第10讲：集合的运算
第十讲：集合的运算
【复习要求】
1、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
2、能用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用
【教学重难点】
会求给定子集的补集，用文氏图表达集合的关系及运算
【知识梳理】
1. 交集
由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ） 记作：A ∩B
读作：“A 交B ”
即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B } 交集的Venn 图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 交集的性质：（1）A∩B ?A ，A∩B ?B ，A∩A=A ，A∩?=?,A ∩B=B ∩A （2）若A∩B=A ，则A ?B ，反之也成立
【典型例题】
例1、（1）已知x R ∈,y N ∈,且2
2
{|46},{|218}A y y x x B y y x x ==-+==--+，求A B ?；
（2）已知x R ∈,y R ∈,且2
2
{|46},{|218}A x y x x B y y x x ==-+==--+，求
A B ?； 解：（1）{|2,},{|19,}A y y y N B y y y N =≥∈=≤∈∴{|219,}A B y y y N ?=≤≤∈；
（2）同理{|19,}B y y y N =≤∈；而{|}A x x R R =∈=∴A B B ?=
例2、已知集合2
2
2
2
{2,22,33},{1,3,4,37}A a a a a B a a a a a =++-+=-+--+且
A B ?{2,5}=，求满足条件的实数a 的值。
解：分类讨论，得2a =
例3、设集合2{|60},{2,3}M x x mx M M =-+=?=且，且实数m 的取值范围. 解题策略：由{2,3}M M ?=，可知{2,3}M ?，这是我们前面提到过的集合的一个运算性质。
解：由{2,3}M M ?=，可知{2,3}M ?∴M 可为?，可为一元集，也可能为二元集。
①M =?时，2240m ?=-＜，∴-2323m ＜＜ ②当M 为一元集时，0,23m ?==±得 当23m =时，{3}{2,3}23B m =?∴≠； 当23m =-时，{3}{2,3}23B m =-?∴≠-
③当M 为二元集时，{2,3}M =，∵23m +=且236?=，∴5m = 综上所述，5m =，或-2323m ＜＜
例4 已知2
{|(2)10,}A x x m x x R =+++=∈，且A R +
?=?，求实数m 的取值范围。 解：∵A R +
?=?，所以有两种情况：
（1）A =?，即2
(2)4(4)0-40m m m x ?=+-=+∴＜＜＜；
（2）A 中元素为负数或为0，即为方程2
(2)10x m x +++=两根为0或负数，设两根为
12,x x ，则此时应有：
21212
(2)4(4)0(2)0
10m m m x x m x x ??=+-=+≥?
+=-+≤??=≥?解得：0m ≥ 综上（1）（2）所述，得-4m ＞
说明：此问题是集合运算语言与方程解的问题相结合的问题，在解题时注意思维严密性，对于方程的解有哪些情况考虑完整，此外此问题还可以认为2
(2)1y x m x =+++在x 轴正半轴无交点，可以运用图象，利用二次函数根的分布，数形结合解题（后面在函数部分作以深入讲解）。 2. 并集
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B
读作：“A 并B”
即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}
Venn 图表示：
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集
A ∪B
B
A A B
A(B)
A
B
B
A
B A
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
注：通过Venn 图表示级并集的含义我们可以得到并集的性质： （1）A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （2）若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立
【典型例题】
例1、（1）设{}
12A x x =-<<，{}
13B x x =≤≤，求A ∪B= ；A∩B= 。
（2）设(){},46A x y y x ==-+， (){},53B x y y x ==-，求A∩B= 。 例2、已知集合22
{|1,},{|5,}P y y x x R Q y y x x R ==+∈==-∈，则P Q ?=________ 答案：R
例3、2{1,3,}{1},M x N x x M N M x ==-+?=若，则为____________ 答案：21=1,3x x x -+，，从而解出0-12x =，或
例4、对于实数集2
2
2
{|2430}{|2220}A x x ax a B x x ax a a =-+-==-+++=和，是否存在实数a ，使得A B ?=?？若不存在，说明理由，若存在，求出a 的取值范围。 答案：12a ＜＜
例5、已知集合2
{|0},A x x px q =++=集合2
{|320}B x x x =-+=，且,A B B ?=求p,q 的值或其关系式.
解、{1,2}B =，,A B B ?=得A B ?
（1）2
4A p q =??＜；（2）1212{1}()2=1A p x x q x x =?=-+=-=，； （3）1212{2}()4=4A p x x q x x =?=-+=-=，；
（4）1212{1,2}()3=2A p x x q x x =?=-+=-=，综上，……
3、补集：设U 是全集，A 是U 的一个子集（即A U ?），由U 中所有不属于A 的元素组
成的集合，叫做U 中子集A 的补集（complementary ），记作U C A
注（1）符号表示：U C A ={}|x x U x A ∈?且
（2）补集的两层含义：在一个集合而不在另一个集合中。 （3）韦恩图：
（4）U C A 的前提条件：A U ? （5）补集的性质：
设全集为U ，则有
（1）U A ?，U A C U ? （2）φ=U C U （3）U C U =φ （4）A A C C U U =)( （5）B A ?，则B C A C U U ?
