学高中数学导数及其应用定积分的概念教师用书教案新人教A版选修

１．５定积分的概念

学习目标

核心素养

１．了解定积分的概念．（难点）

２．理解定积分的几何意义．（重点、易错点）

３．通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想．（难点）

４．能用定积分的定义求简单的定积分．（重点）１．通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习，培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养.

２．借助定积分的几何意义及性质的学习，培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养.

１．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程

（１）曲边梯形的面积

１曲线梯形：由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f （x）所围成的图形称为曲边梯形（如图１所示）．

２求曲边梯形面积的方法

把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值（如图２所示）．

图１图２

３求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限．

（２）求变速直线运动的（位移）路程

如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v（t），那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

２．定积分的概念

如果函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x １＜…＜x i —１＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i —１，x i ]上任取一点ξi （i ＝１,２，…，n ）作和式错误!f （ξi ）Δx ＝错误! 错误!f （ξi ），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f （x ）在区间[a ，b ]上的定积分，记作错误!f （x ）d x ，即错误!f （x ）d x ＝错误!.其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f （x ）叫做被积函数，x 叫做积分变量，f （x ）d x 叫做被积式．

思考：错误!f （x ）d x 是一个常数还是一个变量？错误!f （x ）d x 与积分变量有关系吗？ [提示] 由定义可得定积分错误!f （x ）d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即错误!f （x ）d x ＝错误!f （t ）d t ＝错误!f （u ）d u .

３．定积分的几何意义与性质 （１）定积分的几何意义

由直线x ＝a ，x ＝b （a ＜b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：

１ ２ ３

１在区间[a ，b ]上，若f （x ）≥0，则S ＝错误!f （x ）d x ，如图１所示，即错误!

f （x ）d x ＝S . ２在区间[a ，b ]上，若f （x ）≤0，则S ＝—错误!f （x ）d x ，如图２所示，即错误!f （x ）d x ＝—S . ３若在区间[a ，c ]上，f （x ）≥0，在区间[c ，b ]上，f （x ）≤0，则S ＝错误!f （x ）d x —错误!f （x ）d x ，如图３所示，即错误!（S A ，S B 表示所在区域的面积）．

（２）定积分的性质

１错误!kf （x ）d x ＝k 错误!f （x ）d x （k 为常数）；

２错误![f １（x ）±f ２（x ）]d x ＝错误!f １（x ）d x ±错误!f ２（x ）d x ； ３错误!f （x ）d x ＝错误!f （x ）d x ＋错误!f （x ）d x （其中a ＜c ＜b ）．

１．在“近似代替”中，函数f （x ）在区间[x i ，x i ＋１]上的近似值（ ） Ａ．只能是左端点的函数值f （x i ）

Ｂ．只能是右端点的函数值f （x i＋１）

Ｃ．可以是该区间内任一点的函数值f （ξi）（ξi∈[x i，x i＋１]）

Ｄ．以上答案均正确

C[作近似计算时，Δx＝x i＋１—x i很小，误差可忽略，所以f （x）可以是[x i，x i＋１]上任一值f （ξi）．]２．如图所示，图中阴影部分的面积用定积分表示为（）

Ａ．错误!２x d x Ｂ．错误!（２x—１）d x

Ｃ．错误!（２x＋１）d x Ｄ．错误!（１—２x）d x

B[根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为错误!２x d x—错误!１d x＝错误!（２x—１）d x.]３．已知错误!x２d x＝错误!，错误!x２d x＝错误!，错误!１d x＝２，则错误!（x２＋１）d x＝________.错误![∵错误!x２d x＝错误!，错误!x２d x＝错误!，错误!１d x＝２，

∴错误!（x２＋１）d x＝错误!x２d x＋错误!x２d x＋错误!１d x

＝错误!＋错误!＋２＝错误!＋２＝错误!.]

求曲边梯形的面积

[解] （１）分割

将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点错误!，错误!，…，错误!把区间[0,１]等分成n个小区间：错误!，错误!，…，错误!，…，错误!，

简写作错误!（i＝１,２，…，n）．

每个小区间的长度为Δx＝错误!—错误!＝错误!.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲

边梯形，它们的面积分别记作：ΔS１，ΔS２，…，ΔS i，…，ΔS n.

