离散数学 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后
离散数学答案屈婉玲版
第二版高等教育出版社课后答案
第一章部分课后习题参考答案
16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0
（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0.
（3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0
(4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1
17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”
答：p: π是无理数 1
q: 3是无理数0
r: 2是无理数 1
s:6能被2整除 1
t: 6能被4整除0
命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型：
（4）(p→q) →(?q→?p)
（5）(p∧r) ?(?p∧?q)
（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)
答：（4）
p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p)
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1 1
所以公式类型为永真式
（5）公式类型为可满足式（方法如上例）
（6）公式类型为永真式（方法如上例）
第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
(1) ?(p∧q→q)
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)
(3)(p∨q)→(p∧r)
答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式
(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)
0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
所以公式类型为可满足式
4.用等值演算法证明下面等值式：
(2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r))
(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q)
证明（2）(p→q)∧(p→r)
? (?p∨q)∧(?p∨r)
??p∨(q∧r))
?p→(q∧r)
（4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)
?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q)
?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1
?(p∨q)∧?(p∧q)
5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值
(1)(?p→q)→(?q∨p)
(2)?(p→q)∧q∧r
(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
解：
（1）主析取范式
(?p →q)→(?q ∨p)
??(p ∨q)∨(?q ∨p)
?(?p ∧?q)∨(?q ∨p)
? (?p ∧?q)∨(?q ∧p)∨(?q ∧?p)∨(p ∧q)∨(p ∧?q) ? (?p ∧?q)∨(p ∧?q)∨(p ∧q) ?320m m m ∨∨
?∑(0,2,3)
主合取范式：
(?p →q)→(?q ∨p)
??(p ∨q)∨(?q ∨p) ?(?p ∧?q)∨(?q ∨p)
?(?p ∨(?q ∨p))∧(?q ∨(?q ∨p)) ?1∧(p ∨?q) ?(p ∨?q) ? M 1 ?∏(1) (2) 主合取范式为：
?(p →q)∧q ∧r ??(?p ∨q)∧q ∧r ?(p ∧?q)∧q ∧r ?0 所以该式为矛盾式.
主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：
(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)
??(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)
?(?p ∧(?q ∨?r))∨(p ∨q ∨r)
?(?p ∨(p ∨q ∨r))∧((?q ∨?r))∨(p ∨q ∨r))
?1∧1 ?1
所以该式为永真式.
永真式的主合取范式为 1
主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)
第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
(2)前提：p→q,?(q∧r),r
结论：?p
(4)前提：q→p,q?s,s?t,t∧r
结论：p∧q
证明：（2）
①?(q∧r) 前提引入
②?q∨?r ①置换
③q→?r ②蕴含等值式
④r 前提引入
⑤?q ③④拒取式
⑥p→q 前提引入
⑦￢p（3）⑤⑥拒取式
证明（4）：
①t∧r 前提引入
②t ①化简律
③q?s 前提引入
④s?t 前提引入
⑤q?t ③④等价三段论
⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换
⑦（q→t）⑥化简
⑧q ②⑥假言推理
⑨q→p 前提引入
⑩p ⑧⑨假言推理
(11)p∧q ⑧⑩合取
15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：
(1)前提：p→(q→r),s→p,q
结论：s→r
证明
①s 附加前提引入
②s→p 前提引入
③p ①②假言推理
④p→(q→r) 前提引入
⑤q→r ③④假言推理
⑥q 前提引入
⑦r ⑤⑥假言推理
16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：
(1)前提：p→?q,?r∨q,r∧?s
结论：?p
证明：
①p 结论的否定引入
②p→﹁q 前提引入
③﹁q ①②假言推理
④￢r∨q 前提引入
⑤￢r ④化简律
⑥r∧￢s 前提引入
⑦r ⑥化简律
⑧r∧﹁r ⑤⑦合取
由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.
第四章部分课后习题参考答案
3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命
题的真值:
(1) 对于任意x,均有
2=(x+
)(x
).
(2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解：
F(x):
2=(x+
)(x
).
G(x): x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?，在（a ）(b)中均为真命题。
4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解:
(1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数
命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人
命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快.
(3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:
(1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快 命题符号化为: )),())()(((y x H y G x F y x →∧??