U
A
（6）德·摩根定律
①、C U (A∩B)=(C U A)∪(C U B), ②、C U (A ∪B)=(C U A)∩(C U B)
【典型例题】
例1、{2,3,5,7,11},{2,5,7},{5,11},U U A a C A a ==-==设全集则
练习、=-=+-=--=a CuA a a A a U 则设全集},1{},2,2{},)3(,4,2{2
2
例2、已知全集2
{1,2,3,4,5},{|50,},U U A x x x q x U C A q ==-+=∈求及的值。
例3、全集{}
|1U x x =>，{}22|>-≤=x x x A 或，{}35|-≤<-=x x B ，求A C U ，
B C U 。（利用数轴）
练习：{|46},{|0},U U x x C A x x A =-≤≤=≥设求
例4、设全集{}32,3,22
-+=a a U ，{}
2,12-=a A 。
（1） 若{}5=A C U ，求实数a 的值
（2） 若A B ?，集合{}3=B C A ，求集合B 与集合U 。
例6、已知全集32
{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}，如果}0{=A C S ，则这样的实数x
是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由。
解：∵}0{=A C S ；
∴A S ?∈00且，即32
2x x x --＝0，解得1230,1,2x x x ==-=
当0=x 时，112=-x ，{1,1}A ∴=，与元素互异性矛盾； 当1-=x 时，S x ∈=-312，满足题意； 当2x =时，213x S -=∈，满足题意； ∴这样的实数x 存在，是1x =-或2x =
注意（1）补集概念的相对性，应明确在A 中的补集与在U 中的补集是不同的。
（2）补集具有两层含义，即其中的元素在一个集合而不在另一个集合中。 （3）U C A 的前提条件：A U ?
（思考题）已知方程,06242
=++-m mx x 若方程至少有一个负根，求实数m 的取值范围。 例7、向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果 赞成A 的人数是全体的五分之
三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A 的人数为50×5
3
=30，赞成B 的人数为
30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B 。
设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为
3
x
+1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x 。依题意(30－x )+(33－x )+x +(3
x
+1)=50,解得x =21。所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。
总结：
集合的基本运算及德·摩根定律 运算
集合表示
重要结论
交集（B A ?） {}B x A x x ∈∈且,|
,,?=??=?A A A A A B A B A =???
并集（B A ?）
{}B x A x x ∈∈或,|
,,A A A A A =??=? B A A B A ????
B B A B A =???
补集（A C U ）
{}A x U x x ?∈且,|
,,U A C A A C A U U =??=? U
C U C A A C C U U U U =??==,,)(
X
3
+133-X
X
30-X
U
B A
【练习一：交集】
A 组
1. 已知集合{32}M x x =-<<，{2P x x =<-或2}x >，那么M P 是（ ）
A.{32x x -<<-或22}x <<
B.R
C.{32}x x -<<-
D.{22}x
x <<
2. 若集合2
{1,},1,}P y y x x R Q y y x x R ==+∈==+∈，则P Q 等于（ ） A.{(0,1),(1,2)} B.{0,1} C.{1,2}
D.{1}y y ≥
3. 若集合{(,)0}M x y x y =+={(,)0},{(,)2}M x y x y P x y x y =+==-=，则
P Q 是（ ）
A.(1,1)-
B.{1}{1}x y ==-
C.{1,1}-
D.{(1,1)}-
4. 已知,P M 是非空集合，且P M ≠，则必定有（ ） A.P M ?∈
B.P M ?=
C.P M ??
D.P M ? ? 5. 若集合,P S 满足P S P = ，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A.P S ?
B.P S ?
C.P S =
D.P S ù
6. （1）若集合{(,)0},{(,)20}M x y x y P x y x y =-==++=，则M P = ___ __. （2）若集合2
2
2
{(,)},{(,)}A x y x y P x y y x ====，则A B = _________. （3）若集合2
{(,)},{(,)1,0}A x y y x P x y y x x ====-≥，则A B = _________. 7. 已知集合{A =平行四边形},{B =梯形},{C =对角线相等的四边形}，那么B C = _________，A C = _________.
8. （1）若集合2
2
{610},{28}P y y x x M y y x x ==-+==-++，则P M = _____. （2）若集合{2S x x =≤或3}x ≥，{23}T x x =≤≤，则S T = _________.
9. 已知集合{24},{}A x x B x x a =-≤≤=<，且满足A B ≠? ，那么实数a 的取值
范围是_________.
（2）已知集合{13},{2}(0)P x x M x a x a a =-<<=<<>，且P M =? ，则实数a 的取值范围是_________.
B 组
10. 记集合{P =等腰三角形},{T =至少有一边为1，至少有一内角为36
的三角形}，则
P T 的元素有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
11. 若P S =? ，且{M P =的子集}，{N S =的子集}，则下列各式中一定成立的是
（ ） A.M N =?
B.{}M N =?
C.M N P S ?
D.M N P S ù
12. （1）已知集合2
{2,3,1}A a =+，213
{4,21,}4
B a a a =+-+-
，且2A B = ，求实数a 的值.
（2）已知集合22
{,1,3},{3,21,1}P m m Q m m m =+-=--+，且{3}P Q =- ，求实数m 的值.
