15《运筹学》(第四版)连续动态规划介绍

动态规划

动态规划 一、背包问题 1、0/1背包[问题背景及描述] Bessie 正在减肥，所以她规定每天不能吃超过C (10 <= C <= 35,000)卡路里的食物。农民John 在戏弄她，在她面前放了B (1 <= B <= 21) 捅食物。每桶内都有某个单位卡路里(范围：1..35,000)的食物(不一定相同)。Bessie 没有自控能力，一旦她开始吃一个桶中的食物，她就一定把这桶食物全部吃完。Bessie 对于组合数学不大在行。请确定一个最优组合，使得可以得到最多的卡路里，并且总量不超过C。例如，总量上限是40卡路里，6 桶食物分别含有7, 13, 17, 19, 29, 和31卡路里的食物。Bessie可以吃7 + 31 = 38卡路里，但是可以获取得更多：7 + 13 + 19 = 39卡路里。没有更好的组合了。 [输入] 共两行。 第一行，两个用空格分开的整数：C 和 B 第二行，B个用空格分开的整数，分别表示每桶中食物所含的卡路里。 [输出] 共一行，一个整数，表示Bessie能获得的最大卡路里，使她不违反减肥的规则。 [输入样例] 40 6 7 13 17 19 29 31 [样例输出] 39 2、固定次数的0/1背包 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。V〈30000，n〈100，n[i]〈50。 输入输出格式： 第1行，两个用空格分开的整数：v 和n 第2—n+1行，每件体积是c[i]，价值是w[i],最多有n[i]件可用 [输入样例] 40 2 10 20 5 20 30 6 [样例输出] 80 3、重复背包货币系统money 母牛们不但创建了他们自己的政府而且选择了建立了自己的货币系统。[In their own

动态规划基本原理

动态规划基本原理 动态规划基本原理 近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的NOI几乎都至少有一道题目 需要用动态规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经 不再停留于简单的递推和建模上了。 要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 一、多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采 取措施)，一个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了 一个过程的活动路线，则称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供 选择，因而就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可 以用数量来确定。策略不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策 略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到最好的效果. 让我们先来看下面的例子：如图所示的是一个带权有向的多段图，要求从A到D的最 短 图4-1 带权有向多段图 路径的长度(下面简称最短距离)。 我们可以搜索，枚举图中的每条路径，但当图的规模大起来时，搜索的效率显然不可 能尽人意。让我们来试用动态规划的思路分析这道题：从图中可以看到，A点要到达D点 必然要经过B1和B2中的一个，所以A到D的最短距离必然等于B1到D的最短距离加上5，或是B2到D的最短距离加上2。同样的，B1到D的最短距离必然等于C1到D的最短距离 加上3或是C2到D的最短距离加上2，……。 我们设G[i]为点i到点D的距离，显然G[C1]=4，G[C2]=3，G[C3]=5，根据上面的分析， 有： G[B1]=min{G[C1]+3，G[C2]+2}=5， G[B2]=min{G[C2]+7，G[C3]+4}=9， 再就有G[A]=min{G[B1]+5，G[B2]+2}=10，

动态规划算法原理与的应用

动态规划算法原理及其应用研究 系别：x x x 姓名：x x x 指导教员： x x x 2012年5月20日

摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数

运筹学整数规划

实验报告 课程名称：___ 运筹学 ____ 项目名称：整数规划问题_ 姓名：__专业：、班级：1班学号：同组成员：_ __ 1注：1、实验准备部分包括实验环境准备和实验所需知识点准备。 2、若是单人单组实验，同组成员填无。