(2) (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是汽车; H(x,y): x 比y 快 命题符号化为: ))),()(()((y x H x F x y G y →?∧?? 9.给定解释I 如下:
(a) 个体域D为实数集合R.
(b) D中特定元素=0.
(c) 特定函数(x,y)=x y,x,y D
∈.
(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x ∈. 说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值: (1))) y G x? → ? ? x y , ) ( ( (y F x , (2))) x y a f F ? G y ? x→ ) ( , x ), (y , ( ( 答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x (2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x 10. 给定解释I如下： （a）个体域D=N(N为自然数集合). （b） D中特定元素=2. （c） D上函数=x+y,(x,y)=xy. （d） D上谓词(x,y):x=y. 说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值. (1)xF(g(x,a),x) (2)x y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x) 答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0. (2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0. 11. 判断下列各式的类型: (1) (3) yF(x,y). 解:(1)因为1 q → p p p为永真式； q ? →p ) ( ? (? ) ∨ ? ∨ 所以为永真式； (3)取解释I个体域为全体实数 F(x,y)：x+y=5 所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真； 后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，] 此时为假命题 再取解释I个体域为自然数N， F(x,y)：:x+y=5 所以,前件为任意自然数x 存在自然数y 使x+y=5，前件假。此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。 13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。 (1) (F(x) (2) x(F(x)G(x)H(x)) 解:(1)个体域:本班同学 F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释 F(x)：x 是泰安人,G(x)：x 是济南人.（2）成假解释 (2)个体域:泰山学院的学生 F(x)：x 出生在山东,G(x):x 出生在北京,H(x):x 出生在江苏,成假解释. F(x)：x 会吃饭,G(x)：x 会睡觉,H(x)：x 会呼吸. 成真解释. 第五章部分课后习题参考答案 5.给定解释Ｉ如下: (a)个体域D={3,4}; (b))(x f 为3)4(,4)3(==f f (c)1)3,4()4,3(,0)4,4()3,3(),(====F F F F y x F 为. 试求下列公式在Ｉ下的真值. (1)),(y x yF x ?? (3))))(),((),((y f x f F y x F y x →?? 解:(1) ))4,()3,((),(x F x F x y x yF x ∨???? ? ))4,4()3,4(())4,3()3,3((F F F F ∨∧∨ ?1)01()10(?∨∧∨ (2) )))(),((),((y f x f F y x F y x →?? ))))4(),(()4,(()))3(),(()3,(((f x f F x F f x f F x F x →∧→?? )))3),(()4,(())4),(()3,(((x f F x F x f F x F x →∧→?? )))3),3(()4,3(())4),3(()3,3(((f F F f F F →∧→? )))3),4(()4,4(())4),4(()3,4(((f F F f F F →∧→∧ )))3,4()4,3(())4,4(0((F F F →∧→?)))3,3(0())4,3(1((F F →∧→∧ )11()00(→∧→?)00()11(→∧→∧1? 12.求下列各式的前束范式。 (1)),()(y x yG x xF ?→? (5))),()((),(2121211x x G x x H x x F x ??→→? (本题课本上有错误) 解:(1) ),()(y x yG x xF ?→?),()(y t yG x xF ?→??)),()((y t G x F y x →??? (5) )),()((),(2121211x x G x x H x x F x ??→→? )),()((),(2323211x x G x x H x x F x ??→→?? )),()((),(2332411x x G x H x x x F x ?→?→?? ))),()((),((2334121x x G x H x x F x x ?→→??? 15.在自然数推理系统F 中,构造下面推理的证明: (1) 前提: ))())()((()(y R y G y F y x xF →∨?→?,)(x xF ? 结论: ?xR(x) (2) 前提: ?x(F(x)→(G(a)∧R(x))), xF(x) 结论:x(F(x)∧R(x)) 证明(1) ①)(x xF ? 前提引入 ②F(c) ①EI ③))())()((()(y R y G y F y x xF →∨?→? 前提引入 ④))())()(((y R y G y F y →∨? ①③假言推理 ⑤(F(c)∨G(c))→R(c)) ④UI ⑥F(c)∨G(c) ②附加 ⑦R(c) ⑤⑥假言推理 ⑧?xR(x) ⑦EG (2) ①?xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI ③?x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入 ④F(c)→(G(a)∧R(c)) ③UI ⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理 ⑥R(c) ⑤化简 ⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入 ⑧?x(F(x)∧R(x)) ⑦EG 第六章部分课后习题参考答案 5.