13. 已知集合2
2
{2,3,42},{0,7,42,2}M m m P m m m =++=++-，且{3,7}M P = ，
求实数m 的值和集合P .
14. 已知集合32232
{2,4,27},{4,3,22,37}A a a a B a a a a a a =--+=-+-++++满足
{2,5}A B = ，求实数a 的值.
15. 已知集合222{8190},{430}P x x ax a a Q x x x =-+-+==-+=，2
{7R x x x =-
120}+=，且P Q ≠? ，P R =? ，求实数a 的值.
参考答案
6.（1）{(1,1)}--
（2）{(0,0),(1,1),(1,1)}-
（3）{01}y y ≤≤
7.{等腰梯形}，{矩形} 8.（1）{19}y y ≤≤ （2）{2,3} 9.（1）2a >-
（2）3a ≥ 12.（1）3a =-
（2）1m =-
13.1,{0,1,3,7}m P ==
14.2a = 15.无解
【练习二、并集】
A 组
1. 若集合2
2
{1,},{5,}M y y x x R P y y x x R ==+∈==-∈，则M P 等于（ ） A.R
B.{15}y y ≤≤
C.{51}x x -≤≤
D.{(2,3),(2,3)}-
2. 集合2
{32,}M x x t t t R ==++∈与2
{32,}P y y k k k R ==-+∈之间的关系是
（ ） A.M P =?
B.{0}M P =
C.{(,),}M P x y x R y R =∈∈
D.M P =
3. 设集合22111222{0},{0}M x a x b x c N x a x b x c =++==++=，方程2
111()a x b x c ++
2222()0a x b x c ++=的解集是（ ）
A.M N
B.M N
C.N
D.M 4. 满足条件{,}{,,,}a b M a b c d = 的所有集合M 的个数是（ ） A.1
B.2
C.3
D.4 5. 若集合,M P 满足M P P = ，则一定有（ ） A.M P =
B.M P ?
C.M P M =
D.P M ? 6. 若,M P 是两个非空集合，且对于M 中的任何一个元素x ，都有x P ?，则有（ ）
A.M P ?
B.M P ?
C.M P =?
D.M P M =
7. 若集合{14},{3P x x Q x x =<<=>或1}x <，则P Q = _________，P Q = _________.
8. 已知,S T 是两个非空集合，且,S T T S 刎.若X S T = ，则S X = _________.
B 组
9. 在“①()M P P ?，②()M P P ?，③()()M P M P ?，④若M P ?，则
M P M = ”这四个结论中，正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
10. 设集合{52},{1,}A x x B x x y y A =-<<==+∈，则A B = _________，A B = _________.
11. 已知0a b a <<<，且集合{,}A x a x b x R =<≤∈，{,}B x b x a x R =-≤<-∈，
则_________，A B = _________.
12. （1）已知集合2
{0}A x x px q =++=，
2{(1)50}B x x p x q =+--+=满足A B = {1}，求A B .
（2）已知集合,A B 的元素均为实数，且32
{2,4,7},{5,3,22}A a a B a a a =++=-+-+，满足{2,5}A B = ，求A B .
13. （1）已知集合2
{1,3,},{,1}A a B a ==满足{1,3,}A B a = ，求实数a 的值.
（2）已知集合2{1,2,3,},{,3}A m B m ==满足{1,2,3,}A B m = ，求实数m 的值.
14. 设方程2
120x px +-=的解集为A ，方程2
0x qx r ++=的解集为B ，且A B ≠，
{3,4},{3}A B A B =-=- ，求,,p q r 的值.
_ P
_
U _ M
15. 若集合{21A x x =-<<或1},{}x B x a x b >=≤≤满足{2},A B x x A B =>-
{13}x x =<≤，求,a b 的值.
参考答案
7.(3,4)，{1}x x ≠ 8.S
10.(3,2)-，(5,3)- 11.[,]b b -，(,)a a -
12.（1）{1,2,3}A B = (3,2)p q =-=
（2）{2,4,5,5}A B =- （本题可不求a 直接得解）(1)a =- 13.（1）3a =
或3-或0
（2）0a =或1-或2±
14.1,6,9p q r =-==({3,4},{3})A B =-=-
【练习三、补集】
A 组
1. 设,M P 是全集U 的子集，且M P ?，则下列各式中一定成立的是（ ） A.U U
M P ?
痧
B.U U
M P U =
痧
C.U M P =? e
D.U M P =? e 2. 若,M P 是全集U 的子集，则图中阴影部分可以表示为（ ）
A.M P
B.()U M P e
C.U U
M P
痧
D.()U M P e
3. （1）若全集{3}U x x =≥-，集合{1}A x x =>，则A 的补集U A =e_________. （2）若集合{03},{14}A x x B x x =≤≤=<<，全集U R =，则()U A B = e_________. （3）若集合2
{,},{3,}A x x t t R B x x t t R ==-∈==+∈，全集U R =，则A B = _________，A B = _________，()U A B = e_________.
4. 已知全集2
{2,3,23},{,2},{5}U U a a A b A =+-==e，求实数a 和b .