例4.5设某部队为了完成某项特殊任务，需要昼夜24小时不间断值班，但每天不同时段所需要的人数不同，具体情况如表4-4所示。假设值班人员分别在各时间段开时上班，并连续工作8h。现在的问题是该部队要完成这项任务至少需要配备多少名班人员？ 解： 根据题意，假设用i x（i=1,2,3,4,5,6）分别表示第i个班次开始上班的人数， 每个人都要连续值班8h，于是根据问题的要求可归结为如下的整数规划模型：目标函数： i i x z 6 1 min = ∑ = 约束条件： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ≥） 且为整数（6 ... 1 ,0 x 30 >= x6 + x5 20 >= x5 + x4 50 >= x4 + x3 60 >= x3 + x2 70 >= x2 + x1 60 >= x6 + x1 i i model: sets: num/1,2,3,4,5,6/:b,x; endsets data: b=60,70,60,50,20,30; enddata [obj]min=@sum(num(i):x(i)); x(1)+x(6)>=60; x(1)+x(2)>=70; x(2)+x(3)>=60; x(3)+x(4)>=50; 2注：实验过程记录要包含实验目的、实验原理、实验步骤，页码不够可自行添加。

解： 目标函数： y3*2000-y2*2000-y1*5000-x3*200)-(300+x2*30)-(40+x1*280)-(400=z max 约束条件：???????y3 *300<=x3*2y2*300<=x2*0.5y1*300<=x1*32000<=x3*4+x2+x1*5 model : sets : num/1,2,3/:x,y; endsets [obj]max =(400-280)*x(1)+(40-30)*x(2)+(300-200)*x(3)-5000*y(1)-2000*y(2)-2000*y(3); 5*x(1)+x(2)+4*x(3)<=2000; 3*x(1)<=300*y(1); 0.5*x(2)<=300*y(2); 2*x(3)<=300*y(3); @for (num(i):x(i)>=0;@bin (y(i));); end

《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc

《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？ 3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2． 线性规划的可行解集是凸集。 3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量都可以被选作换入变量。 8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1． 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：

运筹学中线性规划实例汇总

实验报告 课程名称：运筹学导论 实验名称：线性规划问题实例分析专业名称：信息管理与信息系统 指导教师：刘珊 团队成员：邓欣(20112111 蒋青青(20114298 吴婷婷(20112124 邱子群(20112102 熊游(20112110 余文媛(20112125 日期：2013-10-25 成绩：___________

1．案例描述 南部联盟农场是由以色列三个农场组成的联合组织。该组织做出了一个关于农场农作物的种植计划，如下： 每一个农场的农业产出受限于两个量，即可使用的灌溉土地量和用于灌溉的水量。数据见下表： 适合本地区种植的农作物包括糖用甜菜、棉花和高粱。这三种作物的差异在于它们每亩的期望净收益和水的消耗量不同。另外农业部门已经制定了南部联盟农场作物总亩数的最大配额，见下表： 作物的任何组合可以在任何农场种植，技术部门的任务是找出一个种植方案使南部联盟农场的净收益最大化。 2.建立模型 决策变量为Xi(i=1,2,……,9,表示每个农场每种作物的种植量。 MAX Z=1000(X1+X2+X3+750(X4+X5+X6+250(X7+X8+X9 约束条件： （1）每一个农场使用的土地 X1+X4+X7≤400

X2+X5+X8≤600 X3+X6+X9≤300 (2每一个农场的水量分布 3X1+2X4+X7≤600 3X2+2X5+X8≤800 3X3+2X6+X9≤375 (3每一种作物的总种植量 X1+X2+X3≤600 X4+X5+X6≤500 X7+X8+X9≤325 非负约束Xi≥0 , i=1,2, (9) 3.计算机求解过程 步骤1.生成表格 步骤2.输入数据

(完整word版)第二章运筹学 线性规划

第二章 线性规划 主要内容：1、线性规划问题及数学模型 2、线性规划问题的解及其性质 3、图解法 4、单纯形法 5、大M 法和两阶段法 重点与难点：线性规划数学模型的建立：一般形成转化为标准型的方法：单纯形法的求解步骤。 要 求：理解本章内容，掌握本章重点与难点问题；深刻理解线性规划问题的基本概念、基本性质，熟练掌握 其求解技巧；培养解决实际问题的能力。 §1 线性规划的数学模型及解的性质 一、数学模型（一般形式） 例 1 已知某市有三种不同体系的建筑应予修建，其耗用资源数量及可用的资源限量如下表，问不同体系的面积应各建多少，才能使提供的住宅面积总数达到最大？ 解：设三种体系的建筑面积依次为1x ,2x ,3x 万平方米， 则目标函数为 321max x x x z ++= 约束条件为 ?? ?? ???????=≥≤++≤≤++≤++≤++3,2,10 4005.335.41470021015000 180190110200025301211000 122137105 3211321321321j x x x x x x x x x x x x x x j 例2 某工厂要安排生产甲、乙两种产品。已知：