确定下列命题是否为真： （1）??? 真 （2）?∈? 假 （3）}{??? 真 （4）}{?∈? 真 （5）｛a,b ｝?｛a,b,c,｛a,b,c ｝｝ 真 （6）｛a,b ｝∈｛a,b,c,｛a,b ｝｝ 真 （7）｛a,b ｝?｛a,b,｛｛a,b ｝｝｝ 真 （8）｛a,b ｝∈｛a,b,｛｛a,b ｝｝｝ 假 6．设a,b,c 各不相同，判断下述等式中哪个等式为真: （1）｛｛a,b ｝，c,?｝ =｛｛a,b ｝,c ｝ 假 （2）｛a ,b,a ｝=｛a,b ｝ 真 （3）｛｛a ｝，{b}｝=｛｛a,b ｝｝ 假 （4）｛?，｛?｝，a,b ｝=｛｛?,｛?｝｝,a,b ｝ 假 8．求下列集合的幂集： （1）｛a,b,c ｝ P(A)={ ?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} （2）｛1，｛2，3｝｝ P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } （3）｛?｝ P(A)={ ?, ｛?｝ } （4）｛?，｛?｝｝ P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } 14．化简下列集合表达式： （1）（A Y B）I B ）-（A Y B） （2）（（A Y B Y C）-（B Y C））Y A 解: (1)（A Y B）I B ）-（A Y B）=（A Y B）I B ）I～（A Y B） =（A Y B）I～（A Y B）)I B=?I B=? （2）（（A Y B Y C）-（B Y C））Y A=（（A Y B Y C）I～（B Y C））Y A =（A I～（B Y C））Y（（B Y C ）I～（B Y C））Y A =（A I～（B Y C））Y?Y A=（A I～（B Y C））Y A=A 18．某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。 解: 阿A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}，C={会打网球的人} |A|=14, |B|=12, |A I B|=6,|A I C|=5,| A I B I C|=2, |C|=6,C?A Y B 如图所示。 25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5 不会打球的人共5人 21.设集合A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{?}},计算下列表达式： （1）Y A （2）I A （3）I Y A （4）YI A 解: （1）Y A={1，2}Y{2，3}Y{1，3}Y{?}={1，2，3,?} （2）I A={1，2}I{2，3}I{1，3}I{?}=? （3）I Y A=1I2I3I?=? （4）YI A=? 27、设A,B,C是任意集合，证明 (1)(A-B)-C=A- B?C (2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明 (1) (A-B)-C=(A I～B) I～C= A I( ～B I～C)= A I～(B?C) =A- B?C (2) (A-C)-(B-C)=(A I～C) I～(B I～C)= (A I～C) I(～B Y C) =(A I～C I～B) Y (A I～C I C)= (A I～C I～B) Y? = A I～(B?C) =A- B?C 由（1）得证。 第七章部分课后习题参考答案 7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系E A,小于或等于关系L A,整除关系D A. ={<2，2>,<3,3>,<4,4>} 解：I A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>} E A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} L A ={<2,4>} D A 13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} 求A?B,A?B, domA, domB, dom(A?B), ranA, ranB, ran(A?B ), fld(A-B). 解：A?B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} A?B={<2,4>} domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A∨B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A?B)={4} A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>} 求RοR, R-1, R↑{0,1,}, R[{1,2}] 解：RοR={<0,2>,<0,3>,<1,3>} R-1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>} R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3} 16．设A={a,b,c,d}，1R ，2R 为A 上的关系，其中 1 R ={ },,,,,a a a b b d {2,,,,,,,R a d b c b d c b = 求23 122112,,,R R R R R R o o 。 解: R 1οR 2={ R 12=R 1οR 1={ 36．设A={1，2，3，4}，在A ?A 上定义二元关系R ， ? ∴ ? 任意的 任意的 则u-v=x-y,x-y=a-b ∴u-v=a-b ∴ ∴R是传递的 ∴R是A×A上的等价关系 (2) ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>}, {<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} } 41.设A={1，2，3，4}，R为A?A上的二元关系, ?〈a，b〉，〈c，d〉∈A?A , 〈a，b〉R〈c，d〉?a + b = c + d (1)证明R为等价关系. (2)求R导出的划分. (1)证明：? a+b=a+b ∴ ∴R是自反的 任意的 设 ∴c+d=a+b ∴ ∴R是对称的 任意的 若 则a+b=c+d,c+d=x+y ∴a+b=x+y ∴ ∴R是传递的 ∴R是 A×A上的等价关系 (2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}} 43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图: (1) {1,2,3,4,6,8,12,24} (2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解 : 2 3 468 1 11 (1) (2) 45.