.那么完成这件事共多少种不同的方法？.（口述） 回答：有n m m m N +???++=21种方法。 问题2：王先生在广州过完年后要去北京拜访朋友．第一天他必须乘火车去天津 办一件事，然后次日再乘汽车到北京。一天中，广州到天津的火车有３

(完整版)分类计数原理和分步计数原理练习题

1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________种。 2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_________________种不同的选法。 3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有 __________种。 4、从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法。 5、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？ （2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？ 6、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？ （2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？ 7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色， （1）共有多少种不同的涂色方法？ （2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有_________________种不同的走法。 9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_________________个。 10、从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有_________________种。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理(教案)

分类加法计数原理和分步乘法计数原理讲义 教学目标： 知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？

（2）发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N += 种不同的方法. （3）知识应用 例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）. 变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案） 选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C. 2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( ) A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 B．81 C．6 D．64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D. 4．5 本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( ) A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种． 5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从 “×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2 000 B．4

分类分步计数原理

分类分步计数原理

题型一、分类加法计数原理 例1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（） A.6 B.5 C.3 D.2 例2、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 【变式练习】 1.若a，b∈N*，且a＋b≤5，则在直角坐标平面内的点(a，b)共有________个． 2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？

例3、有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（） A．21种 B．315种 C．143种 D．153种 例4、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )． A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 方法总结 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理 【变式练习】 1．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（） A．120 B．98 C．63 D．56

2．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（） A.5 B.6 C.7 D.8 3．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个． 4．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有( )．A．238个 B．232个 C．174个 D．168个 【变式练习】 1．为了应对欧债危机，沃尔沃汽车公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________． 2．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利

2015高考数学(理)一轮题组训练：11-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十一篇计数原理 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________． 解析按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)． 答案960种 2．(2012·新课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________． 解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2种选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6种选派方法．由分步乘法计数原理，不同选派方案共有2×6＝12(种)． 答案12种 3．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________． 解析第一步先排甲，共有A14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A55种不同的排法．因此不同的演讲次序共有A14·A55＝480(种)． 答案480种

4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为________． 解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9； 以2为首项的等比数列为2,4,8； 以4为首项的等比数列为4,6,9； 把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列， ∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8(个)． 答案8 5．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________． 解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)． 当x≠2时，由P?Q，∴x＝y. ∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法． 因此满足条件的点共有7＋7＝14(个)． 答案14 6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)． 解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法． 第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法． 由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)． 答案36 7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．

分类计数原理和分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理 年级__________ 班级_________ 学号_________ __________ 分数____ 总分一二三 一、选择题(共33题，题分合计165分) 1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有 A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 2.若x∈｛1，2，3｝，y∈｛５，7，9｝，则x·y的不同值有 A.2个 B.6个 C.9个 D.3个 3.七名男同学和九名女同学，组成班组乒乓球混合双打代表队，共可以组成 A.7队 B.8队 C.15队 D.63队 4.集合A={1，2，3，4}，B={a,b,c}，从集合A到集合B的不同映射f个数有 A.24个 B.4个 C.34个 D.43 5.计算1！+2！+3！+…+100！得到的数，其个位数字是 A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知集合 {}{}7,6,5,4 ,3,2 ,1- - = - =N M，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐 得分阅卷人

标系中可表示第一、二象限不同的点的个数是 A.18 B.10 C.16 D.14 7.用1，2，3，4四个数字中任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有 A.8个 B.9个 C.10个 D.5个 8.若 100 100 5 5 4 4 3 3 2 2 1 2 A A A A A A S+ + + + + + = ，则S的个位数字是 A.8 B.5 C.3 D.0 9.7名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法有 A.720种 B.360种 C.1440种 D.120种 10.有三位同学去阅览室借5本不同的书，不同的借法种数有 A.3 B.5 C.35 D.53 11.某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有 A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 12.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 A.510种 B.10５种 C.50种 D.以上都不对 13.三位同学分别从"计算机"及"英语打字"两项活动中选修一项，不同的选法种数有 A.3 B.6 C.8 D.9 14.从1~8这八个数字中任取两个数相加（不重复取），其和是偶数的种数比其和是奇数的种数 A.多1种 B.多4种 C.少2种 D.少4种 15.正方体的每一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数最多是 A.3对 B.6对 C.12对 D.24对 16.从6本不同的书中任意取出4本分给四位同学，每人一本，不同的分法共有 A.24种 B.120种 C.360种 D.1440种 17.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 18.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有 A.34 B.43 C.A 3 4 D.44 19.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是

11分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

人教A版选修2—3 精讲细练 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 、知识精讲 .计数原理 .计数原理选取 对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准, 设计好分类方案，防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤顺序，使各步互不干扰. 二、典例细练 【题型一】：分类加法计数原理的简单应用 例题1:书架上层放有13本不同的数学书，中层放有14本不同的语文书，下层