问：如何安排两种产品的生产数量，才能使总产值最高？ 解：设 21,x x 分别为甲、乙两种产品的生产量： 则目标函数为 21127m ax x x z += 约束条件为??? ??? ?=≥≤+≤+≤+2,1,03001032005436049112121j x x x x x x x j 从以上两例可以看出，它们都属于一类优化问题。它们的共同特征： ①每一个问题都有一组决策变量（n x x x 21,）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这 些变量的取值是非负的。 ②存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或不等式来表示。 ③都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示；按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。其一般形式为： 目标函数 n n x c x c x c z +++= 2211m ax (m in) 约束条件 ()()()????? ????=≥=≥≤+++=≥≤+++=≥≤+++n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ,,2,1,0,,,22112222212111212111 可行解：满足约束条件的一组决策变量，称为可行解。 最优解：使目标函数取得最大（小）值的可行解，称为最优解。 最优值：目标函数的最大（小）值，称为最优值。 二、标准型 （一）问题的标准形式： n n x c x c x c z +++= 2211ma x ????? ?? ??=≥=+++=+++=+++n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ,,2,1,022112222212111212111

动态规划习题讲解

第七章动态规划 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划（dynamic programming）同前面介绍过的各种优化方法不同，它不是一种算法，而是考察问题的一种途径。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。当然，由于动态规划不是一种特定的算法，因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。1961年贝尔曼出版了他的第二部著作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部著作。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。许多规划问题用动态规划的方法来处理，常比线性规划或非线性规划更有效。特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。 动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法，并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。 §7.1 动态规划的基本理论 1.1多阶段决策过程的数学描述 有这样一类活动过程，其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策，以使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个阶段（stage，即决策点）都是由输入（input）、决策（decision）、状态转移律（transformation function）和输出（output）构成的，如图7-1（a）所示。其中输入和输出也称为状态（state），输入称为输入状态，输出称为输出状态。

动态规划算法原理与的应用

动态规划算法原理 及其应用研究 2012年5月20日摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了

动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一■ 个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten ）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部 关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhause）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划问世以来，在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径

运筹学第4章整数规划习题.doc

第四章 整数规划 4.1 某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A 、材料B ，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？（只建模不求解） 解：设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x 1、x 2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建立模型如下： 2123max x x z += ????? ? ?≥≤+≤+为整数 21212121,0,5 .45.01432x x x x x x x x 4.2 2197max x x z += ??? ??≥≤+≤+-且为整数 0,35 76 3.212121x x x x x x t s 割平面法求解。（下表为最优表） 线性规划的最优解为： 63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x 由最终表中得： 2 7 221227432=++ x x x ④ 将系数和常数项分解成整数和非负真分式之和，上式化为； 2 132********+=++x x x 移项后得： ①②③④ ①②③

即： 2 1221227212212274343-≤--→≥+x x x x 只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。 由x 1行得： 7 32 7171541= -+ x x x 将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和： 74476715541+=+-+x x x x 得到新的约束条件： 74 767154-≤--x x 7 47671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，用对偶单纯形法求解： 则最优解为3,421 ==x x ，最优目标函数值为z *=55。 4.3 max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3