下图是两个偏序集 d g a b f g (a) (b) 解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g} R p ={ (b) A={a,b,c,d,e,f,g} R p ={ 46.分别画出下列各偏序集 (1)A={a,b,c,d,e} R p ={ a b d e a b c d e (1) (2) 项目 (1) (2) 极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e 最大元: e 无 最小元: a 无 第八章部分课后习题参考答案 1．设f :N →N,且 f (x)=12x x x ?? ??? ，若为奇数若为偶数， 求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1}, f ({0,2,4,6,…})=N ，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的? (1) f:N →N, f(x)=x 2+2 不是满射，不是单射 (2) f:N →N,f(x)=(x)mod 3,x 除以3的余数 不是满射，不是单射 (3) f:N →N,f(x)=10x x ???，若为奇数 ，若为偶数 不是满射，不是单射 (4) f:N →{0,1},f(x)=01x x ???，若为奇数 ，若为偶数 是满射，不是单射 (5) f:N-{0}→R,f(x)=lgx 不是满射，是单射 (6) f:R →R,f(x)=x 2-2x-15 不是满射，不是单射 5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={ 第十章部分课后习题参考答案 4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z 和普通的减法运算。 封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合 普通的除法运算。不封闭 （3） 全体n n ?实矩阵集合 （R ）和矩阵加法及乘法运算，其中n 2。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵； （4）全体n n ?实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。不封闭 （5）正实数集合 和运算，其中运算定义为： 不封闭 因为 +?-=--?=R 1111111ο （6）n 关于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元； 乘法无单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1 （7）A = {},,,21n a a a Λ n 运算定义如下： 封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S = 关于普通的加法和乘法运算。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S = ,S关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律 5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题 7．设* 为+Z上的二元运算+ x,， y ?Z ∈ X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数. (1)求4 * 6，7 * 3。 4, 3 Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ (2)* 在+ 满足交换律，结合律，和幂等律 (3)求*运算的单位元，零元及+ Z中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元1, 所有元素无逆元 8．Q =Q为有理数集，*为S上的二元运算， Q S? < a，b >* （1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换： 可结合：( ( 不是幂等的 （2）*运算是否有单位元，零元？如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 设 则 设 则 a=1/x,b=-y/x 所以当x ≠0时，x y x y x -= ><-,1,1 10．令S={a ，b}，S 上有四个运算：*， 分别有表10.8确定。 (a) (b) (c) (d) (1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元； (b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元 b b a a ==--11, (c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 a b a b b a b a a b b a ====οοοοοο)(,)( b b a b b a οοοο)()(≠ 没有单位元, 没有零元 (d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元 (2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上 16．设V=〈 N ，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V 的子代数，为什么？ （1）S 1= 是 （2）S 2= 不是 加法不封闭 （3）S 3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭 第十一章部分课后习题参考答案 8.设S={0，1，2，3}， 为模4乘法，即 "?x,y ∈S, x y=(xy)mod 4 问〈S ，〉是否构成群？为什么？ 解：(1) ?x,y ∈S, x y=(xy)mod 4S ∈, 是S 上的代数运算。 (2) ?x,y,z ∈S,设xy=4k+r 30≤≤r (x y) z =((xy)mod 4) z=r z=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x (y z) =(xyz)mod 4 所以，(x y) z = x (y z)，结合律成立。 (3) ?x ∈S, (x 1)=(1 x)=x,，所以1是单位元。 (4),33,1111==-- 0和2没有逆元 所以，〈S ，〉不构成群 9.设Z 为整数集合，在Z 上定义二元运算。如下： " ?x,y ∈Z,xoy= x+y-2 问Z 关于o 运算能否构成群？为什么？ 解：(1) ?x,y ∈Z, xoy= x+y-2Z ∈,o 是Z 上的代数运算。 (2) ?x,y,z ∈Z, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。 (3)设e 是单位元，?x ∈Z, xo e = e ox=x,即x+e -2= e +x-2=x, e=2 (4) ?x ∈Z , 设x 的逆元是y, xoy= yox=e , 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x y x -==-41 所以〈Z ，o 〉构成群 11.设G=? ?? ??????? ??--???? ??-???? ??-???? ??1001,1001, 1001,1001，证明G 关于矩阵乘法构成一个群． 解：(1) ?x,y ∈G, 易知xy ∈G,乘法是Z 上的代数运算。 (2) 矩阵乘法满足结合律 (3)设??? ? ??1001是单位元， 第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数. 是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。 离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（pr）∧(﹁q∨s) ?（01）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1） (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) 第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?，在（a ）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快 命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误！未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误！未找到引用源。(x,y)=x错误！未找到引用源。y,x,y D ∈错误！未找到引用源。. (d) 特定谓词错误！未找到引用源。(x,y):x=y,错误！未找到引用源。(x,y):x 离散数学习题答案 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 ) 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 、 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨?∧ 。 解：公式的真值表如下： 由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案：（P52-54） 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→ [ 结论：s 证明： ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 } ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论： p u → 证明：用附加前提证明法。 ① p 附加前提引入 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案 4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对 第十章部分课后习题参考答案 4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z 和普通的减法运算。 封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合 普通的除法运算。不封闭 （3） 全体n n ?实矩阵集合 （R ）和矩阵加法及乘法运算，其中n 2。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵； （4）全体n n ?实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。不封闭 （5）正实数集合 和运算，其中运算定义为： 不封闭 因为 +?-=--?=R 1111111ο （6）n 关于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元； 乘法无单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1 （7）A = {},,,21n a a a Λ n 运算定义如下： 封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S = 关于普通的加法和乘法运算。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律 5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题 7．设 * 为+Z 上的二元运算+∈?Z y x ,， X * Y = min ( x ，y ),即x 和y 之中较小的数. (1)求4 * 6，7 * 3。 4, 3 《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑) 1.答：（2），（3），（4） 2.答：（2），（3），（4），（5），（6） 3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 4.答：（4） 5.答：?P ，Q→P 6.答：P(x)∨?yR(y) 7.答：??x(R(x)→Q(x)) 8、 c、P→(P∧(Q→P)) 解：P→(P∧(Q→P)) ??P∨(P∧(?Q∨P)) ??P∨P ? 