（２）近似代替

用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间错误!上任取一点ξi（i＝１,２，…，n），为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f（ξi）的相反数—f（ξi）＝—错误!错误!为其一边长，以小区间长度Δx＝错误!为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i≈—f（ξi）Δx＝—错误!错误!·错误!（i＝１,２，…，n）．

（３）求和

因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即

S＝错误!S i≈—错误!（ξi）Δx

＝错误!错误!·错误!

＝—错误![0２＋１２＋２２＋…＋（n—１）２]＋错误![0＋１＋２＋…＋（n—１）]

＝—错误!·错误!n（n—１）（２n—１）＋错误!·错误!

＝—错误!＝—错误!错误!.

（４）取极限

当分割无限变细，

即Δx趋向于0时，n趋向于∞，

此时—错误!错误!趋向于S.从而有

S＝错误!错误!＝错误!.

所以由直线x＝0，x＝１，y＝0和曲线y＝x（x—１）围成的图形面积为错误!.

求曲边梯形的面积

（１）思想：以直代曲．

（２）步骤：分割→近似代替→求和→取极限．

（３）关键：近似代替．

（４）结果：分割越细，面积越精确．

（５）求和时可用到一些常见的求和公式，如

１＋２＋３＋…＋n＝错误!，

１２＋２２＋３２＋…＋n２＝错误!，

１３＋２３＋３３＋…＋n３＝错误!错误!.

[跟进训练]

１．求由抛物线y＝x２与直线y＝４所围成的曲边梯形的面积．

[解] ∵y＝x２为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x２（x≥0）与直线x＝0，y＝４所围图形面积S阴影的２倍，下面求S阴影．由错误!

得交点为（２,４），如图所示，先求由直线x＝0，x＝２，y＝0和曲线y＝x２围成的曲边梯形的面积．（１）分割

将区间[0,２]n等分，

则Δx＝错误!，

取ξi＝错误!.

（２）近似代替求和

S n＝错误!错误!错误!·错误!

＝错误![１２＋２２＋３２＋…＋（n—１）２]

＝错误!错误!错误!.

（３）取极限

S＝错误!S n＝错误!错误!错误!错误!＝错误!.

∴所求平面图形的面积为

S阴影＝２×４—错误!＝错误!.

∴２S阴影＝错误!，即抛物线y＝x２与直线y＝４所围成的图形面积为错误!.

求变速直线运动的路程

２

在１≤t≤２这段时间行驶的路程是多少？

[解] 将时间区间[１,２]等分成n个小区间，则第i个小区间为错误!，

在第i个时间段的路程近似为Δs i＝v错误!Δt＝错误!·错误!，i＝１,２，…，n.

所以s n＝错误!Δs i＝错误!错误!·错误!

＝—错误![（n＋１）２＋（n＋２）２＋（n＋３）２＋…＋（２n）２]＋错误![（n＋１）＋（n＋２）＋…＋２n]

＝—错误!错误!＋错误!·错误!

＝—错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＋３＋错误!，

s＝错误!s n＝错误!错误!

＝错误!，所以这段时间行驶的路程为错误!km.

求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．

[跟进训练]

２．一物体自２00 m高空自由落下，求它在开始下落后的第３秒至第6秒之间的距离．（g＝9．8 m/s ２）

[解] 自由落体的下落速度为v（t）＝gt.

将[３,6]等分成n个小区间，每个区间的长度为错误!.

在第i个小区间错误!（i＝１,２，…，n）上，以左端点函数值作为该区间的速度．

所以s n＝错误!v错误!错误!＝错误!错误!·错误!＝错误!·错误!＝9g＋错误!·错误!＝9g＋错误! g·错误!.

所以s＝错误!s n＝错误!错误!＝9g＋错误!g＝错误!×9．8＝１３２．３（m）．

故该物体在下落后第３s至第6 s之间的距离是１３２．３m.