数学模型动态规划

动态规划 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个重要分支，它是解决多阶段决策问题的一种有效的数量化方法．动态规划是由美国学者贝尔曼(R．Bellman）等人所创立的．1951年贝尔曼首先提出了动态规划中解决多阶段决策问题的最优化原理，并给出了许多实际问题的解法．1957年贝尔曼发表了《动态规划》一书，标志着运筹学这一重要分支的诞生． §1动态规划的概念与原理 一、动态规划的基本概念 引例:最短路线问题 美国黑金石油公司（The Black Gold Petroleum Company）最近在阿拉斯加（Alaska）的北斯洛波（North Slope）发现了大的石油储量。为了大规模开发这一油田，首先必须建立相应的输运网络，使北斯洛波生产的原油能运至美国的3个装运港之一。在油田的集输站（结点C）与装运港（结点P1、P 、P3）之间需要若干个中间站，中间站之间的联通情况如图1所示，图中线2 段上的数字代表两站之间的距离（单位：10千米）。试确定一最佳的输运线路，使原油的输送距离最短。 解：最短路线有一个重要性质，即如果由起点A经过B点和C点到达终点D是一条最短路线，则由B点经C点到达终点D一定是B到D的最短路（贝尔曼最优化原理）。此性质用反证法很容易证明，因为如果不是这样，则从B 点到D点有另一条距离更短的路线存在，不妨假设为B—P—D；从而可知路线A—B—P—D比原路线A—B—C—D距离短，这与原路线A—B—C—D是最短路线相矛盾，性质得证。 根据最短路线的这一性质，寻找最短路线的方法就是从最后阶段开始，由后向前逐步递推求出各点到终点的最短路线，最后求得由始点到终点的最短路；即动态规划的方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路线的一种方法。按照动态规划的方法，将此过程划分为4个阶段，即阶段变量4,3,2,1 k；取 x，按逆序算法求解。 过程在各阶段所处的位置为状态变量 k

04第四章 动态规划

第四章 动态规划初步 第一节 问题概览 一、问题的表述 与变分法和最优控制相比，动态规划处理离散时间与不确定性问题更有优势。在本章中，我们将简介在确定性下的动态规划的初步知识。我们从下面的问题开始： {}0 (1)((0))((),(1))max t t x t V x U x t x t β∞=∞* +=+∑ （P1） .. (1)(())s t x t G x t +∈， 对所有的时间t (0)x 给定。 约束说明在()x t 时(1)x t +的值。()x t 是状态变量，(1)x t +可以看作是t 时的控制变量。所以该约束说明给定状态变量如何确定控制变量。U 是瞬时回报（实值函数），U 不独立依赖于时间。 我们是要得到最优值序列{}0 (1)t x t ∞ *=+以使得((0))V x *最大，{}0 (1)t x t ∞ *=+被称 为最优计划（plan ），((0))V x *是值函数。我们把问题P1的形式称为序贯（sequence problem ）问题。显而易见，((0))V x *与初始的(0)x 相关，即不同的(0)x 会导致不同的最优值。下面是一个该问题形式的具体例子： 例1：{} (),() max (())t c t k t t U c t β∞ =∑ .. (1)(())()(1)()s t k t f k t c t k t δ+=-+- ()0k t ≥，(0)k 给定。 该例子实际上就是代表性主体（或计划者）的Ramsey 问题。该问题不是标准的P1问题的形式，但是我们可以将它转化成P1的形式： {}0 (1)((0))((())(1)(1)())max t t k t V k U f k t k t k t βδ∞=*+=-++-∑ .. (1)[0,(())(1)()]s t k t f k t k t δ+∈+- 其中，()(())(1)(1)c t f k t k t k t δ=- ++-。对应P1式中：()()x t k t =，

《运筹学》之线性规划 (2)

