北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题
习题4.5
x
(,3
2
)3
2
(3
2
,0)
0(0,
3
2
)
3
2
(3
2
,+)
f0+00+
f拐点拐
点
拐
点x(,0)
-∞0(0,1)1(1,2)2(2,)
+∞y'0++0
y''++
y
极小值拐点极大值
()()
()()
2
22222 22
222
32
1.()
()212,()12(2)4
3
642320,0,.
2
x
x x x x x x x
f x xe
f x e x e e x f x e x x xe
e x x xe x x
-
-------
=
'''
-=-=---
=-+=-+==±
求函数 的凸凹性区间及拐点.
解=
23
2
1
,(,).
3
2(2)0,0,2.
220, 1.
y x x x
y x x x x x
y x x
=-∈-∞∞
'=-=-==
''=-==
作下列函数的图形：
2.
222223.,(,).2(2)(2)0,0,2;(2)(22)(42)0,2 2.
x x x
x x x x x y x e x y xe x e e x x e x x x y e x x e x e x x x --------'=∈-∞+∞=-=-=-==''=--+-=-+==±
x
(,0)-∞
(0,22)- 22- (22,2)-
2
(2,22)+ 22+ (22,)++∞
y '
-
+ +
-
-
y ''
+
+
-
- 0
+
y
?
极小值
?
拐点
?
极大值
?
拐点
?
22231
4.,0.
11
10,
2
1;.
y x x x
x y x x
x y x
=+≠-'=-==''=±=
3
2
2
2
3
4
2224432322
6(1)5., 1.(1)3(1)(1)2(1)(1)
(1)(1)(1)(3322)(1)(1)(5)(1)(5),(1)(1)(1)
0,1,5.
[2(1)(5)(1)](1)3(1)(5)(1)(1)[2(x y x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x +=≠-+--+-'=
-+----+--+-===---'==-+-++--+--''=
-+=
224
424
1)(5)(1)](1)3(1)(5)(1)(1){[2(5)(1)](1)3(1)(5)}(1)(1){(39)(1)3(45)}(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++--+--+-++--+-=
-+-----=
-
x
(,1)-∞-
-1
(1,1)- (1,5)
5 (5,)+∞
y '
+ 0 + 0 + y ''
+
+
+
y
?
拐点
?
? 极小值
?
2
2
433
3/2ln 6.,0.1ln 0,.
12(1ln )
12(1ln )32ln )
,0,.
x
y x x x y x e x x x x x x x y x x x
y x e =
>-'===-?--+--''==-=-''== x
(,)e -∞
e
3/2(,)e e
3/2e
3/2(,)e +∞
y ' 0 + +
y ''
+
+
y
?
极小值
?
拐点
?
221221221121122121()(,)()(,).()0,(,).()(,)(,),,(,),,()()()(),()()()().0(()())(),
0y f x a b f x a b f x x a b y f x a b a b x a b x f x f x f x x x f x f x f x x x f x f x x x x x ''''=≤∈=∈<''≤+-≤+-''≤--->117.设函数在内有二阶导数且在内向上凸证明在在内向上凸故对于任意x x 两式相加得
消去得证12210()(),()(),(),()0,(,).
f x f x f x f x f x f x x a b '''''''≤-≤≤∈即是单调递减函数故
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