5. 已知全集{U =小于10的自然数}，其子集,A B 满足{}{1,9},2,U U
A B A B ==
痧
{}4,6,8U A B = e，求集合A 和B .
B 组
6. 设全集U 为自然数集N ，记{
2,},{4,}
E x x n n N
F x x n n N ==∈==∈，那么N 可
以表示为（ ） A.E F
B.U E F e
C.U E F e
D.U U
E F
痧
7. （1）已知全集2
{2,4,3}U a =-，集合2
{2,2}P a a =-+，{1
}U P =-e，则实数a 的值等于_________.
（2）已知集合,A B 都是全集{1,2,3,4}U =的子集，若{}{}1
,3,U U
A B A B A == 痧
{}2U B =e，则A =_________，B =_________.
8. 已知全集{4,3,2,1,0,1,2,3,4}U =----，集合2
{3,,1},{3,21,A a a B a a =-+=--
21}a +，其中a R ∈，若{}3A B =- ，求()U A B e.
参考答案
3.（1）[3,1]-
（2）(,1][3,)-∞+∞
（3）?，{0x x ≤或3}x ≥，{03}x x << 4. 2a =或4a =，3b = 5.{2,3,5,7},{2,4,6,8}A B =-= 7.（1）2
（2）{3,4}，{1,3}
8.1,{3,1,0},{4,3,2}a A B =-=-=--(){2,1,3,4}U A B ∴=-- e
集合的基本运算
《集合的基本运算》教学设计 课题：集合的基本运算 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）必修一 一、教学内容的地位、作用分析 集合是学生升入高中以后学习的第一个内容，不仅是高中数学内容的一个基础，也为以后其他内容的学习提供了帮助。集合作为现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容，在现代数学理论体系中的占有基础性的地位。我们学会集合的基本内容后，不仅可以用集合语言表示有关数学对象，也为后面函数概念的描述打下了基础。 本节《集合的基本运算》是集合这一节里面的核心内容。本节的主要内容是交集、并集、补集的概念及交、并、补的运算，要从自然语言、符号语言、图形语言三个方面去理解交、并、补的含义，可以培养学生数形结合的数学思想。同时这一部分不仅是考查的重点知识，同时也是与其他内容很容易交汇出题的知识点，经常作为知识的载体出现。 二、学情分析 学生在小学和初中已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合等，对集合有了一个大概的了解。 进入高中以后，学习的第一个内容便是集合。通过《集合的含义与表示》的学习，学生们知道了集合的概念，和其确定性、无序性和互异性三个特征，了解了元素与集合之间的关系（元素属于集合或元素不属于集合），同时学会了列举法和描述法两种表示方法。通过《集合间的基本关系》的学习，我们明确学习了集合与集合的关系，包括包含关系（子集和真子集），相等关系，并规定了不含任何元素的集合叫做空集。同时，在节当中，我们引入了Venn图这个工具，对中集合的运算的学习也提供了帮助。 三、教学目标和重点、难点分析 教学目标
知识目标：（1）理解两个集合之间并集的概念，会求两个简单集合的并集； （2）理解两个集合之间交集的概念，会求两个简单集合的交集； （3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用； （4）在解题过程中能灵活选择应用数轴或Venn图. 能力目标：（1）通过Venn图的使用和数轴的使用，让学生们领悟数形结合的数学思想； （2）通过给出集合作为例子，让学生思考它们之间的关系来给出并集和交集的定义，培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展； （3）讨论环节锻炼了学生交流合作能力以及表达能力. 情感目标：（1）通过使用符号表示、集合表示、图形表示集合间的关系与运算，引导学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义，从中了解数学的重要意义 和应用的广泛程度，从而增加学生学习数学的兴趣； （2）另外讨论环节的设置也可以让学生感受到人与人交流的乐趣，利于学生间的合作交流与和谐相处. 教学重点：（1）并集、交集的概念及其运算； （2）学会使用Venn图和数轴来表示集合间的关系及运算. 教学难点：弄清并集、交集的概念，符号之间的区别与联系 教学方法：讲授式、情景式、合作式 教具学具：幻灯片 四、教学策略分析 本节课的教学难点是弄清并集、交集的概念，符号之间的区别与联系，针对这一教学难点，我们采取下面几个策略进行突破： 1、通过分组讨论，将并集、交集三个内容的概念，符号表示以及Venn图表示进行比较，让学生归纳总结出其中的异同点，从而巩固三个概念的记忆，同时了解这三者之前的区别与联系。 2、通过同一例题给定的两个集合，分别问这两个集合的交集和并集，通过计算过程与
计算机网络教程(谢希仁)第10章 计算机网络的安全
第10章 计算机网络的安全 本章目录 第10章 计算机网络的安全 ........................................... 11 10.1 网络安全问题概述 .............................................. 11 10.1.1 计算机网络面临的安全性威胁 .................................. 11 10.1.2 计算机网络安全的内容 ........................................ 22 10.1.3 一般的数据加密模型 .......................................... 33 10.2 常规密钥密码体制 .............................................. 33 10.2.1 替代密码与置换密码 .......................................... 44 10.2.2 数据加密标准DES ............................................. 55 10.3 公开密钥密码体制 .............................................. 66 10.3.1 公开密钥密码体制的特点 ...................................... 66 10.3.2 RSA 公开密钥密码体制 ........................................... 77 10.3.3 数字签名 .................................................... 77 10.4 报文鉴别 ...................................................... 88 10.5 密钥分配 ...................................................... 99 10.6 链路加密与端到端加密 .......................................... 99 10.6.1 链路加密 .................................................... 99 10.6.2 端到端加密 .................................................. 99 10.7 防火墙 (1010) 10.1 网络安全问题概述 10.1.1 计算机网络面临的安全性威胁 1. 计算机网络上的通信面临以下的4种威胁。 1) 截获(interception) 攻击者从网络上窃听他人的通信内容。 2) 中断(interruption) 攻击者有意中断他人在网络上的通信。 3) 篡改(modification) 攻击者故意篡改网络上传送的报文。 4) 伪造(fabrication) 攻击者伪造信息在网络上传送。 2. 上述四种威胁可划分为两大类，即被动攻击和主动攻击（如图10-1所示）。在上述情况中，截获信息的攻击称为被动攻击，而更改信息和拒绝用户使用资源的攻击称为主动攻击。 1) 在被动攻击中，攻击者只是观察和分析某一个协议数据单元PDU （这里使用PDU 这一名词是考虑到攻击可能涉及数据的不同的层次）而不干扰信息流。即使这些数据对攻击者来说是不易理解的，他也可以通过观察PDU 的协议控制信息部分，了解正在通信的协议实体的地址和身份，研究PDU 的长度和传输的频度，以便了解所交换的数据的性质。这种被动攻击又称为通信量分析（traffic analysis ）。 2) 主动攻击是指攻击者对某个连接中通过的PDU 进行各种处理。如有选择地更改、 删除、图10-1 对网络的被动攻击和主动攻击