1 (主合取范式) ? m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式） d、P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) 解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) ? P∨(P∨(Q∨(Q∨R))) ? P∨Q∨R ? M0 (主合取范式) ? m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、 b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S) 证明： （1） P 附加前提 （2） Q 附加前提 （3） P→(Q→R) 前提 （4） Q→R （1），（3）假言推理 （5） R （2），（4）假言推理 （6） R→(Q→S) 前提 （7） Q→S （5），（6）假言推理 （8） S （2），（7）假言推理 d、P→?Q，Q∨?R，R∧?S??P 证明、 (1) P 附加前提 （2） P→?Q 前提 （3）?Q （1），（2）假言推理 （4） Q∨?R 前提 (5) ?R （3），（4）析取三段论 (6 ) R∧?S 前提 （7） R （6）化简 （8） R∧?R 矛盾（5），（7）合取 所以该推理正确 10.写出?x(F(x)→G(x))→(?xF(x) →?xG(x))的前束范式。 解：原式??x(?F(x)∨G(x))→(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ??(?x)(?F(x)∨G(x)) ∨(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ? (?x)((F(x)∧? G(x)) ∨G(x)) ∨ (?x) ?F(x) 4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对 ４.１ (1）设Ｓ={１,２｝,R 是S 上的二元关系，且ｘR ｙ。如果Ｒ=Is ，则(A)； 如果R 是数的小于等于关系,则（Ｂ),如果Ｒ=Es ，则（C)。 （2）设有序对<ｘ+2，４>与有序对<５,2x+y>相等，则 ｘ=(D),y=(E). 供选择的答案 Ａ、B 、C ：① x ，y 可任意选择１或2;② ｘ＝1,ｙ=1；③ x=１,y=1 或 ２；x=y=2; ④ ｘ＝2,y=2;⑤ x=y=１或 x ＝y=２;⑥ x=1,ｙ＝2；⑦x=2,y ＝１。 D 、E:⑧ 3；⑨ 2;⑩－2。 答案: Ａ: ⑤ B: ③ Ｃ： ① D: ⑧ Ｅ: ⑩ 4.2设S ＝<1,2，３，４>,R 为S 上的关系，其关系矩阵是 ????? ???????0001100000011001 则（1）R 的关系表达式是（A ）。 (2)dom Ｒ＝(Ｂ),ranR=(C). (3）R ?Ｒ中有(Ｄ)个有序对。 (4）R ˉ1的关系图中有(E)个环。 供选择的答案 A ：①{<1,1>,<1,２>，<1，4>，<4，１>,＜4，3>}; ②{<１,１＞,<1,４＞,<2,1>,<４,1>,＜３,４>}; Ｂ、C ：③{１，2，3,4}；④{１,2，４};⑤{1,４}⑥{1，３,４}。 Ｄ、E ⑦1;⑧３；⑨6；⑩7。 答案： A ：② B:③ Ｃ：⑤ Ｄ:⑩ E:⑦ 4.3设R 是由方程ｘ+３ｙ=１2定义的正整数集Z+上的关系,即 { ………………………………………………最新资料推 荐……………………………………… 1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略 1.10．略 1.11．略 1.12．将下列命题符号化,并给出各命题的真值: (1)2+2＝4当且仅当3+3＝6.(2)2+2＝ 4的充要条件是3+3≠6.(3)2+2≠4与 3+3＝6互为充要条件.(4)若2+2≠4, 则 3+3≠6,反之亦然. (1)p?q,其中,p: 2+2＝4,q: 3+3＝6, 真值为 1.(2)p??q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为0. (3)?p?q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为 0.(4)?p??q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为1. 1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1) 若今天是星期一,则明天是星期二.(2)只有今天 是星期一,明天才是星期二.(3)今天是星期一当 且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一,则明 天是星期三. 令p: 今天是星期一;q:明天是星期二;r:明天是星期三.(1) p→q ? 1. (2) q→p ? 1. (3) p?q? 1. (4)p→r当p ? 0时为真; p ? 1时为假. 1.14．将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快,跳得高.(2) 老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小 组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃 饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨,他就乘 班车上班.(9)只有天下大雨,他才乘班车上 班.(10)除非天下大雨,他才乘班车上班.(11) 下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数,这是不对的. (13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的. 1 离散数学（第四版） ( ( ( (耿素云屈婉玲张立昂著) ) ) ) 清华大学出版社 第第第第 1 1 1 1 章章章章习题解答习题解答习题解答习题解答 1．1 除（3），（ 4），（ 5），（ 11）外全是命题，其中，（1），（ 2），（ 8），（ 9），（10），（ 14），（ 15）是简单命题，（6），（ 7），（ 12），（ 13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句， 所以它们都不是命题。 其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（ 8），（ 9），（ 10），（ 14），（ 15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来 的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许 多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（ 15）中的“与”与“和”是联结 的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）是无理数，p 为真命题。 