利用定积分的性质及几何意义求定积分

１．在定积分的几何意义中f（x）≥0，如果f（x）＜0，错误!f（x）d x表示什么？

[提示] 如果在区间[a，b]上，函数f（x）＜0，那么曲边梯形位于x轴的下方（如图所示），

由于Δx i＞0，f（ξi）＜0，

故f（ξi）·Δx i＜0，从而定积分错误!f（x）d x＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即错误!f（x）d x＝—S或S＝—错误!f（x）d x.

２．错误!错误!d x的几何意义是什么？

[提示] 是由直线x＝0，x＝２，y＝0和曲线y＝错误!所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，２为半径的错误!圆的面积即错误!错误!d x＝π.

３．若f（x）为[—a，a]上的偶函数，则错误!f（x）d x与错误!f（x）d x存在什么关系？若f（x）为[—a，a]上的奇函数，则错误!f（x）d x等于多少？

[提示] 若f（x）为偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x；若f（x）为奇函数，则错误! f（x）d x＝0．

【例３】说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值．

（１）错误!２d x；

（２）错误!x d x；

（３）错误!错误!d x.

[解] （１）错误!２d x表示的是图１中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为２，所以错误!２d x＝２．

１２３

（２）错误!x d x表示的是图２中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为错误!，所以错误!x d x＝错误!.

（３）错误!错误!d x表示的是图３中阴影部分所示的半径为１的半圆的面积，其值为错误!，所以错误!错误!d x＝错误!.

１．（变条件）将例３（３）改为利用定积分的几何意义求错误!错误!d x.

[解] 错误!错误!d x表示的是图４中阴影部分所示半径为１的圆的错误!的面积，其值为错误!，

∴错误!错误!d x＝错误!.

２．（变条件）将例３（３）改为利用定积分的几何意义求错误!错误!d x.

[解] 错误!错误!d x表示的是图５中阴影部分所示半径为１的错误!圆的面积，其值为错误!，

∴错误!错误!d x＝错误!.

３．（变条件）将例３（３）改为利用定积分的几何意义求

错误!（x＋错误!）d x.

[解] 由定积分的性质得，

错误!（x＋错误!）d x＝错误!x d x＋错误!错误!d x.

∵y＝x是奇函数，∴错误!x d x＝0．

由例３（３）知错误!错误!d x＝错误!.

∴错误!（x＋错误!）d x＝错误!.

１．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤

（１）分割：n等分区间[a，b]；

（２）近似代替：取点ξi∈[x i—１，x i]；

（３）求和：错误!f（ξi）·错误!；

（４）取极限：s＝错误!错误!f（ξi）·错误!.

“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点（或中点）．

２．定积分错误!f（x）d x是一个和式错误!错误!f（ξi）的极限，是一个常数．

３．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．

４．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．

１．把区间[１,３]n等分，所得n个小区间中每个小区间的长度为（）

Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!D．错误!

B[区间长度为２，n等分后每个小区间的长度都是错误!，故选B.]

２．定积分错误!f（x）d x的大小（）

Ａ．与f（x）和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关

Ｂ．与f（x）有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关

Ｃ．与f（x）以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关

Ｄ．与f（x）、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关

A[由定积分的定义可知A正确．]

３．由y＝sin x，x＝0，x＝错误!，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．

错误!sin x d x[∵0＜x＜错误!，

∴sin x＞0．

∴y＝sin x，x＝0，x＝错误!，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为错误!sin x d x.]

４．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,１0]，若把区间１0等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．

５５[∵把区间[0,１0]１0等分后，每个小区间右端点处的函数值为n（n＝１,２，…，１0），每个小区间的长度为１．

∴物体运动的路程近似值s＝１×（１＋２＋…＋１0）＝５５．]

５．计算：错误!（２—５sin x）d x.

[解] 由定积分的几何意义得，

错误!２d x＝错误!×２＝２π.

由定积分的几何意义得，错误!sin x d x＝0．

所以错误!（２—５sin x）d x＝错误!２d x—５错误!sin x d x＝２π.