第一讲 集合及集合的表示
集合及集合的表示 【学习目标】 1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“?”表示元素与集合之间的关系． 2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等． 【要点梳理】 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用. 要点一：集合的有关概念 1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集. 3．关于集合的元素的特征 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合. 4．元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A ? (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A 5．集合的分类 (1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：?. (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 6．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 要点二：集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合. 1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合. 2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x， x2+y2}，…； 3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上 表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 要点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，
1.1.3集合的基本运算教案
1.1.3 集合的基本运算 学习目标： （1）理解交集与并集的概念； （2）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法； （3）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使 学生认识由具体到抽象的思维过程； （4）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养 成良好的学习习惯。 教学重点：交集和并集的概念 教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系 合作探究展示： 一、 问题衔接 我们知道两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算， 两个集合是否也可以“相加”呢？ 思考（P8思考题），引入并集概念。 二、新课教学 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并 集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合 （重复元素只看成一个元素）。 例题（P 8-9例4、例5） 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分） 还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集 （intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 A ∪B B A ?
第二讲不规则图形面积的计算(二)
第二讲不规则图形面积的计算（二） 不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B 之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。 例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。 解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。 解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半. 例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。 解：由容斥原理 S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD
例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。 解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD ＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。 例4 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。 分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长. ＝（157-7）×2÷20 =15（厘米）。 例5 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
第1讲 集合及其运算
第一讲集合及其运算 主讲老师：徐剑 教学目标 1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号； 2. 能使用数轴分析、Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 教学重难点 1.会求简单集合间的并集、交集；理解补集的含义并会求补集. 一、课前预习 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：、、． (2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示． (3)集合的表示法：、、． A∩A＝；A∩?＝； A∪A＝；A∪?＝； A∩(?U A)＝；A∪(?U A)＝；?U(?U A)＝. 二、例题解析 1、集合的含义 例1已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．6 D．9
(2)已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( ) A ．1或－1 B ．1或3 C ．－1或3 D ．1，－1或3 (3)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为________． 2、集合的基本关系 例2 (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝1－x 2}，则 ( ) A ．P ?Q B ．Q ?P C ．?R P ?Q D ．Q ??R P (2)设A ＝{1，4，2x }，B ＝{1，x 2}，若B ?A ，则x ＝________． 3、集合的基本运算 例3 (1)设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<. 求A ∩B 、A ∪B 、?U A 、?U B 、(?U A )∩(?U B )、(?U A )∪(?U B )、?U (A ∪B )、?U (A ∩B ). (2)已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =，A B ≠?，A ∩(?U B )={1,2}， 求集合A 、B . (3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________． 三、课后作业 1. 如果集合A ={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ）. A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 2. 集合A ={x |x =2n ，n ∈Z }，B ={y |y =4k ，k ∈Z }，则A 与B 的关系为（ ）. A ．A ≠ ?B B ．A ≠?B C ．A =B D ．A ∈B . 3. 满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 个. 4. 设集合2{|3}M y y x ==-，2{|21}N y y x ==-，则M N = . 5.设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的取值范围．