放有15本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？ 【解析】要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法： 第1类，从上层取一本数学书有13种不同的方法； 第2类，从中层取一本语文书有14种不同的方法； 第3类，从下层取一本化学书有15种不同的方法. 其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事， 故从中取一本书的方法种数为13+14+15=42. 【点评】分类的原则：标准一致，不重复，不遗漏. 变式训练：某校高三共有三个班，其各班人数如下表： (1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 【解析】：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第1类，从1班任选一名学生，有50种不同选法； 第2类，从2班任选一名学生，有60种不同选法； 第3类，从3班任选一名学生，有55种不同选法. 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 50+60+55=165(种) (2)由题设知共有三类： 第1类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第2类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第3类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法； 由分类加法计数原理知，不同的选法共有

分类加法计数原理

计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 专题1分类加法计数原理 ■(2015河北邯郸二模,分类加法计数原理,填空题,理13)我们把中间位数上的数字最大,而面两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132、341等,那么由1、2、3、4、5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是.(用数字作答) 解析:根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类, 第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种(132,231); 第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有=6种; 第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有=12种; 根据分类计数原理,得到由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20种. 答案:20 专题3排列、组合的综合应用 ■(2015辽宁锦州二模,排列、组合的综合应用,选择题,理8)分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,并每名水暖工只去一个居民家,且每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有() A.种 B.种 C.种 D.种 解析:根据题意,分配4名水暖工去3个不同的居民家里,要求4名水暖工都分配出去,且每个居民家都要有人去检查; 则必有2名水暖工去同一居民家检查, 即要先从4名水暖工中抽取2人,有种方法, 再将这2人当做一个元素,与其他2人,共3个元素,分别分配到3个不同的居民家里,有种情况, 由分步计数原理,可得共种不同分配方案. 答案:C ■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,排列、组合的综合应用,填空题,理13)有4名优秀学生A,B,C,D 全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有 种. 解析:第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有种,再把3个元素(包含一个复合元素)保送 到甲、乙、丙3所学校有种, 根据分步计数原理,不同保送方案共有=36种. 答案:36 1

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理实例引入1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 共有3＋2＝5种不同的走法．分类计数原理 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办 法中有m 2种不同的方法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的办法． 对于分类计数原理，注意以下几点： ⑴从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理； ⑵分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准 火车汽车1 火车2 火车3 1 乙地甲地

下进行分类；⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法．2. 从甲地到乙地，先乘火车到丙地，再乘汽车到乙地．一天中从甲地到丙地火车有3班，从丙地到乙地汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 共有3×2＝6种不同的走法． 分步计数原理 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有 m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的办法． 对于分步计数原理，注意以下几点： ⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；分步计数原理又叫乘法原理． ⑵分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准； ⑶分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成 n 个步骤后这件事才 乙地 甲地火车1火车2火车3汽车1汽车2丙地

分类计数原理、分步计数原理

第十章 排列、组合和二项式定理 ●网络体系总览 计数原理排列数公式二项式定理 组合数公式 通项公式二项式系数性质 排列 组合 排列与组合 组合数性质 ●考点目标定位 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2.理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题. 3.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. ●复习方略指南 排列与组合是高中数学中，从内容到方法都比较独特的一部分.其重点是在熟练应用公式的基础上，运用两个基本原理，解决计数应用题. 二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用. 本章内容高考所占比重不大，经常以选择题、填空题的形式出现，但对思维能力要求较高，在复习中，要注意通过典型例题，掌握分析问题的方法，总结解题规律. 10.1 分类计数原理、分步计数原理 ●知识梳理 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点. 特别提示 正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. ●点击双基 1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_____________种行车路线. A.24 B.16 C.12 D.10 解析：起点为C 14种可能性，终点为C 13种可能性，因此，行车路线共有C 14×C 13=12 种. 答案：C 2.（2002年全国）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为C 13·C 14=12种. 答案：B

1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1.1分类加法计数原理和分步 乘法计数原理(教案)(总10 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

1． 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教学目标： 知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？ （2）发现新知 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有 = N+ m n

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 三维目标 知识与技能： ①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法： ① 通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分 析能力； ②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力； 情感态度与价值观： ①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣 ②引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式. 教学重点 理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 教学难点 弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学方法 启发式 教具准备 多媒体 教学过程 一、引入课题 引例： ①我从二中到泗中有两量不同的马自达，三量不同的出租车可以乘坐，那么请同学们帮我算一下，我从二中到泗中有多少种乘坐交通工具的方式？ ②从我们班上50名同学中推选出两名同学分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法？ 这就是用我们这节课要研究的分类加法计数原理与分步乘法计数原理来解决问题. 设计意图：从贴近学生实际生活的实例出发，让学生明白本节课的教学内容，激发学生学习兴趣。 师生互动：老师提问学生回答。 二、讲授新课： 1、分类加法计数原理 问题1：（多媒体展示）十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法? 有３＋２＝５种方法 探究１：（多媒体展示）你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件 事”是什么.） 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。 发现新知：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +???++=21种不同的方法.（也称加法原理）