运筹学 线性规划基本性质

线形规划基本性质目录 线性规划（概论） 线性规划问题:生产计划问题 例1.1 生产计划问题（资源利用问题）例1.1生产计划问题分析 例1.1生产计划问题模型 例1.1生产计划问题表格描述 例1 .2 营养配餐问题 各种食物的营养成分表 各种食物的营养成分表（转置） 例1 .2 营养配餐问题求解 用于成功决策的实例 线形规划的一般模型:特点 线形规划的一般模型:数学模型线性规划问题隐含的假定 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定 线形规划的图解法 线形规划解的可能结果 线形规划的标准形式1 线形规划的标准形式2 非标准型LP的标准化:目标函数 非标准型LP的标准化:约束函数1 非标准型LP的标准化:约束函数2 非标准型LP的标准化:决策变量 线形规划解的概念：可行解 线形规划解的概念：最优解 线形规划解的概念：基本解 线形规划解的概念：最优基本解 线形规划的应用模型 生产计划问题 生产计划问题：表格分析 生产计划问题：模型 产品配套问题 产品配套问题：工时分析 产品配套问题：配套分析 产品配套问题：模型 结束放映

线性规划（概论） 线形规划是研究解决有限资源最佳分配的运筹学方法，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有利的利用，以便最充分地发挥资源的效能去获得最佳经济效益。

线性规划问题:生产计划问题 1、如何合理使用有限的人力、物力和资 金，实现最好的经济效益。 2、如何合理使用有限的人力、物力和资 金，以达到最经济的方式，完成生产 计划的要求。

例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/张，椅子销售价格30元/把，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一张桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一把椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？

运筹学-线性规划模型在实际生活中的应用

线性规划模型在实际生活中的应用 【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。 【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法 前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决

运筹学实验报告四整数规划

2018-2019学年第一学期 《运筹学》 实验报告（四） 班级：交通运输171 学号： 1000000000 姓名： ***** 日期： 2018.11.22

实验一： 用Lingo 软件求解下列整数规划问题（要求附程序和结果） 12 121212max 2506221 0,1,2i z x x x x x x x x x i =++≤?? -+≤?? +≤??≥=?且取整数 12312323123123 123max 232 45 2244 ,,01 z x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++≤??+≤?? +-≤??+-≤?=??或 解：例题（左）解题程序及运行结果如下： sets : bliang/1,2/:x,a; yshu/1,2,3/:b; xshu(yshu,bliang):c; endsets data : a=2,1; b=5,0,21; c=1,1 -1,1 6,2; enddata max =@sum (bliang(i):a(i)*x(i)); @for (yshu(j):@sum (bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j)); @for(bliang(i):@gin(x(i))); Global optimal solution found. Objective value: 7.000000 Objective bound: 7.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X( 1) 3.000000 -2.000000 X( 2) 1.000000 -1.000000 A( 1) 2.000000 0.000000

运筹学线性规划习题.doc

一、需要掌握的主要内容 1、单纯形法的计算过程 （1）确定初始基本可行解 （2）最优性检验； （3）基变换。 2、单纯形法的灵敏度分析 （1）最终单纯形表中，变量系数的灵敏度分析针对最优解不变时，判断其变化范围； （2）约束条件常数项b的灵敏度分析针对最优解不变时，判断其变化范围； （3）增加一个变量的灵敏度分析 首先，确定增加变量在初始单纯形表中的系数列P j ；然后，求出其对应在最终单纯形表 中的系数列P j ；最后求出σ j =C j -C B B-1P j 。 若σ j ≤0，则最优解不变；σ j ≥0，则继续进行基变换，直到求出最优解。 二、需要基本掌握的内容 1、解、基本解、可行解、基本可行解等基本概念； 2、利用单纯形法求解如何判断无可行解、无界解和无穷最优解等基本理论； 3、如何写出一个线性规划的对偶问题； 4、对偶单纯形法的基本思路和过程。 一、填空题 （1）线性规划模型中，松弛变量的经济意义是，它在目标函数中的系数是。 （2）设有线性规划问题：max z=CX AX≤b X≥0 有一可行基B，记相应基变量为X B ,非基变量为X N ，则可行解的定义为，基本可行 解的定义为，B为最优基的条件是。 （3）线性规划模型具有可行域，若其有最优解，必能在上获得。 二、选择题 1．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（）代换。 A．和 B．差 C．积 D．商 2．满足线性规划问题全部约束条件的解称为（） A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解 3．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（） A．多重解 B．无解 C．无界解 D．退化解 4．原问题与对偶问题的（）相同。 A．最优解 B．最优目标值 C.解结构 D．解的分量个数 5.记线性规划原问题（p）max z=CX，对偶问题（D） min w=Yb AX≤b YA≥C