集合的基本运算
集合的基本运算 各位评委好！ 我说课的内容是普通高中课程标准试验教科书高一年级《数学必修一》第一章第三节集合的基本运算，此内容为本节的第1课时。 我说课主要分为以下几个环节教材分析、说教法、说学法、教学过程四个部分： 一、教材分析： 1、本节在教材的地位与作用 本课时内容主要包括集合的两种基本运算----并集和交集，是对集合基本知识的深入研究，在此之前，学生已学习了集合的概念和基本关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用，本节内容在近年的高考中主要考核集合的基本运算，在整个教材中存在着基础的地位，为今后学习函数及不等式的解集奠定了基础数形结合的思想方法对学生今后的学习中有着铺垫的作用。根据教材结构及内容以及教材地位和作用，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，依据新课标的要求，据此我确定以下教学目标 2、教学目标 （1）知识与技能目标：根据集合的图形表示，理解并集与交集的概念，掌握并集 和交集的表示法以及求解两个集合并集与交集的方法。（2）过程与方法目标：通过复习旧知，引入并集与交集的概念，培养学生观察、 比较、分析、概括的能力，使学生的认知由具体到抽象的 过程。 （3）情感态度与价值观：积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们用数学 解决实际问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自 主探究的数学精神以及合作交流的意识。 根据上述地位与作用的分析及教学目标，我确定了本节课的教学重点及难点 3、教学重点与难点 教学重点：并集与交集的概念的理解，以及并集与交集的求解。 教学难点：并集与交集的概念的掌握以及并集与交集的求解各自的区别和联系。 为了突出重点和难点，结合我班学生的实际情况，接下来谈谈本节课的教法及学法 二、说教法： 考虑到学生刚刚学习了集合以及集合的基本关系，作为后一节内容，学生在理解上是没有障碍的，因此我将这样设计教学方法： 本节课采用学生广泛参与，师生共同探讨的教学模式，对集合的基本关系适当的复习回顾以作铺垫，对交集与并集采用文字语言，数学语言，图形语言的分析，以突出重点，分散难点，通过启发式，观察的方法与数学结合的思想指导学生学习。 三、说学法： 根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知
集合及其运算
第一讲 集合及其运算 ● 知点 考点 答点 （1）子集——集合问题的核心 研究集合，说到底是在研究集合的子集。全集只是一个概念，如实数集R 。 真正有实际意义的事，是在R 上研究方程或不等式的解集，函数的定义域或值域，参数的取值范围等。这些，都是在研究R 的某个子集。 【例1】设集合A ={x |2232+-x x =1}，B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，A ?B ？ 【思考】 集合A 、B 都是用“陈述法”表示的方程的解集，为了比较A 和B 的关系，先考虑将A 和B 分别化简。 【解答】 易得集合A ={1，2}。B ={－1，1，a }，欲得A ?B ，必须且只须a =2。 【归纳】 已知A 是B 的子集，求“母集”B 中常数a 应满足的条件。逆向运用子集的定义，常采用“比较法分析法”。 （2）交集——两集合间的“且运算” 【例2】设集合A ={x |2232+-x x ≤1}，B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，A ∩ B ={1}？ 【思考】 A 是不等式的解集，B 是方程的解集。已知A 和B 的交集，求B 中参数满足的条件，先考虑将A 和B 分别化简。 【解答】 易得A ={x |1≤x ≤2}，B ={－1，1，a }，欲使A ∩B ={1}，必须有a ?(]2,1。即a >2或－1＜a ≤1 或a ＜－1。 【归纳】 比较分析法是分析法和比较法的综合运用。分析法“由果索因”，比较法可以逆用概念或定义将交集定义中的“且”字法则化。 （3）并集——两集合间的“或运算” 【例3】设集合A ={x |2232+-x x ≥1}，B ={x | |x －a |>0}，当a 为何值时，A ∪B =A ？ 【解答】 欲使A ∪B =A ，则有B ?A ，易得A ={x |x ≤1或x ≥2}，B ={x |x ≠a ，a ∈R }，欲使A ∪B =A ，必须有a ∈（1，2）。 【说明】 本题中的集合B ，容易误解为在R 上去掉一个单元素a ，即 B =()),(+∞?∞-a ，a ，实际上a 是个变数，当a ∈（1，2）时，B =(][)A ,, =+∞?∞-21 （4）补集——全集对子集的“差运算” 【例4】设集合B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，R B ={x | x 2≠1，0}？
2集合的基本运算
集合的基本运算 一、教学目标 1、 知识与技能 （1） 理解并集和交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集 （2） 能够使用Venn 图表达两个集合的运算，体会直观图像对抽象概念理解的作用 2、 过程与方法 （1） 进一步体会类比的作用 （2） 进一步树立数形结合的思想 3、 情感态度与价值观 集合作为一种数学语言，让学生体会数学符号化表示问题的简洁美. 二、课时：1课时 三、课型：新授课 四、教学重点、难点 重点：并集与交集的含义 难点：理解并集与交集的概念，符号之间的区别与联系 五、教法：启发式、探究式 六、教学用具：书、粉笔、黑板（多媒体） 七、教学过程 1、 创设情境 师：我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？ 2、 探究新知 同学们观察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A 、B 之间的关系吗？ （1）}5,3,1{=A ，}6,4,2{=B ，}6,5,4,3,2,1{=C ; （2）}10,8,6,4,2{=A ，}16,8,4,2{=B ，}16,10,8,6,4,2{=C 生1：集合C 是由属于集合A 和属于集合B 的元素组成的。 生2：集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的。 师：同学们说出的关系都比较好，首先我们来看第一位的归纳，它的归纳针对第一组集合是符合的，但对第二组集合就不符合了，说明这个归纳还不完善一下，下面我们大家一起来修改一下。观察第一组集合，集合C 是由所有属于集合A 和属于集合B 的元素组成。如果我们修改成这样，看这句话对第二组集合适用吗？ 生：不适用，应该把“和”改成“或”，因为元素具有互异性。 师：因此我们就可以归纳出并集的含义：一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集。 记作：A ∪B ，读作：A 并B ，其含义用符号表示为： {|,}A B x x A x B =∈∈U 或. （2）解剖分析： 1> “所有”：不能认为A ∪B 是由A 的所有元素和B 的所有元素组成的集合，即简单平凑， 要满足集合的互异性，相同的元素即A 和B 的公共元素只能算作并集中的一个元素 2> “或”：“B x A x ∈∈或”这一条件，包括下列三种情况： B x A x ?∈但；
常见算法问题- 第一讲集合及其运算
算法常见问题 考纲解读：了解算法的含义；理解流程图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解常用的基本算法语句：输入、输出、赋值、条件、循环. 1、某程序的伪代码下图所示，则程序运行后的输出结果为 ． 2．右上图的算法流程图中，当输入n=70时，则输出的n= ； 当 输入n=60时，则输出的n= 。 3．运行下面的伪代码，其输出结果为 。 4、执行右边的程序框图，若4p =， 则输出的S = ． 5、执行右边的程序框图，则输出的S= . 6、阅读下列程序: Read S ←1 For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End for End 输出的结果是 。 7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是_____________ 开始 S ←1 I ←3 While S ≤1000 S ←S*I I ←I+2 End while Print I 夯实基础