人教版高中数学《导数》全部教案

导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

《定积分》教学设计与反思

《定积分》教学设计与反思 学习目标 1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分． 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法． 教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分． 教学难点：了解微积分基本定理的含义． 一、自主学习： 1．定积分的定义：， 2．定积分记号： 思想与步骤 几何意义． 3．用微积分基本定理求定积分 二、新知探究 新知1：微积分基本定理： 背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)（）， 则物体在时间间隔内经过的位移记为，则 一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移= 另一方面：通过位移函数S（t）在的图像看这段位移还可以表示为 探究问题2： 位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为 上述两个方面中所得的位移可表达为 上面的过程给了我们启示 上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。 定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。 例1．计算下列定积分： 新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分： 若求 新知3：用定积分求平面图形的面积 1、计算函数在区间的积分 2、计算函数在区间的积分 3、求与在区间围成的图形的面积 通过此题的计算你发现了什么？ 教学反思 本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而是借用学生已有的知识经验和生活实际，有效地理解了微积分的基本定理，具体反思如下： 1、改变定理的表述形式，丰富信息的呈现方式。 根据高中学生的认知特点，我在教学过程中，出示例题、习题时，呈现形式力求多样、新颖，让学生多种感官一起参与，以吸引学生的注意力，培养对数学的兴趣。本课的教学中，我大胆地改变了教材中实例分析顺序，重组和创设了这样一个情境，从而引入速度关于时间的定积分背景，即切合学生的生活实际，又让学生发现了定理的实际意义，理解了定理的本质，激发了学生学习的兴趣。并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。 2、突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力 《数学课程标准》中指出，要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念，例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通过自己的探究，运用数学的思维方式解决问题，又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题，，培养了学生的应用意识。

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

(word完整版)高中数学导数练习题(分类练习)讲义

导数专题 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22 y x =+，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1 (1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(1 3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。

解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 0020+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得：2 3 0=x 或00=x （舍），此时，830- =y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4 1 -=，切点坐标是?? ? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为x y 41- =，切点坐标是?? ? ??-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 解析：函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。所以，当3->a 时，函数()x f 在 R 上不是单调递减函数。 综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。

北师大版高中数学选修定积分教案

定积分复习小结 一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。 二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。 三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。 四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁 1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。 2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1 lim n i i n i f x ξ→∞ =?∑= ；其中? 叫做 a 叫做 b 叫做 ()f x 叫 ; 4、 ()b a f x dx ?的几何意义 ；在x 轴上方的面积 取 ，在x 轴下方的面积取 ()b a f x dx ?的几何意义 ； ()b a f x dx ?的几何意义 ； ()b a f x dx ? ， ()b a f x dx ? ，()b a f x dx ?的关系 ； 计算 ()b a f x d x ? 时，若在],a b ??上()0f x ≥则()b a f x dx ?= 若在],a b ??上 ()0 f x <()b a f x dx ? = 若在],a c ??上()0f x ≥，],c b ??上()0f x <()b a f x dx ?= 5、定积分的性质： 1b a dx ?= ()b a kf x dx ? = ()()b a f x g x dx ±??? ??=

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

高二数学教案设计(人教版)

2020人教版高二数学教案 一、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： (1)知识与技能目标： 1、了解微积分基本定理的含义; 2、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分. (2)过程与方法目标：通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法. (3)情感、态度与价值观目标： 1、学会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，提高理性思维能力; 2、了解微积分的科学价值、文化价值. 3、教学重点、难点 重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.

难点：了解微积分基本定理的含义. 二、教学设计 复习：1. 定积分定义： 其中 --积分号， -积分上限， -积分下限， -被积函数， -积分变量， -积分区间 2.定积分的几何意义：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号. 曲边图形面积： ; 变速运动路程： ; 3.定积分的性质： 性质1 性质2 性质3 性质4 二. 引入新课：

计算 (1) (2) 上面用定积分定义及几何意义计算定积分,比较复杂不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的比较一般的方法。 问题： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t), 速度为v(t)( )，则物体在时间间隔[a,b]内经过的路程可用速度函数表示为。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S(t)在[a,b]上的增量S(b)-S(a)来表达，即 s= = = S(b)-S(a) 而。 推广： 微积分基本定理：如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则 为了方便起见，还常用表示，即 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了