2: p （2）能被 2 整除，p 为假命题。 :5 p （6）。其中，是素数，q：三角形有三条边。由于 p 与 q 都是真 qp → 2 : p 命题，因而为假命题。 qp → （7），其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于 p 为假命 qp → 题，q 为真命题，因而为假命题。 qp → （8）年 10 月 1 日天气晴好，今日（1999 年 2 月 13 日）我们还不 :2000 p 课后答案网 https://www.sodocs.net/doc/215688632.html, 2 知道 p 的真假，但 p 的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。 （9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 （10）p：小李在宿舍里. p 的真值则具体情况而定，是确定的。 （12），其中，是偶数，是奇数。由于 q 是假命题，所以，q qp ∨ 4 : p 4: q 为假命题，为真命题。 qp ∨ （13），其中，是偶数，是奇数，由于 q 是假命题，所以， qp ∨ 4 : p 4: q 为假命题。 qp ∨ （14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不 能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 1．3 令则以下命题分别符号化为 6,33:4,22: +=+= qp （1） qp → （2） qp →? 第一章 命题逻辑基本概念 课后练习题答案 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e 是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语；. 7.因为p 与q 不能同时为真. 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q ，真值为1； （4）p→r，若p 为真，则p→r 真值为0，否则，p→r 真值为1. 16 设p 、q 的真值为0；r 、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p ∨(q ∧r)? 0∨(0∧1) ? （2）（p ?r ）∧(﹁q ∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p ∧?q ∧r ）?(p ∧q ∧﹁r) ?（1∧1∧1） ? (0∧0∧0)?0 (4)（?r ∧s ）→(p ∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0? 1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p ∧(q →r)∧(t →s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p →q) →(?q →?p) （5）(p ∧r) ?(?p ∧?q) （6）((p →q) ∧(q →r)) →(p →r) 答： （4） p q p →q ?q ?p ?q →?p (p →q)→(?q →?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 返回 第二章 命题逻辑等值演算 本章自测答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p ∧q →q) (2)(p →(p ∨q))∨(p →r) (3)(p ∨q)→(p ∧r) 答：(2)（p →(p ∨q)）∨(p →r)?(?p ∨(p ∨q))∨(?p ∨r)??p ∨p ∨q ∨r ?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p ∨q p ∧r （p ∨q ）→(p ∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 6.1(5) 5S =n M (R),+为矩阵加法，则S 是（群） 答：满足封闭性，因为矩阵加法可结合所以为半群，且幺元为e ＝0的矩阵,故为独异点。又因为以任一n 阶矩阵的逆元存在是它的负矩阵，所以是群。 评语：答案太简单 6.2 （1）因为可结合，交换，幺元为1，但不存在逆元 所以是半群 （2）因为可交换，结合，幺元为0，是有限阶群并且是循环群，G 中的2阶元是2，4阶元是1和3 6.4 设Z 为正数集合，在Z 上定义二元运算 ° ，? x,y ∈Z 有 x ° y=x+y-2, 那么Z 与运算 ° 能否构成群？为什么？ 解： 设 ? a,b,c ∈Z （a ° b ）° c = (a+b-2) ° c = a+b- 2+ c-2 =a+b+c-4 a ° ( b ° c) = a ° (b+c-2) =a + b+c-2-2 =a+b+c-4 对2∈Z ，? x ∈Z 有 x ° 2=x+2-2=x=2° x, 可见 , 存在幺元，幺元为2。 对? x ∈Z 有4-x ∈Z,使x ° （4-x ）= (4-x) ° x=2 所以 x-1 = 4-x 所以Z 与运算 ° 能构成群 。 6.7 下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？ （1）L={1,2,3,4,5}. （2）L={1,2,3,6,12}. （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}. （1）L={1,2,3,4,5}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集不是格，因为3和4、5和4 、3和5有最大下届是1，但是没有最小上届。 （2）L={1,2,3,6,12}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集是格。因为L 中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。 （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集是格。因为L 中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。 （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}. 离散数学第2版答案 【篇一：离散数学课后习题答案_屈婉玲(高等教育出版 社)】 txt>16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1） ? