2021人教A版数学必修4训练：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
第二章 平面向量
2．4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[A 组 学业达标]
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：①②③正确，④⑤错误，(a ·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2 θ≠a 2·b 2. 答案：C
2．向量a 的模为10，它与x 轴正方向的夹角为150°，则它在x 轴正方向上的投影为 ( )
A ．－5 3
B ．5
C ．－5
D ．5 3
解析：a 在x 轴正方向上的投影为|a |·cos 150°＝－5 3. 答案：A
3．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC
→的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析：AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝AB →·AC →－AB →2＝－|AB →|2＝－1. 答案：B
4．已知|a |＝|b |＝2，a ·b ＝2，则|a －b |＝ ( )
A ．1 B. 3 C ．2 D.3或2 解析：|a －b |＝
|a －b |2＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×2＋22＝4
＝2. 答案：C
5．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－33
2，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°
D ．150°
解析：∵(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，∴a ·b ＝32.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝32.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.
答案：A
6．已知a ·b ＝16，若a 在b 方向上的投影为4，则|b |＝________． 解析：设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b ＝16，∴|a ||b |cos θ＝16. 又∵a 在b 方向上的投影为4，∴|a |cos θ＝4，∴|b |＝4. 答案：4
7．若|a |＝5，a ·b ＝10，且a 与b 的夹角为60°，则|b |＝________． 解析：因为a ·b ＝10，|a |＝5，所以|a |·|b |cos 60°＝10，所以|b |＝4. 答案：4
8．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a －2b )·(2a ＋b )≥4，则a 与b 的夹角θ的取值范围是________．
解析：(a －2b )·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b －4a ·b －2b 2＝2×9－3|a ||b |cos 〈a ，b 〉－2×16＝－14－3×3×4cos 〈a ，b 〉≥4，∴cos 〈a ，b 〉≤－12，∴θ＝〈a ，b 〉∈??????2π3，π.
答案：????
??
2π3，π
9.如图，在?ABCD 中，AB
→＝a ，AD →＝b ，CE →＝13CB →，CF →＝23
CD →.
(1)用a ，b 表示EF →
；
(2)若|a |＝1，|b |＝4，∠DAB ＝60°，分别求|EF →|和AC →·FE →的值．
解析：(1)EF
→＝CF →－CE →＝23CD →－13CB → ＝－23AB →＋13AD →＝－23a ＋1
3b .
(2)因为|a |＝1，|b |＝4，∠DAB ＝60°， 所以|EF →|2
＝? ????13b －23a 2
＝19|b |2－49a ·b ＋4
9|a |2
＝169－49×1×4×cos 60°＋49＝43. 所以|EF
→|＝233. AC →·FE
→＝(a ＋b )·? ????23a －13b ＝23|a |2＋13a ·b －13|b |2
＝23＋13×1×4×cos 60°－163＝－4.
10．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝1
3，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，求β的余弦值．
解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝
83×22
＝22
3.
[B 组 能力提升]
11．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝ ( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
解析：∵a ∥b ，∴b ＝λa ，λ∈R .∴c ·(a ＋2b )＝c ·(a ＋2λa )＝c ·a (1＋2λ)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∴c ·(a ＋2b )＝0. 答案：D
12．若向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝ ( )
A ．2 B. 2 C ．1 D.22
解析：∵(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，|a |＝1， ∴?????（a ＋b ）·a ＝0，（2a ＋b ）·b ＝0，∴?????a ·b ＝－a 2＝－1，①2a ·
b ＋b 2＝0，②
把①代入②，得－2＋b 2＝0.∴b 2＝2，∴|b |＝ 2.故选B. 答案：B
13.如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列给出的向量的数量积中最大的是______．(填序号)
①P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→
； ③P 1P 2→·P 1P 5→；④P 1P 2→·P 1P 6→.
解析：根据正六边形的几何性质，〈P 1P 2→，P 1P 3→〉＝π6，〈P 1P 2→，P 1P 4→〉＝π3，〈P 1P 2→，P 1P 5→〉＝π2，〈P 1P 2→，P 1P 6→〉＝2π3. ∴④P 1P 2→·P 1P 6→<0，③P 1P 2→·P 1P 5→＝0， ①P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|cos π6＝32|P 1P 2→|2， ②P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2→|2.
比较可知①>②>③>④. 答案：①
14．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°.若a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．
解析：由题意可得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3. 又∵(a ＋λb )·(λa ＋b )＝λa 2＋(λ2＋1)a ·b ＋λb 2，
a ＋λ
b 与λa ＋b 的夹角为锐角，∴λa 2＋(λ2＋1)a ·b ＋λb 2>0. ∵a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，a ·b ＝3，∴3λ2＋13λ＋3>0. 解得λ>133－136或λ<－13－1336
.
当λ＝1时，a ＋λb 与λa ＋b 共线，其夹角不为锐角．
故λ的取值范围是? ????－∞，－13－1336∪? ????133－13
6，1∪(1，＋∞)． 答案：? ????－∞，－13－1336∪? ????
133－136，1∪(1，＋∞)
15．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.
解析：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.
又∵|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6，
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－1
2.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π
3.
(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.
16．已知|a|＝2|b|＝2，且a在b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解析：(1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1.
又∵|a|＝2，|b|＝1，∴cos θ＝－1
2，∴θ＝2π
3.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝4
7.