高中数学导数及其应用电子教案

高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；

②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。

高等数学导数的概念学习教案.docx

教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：

教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t

定积分的概念(教案)

1.5.3．定积分的概念 一、复习回顾： 1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 2．上述两个问题的共性是什么？ 二、新知探究 1．定积分的概念 注： 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个 ，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为 ()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： （3）曲边图形面积： 变速运动路程： 变力做功： 例1：利用定积分的定义,计算 dx x ?102 、 dx x ?1 03 的值.

2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 ?b a dx x kf )(= ； 性质2 dx x g x f b a ?±)]()([= 性质3 ??=c a b a dx x f dx x f )()( + 3．定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥， 那么定积分()b a f x dx ?表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分 ()b a f x dx ?的 几何意义。 思考： （1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ?= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()b a f x dx ?= （3）在[,]a b 上)(x f 变号，()b a f x dx ?=

⑤ 练习： 1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。 （1） dx x ?20sin π （2）dx x ?-212 （3）dx x ?-1 23 2、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立 （1） 0sin 22=?-dx x π π ， 0sin 20=?dx x π （2）dx x dx x ??=200sin 2sin π π 3、计算下列定积分 （1）dx b a ?1 （2）11x dx -?． （3） 5 0(24)x dx -? （4） dx x ?-1021 （5）120(2)x x dx -? 三、课堂小结： ①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义

人教版高中数学《导数》全部教案课程

导数的背景 （5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于29.4 米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间内的平均速度为 t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 析：设点Q 的横坐标为1＋x ?，则点Q 的纵坐标为（1＋x ?）2，点Q 对于点P 的纵坐标的增量 （即函数的增量）22)(21)1(x x x y ?+?=-?+=?， 所以，割线PQ 的斜率x x x x x y k PQ ?+=??+?=??=2)(22.

高中数学第四章定积分4.1定积分的概念定积分的概念教案

曲边梯形的面积 一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。 二、教学重难点： 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限） 难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景 我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。 一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析 问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 ()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面 积？ 例题：求图中阴影部分是由抛物线2 y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。 思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化

为求“直边图形”面积的问题？ 分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用． 0.1 把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S ．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割 在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 间：10,n ??????，12,n n ??????，…，1,1n n -?? ? ??? 记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -?? =? ?? ?L ，其长度为11 i i x n n n -?=-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：

高中数学导数讲义完整版

高中数学导数讲义完整版 第一部分 导数的背景 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (2 2 1gt s =,其中g 是重力加速度）. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2 x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 3. 边际成本 问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2 +=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ?对成本的影响. 二、小结: 瞬时速度是平均速度 t s ??当t ?趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率x y ??当x ?趋近于0时的极限；边际成本是平均成本 q C ??当q ?趋近于0时的极限. 三、练习与作业： 1. 某物体的运动方程为2 5)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线2 2x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522 +=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2 t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线2 2 1x y = 在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742 +=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.

北师大版数学高二定积分的简单应用教案 选修2-2

高中数学 定积分的简单应用教案 选修2-2 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 0xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 2 x y =y x A B C D O