运筹学线性规划

1 人力资源分配的问题 例1.某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排 司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员? 分析：不同上班班次时段的司机和乘务人员数 （图见书） 解：设 xi 表示第i 班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。 ?? ? ??? ???? ? =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=6,,2,1030205060 7060.6554433221616 54321 j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x minZ j 且为整数 例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？

解：设xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。 （图见书） ?? ? ??? ? ? ???? ?=≥≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++++++++=7,6,,2,1028311925241528.432173217621765176547654365432543217654321 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x minZ j 且为整数 约束条件：目标函数： 2 生产计划的问题 例3.某企业生产甲、乙、丙三种产品，每一产品均须经过A 、B 两道工序。A 工序有两种设备可完成，B 工序有三种设备可完成，除甲产品和乙产品的A 工序可随意安排外，其余只能在要求的设备上完成。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据的费用有关资料见下表。试制订利润最大的产品加工方案。 （图见书） 解：用8个单下标变量分别表示3种产品在相应工序中的生产量，如表所示。 在约束条件中需考虑 x1+x2=x3+x4+x5 线性规划模型的目标函数为： max z=[(1.25-0.25)(x1+x2)+(2-0.35)(x6+x7)+(2.8-0.5)x8] - [0.05(5x1+10x6)+0.0321(7x2+9x7+12x8)+0.0625(6x3+8x6+8x7)+0.111857(4x4+11x8)+0.05×7x5] 即:max z=0.75x1+0.7753x2+0.65x6+0.8611x7+0.6844x8-0.375x3-0.4474x4-0.35x5 该问题线性规划模型为： max z= 0.75x1+0.7753x2+0.65x6+0.8611x7+0.6844x8-0.375x3-0.4474x4-0.35x5 ? ????? ??? ??=≥=---+≤≤+≤++≤++≤+8 ,,2,1004000770001144000886100012976000105..543215 8476387261 j x x x x x x x x x x x x x x x x x t s j 3 套裁下料问题 例4.现要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m 和1.5m 的圆钢各一根。已知原料长7.4m ，问应如何下料使所用料最省？ 若用套裁，下面有几种套裁方案，都可以考虑采用

运筹学 线性规划在管理中的应用案例

第五章线性规划在管理中的应用 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表： 司的利润最大化。 1、判别问题的线性规划数学模型类型。 2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 3、建立该问题的线性规划数学模型。 4、用线性规划求解模型进行求解。 5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。 6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。 解： 1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。 2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为： + + 决策的限制条件： 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件 4x1+ 3x2≤350 车床限制条件 3x1 + x3≤150 磨床限制条件 即总绩效测试（目标函数）为： max z= + + 3、本问题的线性规划数学模型 max z= + + S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1 + x3≤150 x1≥0、x2≥0、x3≥0 4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。 5、灵敏度分析

目标函数最优值为 : 30 变量最优解相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束松弛/剩余变量对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范围 : 变量下限当前值上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 : 约束下限当前值上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 150 （1）最优生产方案： 新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。 （2）x3 的相差值是意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润元/件，提高到元/件。 （3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时； 三个对偶价格，0，表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。 （4）目标函数系数范围 表明新产品Ⅰ的利润在元/件以上，新产品Ⅱ的利润在到之间，新产品Ⅲ的利润在以下，上述的最佳方案不变。 （5）常数项范围 表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在到工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献元，0元，元不变。 6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是： max z= + + S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1 + x3≤150 x3≥18 x1≥0、x2≥0、x3≥0 这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下： 最优解（44，10，18），最优值：元。 灵敏度报告： 目标函数最优值为 : 变量最优解相差值 x1 44 0 x2 10 0 x3 18 0 约束松弛/剩余变量对偶价格