斜椭圆一般方程与标准方程参数间的关系
对于椭圆总有一般方程
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
此方程可以变形为
A(x?x0)2+B(x?x0)(y?y0)+C(y?y0)2+f=0令x′=x?x0y′=y?y0
则Ax′2+Bx′y′+Cy′2+f=0
椭圆的标准方程
x2 a2+
y2
b2
=1
对于斜椭圆，其旋转角为-θ（为后续讨论方便，取为负值），则
x=x′cosθ?y′sinθ
y=x′′sinθ+y′′cosθ
带入标准方程，即得到旋转后的方程
（x′cosθ?y′sinθ）
2
a2+
（x′sinθ+y′cosθ）
2
b2
=1
经化简得到
（a2sin2θ+b2cos2θ)?x′2+（a2cos2θ+b2sin2θ)?y′2+2（a2?b2）sinθcosθ?x′y′?a2b2=0
所以
A=a2sin2θ+b2cos2θ
B=2（a2?b2）sinθcosθ
C=a2cos2θ+b2sin2θ
f=?a2b2
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2（20π <α<）， 22b a 4+， 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值
例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3 arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 P ， π），A （a ，0）。 解得1cos =α（舍去），或2 22 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-，解得21e 2 > ，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122，。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +，则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。
椭圆的参数方程(教案)
学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质（5） ——椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求： 1?了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标： 1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方 程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性 认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点： 1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五.教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关） 1. 求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2. 举例：含参数的方程与参数方程
2 “ x = 2t 例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 ?直线及圆的参数方程？各系数意义? （三）推导椭圆参数方程 1. 提出问题（教科书例5） 例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过 点B 作BM _AN ，垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题，但动点较多，不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1） 动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2） 如何设出恰当参数？ 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题（板演） 解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角, 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步（板演：化普通方程） -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形，得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。
椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆的参数方程中参数的几何意义： 红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ) 所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。 周长 椭圆周长计算公式：L=T（r+R） T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。 几何关系 点与椭圆 点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1； 点在圆内：x02/a2+y02/b2<1； 点在圆上：x02/a2+y02/b2=1； 点在圆外：x02/a2+y02/b2>1； 跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。 直线与椭圆 y=kx+m① x2/a2+y2/b2=1② 由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切△=0 相离△<0无交点
相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2） 求中点坐标 根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。 |AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2] 手绘法 1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。 2、：连接AC。 3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。 4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。 5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。 6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。 用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。 此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确。
求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程 1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； . (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． . 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B ? ?? ??12，3. 3、已知一椭圆的标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程． 4、已知椭圆过点P ? ????35，－4和点Q ? ?? ??－45，3，则此椭圆的标准方程是( A ) ＋x 2＝1 ＋y 2＝1或x 2＋y 2 25＝1 ＋y 2＝1 D ．以上都不对 5、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63 ； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 6、中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ? ????1，432，N ? ?? ??－322，2两点． 求椭圆的标准方程； 7、求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)，焦点在x 轴上； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.