例1、（1）程序框图（即算法流程图）如下左所示，其输出结果a是_______ （2）某算法的程序框如上中图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________________________ . （3）已知函数2 log2 22 x x y x x ≥ ? =? -< ? ，上右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值 y的程序框图，①处应填写；②处应填写。 （4）阅读下左面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是 （5）如图，该程序运行后输出的结果为 . 合作探究
例2 （1）右上程序所确定的函数表达式为y=_________ (2)根据给出一个算法的伪代码，则=+-)2()3(f f Read x If Then x 0 ≤ ()x x f 4← Else ()x x f 2 ← If End ()x f int Pr (3)以下伪代码： Read x If x ≤-1 Then ()f x ←x +2 Else If -1
第二讲 集合的概念2
第二讲 集合的概念（2012-7-9） 例1 设集合A 的元素都是正整数，满足如下条件： （1）A 的元素个数不小于3； （2）若A a ∈，则a 的所有因数都属于A ； （3）若A a ∈，A b ∈，b a <<1，则A ab ∈+1． 请解答下面的问题： （1）证明：1,2,3,4,5都是集合A 的元素； （2）问：2005,2012是否是集合A 的元素． 例2 设T 是由10060得所有正因数组成的我集合，S 是T 的一个子集，其中没有一个数是另一个数的倍数，求Card (S )的最大值（Card (S )表示有限集合M 所含元素的个数）．
例 3 对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈?=??? 对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1} M N M N x f x f x ?=?=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ?； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ?+?的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q A B ? ，且()()P A Q B A B ???=?？
例4 若集合A 具有以下性质： ①A ∈0，A ∈1； ②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时， A x ∈1. 则称集合A 是“好集”. （Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈； 命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有 A x y ∈；
AA第一讲 集合的概念及运算
第一讲集合的概念及运算 考点解读 【基础性考点知识突破】 一、集合的含义及表示方法 1．元素与集合的含义 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合． 构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．2．集合中元素的性质 集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性． (1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征． (2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素． (3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序． 3．集合的表示 集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和Venn图法．一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用Venn图法．正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征． 4．元素与集合的关系 “属于”或“不属于”，记为“”或“?”． 二、集合与集合之间的关系 1．集合与集合之间的关系 (1)包含关系 子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A，显然A?A，??A. (2)相等关系 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B. 对于两个集合A与B，如果A?B，同时B?A，那么集合A与集合B相等，记作A=B． (3)真子集关系
对于两个集合A 与B ，若A ?B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .显然有下面的结论： ①对于集合A 、B 、C ，如果A ?B ，B ?C ，则A ?C ； ②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，则A C ． (4)不包含关系 用表示 2．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记作?． 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集． 3．有限集的子集、真子集的个数 关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集的 个数有2n 个，即02C C C 2n n n n n ++???+=（个），非空子集的个数有（21n -）个；真子集的个数有（21n -）个；非空真子集的个数有（22n -）个， 三、集合的交、并、补集的运算 1．交集 (1)定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }. (2)性质：A ∩A =A ；A ∩B =B ∩A (交换律)； A ∩?=?；(A ∩B )?A ；(A ∩B )?B ； 若A ?B ，则A ∩B =A ． 2．并集 (1)定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. (2)性质：A ∪A =A ；A ∪B =B ∪A (交换律)； A ∪?=A ；A ?(A ∪ B )；B ?(A ∪B )； 若A ?B ，则A ∪B =B ． 3．补集 (1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给
集合的概念及其运算
第一节 集合 一．考试要求： 理解集合，子集，补集，交集，并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并用它们正确表示一些简单的集合。 二．基本概念和性质 1．集合的基本概念： 某些指定的对象集在一起成为一个集合。其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。 2．集合的三种表示方法：_________、________、_________，它们各有优点，用什么方法来 表示集合要具体问题具体分析。 3．集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。 4．集合间的关系及运算 子集：___________________________________称A 为B 的子集，记作为_____; 真子集：___________________________________称A 为B 的真子集，记为_____; 空集：____________________,记为_____ 补集：如果已知全集U ，集合A U ?，则U C A =_________________; 交集：A B =___________________;并集：A B =_____________________ 5.集合中常用运算性质 若,A B B A ??则______，若,A B B C ??则_______, ___A ?, 若,A ≠?则___A ?，___,__,__,__A A A A A A =?==?= __U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B === ____A B A B A B ??=?= 6．熟练掌握描述法表示集合的方法，理解下列五个常见集合： {}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________ (3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________ x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈ 7．特别注意： （1）空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，特别是空集，避免误解或漏解。 （2）为了直观表示集合之间的关系，常用韦恩图来解决问题，另外要充分利用数轴和平面 直角坐标系来反映集合及其关系。 （3）解决有关集合问题，关键在于集合语言的转化。 三、例题选讲