分类计数原理与分步计数原理

《分类计数原理与分步计数原理(一)》教学设计 柳州地区民族高级中学覃艳莉 相关教材:人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册(下B) 一、教学内容解析: １、教学内容: 分类计数原理、分步计数原理,这两个原理也就是本次课的教学重点。 ２、概念解析: 分类计数原理与分步计数原理都就是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理,也叫加法原理与乘法原理。其区别在于:运用加法原理的前提条件就是完成一件事有n类办法,选择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事,就就是说,完成这件事的各种方法就是相互独立的,所以总方法数为各类方法数之与;运用乘法原理的前提条件就是完成一件事需n个步骤,只有依次完成所有步骤后才能完成这件事,就就是说,完成这件事的各个步骤就是相互依存的,所以总方法数为各步骤方法数之积。 3、两个计数原理的地位与作用: 分类计数原理与分步计数原理就是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律,体现了解决问题时将其分解的两种常用方法,即分类解决或分步解决。这不仅就是今后推导排列数与组合数计算公式的依据,而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。 二、教学目标设置: 1、知识与技能目标:理解并掌握分类计数原理与分步计数原理,能用它们分析与解决一些简单的应用问题。 2、过程与方法目标:创设情境,将一些实际问题归结为一个分类或分步的计数问题,使学生的建构思维能力得到提升;在总结时用到特殊到一般的思想;在解题时通过类比,举一反三,使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。 3、情感与态度目标:通过学生小组活动,培养学生周密思考、细心分析的良好的学习习惯,使学生在现实生活中面对复杂的事务与现象,能够作出正确的分析,准确的判断,进而拿出完善的处理方案,认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。让学生感受到亲切、与谐的学习氛围,在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力。 三、学生学情分析: 1、认知基础分析: 学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题,已经具备了一定的归纳、类比能

1.1+分类加法计数原理与分步乘法计数原理-练习题

1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 综合卷 一．选择题： 1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有（ A ） （A） 37种（B） 1848种（C） 3种（D） 6种 2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各一本，则不同的取法共有（ B ） （A） 37种（B） 1848种（C） 3种（D） 6种 3．某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到三楼的不同走法种数是（ D ） （A） 5 （B）7 （C）10 （D）12 4．用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（ D ） （A）265个（B）232个（C）128个（D）24个 5．用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（） （A）265个（B）232个（C）128个（D）24个 6．3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（） （A）43种（B）34种（C）4×3×2种（D） 1×2×3种 7．把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（） （A）120种（B）1024种（C）625种（D）5种 8．已知集合M={l，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素 作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）（A）18 （B）17 （C）16 （D）10 9．三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（） （A）25 （B）36 （C）26 （D）37 10．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（） （A）25 （B）15 （C）13 （D）10 二．填空题： 11．某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本，买其中一种有种方法；买其中两种有种方法． 12．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不少于20的情形有种． 13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值． 14．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有个． 15．某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、 绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一部 分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有种． D C B A

分类加法计数原理和分步乘法计数原理练习题

课时训练1两个计数原理(1) 一、选择题 1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从两个口袋里任取一张英语单词卡片,则不同的取法有(). 种种 种种 2.高二(1)班有学生56人,其中男生38人,从中选取1名男生和1名女生作代表,参加学校组织的社会调查团,则选取代表的方法有(). 种种 种种 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果1条长裤与1件上衣配成一套,则不同的配法种数为(). 4.有不同的红球8个,不同的白球7个,不同的黄球6个,现从中任取两个不同颜色的球,不同的取法有(). 种种 种种 5.某通讯公司推出一组手机号码,卡号的前七位数字固定.从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为() 000 096 904 3206.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为(). 种种 种种 7.将红、黄、绿、黑四种不同的颜 色涂入图中的五个区域内,要求相 邻的两个区域的颜色都不相同,则 不同的涂色方法有(). 种种 种种 9.(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为() A． 1 8B． 3 8 C． 5 8D． 7 8 10.有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是() A．8种B．9种 C．10种D．11种 二、填空题 11.在一宝宝的“抓周”仪式上,他面前摆着4件学习用品,3件生活用品,4件娱乐用品,若他只抓其中的一件物品,则他抓的结果有种. 12.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为.