答案： 1、（1）x2 25 ＋ y2 9 ＝1（2） y2 4 ＋x2＝1（3） x2 15 ＋ y2 5 ＝1 2、（1）x2 16 ＋ y2 12 ＝1（2）x2＋ y2 4 ＝1 3、当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2 25 ＋ y2 9 ＝1. 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为x2 9 ＋ y2 25 ＝1. 4、A 5、（1）若焦点在x轴上，椭圆的方程为x2 9 ＋ y2 3 ＝1. 若焦点在y轴上，椭圆的方程为y2 27 ＋ x2 9 ＝1. （2）x2 32 ＋ y2 16 ＝1. 6、x2 9 ＋ y2 4 ＝1 7、x2 9 ＋y2＝1 8、x2 12 ＋ y2 9 ＝1或 x2 9 ＋ y2 12 ＝1
椭圆及其标准方程练习题
椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点 的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段
例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆离心率是 ； 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ； 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； [典型练习]： 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是
椭圆参数方程教学设计2
椭圆的参数方程教学设计 一、基本说明 1、教学内容所属模块：选修4-4 2、年级：高三 3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A版） 4、所属的章节：第二讲第二节第1课时 5、学时数：45 分钟 二、教学设计 （一）、内容分析 1、内容来源 普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社A版数学选修4-4第二讲第三课时：椭圆的参数方程 2、地位与作用 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。 （二）、教学目标 1、知识与技能： （1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。 （2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。 （3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。 2、过程和方法： （1）通过以熟悉的椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质，体会参数对研究曲线问题的作用。 （2）通过利用信息技术从参数连续变化而形成椭圆的过程中认识参数的几何意义。 3、情感、态度和价值： 通过师生共同探究进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用。同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质。以及用参数方程解决某些曲线问题的过程中分享体会类比思想、数形结合的思想、构造转化思想。培养学生用“联系”的观点看问题，进一步增强“代数”与“几何”的联系，培养学生学好数学的信心。 （三）、教学重点、难点 重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义 难点：巧用椭圆的参数方程解题 （四）、学情分析： “坐标法”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识，但我们的学生对其了解甚少，再说椭圆参数方程的探求与应用，与代数变换、三角函数有密切联系，以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。
椭圆的参数方程(含答案)
椭圆的参数方程 教学目标： 1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。 3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。 教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22 221(0)y x a b a b +=>> 二、椭圆参数方程的推导 1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程 因为22()()1x y a b +=，又22 cos sin 1??+= 设cos ,sin x y a b ??==，即a cos y bsin x ??=??=? ，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 2.参数?的几何意义 问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径 作两个圆。设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。 过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当 半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(x, y)。 那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点A,B 均在角? 的终边上，由三角函数的定义有 ||cos cos x OA a ??==， ||sin cos y OB b ??==。 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是 a cos y bsin x ??=??=? 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 () ?为参数
椭圆的标准方程练习题
1.若点M 到两定点F 1（0，-1），F 2（0，1）的距离之和为2，则点M 的轨迹是 （ ） A .椭圆 B .直线21F F C .线段21F F D .线段21F F 的中垂线. 2.已知圆()1003:22=++y x A ，圆A 内一定点B （3，0） ，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 【解析】如图，设两圆内切于C ，动点P （x ，y ）， 则A 、P 、C 共线. 连AC 、PB ，∵10PA PB AC +== 为定长，而A （-3，0），B （3，0）为定点，∴圆心P 的 轨迹是椭圆.且5,3,4a c b ==∴=.所求轨迹方程为： 22 12516 x y +=. 3. 已知椭圆内有一点A （2，1），F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求 的最 大值与最小值。 解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0） 图1 由椭圆的第一定义得： 可知，当P 为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P 为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为 。 故的最大值为，最小值为。 一、填空题 1．方程x 225－m ＋y 2 16＋m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 2．椭圆x 2－m ＋y 2 －n ＝1(m
椭圆标准方程的求法举例
椭圆标准方程的求法举例 一、定义法 例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。 解：连结AN ，由NM NA = ，得NC NA NC NM CM +=+==， 而2CA =，因此，点N 的轨迹是以点C A ，为焦点的椭圆， 设为22 221(0)x y a b a b +=>> ，2a =，22c =， 所以a =1c = ，21b =。因此，所求轨迹方程为2 212x y +=。 评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ． 二、待定系数法 例2 ．已知椭圆的焦距离为 ，求焦点在x 轴上时，它的标准方程． 解析：焦点在x 轴上，设所求方程为22 221x y a b +=(0)a b >>， 由题意得2222321a b a b ?+=???-? ，，解之得2293.a b ?=??=??，因此，所求方程为22193x y +=． 评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程． 三、轨迹法 例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =- ，求动点P 的轨迹方程． 解析：设d 为动点()P x y ，到定直线14y =-的距离，根据题意动点P 的轨迹就是集合 ()PA M P x y d ??==????? ，| =． 将上式两边平方，并化简得2214131413x y +=?，即22 11314 x y +=为所求． 评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤． 四、奇思妙解法 例4 ．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1 (02)2A B ? ?，， 求