第1讲 集合的概念与运算
第1讲集合的概念与运算 一、知识梳理 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 表示 关系 自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即 若x∈A，则x∈B) A?B(或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A中 A B(或 B A) 集合相等集合A，B中元素相同A＝B 集合的并集集合的交集集合的补集 图形语言 符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈}B ?U A＝{x|x∈U且x?A}
常用结论|三种集合运用的性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A． (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B． (3)补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A；?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)． 二、教材衍化 1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则() A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P 解析：选D．因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a?P.故选D． 2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．() (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A．() (3)若A B，则A?B且A≠B．() (4)N*N Z.() (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)× 二、易错纠偏 常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致错； (2)集合运算中端点取值致错； (3)忘记空集的情况导致出错．
第一节 集合的概念与运算-学生版
集合与常用逻辑用语 第一节集合的概念与运算 考纲 1．集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．, 整知识 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (1)集合关系图解 真子集 集合相等 A＝B (2)不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集 合的真子集． 3．集合的基本运算
集合的并集集合的交集集合的补集 悟方法 1．集合的运算性质 并集的性质： 交集的性质： 补集的性质： 2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察； (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系； (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 3．数形结合思想 数轴和V enn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题． 测基础 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)．() (2)．() (3)在集合中，可用符号表示为．() (4)N?N A AA?Z.() (5)若，则A＝B＝C．()
(完整版)集合的基本运算练习题
集合的基本运算练习题 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．已知集合A ＝{1，3，5，7，9}，B ＝{0，3，6，9，12}，则A∩B ＝( ) A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 2．设集合A ＝{x|2≤x ＜4}，B ＝{x|3x －7≥8－2x}，则A ∪B 等于( ) A ．{x|x≥3} B ．{x|x≥2} C ．{x|2≤x ＜3} D ．{x|x≥4} 3．集合A ＝{0，2，a}，B ＝{1，2 a }．若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 4．满足M ?{4321,,a a a a }，且M∩{321,,a a a }＝{21,a a }的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5.已知全集U=R ，集合A={x ︱-2≤x ≤3},B={x ︱x ＜-1或x ＞4｝，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ）. A.{x ︱-2≤x ＜4｝ B.{x ︱x ≤3或x ≥4} C ．{x ︱-2≤x ＜-1｝ D.{-1︱-1≤x ≤3} 6.设I 为全集，321S ,S ,S 是I 的三个非空子集且I S S S 321=Y Y ,则下面论断正确的是（ ）。 A.Φ=)S (S )S (C 321I Y I B.)]S (C )S [(C S 3I 2I 1I ? C.Φ=)S (C )S (C )S (C 3I 2I 1I I I D. )]S (C )S [(C S 3I 2I 1Y ? 二、填空题(每小题5分，共30分) 1．已知集合A ＝{x|x≤1}，B ＝{x|x≥a}，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 2．满足{1，3}∪A ＝{1，3，5}的所有集合A 的个数是________． 3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________． 4. 设 ， 若 ，则实数m 的取值范围是_______． 5. 设U=Z ，A={1,3,5,7,9}，B={1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是_______． 6. 如果S ＝{x ∈N |x ＜6}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，那么(S A)∪(S B)＝ . 三、解答题(每小题10分，共40分) 1．已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{1，2，x2－1}，若A ∪B ＝{1，2，3，5}，求x 及A∩B. 2．已知A ＝{x|2a≤x≤a ＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B ＝?，求a 的取值范围． 3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 4.集合S ＝{x|x ≤10，且x ∈N *}，A S ，B S ，且A ∩B ＝{4,5}，(S B)∩A ＝{1,2,3}， (S A)∩(S B)＝{6,7,8}，求集合A 和B. {}{}m x m x B x x A 311/,52/-<< +=<<-=A B A =?