高中数学导数教案

个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：林老师授课时间：

.B ()()f x g x < .C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+ 问题2．()f x 的导函数()y f x '= 的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 问题3．求下列函数的导数： ()1()2 1sin y x =+； ()41 1 x x e y e +=-； ()6ln x y e x =? () 7sin 1cos x y x = +； ()8()21sin cos y x x x x =-?+? ()932x x x y e e =?-+ ()10()()33421y x x x =-?- 问题4．()1求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程. ()2（06全国Ⅱ文）过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为 .A 220x y ++= .B 330x y -+= .C 10x y ++= .D 10x y -+= ()3（08届高三攸县一中）已知曲线m x y += 3 3 1的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或13 3 - （三）课后作业： 1.若0()2f x '=,求0 lim →k k x f k x f 2) ()(00-- 2.（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ()1求)(x f 在(,)a b 内的极值； ()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p 9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法. 10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主 元为辅元，变分式为整式. 11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为 助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. （二）典例分析： 问题1．()1函数)(x f y =在定义域)3,2 3 (-内可导，其图象如图所示，记)(x f y = 的导函数为 )(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为 .A [)3,2]1,31 [Y - .B ]38,34[]21,1[Y - .C [)2,1]2 1 ,23[Y - .D ?? ??????? ??--3,38]34,21[1,23Y Y ()3设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()f x g x '+ ()()0f x g x '>，且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ?<的解集是 .A ()()2,02,-+∞U .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞U .D ()(),20,2-∞-U 问题2．()1如果函数3()f x x bx =-+在区间()0,1上单调递增，并且方程()0f x =的根都在区间 []2,2-内，则b 的取值范围为 ()2已知2()12f x x x =+-，那么[]()()g x f f x = .A 在区间()2,1-上单调递增 .B 在()0,2上单调递增 .C 在()1,1-上单调递增 .D 在()1,2上单调递增 ()3函数R x x x x f ∈+-=,56)(3， （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当(1,)x ∈+∞时，()f x ≥(1)k x -恒成立，求实数k 的取值范围.

导数的运算-高中数学知识点讲解

导数的运算1．导数的运算 【知识点的知识】 1、基本函数的导函数 ①（为常数） C＝0 C ②（）＝（） x n nx n﹣1 n R ③（）＝ sinx cosx ④（）＝﹣ cosx sinx ⑤（）＝ e e x x ⑥（）＝（）* （＞0且1） a a lna a a x x ⑦= [log x）] a 11 （log e）（a＞0且a 1） ?* = ???? a lnx ⑧=1．? 2、和差积商的导数 ① [ （f x）g（x）]＝f （x ）g（x） ② [ （f x）﹣g（x）]＝f（x）﹣g（x） ③ [ （f x）g（x）]＝f（x）（g x）（f x）g（x） ?(?) ④[?(?)]′=[?′(?)?(?)― ?(?)?′(?)] ． [?(?)2]

3、复合函数的导数 设，则 y＝（u t），t＝（v x）y（x）＝u（t）v（x）＝u[（v x）]v（x） 1/ 3

【典型例题分析】 题型一：和差积商的导数 典例 1：已知函数，为的导函数，则（f x）＝asinx bx 3 （4a R，b R）f （x）（f x）（2014）（﹣2014）（2015）﹣（﹣2015）＝（） f f f f A．0 B．2014 C．2015 D．8 f （x）＝acosx 3bx 2 解：， ∴f （﹣x）＝aco（s ﹣x ） 3（b ﹣x） 2 ∴为偶函数； f （x） f （ 2015）﹣f （﹣2015）＝0 ∴（）（﹣） f 2014 f 2014 ＝asi（n）b asi（n﹣）（b﹣）＝； 2014 ? 20143 4 2014 2014 3 4 8 （f2014）（f﹣2014）f（2015）﹣（f ﹣2015）＝8 故选D． 题型二：复合函数的导数 典例 2：下列式子不正确的是（） A．B．=（）＝﹣（lnx﹣2x ） 3x 2 cosx 6x sinx 1?―2?ln2 ????C．（）＝D．（）′= 2sin2x 2cos2x ??????―???? ?2 解：由复合函数的求导法则 对于选项，成立，故正确； A （3x 2 cosx ）＝6x﹣sinx A

高中数学导数知识点归纳总结

核心出品 必属精品 免费下载 导 数 考试内容： 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做

)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时， 1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） )0(2''' ≠-=?? ? ??v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，x x x g 2 cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导. 5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

北师大版数学高二-高中数学《导数的计算》教案5 选修2-2

高中数学《导数的计算》教案5 选修2-2 教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式 教学过程： 一．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y x ?→?→?'===? 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数

因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y x ?→?→?'===? 1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2 ()y f x x ==的导数 因为22 ()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==??? 222 2()2x x x x x x x x +?+?-==+?? 所以00 lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=? 2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x ==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???