椭圆参数方程教学设计
1 / 3 椭圆的参数方程教学设计 王丽萍 一、基本说明 1、教学内容所属模块：选修4-4 2、年级：高二 3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A 版） 4、所属的章节：第二讲第二节第1课时 二、教学设计 （一）、内容分析 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。 （二）、教学目标 （1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。 （2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。 （3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。 （三）、教学重点、难点 重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义 难点：巧用椭圆的参数方程解题 （四）、学情分析： “坐标法 ”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识，但我们的学生对其了解甚少，再说椭圆参数方程的探求与应用，与代数变换、三角函数有密切联系，以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。 （五）、设计思路： 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。教师首先应通过实例展示在建立椭圆方程过程中，引进参数的意义和作用。使学生体会到有时用参数方程表示曲线比用普通方程表示更方便，理解参数的几何意义。 根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“复习导入发现法”。通过具体实例问题，引导和激发学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握椭圆参数的深层实质。教学流程为：复习回顾圆的参数方程和三角函数知识→创设情境引入新知→实例探究启发思维→例题讲解运用新知→课堂实践巩固新知→归纳总结完善→课外强化提升能力。 （六）、教具准备： PowerPoint 课件、《几何画板》 （七）、教学过程： 一、复习回顾 1.圆的参数方程知识 圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程：222r y x =+ 圆的参数方程是：????=?=θ θsin cos a y a x
椭圆及其标准方程教学设计(精)
椭圆及其标准方程教学设计 课题椭圆及其标准方程 一、学情分析 学生在必修Ⅱ中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。学生基础差，计算分析问题能力低。地处少数民族区竟争意识淡动手能力差。 二、教学目标 知识技能： 〈1〉掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程 〈2〉能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程。 过程方法： 〈1〉通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。 〈2〉通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。
三、教学重点，难点分析 重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。 难点：椭圆标准方程的建立和推导。 关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法。 椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中，先要学习的内容，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。 四、教法建议 〈1〉安排学生提前预习，动手切割圆锥形的事物，使学习了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子。 〈2〉对椭圆定义的引入，要注重于借助直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念。 〈3〉将课本提出的问题分解成若干小问题，通过学生、教师动手演示，来体现椭圆定义的实质。 〈4〉注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系。 〈5〉推导椭圆的标准方程时，教师要注重化解难点，实施的补充根式化简方法。 〈6〉讲解完焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程。然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识。 〈7〉在学习新知识的基础上要巩固旧知识。
(完整版)椭圆的参数方程(含答案)(可编辑修改word版)
+ = > > + = > > + ? ? 椭圆的参数方程 教学目标： 1. 了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2. 通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。 3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。 教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程： y a 2 二、椭圆参数方程的推导 x 2 b 2 1(a b 0) 1. 焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程 x y 因为( )2 ( )2 = 1，又cos 2 + sin 2 = 1 a b x y ?x = a c os 设 = cos , a b = sin ，即?y = bsin ，这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。 2. 参数 的几何意义 问题、如下图，以原点 O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作 两个圆。设 A 为大圆上的任意一点连，接 OA,与小圆交于点 B 。过点 A 作 AN ⊥ox ，垂足为 N ，过点 B 作BM ⊥AN ，垂足为 M ，求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为 ，点 M 的坐标是(x, y)。 那么点 A 的横坐标为 x ，点 B 的纵坐标为 y 。由于点 A,B 均在角 的终边上，由三角函数的定义有 x =| OA | cos = a cos ， y =| OB | sin = b cos 。 当半径 OA 绕点 O 旋转一周时，就得到了点 M 的轨迹，它的参数方程是 ?x = a c os ? y = bsin (为参数) 2 2
人教版高中数学《椭圆及其标准方程》教案设计
椭圆及其标准方程(第1课时) 一、内容和内容解析 内容：椭圆的定义及其标准方程的推导． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－1第二章第2节《椭圆》第1课时内容．在此之前学习了曲线与方程以及圆的方程，初步具备了解析几何的思想和用坐标法研究曲线问题的经验．另外，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式，是本节和本章的重点内容．故本节课的学习有着示范性的作用．教学中应当引起充分重视．椭圆的定义，较为抽象，用细绳画椭圆的方法将椭圆定义具体化．这对学生提出了较高的思维能力要求，这也是新课程标准中的数学核心素养要求之一．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析 目标： （1）用细绳画椭圆的方法将椭圆的定义具体化，加强对椭圆定义与图形的理解，在这过程中培养学生的思维能力． （2）在椭圆方程的推导过程中，会根据椭圆的图形特征，选择合理建系方法，理解椭圆标准方程之“标准”所在；会根据式子的结构特征，选择合适的化简方法，提高运算能力．（3）理解椭圆标准方程的特征及参数a，b，c的几何意义，能根据条件利用椭圆定义法或方程的待定系数法，求出椭圆的标准方程． 目标解析： （1）对椭圆的认识，先从直观感受再到理性认识，这与历史上对椭圆的研究历程是一致的．但椭圆的定义是发生式定义，较为抽象，故借助细绳画椭圆的方法可以将定义具体化，所画图像确实与印象中的椭圆是一致的．细绳画椭圆的方法既有利于对椭圆定义的理解，还有助于对椭圆对称性的理解与分析，在这过程中培养学生的思维能力． （2）通过类比圆方程最简洁形式时，圆与坐标系的对称关系，可以找到怎样根据椭圆的图形特征建立坐标系，使得椭圆方程更简洁，并能找到各参数对应的几何意义，从而也就能更好地说明椭圆标准方程之“标准”所在．另外，在化简过程中，到底是直接两边平方还是移项后再平方，可以通过分析得到初步判断，移项后两边平方只剩下一个根号和一次式，形式更简单．但直接两边平方，利用式子对称的结构特征进行运算的话，其实也不难．所以可以借此机会与学生强调，化简方程时利用式子的结构特征可以简化运算，提高运算能力．提