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“?是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”答：p: ?是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q?p?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 01 111 1 0 11 011 1 1 00 100 1 1 11 001 1所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式， 再用真值表法求出成真赋值. (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)） ∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) p qr p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0000 1 0 0100 1 0 1010 0 0 1110 0 10 010 0 10 111 1 11 010 0 11 111 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q?p) ??(p?q)?(?q?p) ?(?p??q)?(?q?p) ? (?p??q)?(?q?p)?(?q??p)?(p?q)?(p??q) ? (?p??q)?(p??q)?(p?q) ?m0?m2?m3 ?∑(0,2,3) 主合取范式： 离散数学最全课后答案(屈婉玲版) 离散数学习题解1 习题1 1 . 1 . 2 . 1 . 3 . 1 . 4 . 1 . 5 . 1 . 6 . 1 . 7 . 1 . 8 . 1 . 9 . |下列命题用符号表示，并给出其真值: (1) 2+2(2) 2+2 = 4的充要条件是3+3？6.(3)2+2？4和3+3 = 6都是必要和充分的条件。(4)如果2+2？4，然后3+3？6，反之亦然。 (1)p？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为1。(2)p？？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为0。(3)？p？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为0。(4)？p？？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为1. 1.13。用符号表示下列命题，并给出每个命题的真实值:(1)如果今天是星期一，明天就是星期二。只有今天是星期一。明天是星期二。(3)今天是星期一，只有明天是星期二。(4)如果今天是星期一，明天就是星期三。 订单P:今天是星期一；问:明天是星期二；明天是星期三。问？？1.(2) q？p？？1.(3) p？问？？1. (4) p？r何时p？？0为真；p？？一小时是假的。 1.14。象征以下命题。 (1)刘跑得快，跳得高。老王来自山东或河北。 (3)因为天气寒冷。所以我穿上了羽绒服。(4)王欢和李乐组成一个小组。 (5)李欣和李默是兄弟。 (6)王强和刘伟都学过法语。他一边吃饭一边听音乐。如果下大雨，他就乘公共汽车去上班。只有下大雨时，他才乘公共汽车去上班。除非下大雨。他刚刚乘公共汽车去上班。雪很滑，他迟到了。(12)2和4是质数，这是错误的。(13)“2或4是质数，这是错误的”是错误的。离散数学习题解答 (1)p？其中，刘跑得快，刘跳得高。(2)p？其中，p:老王来自山东，q:老王来自河北。(3)p？问:那里的天气很冷，问:我穿着羽绒服。(4)p，其中P:王欢和李乐组成一个组，这是一个简单的命题。(5)p，其中P:李欣和李默是兄弟。 (6)p？其中，王强学的是法语，刘伟学的是法语。其中，p:他吃饭，q:他听音乐。其中，p:雨下得很大，q:他乘公共汽车去上班。其中， 离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社 课后答案 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0 （2）（pr）∧(﹁q∨s) ?（01）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1） (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r 列各组数中，那些能构成无向图的度数列那些能构成无向简单图的度数列 （1）1，1，1，2，3 （2）2，2，2，2，2 （3）3，3，3，3 （4）1，2，3，4，5 （5）1，3，3，3 解答：（1），（2），（3），（5）能构成无向图的度数列。 （1），（2），（3）能构成五项简单图的度数列。 设有向简单图D 的度数列为2，2，3，3，入度列为0，0，2，3，试求D 的出度列。 解：因为 出度=度数-入度，所以出度列为2，2，1，0。 设D 是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3。它的入度列（或出度列）能为1，1， 1，1吗 解：由定理可知，有向图的总入度=总出度。该有向图的总入度=1+1+1+1=4,总出度=2+2+2+2=8,4！=8，所以它的出度列（或入度列）不能为1，1，1，1。 35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点 解：根据握手定理，所有顶点的度数之和为70，假设每个顶点的度数都为3，则 n 为小于等于3 70的最大整数，即：２３ ∴ 最多有23个顶点 7.7 设n 阶无向简单图G 中，δ（G ）=n-1，问△（G ）应为多少 解： 假设n 阶简单图图n 阶无向完全图，在K n 共有 2)1(-n n 条边，各个顶点度数之和为n （n-1） ∴每个顶点的度数为n n n )1(-=n-1 ∴△（G ）=δ（G ）=n-1 一个n （n ≥２）阶无向简单图Ｇ中，n 为奇数，有r 个奇度数顶点，问Ｇ的补图G 中有几个奇度顶点 解：在K n 图中，每个顶点的度均为（n-1），n 为奇数，在Ｇ中度为奇数的顶点在G 中仍然为奇数， ∴共有r 个奇度顶点在G 中 ７.９ 设Ｄ是n 阶有向简单图，Ｄ’是Ｄ的子图，已知Ｄ’的边数m ’＝n （n-1），问Ｄ的边数m 为多少 解： 在Ｄ’中m ’＝n （n-1） 可见Ｄ’为有个n 阶有向完全图，则Ｄ＝Ｄ’ 即Ｄ’就是Ｄ本身， ∴m=n （n-1） 有向图D 入图所示。求D 中长度为4 的通路总数，并指出其中有多少条是回路离散数学屈婉玲版第一章部分习题汇总
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