椭圆及其标准方程知识点
椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 22b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换 成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称 为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足
椭圆参数方程的应用
椭圆参数方程的应用 【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线 C 1的参数方程为????? x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ? ?? ??θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2 ＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12). 在极坐标中，曲线C 的方程为ρ2 ＝31＋2sin 2θ，点R 坐标为
? ????22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点R 的极坐标化为直角坐标； (2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标． 解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为? ?? ??32，12. 热点四 参数方程与极坐标方程的综合应用 【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线 C 1的参数方程为????? x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
椭圆的定义及其标准方程教学设计
课题：§椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学田光海 一、教案背景： 1.面向对象：高中二年级学生 2.学科：数学 3.课时：2课时 4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析
从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 3.教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。
椭圆及其标准方程练习题一
《椭圆及其标准方程》练习题一 1．设定点()3,01-F ，()3,02F ，动点()y x P ,满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P 的轨迹是 ( ) A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段或不存在 D. 不存在 2．如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ） A. （0，+∞） B. （0，2） C. （1，+∞） D. （0，1） 3．椭圆9x 2+16y 2=144的焦点为F 1、F 2，CD 是过F 1的弦，则?F 2CD 的周长是 （ ） A ．10 B.12 C.16 D.不确定 4．过椭圆13 422=+y x 的焦点且垂直于x 轴的直线l 被此椭圆截得的弦长为（ ） A ．2 3 B.3 C.32 D.3 5．椭圆的两个焦点分别是F 1(-8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和 是20，则此椭圆方程是 ( ) A.3x 2+1002y =1 B.4002x +336 2y =1 C.1002x + 362y =1 D. 202x +122 y =1 6．椭圆13122 2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段P F 1的中点在y 轴上， 那么|P F 1|是|PF 2|的 （ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 7．椭圆m x 2+4 2 y =1的焦距是2，则m 的值是 ( ) A.5 B.8 C.5或3 D.20 8．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P( 53，-4)和Q(-5 4，3)，此椭圆的方程是( ) A. 252 x +y 2=1 B.x 2+252y =1 C.252x +y 2=1或x 2+25 2y =1 D.非A 、B 、C 答案 9．P 是椭圆1452 2=+y x 上的一点，F 1和F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积 等于（ ） A. 3 316 B. )32(4- C. )32(16+ D. 16 10．过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是（ ） （A ）2211510x y += （B ）221510x y += （C ）2211015x y += （D ）22 12510 x y += 11．若椭圆a 2x 2－22 a y =1的一个焦点是(－2, 0)，则a =（ ） （A ）134- （B ）134-± （C ）154- （D ）154 -- 12．点P 为椭圆22 154 x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是（ ） （A ）(±152, 1) （B ）(152, ±1) （C ）(152, 1) （D ）(±152 , ±1)
椭圆的标准方程的推导方法
椭圆的标准方程的推导方法 1、回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性 2、建立焦点在轴上的椭圆的标准方程 ①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征 以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．设焦距为，则．设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为． ②动点满足的几何约束条件: ③坐标化： ④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号 预案一：移项后两次平方法 分析的几何含义，令得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为
预案二： 用等差数列法： 设 得4cx=4at，即t= 将t=代入式得 ③ 将③式两边平方得出结论。以下同预案一 预案三：三角换元法： 设 得 即即 代入式得 以下同预案一 设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美 (3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程 要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？
此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转即可转化成图(2)，需将轴、轴的名称换为轴、轴或轴、轴．
（1）（2） 焦点在轴上的椭圆的标准方程为 设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动 (4)辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点 区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上．反之亦然． 联系：它们都是二元二次方程，共同形式为 两种情况中都有 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
椭圆标准方程及其性质知识点大全
【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点 P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点， 两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： ●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤， b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A , 12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2
离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12 ,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； M N F x y